Ćwiczenie 29
Pomiary
Pomiary wysokości słupka wody podczas obniżania i podwyższania temperatury:
| Temperatura (˚C) | Wysokość wody w kapilarze gdy T↓ (cm) |
Wysokość wody w kapilarze gdy T↑ (cm) | Temperatura (˚C) | Wysokość wody w kapilarze T↓ (cm) | Wysokość wody w kapilarze gdy T↑ (cm) |
|---|---|---|---|---|---|
| 11 | 12,1 | 7,8 | 5,4 | 7,2 | 6,8 |
| 10,8 | 11,9 | 7,7 | 5,2 | 7,1 | 6,7 |
| 10,6 | 11,4 | 7,6 | 5 | 7 | 6,7 |
| 10,4 | 11,1 | 7,5 | 4,8 | 6,9 | 6,6 |
| 10,2 | 11 | 7,5 | 4,6 | 6,8 | 6,6 |
| 10 | 11 | 7,5 | 4,4 | 6,8 | 6,5 |
| 9,8 | 10,1 | 7,4 | 4,2 | 6,8 | 6,5 |
| 9,6 | 9,9 | 7,4 | 4 | 6,7 | 6,5 |
| 9,4 | 9,8 | 7,4 | 3,8 | 6,7 | 6,5 |
| 9,2 | 9,8 | 7,3 | 3,6 | 6,7 | 6,6 |
| 9 | 9,7 | 7,3 | 3,4 | 6,8 | 6,6 |
| 8,8 | 9,6 | 7,3 | 3,2 | 6,8 | 6,7 |
| 8,6 | 9,4 | 7,3 | 3 | 6,8 | 6,7 |
| 8,4 | 9,3 | 7,3 | 2,8 | 6,8 | 6,7 |
| 8,2 | 9,2 | 7,2 | 2,6 | 6,9 | 6,7 |
| 8 | 8,8 | 7,2 | 2,4 | 6,9 | 6,7 |
| 7,8 | 8,6 | 7,2 | 2,2 | 6,9 | 6,8 |
| 7,6 | 8,3 | 7,2 | 2 | 6,9 | 6,8 |
| 7,4 | 8,1 | 7,2 | 1,8 | 7 | 6,8 |
| 7,2 | 8 | 7,1 | 1,6 | 7 | 6,9 |
| 7 | 7,8 | 7,1 | 1,4 | 7 | 6,9 |
| 6,8 | 7,7 | 7,1 | 1,2 | 7 | 7 |
| 6,6 | 7,6 | 7 | 1 | 7 | 7 |
| 6,4 | 7,5 | 7 | 0,8 | 7,1 | 7 |
| 6,2 | 7,5 | 6,9 | 0,6 | 7,1 | 7 |
| 6 | 7,4 | 6,9 | 0,4 | 7,1 | 7 |
| 5,8 | 7,3 | 6,9 | 0,2 | 7,1 | 7,1 |
| 5,6 | 7,3 | 6,9 | 0,1 | 7,1 | 7,1 |
Przyrządy pomiarowe
-rurka włosowata o przekroju ϕ= 1, 7mm, wyskalowana co Δh=1mm
-termometr elektroniczny z sondą, dokładność pomiaru ΔT=0,1 ˚C
Opis doświadczenia
W kuwecie z chłodziwem – lodem z solą kuchenną – umieszczona jest kolba z próbką wody destylowanej. Kolba wyposażona jest w wyskalowaną rurkę włosowata oraz otwór, przez który wprowadzono sondę termometru elektronicznego. Kuweta umieszczona jest na mieszadle magnetycznym, by wywołać ruch wody w kolbie, a co za tym idzie, przyśpieszyć wymianę ciepła z chłodziwem. Zmiany objętości wody zadane są wzorem:
ΔV =$\frac{\pi}{4}\phi^{2}h$
gdzie ϕ to przekrój kapilary, a h to zmierzona zmiana wysokości słupka wody w kapilarze.
