Wydział Mechatroniki i Lotnictwa Zespół Mechatroniki
Cyfrowe układy regulacji Temat ćwiczenia laboratoryjnego: Model silnika DC z regulatorem LQR
Grupa: A9U1S1 Skład podgrupy:
Kupis Sebastian Jałocha Dariusz

1. Sformułowanie zadania

Zadanie laboratoryjne dotyczyło badania silnika DC obcowzbudnego z regulatorem liniowo kwadratowym LQR w przestrzeni stanów, wykorzystując środowisko MATLAB. Głównym celem było wyznaczenie parametrów regulatora przy których układ spełnia następujące kryteria:

• Minimalizacja funkcji kosztów bazując na kryterium całkowym:

,

• Czas regulacji układu z regulatorem mniejszy niż układu bez regulatora (trr < trb),

• Zerowa wartość przeregulowania p[%] = 0.

Budując układ z regulatorem LQR w środowisku MATLAB skorzystamy z następujących funkcji:

• lqr(A,B,Q,R);

Funkcja ta tworzy regulator statyczny dla układu opisanego macierzami A i B. Uwzględnia także macierze wagowe Q i R z kryterium całkowego jakości.

• place(A',C',P);

Tworząca obserwator stanu dla układu z regulatorem statycznym.

• reg(Gss,K,L')

Funkcja tworząca regulator dynamiczny tworzące jego model space-state, a więc traktuje go jako autonomiczny układ posiadający macierze A,B,C,D. Poniżej schemat układu regulacji z regulatorem LQR dynamicznym. Regulator jest połączony z obiektem regulacji wykorzystując dodatnie sprzężenie zwrotne.

Regulator statyczny i obserwator stanu tworzone są metodą lokowania pierwiastków.

1. Model matematyczny silnika DC obcowzbudnego

Obiektem regulacji będzie silnik prądu stałego obcowzbudny, którego schemat znajduje się poniżej.

Model matematyczny stworzymy wyprowadzając dwa równania :

• Równanie napięciowe obwodu twornika

$$u\left( t \right) = R_{t}i_{t}\left( t \right) + L_{t}\frac{di_{t}(t)}{\text{dt}} + e\left( t \right) + \hat{}u_{p}$$

• Równanie ruchu silnika (momentów)

$$J\frac{d\Omega_{m}}{\text{dt}} = M_{e}\left( t \right) - M_{m}(t)$$

u(t) napięcie zasilające twornik

Δup - spadek napięcia między szczotkami i komutatorem

Lt - indukcyjność obwodu twornika

Rt - rezystancja obwodu twornika

it(t) - prąd twornika

e(t) - napięcie indukowane w uzwojeniu twornika opisane równaniem

e(t) = Ce φΩ m(t)

Ce – stała elektryczna

φ − strumień indukcji

Ωm – prędkość kątowa

Me - Moment elektromagnetyczny opisany zależnością

Me = (t) Cm φ ⋅ i t (t)

J- wypadkowy moment bezwładności na wale silnika.

Te dwa równania opisujące silnik można sprowadzić do poniższej postaci tworząc model prędkościowy silnika:

$$\frac{di_{t}}{\text{dt}} = - \frac{R_{t}}{L_{t}}i_{t} - \frac{C_{e}\varnothing}{L_{t}}\Omega_{m} + \frac{1}{L_{t}}u,$$

$$\frac{d\Omega_{m}}{\text{dt}} = - \frac{C_{m}\varnothing}{J}i_{t} - \frac{1}{J}M_{m}.$$

Wprowadzając dwie wartości pomocnicze:

• Stałej czasowej elektromechanicznej

$$T_{m} = \frac{JR_{t}}{C_{e}C_{m}\varnothing^{2}}\text{\ \ },$$

• Stałej czasowej elektromagnetycznej

$$T_{t} = \frac{L_{t}}{R_{t}}\ \ ,$$

można wyznaczyć model macierzowy:

$$\begin{bmatrix} \frac{di_{t}}{\text{dt}} \\ \frac{d\Omega_{m}}{\text{dt}} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - \frac{1}{T_{t}} & - \frac{J}{T_{m}T_{t}C_{m}\varnothing}\ \\ \frac{R_{t}}{T_{m}C_{e}\varnothing} & 0 \\ \end{bmatrix}\ \text{.\ }\begin{bmatrix} i_{t} \\ \Omega_{m} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{1}{R_{t}T_{t}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{- J} \\ \end{bmatrix}\text{\ .\ }\begin{bmatrix} u \\ M_{m} \\ \end{bmatrix}$$

No podstawie tego modelu można zapisać transmitancję operatorową silnika DC którego wielkością sterującą jest napięcie zasilania twornika, a wyjściem prędkość kątowa (model prędkościowy).

$$G_{\text{Ωm}}\left( s \right) = \frac{\Omega_{M}(s)}{U(s)} = \frac{\frac{1}{C_{e}}}{T_{t}T_{m}s^{2} + T_{m}s + 1}$$

Będziemy starali się zminimalizować funkcję kosztu:

przyjmujemy macierze wagowe Q i R o następujących wartościach:

$Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$, R = [i].

Przyjmując wartości i = 1, 0.1, 0.01.

Macierze Q oraz R posłużą do utworzenia regulatora LQR.

Przyjmujemy następujące wartości współczynników transmitancji (parametrów fizycznych silnika):

C_e =  2.623  [V s];

T_m = 0.1829  [s];

T_t = 0.033  [s]; 

Przyjmujemy okres próbkowania T_P = 0,001 [s].

Model transmitancyjny oraz w przestrzeni stanów silnika otrzymany przez uruchomienie w MATLAB’ie odpowiedniego skryptu jest następujący:

Transfer function:

0.3812

---------------------------

0.006036 s^2 + 0.1829 s + 1

Model w przestrzeni stanów:

A =

-30.3030 -10.3551

16.0000 0

C =

0 1.9739

B =

2

0

D =

0

1. Model numeryczny układu regulacji

Do badania układu opracowaliśmy odpowiedni skrypt, który uruchomiony został w środowisku MATLAB. Przejęliśmy wartość macierzy R=[0.01] . O jej wpływie na zachowanie układ powiemy w kolejnym rozdziale. Zbadaliśmy układ w dziedzinie ciągłej oraz dyskretnej, stosując metodę dyskretyzacji ZOH dla regulatora i silnika DC.

W poniższym podrozdziale znajduje się algorytm postepowania służący do zbadania układu.

3. 1. Algorytm postępowania

   2. Otrzymane wyniki

Poniżej znajdują się otrzymane wartości opisujące układ. Zostały one zwrócone przez MATLAB.

1. Dziedzina ciągła:

• Regulator LQR statyczny:

Macierz nastaw regulatora:

K = [5.5101 6.0833]

• Obserwator stanu

L =

7.5696 47.4526

• Regulator dynamiczny

Transmitancja:

-330.4 s - 6777

G_lqr = -------------------------

s^2 + 135 s + 4470

Model w przestrzeni stanów:

a =

x1_e x2_e

x1_e -41.32 -37.46

x2_e 16 -93.67

b =

y1x1_e 7.57

x2_e 47.45

c =

x1_e x2_e

u1 -5.51 -6.083

d =

y1

u1 0

• Układ regulacji:

Jest to układ czwartego rzędu.

