1a. W jaki sposób można byłoby obliczyć przybliżony pionowy gradient przyspieszenia siły ciężkości?

$$W_{\text{zz}} = - \frac{g}{h}$$

Znając wartości przyspieszenia siły ciężkości na dwóch punktach (lub różnicę tych przyspieszeń) i wysokości (lub różnicę wysokości) tych punktów można obliczyć przybliżoną wartość pionowego gradientu przyspieszenia siły ciężkości. Możliwy jest także pomiar przyspieszenia na jednym punkcie, na różnych wysokościach.

1b. Zdefiniuj potencjał ciężkościowy, własności powierzchni ekwipotencjalnych.

Punkt A leżący na obracającej się powierzchni Ziemi znajduje się jednocześnie w polu grawitacyjnym wytwarzanym przez masę Ziemi oraz w polu siły odśrodkowej, związanym z jej obrotem wokół osi. Potencjał w punkcie A jest zatem złożeniem potencjału grawitacyjnego V i odśrodkowego u. Taki potencjał nazywamy potencjałem ciężkościowym W. Potencjał ciężkościowy związany jest z pracą przeciwko zarówno sile grawitacji, jak i siły odśrodkowej.

Powierzchnie utworzone z punktów jednakowego potencjału ciężkościowego W=const są nazywane powierzchniami ekwipotencjalnymi (lub powierzchniami poziomymi). W pobliżu Ziemi, gdzie przyspieszenia grawitacyjne jest duże (większe niż odśrodkowe) powierzchnie te są zamknięte o kształcie elipsoidalnym. W miarę oddalania się od Ziemi zmienia się ich kształt; w odległości ok. 6 promieni Ziemi przechodzą w powierzchnie otwarte.

2. Zależność Brunsa (dW = g x dh) – udowodnij za jego pomocą, że powierzchnie ekwipotencjalne potencjału cieżkościowego w otoczeniu Ziemi są nierównoległe.

Zatem w pobliżu równika, ponieważ największą wartość osiąga składowa odśrodkowa, przyspieszenie ciężkościowe jest najmniejsze. Natomiast w okolicy bieguna przyspieszenie siły ciężkości osiąga największą wartość, gdyż przyspieszenie odśrodkowe jest równe 0.

Istnieje ścisła zależność pomiędzy różnicą potencjału dwóch powierzchni dW, która jest stała w dowolnym punkcie, a odstępem obu powierzchni i przyspieszeniem ciężkościowym. Im większa wartość przyspieszenia ciężkościowego (im bliżej bieguna), tym ciaśniej położone są sąsiednie powierzchnie ekwipotencjalne. Ponieważ odległości między powierzchniami ekwipotencjalnymi się zmieniają w miarę zbliżania do bieguna, oznacza to, iż są one nierównoległe.

3. Udowodnij za pomocą rysunku, że kierunek linii pionu ulegnie zmianie w pobliżu dużej masy (Temat 1).

4. Udowodnij za pomocą rysunku, że nierówności terenowe zmieniają (jak?) mierzone przyspieszenie siły ciężkości (poprawka topograficzna).

Wprowadzenie poprawki topograficznej ma na celu wyeliminowanie z pomierzonej wartości przyspieszenia siły ciężkości wpływu mas topograficznych, czyli obliczenie takiej wartości przyspieszenia jaka zostałaby pomierzona, gdyby teren wokół stanowiska grawimetrycznego był płaski.

Zatem nadmiar mas jest usuwany, co powoduje zwiększenie wartości grawitacji w punkcie P. Również niedobór mas, który jest uzupełniany, zwiększa wartość grawitacji w punkcie P. Wynika stąd że poprawka topograficzna jest ZAWSZE DODATNIA. Dodatkowe masy przyciągane powodują to, że przyciąganie jest większe czyli przyspieszenie siły ciężkości również.