Powyższe schematy przedstawiają układ pomiarowy. W kuwecie przygotowano mieszaninę chłodząca – ok. 450g pokruszonego lodu z kilkoma łyżkami soli kuchennej. W zakorkowanej kolbie znajduje sie woda destylowana o objętości ok. Vk = 310cm3 oraz dipol mieszadła magnetycznego. Do kolby wprowadzona jest sonda termometru elektronicznego. W pierwszej fazie doświadczenia kolba umieszczona jest w kuwecie z chłodziwem, ustawionej
na mieszadle. Chłodziwo ma ujemna temperaturę, zatem temperatura wewnątrz kolby spada stopniowo aż do zera, kiedy to kolba zostaje wyciągnięta z kuwety. W miarę ochładzania sie kolby, zapisywana jest wysokość słupa wody w kapilarze w momentach, gdy wskazanie termometru chwilowo stabilizuje sie na wartościach co 0,2˚C. Następnie
kuweta zostaje zdjęta z mieszadła, zamiast niej umieszcza sie na nim kolbę – tym razem ogrzewana otaczającym powietrzem atmosferycznym. Do osiągnięcia temperatury 11˚C w ten sam sposób zapisywane zostają odczyty ze skali kapilary.
Opracowanie wyników pomiarów
Najmniejsza wysokość słupa wody (a zatem największa gęstość) odnotowano w trakcie ochładzania dla temperatur 4÷3,6˚C oraz w trakcie ocieplania dla temperatur 3,8 ÷ 4, 4˚C. Średnie arytmetyczne pomiarów w obu przypadkach są równe: $T_{1} = \frac{4 + 3,6}{2} = 3,8C$ oraz $T_{2} = \frac{3,8 + 4,4}{2} = 4,1C$ więc $T_{sr} = \frac{3,8 + 4,1}{2} = 3,95C$. $\frac{3,95}{4}*100\% = 98,75\%$
Zaś niepewności standardowe to:
$$u\left( T \right) = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}}$$
$$u\left( T_{1} \right) = \sqrt{\frac{1}{1\left( 1 - 1 \right)}({4 - 3,8)}^{2}} + \frac{1}{2\left( 2 - 1 \right)}({3,8 - 3,8)}^{2} + \frac{1}{3\left( 3 - 1 \right)}({3,6 - 3,8)}^{2} = \sqrt{0 + 0 + 0,0067} = 0,258 \approx 0,26$$
$$u\left( T_{2} \right) = \sqrt{\frac{1}{1\left( 1 - 1 \right)}({3,8 - 4,1)}^{2}} + \frac{1}{2\left( 2 - 1 \right)}({4 - 4,1)}^{2} + \frac{1}{3\left( 3 - 1 \right)}({4,2 - 4,1)}^{2} + \frac{1}{4\left( 4 - 1 \right)}({4,4 - 4,1)}^{2} = \sqrt{0,005 + 0,0017 + 0,0075} = 0,119 \approx 0,12$$
$$u\left( T_{sr} \right) = \sqrt{\frac{1}{1\left( 1 - 1 \right)}({3,8 - 3,95)}^{2}} + \frac{1}{2\left( 2 - 1 \right)}({4,1 - 3,95)}^{2} = \sqrt{0 + 0,01125} = 0,106 \approx 0,12$$
Zmiany objętości wody w zależności od temperatury obliczone ze wzoru: ΔV =$\frac{\pi}{4}\phi^{2}h$ wynoszą:
| Temperatura (˚C) | objętość przy T↓ (cm3) | objętość przy T↑ (cm3) | Temperatura (˚C) | objętość przy T↓ (cm3) | objętość przy T↑ (cm3) |
|---|---|---|---|---|---|
| 11 | 0,27 | 0,18 | 5,4 | 0,16 | 0,15 |
| 10,8 | 0,27 | 0,17 | 5,2 | 0,16 | 0,15 |
| 10,6 | 0,26 | 0,17 | 5 | 0,16 | 0,15 |
| 10,4 | 0,25 | 0,17 | 4,8 | 0,16 | 0,15 |
| 10,2 | 0,25 | 0,17 | 4,6 | 0,15 | 0,15 |
| 10 | 0,25 | 0,17 | 4,4 | 0,15 | 0,15 |
| 9,8 | 0,23 | 0,17 | 4,2 | 0,15 | 0,15 |
| 9,6 | 0,22 | 0,17 | 4 | 0,15 | 0,15 |
| 9,4 | 0,22 | 0,17 | 3,8 | 0,15 | 0,15 |
| 9,2 | 0,22 | 0,17 | 3,6 | 0,15 | 0,15 |
| 9 | 0,22 | 0,17 | 3,4 | 0,15 | 0,15 |
| 8,8 | 0,22 | 0,17 | 3,2 | 0,15 | 0,15 |
| 8,6 | 0,21 | 0,17 | 3 | 0,15 | 0,15 |
