Nieliniowe układy regulacji

Układ nieliniowy- nazywa się układy regulacji opisane nieliniowymi równaniami różniczkowymi lub algebraicznymi

Jeżeli chociaż jeden z elementów układu jest nieliniowy to cały układ jest nieliniowy.

W układach nieliniowych nie obowiązuje zasada superpozycji.

Mówi ona że odpowiedź układu na wymuszenie będące kombinacją liniową wymuszeń jest równa kombinacji liniowej odpowiedzi na każde z wymuszeń oddzielnie.

W układach nieliniowych charakter przebiegów sygnałów wyjściowych(kształt,amplituda, szybkość zmian) zależy od amplitudy(poziomu) sygnałów wejściowych.

Układ może być nieliniowy statycznie lub dynamicznie –

To znaczy jego char. statyczna określająca wsp. wzmocnienia może nie być linią prostą lub/i przebieg zjawisk dynamicznych może mieć zależność nieliniową.

TU DOPISAC wzór

Układ liniowy ma stały współczynnik wzmocnienia niezależny od poziomu sygnału wejściowego. W praktyce idealizacja(linearyzacja) układu wejściowego są tworzone tak że pomijane są nieliniowości i budowane modele dynamiczne dla niewielkich odchyleń od punktu pracy. Zjawiska nieliniowe najczęściej uwzględniane są w modelu statycznym tworzonym dla szerokiego zakresu zmiennych. W przypadku rozpatrywania pracy układów dla dużych wahań sygnałów układy regulacji należy rozpatrywać jako nieliniowe(rozruch, odstawienie, duże zmiany wartości zadanej narzucone przez system nadrzędny). Duże znaczenie praktyczne posiada tzw. Analiza statyczna (wyznaczenie zastępczych charakterystyk statycznych dla różnorodnych struktur układu-szer,równ połączenie). Pozwala ona na określenie zakresu zmian sygnału w którym układ bądź jego część można traktować jako liniowe. Może ona umożliwić korekcję tych charakterystyk np. przez dobór odpowiedniej charakterystyki statycznej regulatora

TU DOPISAC rysunki

Nieliniowości występujące w układach regulacji mogą być dwojakiego rodzaju:

1)pasożytnicze spowodowane np. ograniczeniem zakresu , szybkości sygnału, luzami mechanicznymi, tarciem, nieczułością. Powodują one często trudne do przewidzenia efekty występujące w układzie regulacji: oscylacje, niedokładność działania, cykle graniczne, różne zachowanie w zależności od wartości wymuszeń.

2) nieliniowości wprowadzone celowo do układu wynikające z zasady działania tego układu np.:

-zabezpieczenia(ograniczenia prądu, mocy ograniczniki położenia)

-np. zasada działania algorytmów adaptacyjnych opiera się na sprzężeniach nieliniowych od sygnałów. Regulacja 2-położeniowa zawiera regulator o 2-stanowej charakterystyce statycznej

TU DOPISAC rysunki

Analiza i synteza układów nieliniowych jest trudna i nie prowadzi do uogólnień. Wymaga albo rozwiązań nieliniowych równań dynamiki albo stosowania konkretnych metod do konkretnych przypadków. Często wykorzystuje się symulacje komputerową. Metody analizy i syntezy:

-symulacja komputerowa-matlab,simulink, matcad, cc

- kolejnych przybliżeń (Kaczorek) pozwala na wyznaczenie przebiegu uchybu przy coraz większym uwzględnieniu nieliniowości

- przestrzeni fazowej(płaszczyzny)

- Lapunowa I-pośrednia II-bezpośrednia Ocena stabilności x=0

-oparta na kryterium Popova

-funkcji opisującej (uproszczona). Wykrycie cykli granicznych i parametrów cykli

Elementy analizy statycznej-wyznaczenie statycznych charakterystyk zastępczych

1) szeregowe(łańcuchowe) połączenie członów nieliniowych

TU DOPISAC rysunek

Procedury wyznaczania charakterystyk zastępczych:

1.Wykreślamy we wspólnym układzie współrzędnych charakter f₁ i f₂.

