Automatyka – dyscyplina zajmująca się podstawami teorii i praktyczną realizacją urządzeń sterujących pracujących bez udziału człowieka lub z ograniczonym jego udziałem.

Sterowanie – oddziaływanie mające na celu zapewnienie pożądanego przebiegu procesu (wytwórczego).

Regulacja – sterowanie w układzie zamkniętym.

Problemy automatyki: co sterujemy, czym sterujemy (PLC, komputery przemysłowe), jak sterujemy.

Wzór na residuum: $\text{re}s\left\lbrack \text{Fbl}e^{s^{'}} \right\rbrack = \frac{1}{\left( \alpha_{i} - 1 \right)!}\ lim\{\frac{d^{\alpha 1}}{d_{s}^{\alpha - 1}}\left\lbrack \left( s - s_{i} \right)^{\alpha_{i}}F\left( s \right)e^{\text{st}} \right\rbrack\}$, α_i – krotność biegunu.

Wzory Eulera: $sinat = \frac{e^{\text{ajt}} - e^{- ajt}}{2j}$; $\cos at = \frac{e^{\text{ajt}} + e^{- ajt}}{2j}$; $sinat = \frac{a}{s^{2} + a^{2}}$; a=1.

Regulator – urządzenie, które poprzez odpowiednią zmianę sygnału sterującego, zapewnia pożądane zachowanie się obiektu. Wyznacza sygnał uchybu regulacji i przetwarza go w sygnał sterujący.

Korektor – jednorazowo zaprojektowany bierny element dynamiczny. Włączany do UAR do poprawy jego właściwości.

Podział regulatorów ze wzgl. na właściwości dynamiczne algorytmu:

- proporcjonalne P,

- całkujące I,

- proporcjonalno całkujące PI,

- proporcjonalno różniczkujące PD,

- proporcjonalno całkująco różniczkujące PID.

Czas zdwojenia –określa szybkość zmian sygnału wyjściowego przy stałej wartości sygnału uchybu; jest to czas, po którym sygnał wyjściowy regulatora PI osiąga (po wymuszeniu skokowym) dwukrotnie większą wartość niż miałoby to miejsce w regulatorze typu P. Liczbowo czas zdwojenia jest równy stałej czasowej całkowania członu całkującego. Im dłuższy czas zdwojenia ustawiony na regulatorze, tym słabsze jest działanie akcji całkującej. Nastawienie na regulatorze czasu zdwojenia równego ∞ jest równoznaczne z wyłączeniem akcji całkującej.

Warunek konieczny, dostateczny stabilności: Układ dynamiczny (np.UAR) o równaniu charakterystycznym Mzam(s) = lo(s) + Mr(s) = 0, jest stabilnym asymptotycznie, wtedy i tylko wtedy, jeżeli wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego lezą w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej S.

Układ impulsowy, który ma równanie w postaci M(z) = a_n^′zⁿ + a_n − 1^′z^n − 1 + … + a_n^′z + a^′₀ = 0, jest stabilny wtedy i tylko wtedy, jeżeli wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego (powyżej) leżą wewnątrz okręgu jednostkowego na płaszczyźnie z.

Kryteria stabilności:

1) Kryteria algebraiczne – pozwalają na ocenę stabilności układu dynamicznego na podstawie współczynników równania charakterystycznego: Hurwitza (dla ciągłych impulsowych), Routha.

2) Kryterium wykreślne: Nyquista, Bodego (logarytmiczne).

Kryterium Nyquista: pozwala na analizę stabilności układu zamkniętego na podstawie przebiegu charakterystyki amplitudowo – fazowej układu otwartego. Kryterium może służyć do syntezy układu regulacji, czyli doboru typu i nastaw (parametrów) regulatora lub korektora, gdyż pozwala na ocenę tzw. Zapasu stabilności.

Zapas wzmocnienia ∆m – jest to liczba, która mówi ile razy może wzrosnąć wzmocnienie układu otwartego, aby układ zamknięty znalazł się na granicy stabilności.

Statyczny układ regulacji – jest takim układem jeżeli występuje w nim uchyb ustalony od stałych sygnałów zewnętrznych.

Astatyczny układ regulacji – jest takim układem ze względu na wybrany sygnał zewnętrzny, jeżeli tzw. Uchyb położeniowy (od stałego sygnału) = 0.

