Temat: Wyznaczanie współczynnika prężności powietrza przy pomocy termometru gazowego

1. Opis doświadczenia

1.1. Wstęp teoretyczny

1.1.1. Model gazu doskonałego

Zbudowany z cząsteczek jednoatomowych, cząsteczki są w ciągłym chaotycznym ruchu.

Cząsteczki oddziaływają na siebie tylko podczas zderzeń, a zderzenia te są doskonale sprężyste.

Objętość cząsteczek jest znikoma w stosunku do objętości gazu.

1.1.2. Równanie stanu gazu doskonałego

Opisane jest przez równanie Clapeyrona i przedstawia zależność między ciśnieniem gazu p, jego objętością V, temperaturą T i ilością n wyrażoną w molach.

	pV = nRT	1.1

gdzie R jest stałą gazową.

1.1.3. Prawo Charles'a

Jest jednym z praw gazowych o treści: ciśnienie gazu w stałej objętości zwiększa się o stały ułamek ciśnienia tego gazu, zmiennego w temperaturze 0°C przy wzroście temperatury o 1° C.

	$$p = p_{0}(1 + \frac{t}{273})$$	1.2

gdzie:

• p – ciśnienie gazu,

• p₀ - ciśnienie gazu w temperaturze 0°C,

• t – temperatura w skali Celsjusza.

1.1.4. Sposoby pomiaru temperatury

• pomiar dotykowy – czujnik (termometr) styka się z obiektem, którego temperaturę chcemy zmierzyć,

• pomiar bezdotykowy – poprzez pomiar parametrów promieniowania elektromagnetycznego przez rozgrzane ciało (promieniowanie cieplne).

1.1.5. Skale temperatury

• Celsjusza,

• Fahrenheita,

• Kelvina,

• Rankine'a.

1.1.6. Zasada działania termometru gazowego

Wykorzystywane jest zjawisko rozszerzalności termicznej gazu. Pomiar temperatury odbywa się za pomocą czujnika, który składa się z kapsuły wypełnionej gazem, kapilaru i elementu sprężystego (rurka Bourdona). Zmiana temperatury medium powoduje powstanie wewnętrznego ciśnienia, co jest mierzone przez układ z rurką Bourdona. Zmiany temperatury otoczenia są wyrównywane z wykorzystaniem układu bimetalicznego znajdującego się wewnątrz termometru.

Temperaturę wyznacza zależność (przy V = constans):

	$$T = T_{\text{wz}}(\frac{p}{p_{\text{wz}}})$$	1.3

gdzie:

• T_wz - temperatura wzorca,

• p_wz - ciśnienie wzorca,

• T – temperatura gazu,

• p – ciśnienie gazu.

1.1.7. Przemiany gazowe

• izotermiczna – jest to przemiana, w której w stałej temperaturze zmianie ulega ciśnienie i objętość gazu,

	p1V1 = p2V2	1.4

	$$\frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{V_{1}}{V_{2}}$$	1.5

	Q + W = 0	1.6

	U = 0	1.7

• izobaryczna – w tej przemianie bez zmian pozostaje ciśnienie gazu,

	$$\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}}$$	1.8

	U = Q − |W|	1.9

• izochoryczna – w tej przemianie stała jest objętość,

	$$\frac{p_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{2}}{T_{2}}$$	1.10

	U = Q	1.11

• adiabatyczna – jest to przemiana, w której nie zachodzi wymiana ciepła z otoczeniem.

	U = W	1.12

2. Pomiary i opracowanie wyników

2.1. Cel doświadczenia

Celem doświadczenia było wyznaczenie prężności powietrza przy pomocy termometru

gazowego.

2.2. Przebieg pomiarów

Woda w zbiorniku powinna zostać schłodzona do temperatury 0°C, jednak taki wynik nie został osiągnięty (za mało lodu) i pomiary zaczęto wykonywać od temperatury wody, która wynosiła 5°C.

Odczytano i spisano z barometru wartość ciśnienia atmosferycznego, które ego dnia wynosiło 768 [mm Hg]. Doprowadzono rtęć w manometrze do zetknięcia z kolcem i zakręcono kurek.

Wykonano serię 20 pomiarów. Podgrzewano wodę w zbiorniku za pomocą palnika gazowego. Za każdym razem, kiedy temperatura wzrastała o 5°C od wartości poprzedniej, przed spisaniem pomiaru, ponownie doprowadzano poziom rtęci w manometrze do zetknięcia z kolcem.

Ostatni pomiar został przeprowadzony w temperaturze wody która wynosiła 100°C.

2.3. Wyniki pomiarów

Wyniki serii dwudziestu pomiarów prezentuje tabela nr 1.

Tabela 1.

