Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie	Jan Muskała
Laboratorium Teorii Sterowania i Techniki Regulacji
Wydział: EAIiIB	Rok akademicki: 2012/2013	Rok studiów: II
Temat ćwiczenia: C 11 Analiza podstawowych układów dyskretnych
Data wykonania: 14.06.2013	Data zaliczenia:	Ocena:

Cel ćwiczenia

W trakcie zajęć laboratoryjnych zajmowaliśmy się obserwacją i analizą odpowiedzi odpowiednich członów dyskretnych na podany sygnał wymuszający. Miało to na celu zapoznanie się oraz analizę podstawowych układów dyskretnych. Badniu zostały poddane trzy człony : Opóźniające, Całkujące oraz opisane w postaci DZP oraz DTF.

Wstęp teoretyczny

Sygnał ciągły a dyskretny

t = n * T

w którym n to liczba całkowita dodatnia, a T jest stałą czasową dyskretyzacji oznaczającą odstęp czasowy między następnymi próbkami. Różnica między sygnałem ciągłym a dyskretnym bardzo dobrze jest widoczna na poniższym wykresie

Funkcja ciągła jest również przedstawiona jako zbiór wielu punktów w równych odstepach czasu. Dla każdej następnej chwili T, 2T, 3T, (…) przyporządkowana została wartość, jaką przyjmuje sygnał w danym momencie f(T), f(2T), f(3T), (…). Wszystkie pulsy znajdujące się na wykresie, a więc funkcję dyskretną możemy stabularyzować.

Opis matematyczny.

Wraz z dyskretyzacją sygnału musimy zacząć posługiwać się nowym opisem matematycznym. W przypadku sygnałów ciągłych była to Transformata Laplace’a. W przypadku sygnałów dyskretnych posługujemy się odpowiednikiem transformaty Laplace’a – transformatą Laurenta zwaną również „Z”. Matematycznie wyrażamy ją wzorem:

$$Z\left( z \right) = Z\left\lbrack f\left( \text{nT} \right) \right\rbrack \sum_{n = 0}^{\infty}{f\left( \text{nT} \right)*\ z^{- n}}$$

Jest to ogólny wzór transformaty Z. Na ogół w trakcie analizy nie obliczamy transformaty sygnału za każdym razem od podstaw, lecz korzystamy z gotowych tablic transformat zamieszczonych poniżej. Dla każdej funkcji ciągłej wyznaczona jest odpowiadająca jej funkcja dyskretna oraz transformata Z. Pod tabelą transformat zamieściłem kilka przykładowych sygnałów wraz z obliczeniami.

Przykład 1 – funkcja liniowa

Dyskretyzujemy funkcję liniową	f(t) = t => f(nT) = nT
Korzystamy z transformaty aby otrzymać:	Z[nT] = T z^−1 + 2 T z^−2 + 3 T z^−3 + …=              = T z^−1(1+2 z^−1+3z^−2+…)
Przy pomocy twierdzenia o transformacie wcześniejsze wyrażenie zwijamy w sumę:	$$F\left( z \right) = \ T\sum_{n = 0}^{\infty}{n*z^{- n}}$$
Z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potęgowego wiemy że:	$$\sum_{n = 0}^{\infty}{f'\left( x \right) =}(\sum_{n = 0}^{\infty}{f(x))'}$$
Otrzymaną sumę przekształcamy w następujący sposób	$${F\left( z \right) = \ T\sum_{n = 0}^{\infty}{n*z^{- n}} = \backslash n}{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = T\sum_{n = 0}^{\infty}{- n*\left( - z \right)*z^{- n - 1} =}}$$ $$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = - zT\sum_{n = 0}^{\infty}{- n*z^{- n - 1} =}$$ $$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = - zT\sum_{n = 0}^{\infty}{\left( z^{- n} \right)^{'}}$$
Wiemy że suma wyrażenia $\sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n}$ wynosi:	$$\sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{z^{2}} + ... = \frac{1}{1 + \frac{1}{z}} = \frac{z}{z - 1}$$
W efekcie otrzymujemy:	$$F\left( z \right) = \ - zT\left( \sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n} \right)^{'} = \backslash n$$ $= \ \frac{\text{Tz}}{{(z - 1)}^{2}}$