Układ otwarty - Pozytywna cechą takiego układu sterowania jest oczywiście prostota, natomiast wadą jest duża czułość na zakłócenia i zmiany obiektu sterowania w czasie. Zamknięty układ (UAR) - wpływ wszelkich zakłóceń i zmian samego obiektu są kompensowane w wyniku działania pętli ujemnego sprzężenia zwrotnego. Wadą układu zamkniętego bez pomiaru zakłóceń jest reakcja urządzenia sterującego dopiero po pojawieniu się symptomów zakłócenia w sygnale Y. Całkowite wyeliminowanie wpływu zakłóceń na sygnał wyjściowy obiektu możliwy jest tylko w przypadku pomiaru zakłóceń i uwzględnienie ich w algorytmie sterowania.

Charakterystyka skokowa przedstawia przebieg sygnału wyjściowego układu w stanie nieustalonym. Wraz z charakterystyką impulsową oraz charakterystykami częstotliwościowymi stanowi podstawowy opis działania układu.

UAR

Wskaźniki oceny jakości regulacji

1. wskaźniki dokładności statycznej układów,

2. wskaźniki zapasu stabilności, (odległość od granicy stabilności układu)

3. wskaźniki szybkości działania, (szybkośćreagowania układu na wymuszenia)

4. wskaźniki całkowe (sąocenąjednoczesnąwartości uchybu regulacji w stanie ustalonymi szybkości działania układu).

Nieliniowe układy regulacji

Układ nieliniowy- nazywa się układy regulacji opisane nieliniowymi równaniami różniczkowymi lub algebraicznymi

Jeżeli chociaż jeden z elementów układu jest nieliniowy to cały układ jest nieliniowy.

W układach nieliniowych nie obowiązuje zasada superpozycji.

Mówi ona że odpowiedź układu na wymuszenie będące kombinacją liniowej odpowiedzi na każde z wymuszeń oddzielnie.

Układ może być nieliniowy statycznie lub dynamicznie –

To znaczy jego char. Statyczna określająca wsp. wzmocnienia może nie być linią prostą lub przebieg zjawisk dynamicznych może mieć zależność nieliniową.

Procedury wyznaczania charakterystyk zastępczych:

1.Wykreślamy we wspólnym układzie współrzędnych charakter f₁ i f₂.

2. Rysujemy prostą P nachyloną pod kątem45⁰ do przenoszenia sygnału”

dla wyznaczania kolejnych punktów char. Wypadkowej należy:

3. Przyjąc jakąś wartość sygnału wejściowego np. x₁.

4. odczytać wartość na wyjściu np. =1 (człon f₁).

5. Podać tę wartość na drugi element i odczytać odpowiedz y₁.

6. Przecięcie x₁ i y₁ wyznacza 1 punkt charakter. Wypadkowej P₁

Inne punkty powtarzająć procedurę

UWAGA: przestawienie kolejności członów zamienia chraterystykę.

Stabilność nieliniowych UAR:

Def. (wg LAPUNOWA) Punkt równowagi x_o układu sterowania w n-wymiarowej przestrzeni stanu nazywamy stabilnym jeżeli dla dowolnego otoczenia ε stanu równowagi można dobrać takie otoczenie η tego punktu, że cała trajektoria rozpoczynająca się z η bęzie zawierała się wewnątrz obszau ε

1.Punkt równowagi jest wyłączony z $\dot{\text{x\ }} = 0\ $nie ma ruchu

2. Układ sterowania opisany jest w otoczeniu punktu równowagi układem równań

Xi=f(x1,x2,x3,…,xn) n- rząd układów

Trajektoria – krzywa stanu po której pousza się układ

3.η- otoczenie (obszar) warunków początkowych może mieć dowolny krztałt

4.η- jeśli jest ograniczone to stabilność będzie lokalna, jeśli nieograniczone stab. globalna

Częstotliwościowe wskaźniki jakości:

- zapas fazy ∆φ=π+φ(ω₁),

- zapas modułu ∆K=1/|K(ω_π)|,

- wskaźnik nadążania M(ω)=|[K(jω)]/[1+ K(jω )]|,

Metoda Zieglera-Nicholsa stała się niemal standardową procedurą doboru nastaw regulatora. W wielu przypadkach zapewnia dobrą jakość regulacji, a jej podstawową zaletą jest prostota. Nastawy obliczone metodą Z-N są często traktowane jako wartości wzorcowe, z którymi porównuje się nastawy obliczone innymi metodami. Pomimo dużej popularności metody Z-N otrzymywane w wyniku jej zastosowania wartości nastaw należy traktować jedynie jako pierwsze racjonalne przybliżenie. Dla wielu układów obliczone tą metodą wartości nastaw nie są najlepsze. Aby obliczyć wartości nastaw regulatora PID metodą Z-N, należy wyznaczyć wartość współczynnika wzmocnienia krytycznego Kkr (tj. na granicy stabilności). Znając transmitancję obiektu regulacji, wzmocnienie krytyczne najłatwiej znaleźć drogą analityczną (np. za pomocą kryterium Hurwitza lub metodą bezpośredniego podstawienia). W przypadku nieznanej transmitancji obiektu pozostaje metoda doświadczalna: nastawia się regulator na działanie proporcjonalne i zwiększa wzmocnienie doprowadzając układ do granicy stabilności. W stanie oscylacji należy zmierzyć ich okres Pkr (czas trwania jednego cyklu). Znając wartości Kkr oraz Pkr i posługując się zależnościami z tabeli można obliczyć wartości nastaw dla trzech podstawowych typów regulatora (tj P, PI oraz PID). Nastawy te zapewniają współczynnik tłumienia wynoszący ¼.

Regulator - jeden z elementów składających się na obwód regulacji. Zadanie regulatora polega na wygenerowaniu odpowiedniego sygnału sterującego, aby obiekt regulowany w jak najkrótszym czasie osiągał wartość zadaną. Regulator służy do doprowadzenia obiektu do żądanego stanu lub poprawy niekorzystnych cech obiektu regulowanego. Regulator może np. poprawić dynamikę obiektu regulowanego. Błędne użycie może prowadzić do niestabilności obwodu regulacji.

Własności regulatorów liniowych

Części sygnału wyjściowego z regulatora:

• Składowa proporcjonalna (P) – powoduje zmniejszenie błędów statycznych, zmniejsza czas regulacji

• Składowa całkująca (I) – całka z sygnału uchybu; likwiduje całkowicie błędy statyczne, znacznie wydłuża czas regulacji, może spowodować wyjście poza granicę stabilności

• Składowa różniczkująca (D) – pochodna z sygnału uchybu; występuje tylko w stanach przejściowych, powoduje zmniejszenie czasu regulacji przez przyspieszenie początkowej fazy procesu przejściowego

• Nastawy regulatora: KP, TI, TD

Dobór regulatorów liniowych

• Zmniejszenie błędu statycznego - regulator typu P

• Likwidacja błędu statycznego, wydłużenie czasu reakcji, dobra jakość przy zakłóceniach o małych częstotliwościach - regulator typu PI

• Zmniejszenie błędu statycznego, skrócenie czasu reakcji, gorsza jakość przy mniejszych częstotliwościach, wzmocnienie szumów przetwornika pomiarowego - regulator typu PD

• Likwidacja błędu statycznego, skrócenie czasu reakcji- regulator typu PID

Orientacyjny dobór regulatorów

W przypadku obiektów statycznych można posłużyć się stosunkiem zastępczego czasu opóźnienia do zastępczej stałej czasowej:

• T0/ T < 0,1 – obiekt łatwy do regulacji – może być zastosowana regulacja dwustawna,

• 0,1 < T0/ T < 0,2 – obiekt nieco trudniejszy – dla obiektów o niewielkich zmianach obciążenia można stosować regulację dwustawną z korekcją w sprzężeniu zwrotnym, w innych przypadkach należy stosować regulatory ciągłe PI lub PID,

• 0,2 < T0/ T < 0,7 – obiekty trudne do regulacji – należy stosować regulatory ciągłe lub krokowe PI lub PID,

• 0,7 < T0/ T – obiekty bardzo trudne do regulacji - stosuje się regulatory impulsowe lub regulatory specjalne (z predyktorami).

Czas wyprzedzenia - określa właściwości różniczkujące regulatora i jest liczbowo równy stałej czasowej różniczkowania. Różniczkowanie powoduje wprowadzenie do sygnału wyjściowego regulatora składnika proporcjonalnego do szybkości zmian uchybu, więc w przypadku stałej szybkości zmian uchybu sygnał wyjściowy regulatora ulega jak gdyby wyprzedzeniu w stosunku do składnika proporcjonalnego w sygnale regulatora. Im dłuższy czas wyprzedzenia, tym intensywniejsze jest działanie akcji różniczkującej regulatora. Nastawienie czasu różniczkowania na wartość 0 jest równoznaczne z wyłączeniem akcji różniczkującej.