Lp.	Temperatura kąpieli wody	Odczyty z manometru	Ciśnienie powietrza w zbiorniku p = pA ± h
		Ramię prawe	Różnica poziomów
1.	2	304
2.	7	321	17
3.	12	335	14
4.	17	352	17
5.	22	370	18
6.	27	381	11
7.	32	393	12
8.	37	405	12
9.	42	419	14
10.	47	430	11
11.	52	447	17
12.	57	456	9
13.	62	474	18
14.	67	486	12
15.	72	501	15
16.	77	514	13
17.	82	528	14
18.	87	538	10
19.	92	557	19
20.	97	567	10
21.	100	570	3

Natomiast wykres zależności ciśnienia od temperatury prezentuje wykres nr 1.

Wykres 1.

Posługując się prawem Charlesa:

	p(t) = po(1 + αt)	2.1

gdzie:

• y = p_(t)

• x = t

• a = αp₀

• b = p₀

• n – liczba punktów pomiarowych (par x_iy_i) = 20

oraz korzystając z analizy regresji liniowej można obliczyć a = ∝p₀ i b = p₀.

W tym celu wykorzystuję następujące wzory:

	$$a = \frac{n\sum_{}^{}{x_{i}y_{i} - \sum_{}^{}{x_{i}\sum_{}^{}y_{i}}}}{n\sum_{}^{}{x_{i}^{2} - (\sum_{}^{}{x_{i})}}}$$	2.2

	$$b = \frac{\sum_{}^{}{y_{i} - a\sum_{}^{}x_{i}}}{n}$$	2.3

Trzeba obliczyć jeszcze odchylenie standardowe dla współczynników a i b, do tego niezbędne będą wzory:

	$$S_{a}^{2} = \frac{n}{n - 2}*\frac{\sum_{}^{}y_{i}^{2} - a\sum_{}^{}{x_{i}y_{i} - b\sum_{}^{}y_{i}}}{n\sum_{}^{}{x_{i}^{2} - (\sum_{}^{}{x_{i})}}}$$	2.4

	$$S_{b}^{2} = S_{a}^{2}*\frac{\sum_{}^{}x_{i}^{2}}{n}$$	2.5

Obliczone wartości współczynników:

a	b
2,709709	780,496039

Obliczone niepewności:

Sa	Sb
0,000452	1,626549

Wartości współczynników po uwzględnieniu niepewności:

a = 2, 70971 ± 0, 00042

b = 780, 496039 ± 1, 626549

Dzięki otrzymanym wynikom można obliczyć współczynnik prężności powietrza, przy pomocy wzoru:

	$$\alpha = \frac{a}{b}$$	2.6

Po podstawieniu wartości współczynników do wzoru otrzymujemy:

$$\alpha = 0,003472\lbrack\frac{1}{}\rbrack$$

Wartość tablicowa współczynnika prężności powietrza wynosi$\ \alpha = 0,003605\ \left\lbrack \frac{1}{} \right\rbrack.$

Obliczam odchylenie standardowe dla a korzystając ze wzoru:

	$$\alpha = a*\frac{1}{b} + b*\frac{a}{b^{2}}$$	2.7

$$\alpha = 0,003472 \pm 2,7309E - 05\ \lbrack\frac{1}{}\rbrack$$

Na samym końcu obliczam współczynnik korelacji liniowej r. Żeby to obliczyć, trzeba skorzystać ze wzoru:

	$$r = \frac{n\sum_{}^{}{x_{i}y_{i} - \sum_{}^{}{x_{i}\sum_{}^{}y_{i}}}}{\sqrt{\lbrack n\sum_{}^{}{x_{i}^{2} - (\sum_{}^{}{x_{i})\rbrack*\lbrack n\sum_{}^{}{y_{i}^{2} - (\sum_{}^{}{y_{i})\rbrack}}}}}}$$	2.8

Po podstawieniu wartości do wzoru otrzymano wynik r = 0, 999416.

3. Wnioski.

3.1. Interpretacja wykresu.

Na podstawie wykresu można wywnioskować, że ciśnienie wzrasta wraz z temperaturą.

3.2. Porównanie uzyskanych wyników z wartościami z tablic.

Otrzymana wartość współczynnika prężności powietrza jest bardzo zbliżona do wartości tablicowej. Ta niewielka różnica może wynikać z drobnych pomyłek podczas odczytywania temperatury wody i poziomu rtęci w manometrze.

Prócz ostatniego wyniku, wszystkie stykają się z krzywą regresji. Ostatni wynik to błąd statystyczny, który mógł zostać spowodowany przez:

• niejednoczesne odczytanie wyników z termometru oraz manometru,

• zbyt długie, od czasu odczytania temperatury, ustawianie poziomu rtęci tak, aby zetknął się z kolcem,

• ustawienie poziomu rtęci, która miała się stykać z kolcem, trochę inaczej niż przy poprzednich pomiarach (staraliśmy się ustawiać go tak, jak przy pierwszym pomiarze, jednak nie mógł to być zawsze idealnie identyczny poziom).