2. Rysujemy prostą P nachyloną pod kątem45⁰ do „przenoszenia sygnału”

dla wyznaczania kolejnych punktów char. wypadkowej należy:

3. Przyjąć jakąś wartość sygnału wejściowego np. x₁.

4. odczytać wartość na wyjściu np. z1 (członu f₁)

5. Podać tę wartość na drugi element i odczytać odpowiedz y₁.

6. Przecięcie x₁ i y₁ wyznacza 1 punkt charakter. wypadkowej P₁

Inne punkty powtarzając procedurę

UWAGA: przestawienie kolejności członów zamienia charakterystykę.

2) równoległe

TU DOPISAC rysunek

3) ze sprzężeniem zwrotnym

TU DOPISAC rysunek

Stabilność nieliniowych UAR:

Badanie stabilności układów nieliniowych przeprowadza się w oparciu o definicję stabilności Lapunova

Def. Punkt równowagi x_o układu sterowania w n-wymiarowej przestrzeni stanu nazywamy stabilnym jeżeli dla dowolnego otoczenia ε stanu równowagi można dobrać takie otoczenie η tego punktu, że cała trajektoria rozpoczynająca się z η będzie zawierała się wewnątrz obszaru ε

TU DOPISAC rysunek

1.Punkt równowagi jest wyliczany z nie ma ruchu w układzie dynamicznym

2. Układ sterowania opisany jest w otoczeniu punktu równowagi układem równań Xi=f(x1,x2,x3,…,xn) n- rząd układów

n równań różniczkowych I rzędu

i=1,2..n Trajektoria – krzywa stanu po której porusza się układ

3.η- otoczenie (obszar) warunków początkowych może mieć dowolny kształt

4.η- jeśli jest ograniczone to stabilność będzie lokalna, jeśli nieograniczone to stabilność globalna

5.Jeżeli trajektoria x(t) dla t dążącego do nieskończoności dąży do punktu równowagi x₀ to stabilny asymptotycznie. Jeśli nie dąży do x₀ to nieasymptotyczny.

W odróżnieniu od układów liniowych, nieliniowe mogą posiadać wiele punktów równowagi w otoczeniu których mogą mieć różne właściwości.

Badanie stabilności nieliniowych UAR:

1.metoda Lapunowa - I metoda pośrednia

- II metoda bezpośrednia

2.Kryterium Popova

1.I metoda Lapunowa – Polega ona na badaniu stabilności punktów równowagi układu nieliniowego przez badanie jego przybliżeń liniowych w tych punktach.

Jeżeli dokona się przesunięcia początku układu wsp. stanu do punktu równowagi, rozwinie każdą funkcję określającą współrzędną stanu (fi) w szereg Taylora i odrzuci część nieliniową (resztę) to układ sterowania w otoczeniu punktu równowagi będzie opisany:

:

:

Te same co jest to przybliżenie liniowe. i, j=1,2 …n n- rząd równania

- pochodna szybkości zmian

Z Taylora wylicza się współczynniki /x=0

Odrzucamy nieliniowe współczynniki (linearyzacja w punkcie równowagi)

Tw. Jeżeli przybliżenie liniowe(2) lub (3) jest stabilne asymptotycznie to układ nieliniowy jest stabilny asymptotycznie w punkcie Jeżeli przybliżenie liniowe(2) lub (3) jest niestabilne asymptotycznie to układ w punkcie równowagi jest niestabilny.

UWAGI:

1.Tą metodą nie można zbadać czy układ nieliniowy jest stab. czy też nie w punkcie równowagi jeżeli przybliżenie liniowe jest stabilne ale nie asymptotycznie.

2.Ta metoda określa stabilność lokalną i nie daje odpowiedzi jak duży jest obszar stabilności.

2. II metoda Lapunowa

Polega na rozpatrywaniu pełnego opisu układu nieliniowego, doborze i badaniu pewnej funkcji zwanej f. LAPUNOWA.