| 8,4 | 0,21 | 0,17 | 2,8 | 0,15 | 0,15 |
| 8,2 | 0,21 | 0,16 | 2,6 | 0,16 | 0,15 |
| 8 | 0,20 | 0,16 | 2,4 | 0,16 | 0,15 |
| 7,8 | 0,20 | 0,16 | 2,2 | 0,16 | 0,15 |
| 7,6 | 0,19 | 0,16 | 2 | 0,16 | 0,15 |
| 7,4 | 0,18 | 0,16 | 1,8 | 0,16 | 0,15 |
| 7,2 | 0,18 | 0,16 | 1,6 | 0,16 | 0,16 |
| 7 | 0,18 | 0,16 | 1,4 | 0,16 | 0,16 |
| 6,8 | 0,17 | 0,16 | 1,2 | 0,16 | 0,16 |
| 6,6 | 0,17 | 0,16 | 1 | 0,16 | 0,16 |
| 6,4 | 0,17 | 0,16 | 0,8 | 0,16 | 0,16 |
| 6,2 | 0,17 | 0,16 | 0,6 | 0,16 | 0,16 |
| 6 | 0,17 | 0,16 | 0,4 | 0,16 | 0,16 |
| 5,8 | 0,17 | 0,16 | 0,2 | 0,16 | 0,16 |
| 5,6 | 0,17 | 0,16 | 0,1 | 0,16 | 0,16 |
Wykresy przedstawiają zależności wysokości słupa wody w kapilarze oraz objętości wody od temperatury:
Względna zmiana gęstości pomiędzy temperaturami 10˚C i 4˚C wynosi:
$\frac{\rho_{10C} - \rho_{4C}}{\rho_{10C}} = 1 - \frac{\rho_{4C}}{\rho_{10C}} = 1 - \frac{V_{10C}}{V_{4C}} = 1 - \frac{{V_{\text{kΔ}}V +}_{10C}}{V_{k} + \text{ΔV}_{4C}} =$1-$\frac{V_{k} + \frac{\pi}{4}{\phi^{2}h}_{10C}}{V_{k} + \frac{\pi}{4}\phi^{2}h_{10C}}$=1-$\frac{300 + \frac{3,14}{4}*{0,17}^{2}*11}{300 + \frac{3,14}{4}*{0,17}^{2}*6,7} = 1 - \frac{300,24955}{300,15199} =$
1 − 1, 000325=-0,000325
Dokładności pomiarowe wysokości słupka i temperatury to odpowiednio Δh = 0, 1cm i ΔT = 0, 1˚C. Wynikające z nich niepewności standardowe to odpowiednio u(h) = $\frac{h}{\sqrt{3}} = 0,057\text{cm}$
oraz u(T) == $\frac{T}{\sqrt{3}} = 0,057C.$
Wnioski
Zgodnie z danymi zawartymi w literaturze, woda powinna osiągać swa najwyższą gęstość w temperaturze 4˚C, nasze dane doświadczalne dały wynik zaniżony o 1,25%, co uważam za wynik bardzo dobry jak na warunki laboratorium studenckiego. Jednak wykresy pomiarów niezupełnie wyglądają jak te z wzoru. Drobne rozbieżności mogły być spowodowane położeniem sondy termometru wewnątrz kolby –dotykała ona ścianki naczynia, przez co temperatura wskazywana przez termometr mogła być wyższa niż w środku kolby. Spaczone mogły być tez odczyty z podziałki na kapilarze – wprawdzie wyskalowana była co 1mm i taki tez powinien być maksymalny błąd, ale ścianki rurki były
bardzo grube, a zatem promienie światła doznawały większego przesunięcia w stosunku do pozornego miejsca widoczności powierzchni wody w słupku. Błąd wynikający z tego faktu zmieniał sie razem z położeniem oczu eksperymentatora, które z powodu długiego czasu trwania eksperymentu musiało sie zmieniać. Zmiany kata obserwacji wynikały również z niestabilnego umieszczenia kolby podczas pierwszej fazy doświadczenia – kolba
przekrzywiała sie w kuwecie z lodem i co pewien czas trzeba było ja przywracać do pionowego położenia.
Całe doświadczenie opiera sie na założeniu, ze próbka wody zawiera stała jej masę – zaś porównanie krzywych ochładzania i ocieplania pokazuje, ze warunek ten nie był spełniony. Na prawie całej rozpiętości temperatur wysokość słupka przy ocieplaniu jest sporo niższa od analogicznej wartości podczas ochładzania. Taka różnica
wysokości słupków oznacza też niewielką (-0,000325) różnicę objętości. Mogła być ona spowodowana parowaniem wody.