Transmitancja:

-2.087e004 s - 4.281e005

G_UR = ------------------------------------------------------------------

s^4 + 165.3 s^3 + 8726 s^2 + 1.787e005 s + 1.169e006

Model w przestrzeni stanów:

a =

? ? x1_e x2_e

? -30.3 -10.36 -11.02 -12.17

? 16 0 0 0

x1_e 0 14.94 -41.32 -37.46

x2_e 0 93.67 16 -93.67

b =

y1

? 0

? 0

x1_e 7.57

x2_e 47.45

c =

? ? x1_e x2_e

y1 0 1.974 0 0

d =

y1

y1 0

3. 2. 2. Dziedzina dyskretna

      • Obiekt regulacji (silnik DC) po dyskretyzacji

Transmitancja:

0.002858 z + 0.002584

G_URD= -----------------------------

z^2 - 1.724 z + 0.7386

Model w przestrzeni stanów:

a =

x1 x2

x1 0.7318 -0.08909

x2 0.1377 0.9925

b =

u1

x1 0.01721

x2 0.001448

c =

x1 x2

y1 0 1.974

d =

u1

y1 0

• Regulator dynamiczny

Transmitancja:

-1.904 z + 1.545

G_LQRD = ----------------------

z^2 - 1.023 z + 0.2593

Model w przestrzeni stanów:

a =

x1_e x2_e

x1_e 0.6448 -0.191

x2_e 0.08159 0.3779

b =

y1

x1_e 0.004056

x2_e 0.3093

c =

x1_e x2_e

u1 -5.51 -6.083

d =

y1

u1 0

• Układ regulacji

Transmitancja:

0.002858 z^3 - 0.0003395 z^2 - 0.001901 z + 0.0006698

-----------------------------------------------------

z^4 - 2.747 z^3 + 2.767 z^2 - 1.202 z + 0.1875

Model w przestrzeni stanów:

a =

? ? x1_e x2_e

? 0.7318 -0.08909 -0.09481 -0.1047

? 0.1377 0.9925 -0.007978 -0.008808

x1_e 0 0.008006 0.6448 -0.191

x2_e 0 0.6104 0.08159 0.3779

b =

u1

? 0.01721

? 0.001448

x1_e 0

x2_e 0

c = d =

? ? x1_e x2_e u1

y1 0 1.974 0 0 y1 0

1. Charakterystyki czasowe układu regulacji

2. 1. Odpowiedzi skokowe w dziedzinie ciągłej

      1. Obiekt regulacji (silnik DC)

1. Regulator LQR dynamiczny

1. Układ regulacji z regulatorem LQR

1. Odpowiedzi skokowe w dziedzinie dyskretnej

Obiekt regulacji oraz regulator LQR dynamiczny zostały poddane dyskretyzacji metodą ZOH z czasem próbkowania Tp = 0,001[s].

1. Obiekt regulacji (silnik DC)

1. Regulator LQR dynamiczny

1. Układ regulacji z regulatorem LQR

1. Wpływ wartości macierzy R[ ] na czas regulacji

Macierz R [ ] jest współczynnikiem wagowym w całkowym kryterium jakości sterowania:

Macierz ta określa wpływ sterowania u na zachowanie układu.

1. Wartość macierzy R=[1]:

1. Wartość macierzy R=[0.1]

1. Wartość macierzy R=[0.01]

6. Wnioski

   1. Regulatory liniowo kwadratowe (LQR) mają zastosowanie tam gdzie jest potrzeba minimalizacji funkcji kosztów. Koszty te to odchyłki od wartości zadanej, a więc przeregulowania. Jest on zatem przydatnym narzędziem w zagadnieniach związanych z optymalizacją regulacji. Pozwalają na zredukowanie energii potrzebnej na sterowanie.

   2. Przez wybór macierzy Q i R można wpływać na położenie biegunów układu co wpływa na jego czas regulacji oraz wartość przeregulowania.

   3. Analizując wykresy odpowiedzi skokowej układu regulacji można zdefiniować wpływ macierzy R na jego zachowanie. Im mniejsza jej wartość tym czas regulacji jest mniejszy. Dla wartości R=[0,01] ma sens zastosowanie regulatora LQR, ponieważ wówczas czas regulacji układu z regulatorem jest mniejszy niż bez regulatora.

   4. Zmniejszenie wartości macierzy R wpływa na zwiększenie wartości przeregulowania odpowiedzi skokowej regulatora LQR. To przeregulowanie ma związek z czasem regulacji układu. Regulator kompensuje dynamikę obiektu.