5. Co to jest "spłaszczenie grawimetryczne", dlaczego jest ono bliskie spłaszczeniu geometrycznemu elipsoidy ziemskiej?

$\mathbf{\beta =}\frac{\mathbf{\gamma}_{\mathbf{b}}\mathbf{-}\mathbf{\gamma}_{\mathbf{a}}}{\mathbf{\gamma}_{\mathbf{a}}}\mathbf{=}\mathbf{0,00530244\ \approx}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{200}}$ - spłaszczenie grawimetryczne

γ_a = γ_e = 9, 7803267715 m/s²- przyspieszenie siły ciężkości na równiku

γ_b = 9, 831863685 m/s² - przyspieszenie siły ciężkości na biegunie

$\mathbf{\alpha =}\frac{\mathbf{a - b}}{\mathbf{a}}\mathbf{\approx}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{300}}$ - spłaszczenie geometryczne elipsoidy

6. Mając dane: φ,λ,h,Hn,Ho,G,Γ,gfpZ,σ, podaj sposób obliczenia anomalii (Temat 2).

Obliczenie normalnego przyspieszenia siły ciężkości na elipsoidzie GRS80:

Redukcja wolnopowietrzna na geoidę: Rg_wp=Γ•H⁰=0,3085•H⁰ [mGal]

Anomalia wolnopowietrzna na geoidę: Ag_wp=g^fpz+Rg_wp−γ₀^GRS80=g^fpz+Γ•H⁰−γ₀^GRS80 [mGal]

Redukcja Bouguera na geoidę: Rg_B=−0,0419•σ•H⁰ [mGal]

Anomalia Bouguera na geoidę: Ag_B=g^fpz+Rg_wp+Rg_B−γ₀^GRS80=Ag_wp+Rg_B [mGal]

Redukcja wolnopowietrzna na f.p.Z.: R_wp=Γ•h=−0,3085•h [mGal]

Anomalia wolnopowietrzna na f.p.Z.: A_wp=g^fpz+R_wp−γ₀^GRS80=g^fpz+Γ•h−γ₀^GRS80  [mGal]

7. Znając wzór na anomalię grawimetryczną Ag wyprowadź jego przybliżoną postać dla jednorodnej Ziemi kulistej.

(R - średni promień Ziemi)

8. Która z redukcji: wolnopowietrzna czy Bouguera jest wykorzystywana do badania figury Ziemi w myśl koncepcji Stokesa i dlaczego ?

W myśl koncepcji Stokesa do badania figury Ziemi można zastosować tylko te redukcje, które nie deformują geoidy:

• nie zmieniają położenia geoidy, jej masy i położenia jej środka ciężkości,

• regularyzują geoidę (żadne masy nie mogą wystawać ponad geoidę).

Gdzie:

g₀ – wartość przyspieszenia na geoidzie

γ₀ – wartość przyspieszenia na elipsoidzie poziomowej

g₀ – to co potrafimy zmierzyć na powierzchni Ziemi + redukcja > g₀=g_pom+Rg

Sposób obliczania redukcji Rg determinuje rodzaj i wartość anomalii.

9. W jaki sposób anomalię Bouguera można wykorzystać do obliczania odchylenia linii pionu (Temat 3)?

10. Jakie postulaty powinien spełniać system wysokościowy?

Precyzyjne wyznaczenie wysokości wymaga uwzględnienia własności pola ciężkościowego Ziemi.

Wybór systemu wysokości powinien uwzględniać:

1. Wyznaczone wysokości powinny być niezależne od trasy ciągu niwelacyjnego.

2. Wysokości punktów nie powinny być zależne od czynników, określonych w sposób przybliżony np. rozkładu masy, topografii

3. Poprawki przenoszące przewyższenie do określonego systemu powinny być na tyle małe, aby ich nie uwzględniać przy niwelacji o niższej dokładności.

