1. Wstęp

Celem ćwiczenia było wyznaczenie współczynnika korelacji serii pomiarów napięcia termoelektrycznego w funkcji temperatury dla termoelementu typu K oraz obliczenie funkcji regresji. Dodatkowym celem było wyznaczenie charakterystyki przetwornika temperatur z termoelementu typu K oraz błędów systematycznych przetwornika.

Analiza korelacyjna pozwala określić zależności funkcyjne między zmiennymi. Często ta zależność jest liniowa, o której informuje współczynnik korelacji liniowej r:

$$r = \frac{\sum_{}^{}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)(y_{i} - \overset{\overline{}}{y})}{\sqrt{\sum_{}^{}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}\sum_{}^{}{(y_{i} - \overset{\overline{}}{y})}^{2}}}$$

Liczba r określa stopień zgodności punktów (x_i,y_i) z linią prostą i przyjmuje wartości z przedziału ⟨−1,1⟩. Gdy r jest bliskie ±1, to punkty są rozłożone wzdłuż pewnej prostej, jeżeli r jest bliskie 0, to punkty są nieskorelowane i nie wyznaczają prostej.

Jeżeli wyznaczony współczynnik korelacji potwierdza liniową zależność między danymi pomiarowymi dwóch wielkości fizycznych x oraz y, to można poprowadzić między punktami (x_i,y_i) prostą najlepiej do nich dopasowaną o równaniu y^′ = a + bx_i, gdzie współczynniki a oraz b wyrażają się równaniami:

$$b = \frac{\sum_{i = 1}^{N}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})(y_{i} - \overset{\overline{}}{y})}}{\sum_{i = 1}^{N}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}}$$

$$a = \overset{\overline{}}{y} - b\overset{\overline{}}{x}$$

Metoda analityczna inaczej nazywana się metodą regresji liniowej lub metodą najmniejszych kwadratów.

2. Stanowisko pomiarowe

W skład stanowiska pomiarowego wchodziły:

Piecyk Fluke: zakres temperatur 35°C - 375°C, rozdzielczość 0,1°C, błąd graniczny: ±0,25°C do temperatury 100°C, ±0,5°C do temperatury 375°C .

Multimetr Th1961: ustawiany zakres 100.0000 mV, rozdzielczość 0,1 µV, błąd graniczny w temperaturze 23±5°C: ±0,0065%wartości wskazywanej + 0,0045%zakresu .

Przetwornik temperatura – napięcie dla termoelementu typu K: zakres 0°C/0V - 400°C/10V

Woltomierz: ustawiany zakres 0 – 10V, rozdzielczość 0,1 V.

Na piecyku ustawialiśmy 50°C, 100°C, 150°C, 200°C, 250°C, 300°C i odczytywano na multimetrze wartość napięcia termoelektrycznego E/mV dla spoin odniesienia umieszonych w lodzie (t₀=0°C) i t₀ równym temperaturze otoczenia. Dla danej temperatury odnotowywano także wartości napięcia woltomierza U_i.

Rysunek 1. Schemat stanowiska pomiarowego.

3. Wyniki pomiarów

Poniższa tabela przedstawia wyniki pomiarów.

Tabela 1. Wyniki pomiarów.

temperatura piecyka	spoina w powietrzu	spoina w lodzie
tp	Epow	Elód
° C	mV	mV
50	1,368	1,961
100	3,376	4,067
150	5,455	6,135
200	7,411	8,162
250	9,482	10,172
300	11,532	12,231
350	13,605	14,316

4. Obliczenia i analiza niepewności pomiarowych

1) Błąd systematyczny obliczany ze wzoru:

_sE = E_pow − E_lod

Np.: _sE = 1, 368mV − 1, 961mV = −0, 593 mV

Tabela 2. Błąd systematyczny

Epow	Elód	sE
mV	mV	mV
1,368	1,961	-0,593
3,376	4,067	-0,691
5,455	6,135	-0,680
7,411	8,162	-0,751
9,482	10,172	-0,690
11,532	12,231	-0,699
13,605	14,316	-0,711

2) Współczynnik korelacji liniowej obliczono dla serii punktów pomiarowych (x_i,y_i), gdzie: x_i =  temperatura piecyka Fluke; y_i=napięcie termoelektryczne dla spoiny odniesienia w lodzie; $\overset{\overline{}}{x}$ oraz $\overset{\overline{}}{y}$ wartości średnie.