Przykład 2 – skok jednostkowy

Zapisujemy transformatę dla skoku jednostkowego	$$\ 1(Z) = 1 + z^{- 1} + z^{- 2} + z^{- 3} + \ldots = \sum_{n = 0}^{\infty}z^{- n}$$
Zauważamy, że jest to szereg geometryczny. Aby obliczyć sumę takiego szeregu korzystamy z wzoru
Ostatecznie otrzymujemy	$$\ 1(Z) = 1 + z^{- 1} + z^{- 2} + z^{- 3} + \ldots = \frac{1}{1 + \frac{1}{z}} = \frac{z}{z - 1}$$

Transmitancja dyskretna

Jest odpowiednikiem transmigancji G(s). Wyraża się ją jako stosunek sygnału wyjścia do dyskretnego sygnału wejścia. Podobnie jak w przypadku transformaty Laplace’a, możliwe jest przedstawienie jej w dwóch innych formach :

• Postać zero-biegunowa DZP(Discret Zero-Pole):

$$G\left( z \right) = \frac{k\left( z - z_{b1} \right)\left( z - z_{b2} \right)\ldots(z - z_{\text{bm}})}{\left( z - z_{a1} \right)\left( z - z_{a2} \right)\ldots(z - z_{\text{an}})}$$

gdzie:

z_b1 , z_b2 , ... – zera

z_a1 , z_a2 , ... – bieguny

• Postać dyskretna wymierna DTF(Discret Transfer Function):

$$G\left( z \right) = \frac{b_{m}z^{m} + b_{m - 1}z^{m - 1} + \ldots + b_{1}z + b_{0}}{a_{n}z^{n} + a_{n - 1}z^{n - 1} + \ldots + a_{1}z + a_{0}}$$

Aby ukazać czym jest transmitancja dyskretna, najprościej będzie posłużyć się przykładem rozważanym w trakcie zajęć:

Badany obiekt a zarazem jego właściwości nie są nam znane. Po podaniu na jego wejście sygnału x(n) na wyjściu możemy zaobserwować sygnał y(n). Transformaty Z tych sygnałów przyjmują postać :

X(z) = z⁻¹ ∖ n

Y(z) = z⁻² ∖ n

Zgodnie z definicją transmitancji Z, dla badanego obiektu przyjmuje ona postać :

$${G\left( z \right) = \frac{Y\left( z \right)}{X\left( z \right)} = \frac{z^{- 2}}{z^{- 1}} = \frac{1}{z}\backslash n}\backslash n$$

Część symulacyjna

Analiza członu opóźniającego

Za pomocą progamu Symulink tworzymy poniższy układ z członem opóźniającym. Następnie podajemy na wejście sygnał z generatora impulsów.

Sygnał obserwowany na oscyloskopach
Wejściowy

Wnioski:

Na podstawie przebiegów zarejestrowanych na ekranie oscyloskopów widzimy że badany obiekt opóźnia sygnał wejściowy względem wyjściowego o 1s. Potwierdza to poprawne działanie członu opóźniającego

Analiza członów opisanych w postaci DZP oraz DTF

DZP: Obserwacja odpowiedzi członu, którego transmitacja opisana jest czynnikowo polega na doprowadzeniu skoku jednostkowego na wejście układu. Przebieg odpowiedzi oraz sygnału wejściowego ukazany jest na oscylogramach.

Transmitancja ma postać : $G\left( z \right) = \ \frac{z - 1}{z(z - 0,5)}$ , gdzie zera : 1 a bieguny : 0; 0,5

Sygnał obserwowany na oscyloskopach
Wejściowy

Wnioski:

Opóźnienie czasu o 1s związane jest z obecnością zerowego bieguna transmitancji. Tak jak w poprzedniej analizie działa on jako człon opóźniający.