4. W przewyższeniu, w danym systemie wysokościowym, należy wydzielić część geometryczną, pochodzącą z bezpośredniego pomiaru i część geoidalną- tzw. poprawkę niwelacyjną

5. Wysokości punktów na tej samej powierzchni ekwipotencjalnej powinny być jak najbliższe sobie.

11. Wyjaśnij pojęcie: telluroidy, quasi-geoidy i geopa.

Telluroida – powierzchnia będąca aproksymacją powierzchni Ziemi w systemie geometrycznych wysokości normalnych Mołodeńskiego, utworzoną przez punkty, w których normalny potencjał siły ciężkości jest równy potencjałowi rzeczywistemu (naturalnemu) punktów na powierzchni Ziemi, leżących na tych samych normalnych liniach pionu, co punkty telluroidy, przy czym odstępy telluroidy od powierzchni Ziemi są praktycznie równe wysokościom quasigeoidy nad elipsoidą odniesienia.

Własności:

• nie jest pow. ekwipotencjalną

• równość potencjału normalnego i rzeczywistego z powierzchnią Ziemi

• kształtem przypomina kształt fizycznej powierzchni Ziemi (nieregularna)

Quasigeoida – teoretyczna powierzchnia aproksymująca swobodny poziom mórz i oceanów w systemie wysokości normalnych. Praktyczna generalizacja geoidy, stanowiąca powierzchnię pomocniczą przy określaniu modelu Ziemi.

Własności:

• nie jest powierzchinią ekwipotencjalną

• jest to pow. wtórna w stosunku do systemu wys. normalnych-powstaje ze spadków wys. normalnej odmierzonych od fizycznej powierzchni Ziemi

• ma bardziej zróżnicowany kształt od geoidy

• leży bardzo blisko geoidy: Na obszarze mórz quasigeoida Mołodieńskiego pokrywa się z geoidą. na obszarach lądów odstępy w stosunku do geoidy nie przekraczają dwóch metrów – quasigeoida przebiega nad geoidą. W przypadku obszarów równinnych, odstępy w stosunku do geoidy nie przekraczają kilku centymetrów. W Polsce, na obszarach lądowych położonych do 750 m n.p.m., przedmiotowy odstęp mieści się w granicach 1-3 cm, dla obszarów położonych wyżej – mieści się w granicach 5 do 10 cm

Geop - powierzchnia ekwipotencjalna potencjału siły ciężkości na poziomie dowolnego punktu. Geopem na poziomie morza jest geoida. Geop - powierzchnia potencjału rzeczywistego.

• Wysokość geopu jest mierzona wzdłuż linii pionu

• Mierzona od powierzchni geoidy

• Wysokości punktów na tej samej powierzchni ekwipotencjalnej są sobie równe

12. W jaki sposób można zamienić wysokość z systemu ortometrycznego na wysokość z systemu normalnego?

Zamiana wysokości jest możliwa poprzez przyspieszenia używanych w definicji wysokości w tych systemach.

(G - pionowy gradient przyspieszenia siły ciężkości)

13. Wymień jakie wielkości należy pomierzyć a jaki obliczyć aby wyznaczyć wartość odstępu quasi-geoidy od geoidy (Temat 4).

Należy pomierzyć:

• φ, λ – współrzędne elipsoidalne,

• Hⁿ – wysokości normalne,

• g – wartość przyspieszenia siły ciężkości,

• G – pionowy gradient przyspieszenia siły ciężkości,

• R_T – poprawka topograficzna,

• σ – gęstość wierzchniej warstwy skorupy Ziemi/

Należy obliczyć:

• Ag_F – anomalie Fay’a na geoidzie dla przyspieszenia na elipsoidzie GRS80,

• Ag_B – anomalie Bouguera na geoidzie),

• I, II, III – trzy składniki wzoru na odstęp quasi-geoidy od geoidy (do tego należy policzyć γ - przeciętne przyspieszenie normalne w połowie wysokości normalnej/ortometrycznej)

14. Wyjaśnij za pomocą rysunku istotę poprawki pływowej do wyników niwelacji precyzyjnej.

Kąt zenitalny Z i azymut do Słońca / Księżyca α są wielkościami zmiennymi w czasie.