Tw. Jeżeli w obszarze D zawierającym początek układu wsp. stanu układu sterowania i będącego punktem równowagi istnieje skalarna funkcja

od wsp. stanu dodatnio określone tzn:

a) ^{-funkcja ciągłą wraz z 1 pochodną}

b)V()=0

c)(dodatnio określona)

i taka że jej pochodna względem czasu jest ujemnie określona w tym obszarze tzn. spełnia warunek a) i b) oraz

(V z kropką na górze) to układ nieliniowy opisany w przestrzeni stanu jest stabilny asymptotycznie w obszarze D.

Jeżeli pochodna (V z kropką na górze) jest ujemnie półokreślona w obszarze tj.

to układ nieliniowy jest w obszarze D stabilny ale niekoniecznie asymptotycznie.

Funkcję Lapunowa przyjmuje się taka aby spełniała w/w założenia. Nie jest to łatwe, najczęściej przyjmuje się formą kwadratową.

TU DOPISAC wzór

2) Nie istnieje ogólna metoda doboru funkcji Lapunowa

3) Ponieważ V(x)=(dv/dx) *x (V i x z kropką) więc warunek na pochodną zawiera w sobie dynamikę układu

4) Funkcja V jest dobierana w zależności od typu równania stanu x

Metoda POPOVA:

Wykorzystuje się do badania układów sterowania ze stabilnymi częściami liniowymi i statycznym elementem nieliniowym

Cześć nieliniowa powinna być ograniczona 0<=f(e)/e<=k (1)

TW. Jeżeli w G(s) wszystkie bieguny mają części rzeczywiste ujemne to UAR jak na rysunku zawierający statyczny element nieliniowy spełniający warunek (1)

jest stabilny asymptotycznie w obszarze nieograniczonym pod warunkiem, że wykres zmodyfikowanej charakterystyki amplitudowo-fazowej A-F

G(jω)= U(ω)+jV(ω) U(ω)=P(ω)

(G(jω)=P(ω)+jQ(ω) ) V(ω)=ωQ(ω)

Część liniowa leży na prawo od co najmniej jednej prostej przechodzącej przez punkt U=-1/k, V=0

Jeżeli część liniowa ma 1 biegun zerowy to musi być spełniony dodatkowo:

TU DOPISAC rysunek

Operatorowa metoda kolejnych przybliżeń:

Metoda pozwala w uproszczony sposób analizować pracę układu zawierającego jednoznaczną i niejednoznaczną nieliniowość statyczną. Polega na wyznaczaniu kolejnych przybliżeń przebiegu uchybu uwzględniających coraz wpływ nieliniowości.

Punktem wyjścia rozważań jest schemat blokowy układu regulacji:xDane: x_o f(e) G(s) H(s)
Założenie: x₀ - wymuszenie
f(e) – powinna dać przekształcić się do struktury zawierającej człon proporcjonalny f(e)=f₁(e)+ke (nie zawsze się da)

TU DOPISAC rysunek

Korzystając z teorii przekształceń Laplace’a z definicji transmitancji można napisać


Transf. uchybu

Eo(s) – transformata Laplace’a uchybu zlinearyzowanego, tzw zerowe przybliżenie przebiegu uchybu



Procedura jest przerywana, jeżeli przebieg kolejnego przybliżenia niewiele różni się od poprzedniego

Metoda funkcji opisujących

Metod częstotliw. nie można stosować do układów nieliniowych, gdyż nie ma dla nich związków funkcyjnych pomiędzy przebiegami czasowymi a char. częstotliwościowymi. Przy założeniu, że część liniowa układu regulacji jest filtrem dolnoprzepustowym(tłumi wyższe harm) można opisać własności dynamicznie członu nieliniowego, przy pomocy tak jakby odpowiednika transmitancji widmowej tzw FUNKCJI OPISUJĄCEJ

f(e) -przybliżenie w postaci funkcji opisującej

Funkcja opisująca.