Tabela 3. Obliczanie współczynnika korelacji r.

		$$\overset{\overline{}}{x}$$	$$\overset{\overline{}}{y}$$
50	1,961	200	8,149	928,221	22500	38,293
100	4,067			408,214	10000	16,664
150	6,135			100,707	2500	4,057
200	8,162			0	0	0,001
250	10,172			101,142	2500	4,092
300	12,231			408,185	10000	16,663
350	14,316			925,028	22500	38,030
		Suma Σ:	2871,5	70000	117,797
		r	0,999981

Współczynnik korelacji r obliczono ze wzoru:

$$r = \frac{\sum_{}^{}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)(y_{i} - \overset{\overline{}}{y})}{\sqrt{\sum_{}^{}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}\sum_{}^{}{(y_{i} - \overset{\overline{}}{y})}^{2}}} = \frac{2871,5}{\sqrt{70000 \bullet 117,797}} = 0,999981 \approx 1$$

3) Dla tej samej serii punktów wyznaczono metodą funkcji regresji równanie analityczne charakterystyki E = a + bt.

Równanie prostej najlepszego dopasowania w postaci: y^′ = a + bx_i.

Tabela 4. Obliczenia współczynników a i b.

		$$\overset{\overline{}}{x}$$	$$\overset{\overline{}}{y}$$
50	1,961	200	8,149	928,221	22500
100	4,067			408,214	10000
150	6,135			100,707	2500
200	8,162			0	0
250	10,172			101,142	2500
300	12,231			408,185	10000
350	14,316			925,028	22500
		Suma Σ:	2871,5	70000
		B	0,041021
A	-0,05514

$$b = \frac{\sum_{i = 1}^{N}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})(y_{i} - \overset{\overline{}}{y})}}{\sum_{i = 1}^{N}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}} = \frac{2871,5}{70000} = 0,041021 \approx 0,041\ \frac{\text{mV}}{}$$

$$a = \overset{\overline{}}{y} - b\overset{\overline{}}{x} = 8,149 - 0,041 \bullet 200 = - 0,05514 \approx - 0,055\ \ \text{mV}$$

Stąd charakterystyka napięcia termoelektrycznego i temperatury wyraża się równaniem:

E = 0, 041t − 0, 055

Wykres 4. Charakterystyka napięcia termoelektrycznego w funkcji temperatury.

4) Niepewności standardowe współczynników a i b oraz y’:

Tabela 5. Tabela pomocnicza do obliczeń niepewności.

1,961	1,996	0,00122	22500
4,067	4,047	0,00040	10000
6,135	6,098	0,00136	2500
8,162	8,149	0,00017	0
10,172	10,200	0,00080	2500
12,231	12,251	0,00041	10000
14,316	14,302	0,00019	22500
Suma Σ:	0,00454	70000

• Niepewność współczynnika b:

$\frac{\text{mV}}{}$

Zatem $b = 0,041 \pm 0,002\frac{\text{mV}}{}$

• Niepewność współczynnika a:

mV

Zatem a = −0, 05514 ± 0, 0255 mV

• Niepewność y’

Gdzie: – wartość pomiaru, dla którego wyznacza się niepewność. Np. dla °C

E(x₀) = 0, 041 • 100 − 0, 055 = 4, 045 mV

Rzeczywista wartość napięcia termoelektrycznego dla 100 ^oC z tablic wynosi:

E_rz(x₀) = 4, 096  mV.

5) Charakterystyka napięcia uzyskanego z przetwornika (mierzonego woltomierzem) od temperatury na piecyku: U = f(t_p)

Wykres 2. Charakterystyka U=f(t_p).

Błąd systematyczny w punktach temperatury dla przetwornika:

	U	tU
	V			%
50	1,39	65,2	15,2	30,4
100	1,91	116,4	16,4	16,4
150	4,19	167,6	17,6	11,7
200	5,45	218,0	18	9,0
250	6,69	267,6	17,6	7,1
300	7,94	317,6	17,6	5,9
350	9,19	367,6	17,6	5,1

Z równania charakterystyki przetwornika (0°C/0V- 400°C/10V – charakterystyka liniowa) t = 400 ∙U10 obliczono temperaturę t_U dla napięcia odczytanego z woltomierza U:

Np.: dla U=1,63 V

Błąd systematyczny temperatury:

Np.:

Błąd systematyczny względny:

5. Wnioski

Ćwiczenie miało na celu wyznaczenie współczynnika korelacji dla serii pomiarów napięć termoelektrycznych w funkcji temperatury dla termoelementu typu K. Obliczona wartość dla współczynnika korelacji r jest bardzo zbliżona do 1. Potwierdza to liniowa zależność między temperaturą spoiny odniesienia w lodzie, a temperaturą piecyka. Graficznie jest zapisana jako:

E = 0, 041t0, 055.

Rzeczywista wartość napięcia E_rz(x₀) dla temperatury t₀ = 100^oC nie mieści się w granicach obliczonej niepewności.

Błąd systematyczny wzrasta wraz ze wzrostem temperatury piecyka, który jest różnicą między napięciem termoelektrycznym dla spoiny odniesienia w lodzie a napięciem dla spoiny odniesienia w powietrzu,.

Błąd systematyczny z punktów temperatury dla przewodników osiąga nawet 100% wraz ze spadkiem temperatury. Przedstawione dane pokazują, że przetwornik nie powinno się stosować do mierzenia małych temperatur.