Chcemy, aby azymut kierunku wykonania niwelacji A był stały, ponieważ odcinek niwelacyjny, dla którego liczymy poprawkę powinien być prostoliniowy.

Wpływ Księżyca jest dwukrotnie większy niż wpływ Słońca (ze względu na dużo mniejszą odległość).

Poprawka do przewyższenia (s – odległość między stanowiskami):

15. Jakie dane są niezbędne do obliczenie dryftu grawimetru względnego ?

• czas pomiaru (t),

• odczyty z działki grawimetru (Og),

• stała grawimetru (k),

• wartość poprawki pływowej na punktach pomiaru (dg).

16a. W jaki sposób oblicza się dryft grawimetru statycznego i w jaki sposób uwzględnia się go w wynikach pomiaru przyspieszenia ?

1. obliczenie wartości przyspieszenia na podstawie odczytów i stałej grawimetru: g^′=O_g•k

2. obliczenie wartości przyspieszenia poprawionego o poprawkę pływową: g_i=g′_i+dg_i

3. obliczenie różnic przyspieszenia i przyrostów czasu na punktach powtórnego pomiaru:

g_i, j=g_j−g_i t_i, j=t_j−t_i

1. obliczenie dryftu na n punktach: $\mathbf{d =}\frac{\sum_{}^{}{\mathbf{g}_{\mathbf{i,j}}\mathbf{\bullet}\mathbf{t}_{\mathbf{i,j}}}}{\sum_{}^{}{\mathbf{t}_{\mathbf{i,j}}}^{\mathbf{2}}}$

2. obliczenie przyrostów czasu pomiaru na kolejnych punktach: t_i=t_i−t₁

3. obliczenie poprawek do przyspieszenia ze względu na dryft: g_i^d= − d•t_i

4. obliczenie przyspieszeń poprawionych o dryft: g_i^d=g_i+g_i^d

5. obliczenie różnic przyspieszeń: g_{i, i + 1}=g_i + 1^d−g_i^d

6. obliczenie średnich różnic przyspieszeń: g_s

16b. Zjawiska wykorzystywane do pomiaru przyspieszenia siły ciężkości i charakterystyka grawimetru względnego, absolutnego, nadprzewodnikowego i strunowego.

Zjawiska wykorzystane do pomiaru p.s.c.

• zjawisko swobodnego spadku ciała w polu siły ciężkości

• zjawisko wahadła fizycznego,

• zjawisko równoważenia siły ciężkości siłą sprężystości ciała stałego, gazu (deformacja ciał sprężystych)

• zjawiska naprężenia struny (drgania)

• zjawiska przemieszczania się przewodnika lub naładowanych cząstek w polu elektrycznym

• precesja giroskopu

• zakrzywienie powierzchni wirującej cieczy

GRAWIMETR WZGLĘDNY - celem jest wyznaczenie różnicy przyspieszeń między punktami na podstawie pomiarów p.s.c. na punktach:

GRAWIMETR ABSOLUTNY - celem jest wyznaczenie wartości p.s.c. w danym punkcie:

Promień światła pokonuje dwie drogi: jedna o stałej długości, druga zmienna, o długości zależnej od położenia przemieszczającego się w polu siły ciężkości pryzmatu. Pryzmat, przez który przechodzi ta część światła porusza się (swobodny spadek lub podrzut i spadek) w ruchu jednostajnie przyspieszonym (opóźnionym) z przyspieszeniem siły ciężkości (g).

Ruch pryzmatu kontrolowany jest przez rejestrację momentu (t) przejścia przez detektory rozmieszczone w znanych odległościach (s). Identyfikację promienia świetlnego realizowany jest interferometr.