Funkcja opisująca członu nieliniowego nazywamy stosunek wartości zespolonej amplitudy 1 Harmonicznej odpowiedzi wywołanej wymuszenie sinusoidalnym w stanie ustalonym do wartości zespolonej amplitudy tego wymuszenia. B –pierwsza harmoniczna

e(t)=Asin

Jeżeli wymuszenie e(t) będzie sinusoidalne to na wyjściu członu o char. statycznej f(e) sygnał x-wyjściowy będzie okresowy ale nie sinusoidalny. X= f(e)

TU DOPISAC rysunek

Przefiltrować harmoniczne i zostawić 1-ą

Ten odkształcony sygnał sinusoidalny na wyjściu członu nieliniowego można rozłożyć w szereg Fouriera

TU DOPISAC wzory

Jeżeli charakterystyka x=f(e) (nieliniowa) jest symetryczna to B₀ =0. Jeżeli część liniowa jest filtrem dolnoprzepustowym wtedy możemy rozpatrywać tylko pierwszą harmoniczną wtedy x(t)=B₁sin +C₁cos

Człon nieliniowy traktujemy jako przybliżoną transformatę widmową.

Metoda funkcji opisowej pozwala na uproszczoną analizę układu nieliniowego . Można wykryć przy jej pomocy czy w jej układzie nastąpi cykl graniczny (stabilność nieasymptotyczna). Wyrażenia określające funkcję opisującą dla typowych nieliniowości można wyliczyć ze wzoru definicyjnego lub odczytać z tablic.

Przykład: Wyznaczyć funkcję opisującą przekaźnika 2-położeniowego bez histeryzy

Badanie nieliniowych UAR przy pomocy funkcji opisującej:

1) Zastępujemy element nieliniowy funkcją opisującą i traktujemy ją jako odpowiednik transmitancji widmowej

TU DOPISAC rysunek

2) Warunek powstania drgań (cyklu granicznego) wynika ze znanej zależności

G(jw)*J(A,w)+1=0 – równanie charakterystyczne układu zamkniętego

Można go zapisać jako warunek

G(jw)=-1/J(A,w)

Wykreślając na płaszczyźnie zmiennej zespolonej przebieg charakt. Nyquista części liniowej oraz krzywą -1/J(A,w) szuka się punktu ich przecięcia, który określa amplitudę i pulsację drgań harmonicznych występujących w układzie.

TU DOPISAC rysunek

Jeśli się przetną to jest cykl graniczny

Metoda funkcji opisującej wykorzystywana jest w regulatorach mikroprocesorowych do automatycznego doboru nastaw algorytmu (autotuning) PID. Na czas eksperymentu identyfikacyjnego włączany jest przekaźnik i mierzone parametry drgań uchybu, na podstawie których z tablic dobiera się nastawy według Zieglera-Nicholsa

METODA PŁASZCZYZNY FAZOWEJ

Metodę stosuje się w przypadku gdy charakt. statyczna elementu nieliniowego może być aproksymowana odcinkami prostymi oraz gdy część liniowa jest układem II rzędu. Rozpatruje się UAR o strukturze

TU DOPISAC rysunek

W przypadku zmienności uchybu, którym odpowiadają prostoliniowe odcinki charakt. statycznej można stosować metody analizy znane z układów liniowych. Metoda płaszczyzny fazowej polega na badaniu zachowania się układu w czasie na tzw. płaszczyźnie fazowej określonej przez współrzędne

TU DOPISAC rysunek

Czas jest parametrem trajektorii fazowej (rodziną trajektorii fazowych). Wybrana chwila czasu określa 1 punkt trajektorii (tzw. punkt opisujący). Przy zmianie czasu (upływie czasu) punkt opisujący kreśli na płaszczyźnie fazowej trajektorie fazową, która pokazuje zachowanie się układu. Każdemu prostoliniowemu odcinkowi charakt. statycznej odpowiadają pewne obszary płaszczyzny fazowej podzielone przez tzw. linie przełączeń . Kształt trajektorii fazowej umożliwia dokonanie oceny właściwości badanego układu nieliniowego.