Jak widzimy po odpowiedzi układu, sygnał opada i daży do ustalenia się w zerze. Spowodowane jest sto różniczkowaniem z inercją. Czas tej operacji wiąże się z drugim biegunem transmitancji.

DTF: Kolejnie w układzie pomiarowym zamieniamy człon z transmitancją czynnikową na człon z transmitancją DTF. Jego parametry ukazane są na układzie poniżej.

Wnioski:
Odpowiedź układu jest taka sama jak w poprzednim przypadku. Jest to dowodem na równość transmitancji niezależnie od jej postaci.

DTF2: ostatnim badanym układem tej części będzie znowu układ DTF, lecz ze zmienionymi parametrami.

Transmitancja ma postać : $G\left( z \right) = \ \frac{1}{z + 0,5}$

Sygnał obserwowany na oscyloskopach
Wejściowy

Wnioski:

Odpowiedź układu wskazuje na zachowanie tego członu jak oscylacyjny o tłumionych oscylacjach. Licznik transmitancji wyznacza wzmocnienie na którego poziomie ustala się sygnał. Pierwiastek mianownika jest liczbą rzeczywistą ujemną, co wskazuje na stabilność układu. Oscylacje mają charakter mocno związany z wyrazem wolnym transmitancji.

Analiza członu całkującego

Celem tej części sprawozdania będzie analiza układu z obiektem całkującym (discret time integrator). Aby otrzymać jego transmitancję posłużymy się sygnałami które pojawiły się w wcześniejszych przykładach. Rozpoczynamy rozpatrując następujący układ:

Gdzie : x(n) = 1(n),        y(n) = n

Jak wiemy z przykładów, transmitancje sygnałów wynoszą odpowiednio : $X\left( z \right) = \ \frac{z}{z - 1}$ oraz $Y\left( z \right) = \frac{z}{\left( z - 1 \right)^{2}}$

Zgodnie z definicją, transmitancja dyskretna badanego układu to : $G\left( z \right) = \frac{Y\left( z \right)}{X\left( z \right)} = \frac{\frac{z}{\left( z - 1 \right)^{2}}}{\ \frac{z}{z - 1}} = \frac{1}{z - 1}$

Wyznaczona transmitancja jest charakterystyczna dla obiektu Discret Time Integrator (DTI) który przeprowadza operację całkowania dyskretnego.

Następnie budujemy układ z użyciem członu DTI a na jego wejście doprowadzamy generator impulsów i obserwujemy odpowiedź na oscylogramach.

Sygnał obserwowany na oscyloskopach
Wejściowy

Wnioski:

Stała całkowania została źle dobrana a czas próbkowania jest zbyt wielki (wynosi 1s). Jak widać całkowanie nie przebiega pomyślnie a na wyjściu obserwujemy sygnał o stałęj wartości równej 0. Badany obiekt nie „Trafia” w przedział czasu, w którym sygnał wejściowy jest niezerowy i nie całkuje poprawnie.

Po zmianie stałej całkowania na 0,1s, odpowiedź układu ulega zmianie i przyjmuje następującą postać :

Wnioski:

Jak widać zmiana stałej całkowania T_S miała pozytywny wpływ na obiekt. Całkowanie zostało przeprowadzone poprawnie, w chwilach dotarcia impulsu na wejście sygnał wyjściowy wzrasta i pozostaje na stałym poziomie. Symulacja ta pokazuje, że dobór stałej całkowania T_S (a więc licznika transmitancji) ma bardzo duży wpływ na poprawność działania układu.

Podsumowanie

W związku z coraz szerszym wykorzystaniem sygnałów dyskretnych wiedza zdobyta poprzez wykonanie tego ćwiczenia laboratoryjnego będzie szczególnie przydatna. Poznaliśmy opis matematyczny oraz własności sygnałów dyskretnych, a za pomocą programu Simulink wprowadziliśmy wiedzę w życie. Umożliwia on dokonywanie symulacji na schematach blokowych w bardzo prosty i klarowny sposób.