Podstawowym równaniem opisującym ruch pryzmatu jest równanie drogi (s) w ruchu jednostajnie przyspieszonym/opóźnionym, ze znanymi wartościami czasu (t), prędkości początkowej (V0), drogi początkowej (s0).

Poszczególne konstrukcje grawimetrów balistycznych wykorzystujących spadek ciała różni sposób ruchu (spadek lub podrzut i spadek), długość drogi (s), liczba detektorów a także sposób wykorzystania (stacjonarny lub przenośny), masa, błąd wyznaczenia przyspieszenia.

GRAWIMETR NADPRZEWODNIKOWY:

GRAWIMETR STRUNOWY:

Do połowy lat 90. wykorzystywano grawimetry nadprzewodnikowe jako instrumenty stacjonarne tylko do rejestracji pływowych zmian siły ciężkości i wpływu ruchu biegunów Ziemi na grawitację.

Od 1995 r. produkuje się precyzyjne, przenośne grawimetry nadprzewodnikowe. Pojemnik chłodzący takiego instrumentu zawiera ciekły hel. W grawimetry tego typu wyposażone są liczące się na świecie obserwatoria pływowe.

17. Na czym polega niwelacja astronomiczno-geodezyjna i astronomiczno-grawimetryczna.

Niwelacja astronomiczna (astronomiczno-geodezyjna) – polega na wyznaczeniu przyrostów odstępów (dN) na podstawie znanych składowych (ξ,η) względem odchylenia linii pionu (θ) w punktach wybranego profilu i kierunku (α).

Niwelacja astronomiczno – grawimetryczna – metoda niwelacji, w której składowe odchylenia linii pionu wyznacza się przede wszystkim metodami grawimetrycznymi (odchylenie grawimetryczne). Umożliwia ona ograniczenie liczby punktów, w których wykonuje się obserwacje astronomiczne do wyznaczenia astronomicznego odchylenia linii pionu.

18. Ogólna charakterystyka polskiej osnowy grawimetrycznej.

Polska sieć grawimetryczna składa się z kilkudziesięciu punktów absoutnych (węzły sieci, punkty baz kalibracyjnych, dodatkowe punkty przy stacjach GNSS) i około 350 punktów uzupełniających (wyznaczenia względne) tworzacych niemal 700 przęseł o długości w zakresie 20-60km.cPomiary absolutne wykonano grawimetrami GABL, FG-5 JILAg-5 i ZZG a względene pomiary grawimetrami statycznymi L&R i Scintrex. W ramach sieci funkcjonują 2 południkowe bazy grawimetryczne zachodnia (Koszalin Książ) i centralan (Gdańsk-Kasporwy Wierch). Błąd średni po wyrównaniu = 0,014 mGal.

Obecnie do podstawowej sieci grawimetrycznej Polski włączone jest 12 stanowisk (min. Borowa Góra, Borowiec, Gdańsk, Ojców, Piwnice…), na których określono natężenie siły ciężkości różnymi typami instrumentów absolutnych. Każde stanowisko posiada 2 grawimetryczne punkty ekscentryczne, służące do kontroli stałości g na punkcie. W odniesieniu do wartości bezwzględnego przyspieszenia wyznacza się skalę przyrostów siły ciężkości na przęsłach obserwacji grawimetrami statycznymi. Krajowa sieć grawimetryczna tworzy układ zamkniętych poligonów. Są to trójkąty, czworoboki i pięciokąty. Na każdym prześle obserwacje wykonuje się jednocześnie kilkoma instrumentami. Pozwala to na eliminację skoków wskazań przyrządu pomiarowego. Obserwacje prowadzi się w kilku niezależnych rejsach, dzięki czemu eliminowany jest dryft grawimetrów, wpływu temperatury.

Kolejność pomiarów grawimetrami statycznymi: A-B-B’-A’-A’’-B’’ (podwójna pętla).

Obserwacje są wyrównywane ściśle. Wyrównanie to jest podobne do wyrównania podstawowej sieci niwelacyjnej.