$$u\left( t \right) = \frac{1}{T_{i}}\int_{0}^{t}{e\left( t \right)\text{dt}}$$

sygnał sterujący ze stałą całkowania jest proporcjonalny do całki z błędu

T_i – stała całkowania / czas całkowania

Regulator typu D

$$u\left( t \right) = T_{d}\frac{\text{de}(t)}{\text{dt}}$$

T_d – stała różniczkowania / czas różniczkowania

G_D(s) = T_d • s

$$u\left( t \right) = k_{p}\left\lbrack e\left( t \right) + \frac{1}{T_{i}}\int_{0}^{t}{e\left( t \right)\text{dt}} \right\rbrack$$

$$G_{\text{PI}}\left( s \right) = k_{p}(1 + \frac{1}{T_{i}s})$$

k_p, T_i, T_d – nastawy regulatora

$$u\left( t \right) = k_{p}\left\lbrack e\left( t \right) + T_{d}\frac{\text{de}\left( t \right)}{\text{dt}} \right\rbrack$$

G_PD(s) = k_p(1 + T_ds)

$$u\left( t \right) = k_{p}\left\lbrack e\left( t \right) + \frac{1}{T_{i}}\int_{0}^{t}{e\left( t \right)\text{dt}} + T_{d}\frac{\text{de}\left( t \right)}{\text{dt}} \right\rbrack$$

$$G_{\text{PID}}\left( s \right) = k_{p}(1 + \frac{1}{T_{i}s} + T_{d}s)$$

ALGEBRA SCHEMATÓW BLOKOWYCH

1. POŁĄCZENIE SZEREGOWE

$$G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{U(s)} = ?$$

Y₁(s) = U(s)•G₁(s)

Y₂(s) = Y₁(s)•G₂(s)

...

Y_n(s) = Y_n − 1(s) • G_n(s) = Y(s)

Y₂(s) = U(s) • G₁(s) • G₂(s)

Y(s) = Y_n(s) = U(s) • G₁(s) • G₂(s) • … • G_n(s)

$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{U\left( s \right)} = G_{1}\left( s \right) \bullet G_{2}\left( s \right) \bullet \ldots \bullet G_{n}\left( s \right)$$

2. POŁĄCZENIE RÓWNOLEGŁE

Y(s) = Y₁(s) + Y₂(s) + … + Y_n(s)

Y(s) = U(s) • G₁(s) + U(s) • G₂(s) + … + U(s)•G_n(s)

Y(s) = U(s) • [G₁(s)+G₂(s)+…+G_n(s)]

$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{U\left( s \right)} = G_{1}\left( s \right) + G_{2}\left( s \right) + G_{3}\left( s \right) + \ldots + G_{n}\left( s \right)$$

3. SPRZĘŻENIE ZWROTNE

Y(s) = E(s)•G₁(s)

Y(s) = [U(s)±G₂(s)•Y(s)] • G₂(s)

Y(s) = U(s)G₁(s) ± G₁(s)G₂(s)Y(s)

Y(s) ∓ G₁(s)G₂(s)Y(s) = U(s)G₁(s)

Y(s)[1∓G₁(s)G₂(s)] = U(s)G₁(s)

$$G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{G_{1}(s)}{1 \mp G_{1}\left( s \right)G_{2}(s)}$$

OPIS MATEMATYCZNY UKŁADÓW AUTOMATYCZNEJ REGULACJI

y(t) – sygnał regulowany (wyjściowy)
y₀(t) – wartość zadana (sygnał wejściowy)
e(t) – błąd regulacji; e(t)=y₀(t)-y_s(t); y_s(t)=y(t)
u(t) – sygnał sterujący d(t) – zakłócenie
y_s(t) – wartość mierzona sygnały wyjściowego

Y(s) = E(s) • G_r(s) • G₀(s) + D(s)G_d(s)

E(s) = Y₀(s) − Y(s)•G_s(s)

Y(s) = [Y₀(s)−Y(s)•G_s(s)]G_r(s) • G₀(s) + D(s)G_d(s)

Y(s) = Y₀(s) • G_r(s) • G₀(s) −  Y(s) • G_r(s) • G₀(s) • G_s(s) + D(s)G_d(s)

Y(s)[1+G_r(s)•G₀(s)•G_s(s)] = Y₀(s) • G_r(s) • G₀(s) + D(s)G_d(s)

$Y\left( s \right) = \frac{G_{r}\left( s \right) \bullet G_{0}\left( s \right)}{1 - G_{r}\left( s \right) \bullet G_{0}\left( s \right) \bullet G_{s}\left( s \right)}Y_{0}\left( s \right) + \frac{G_{d}(s)}{1 + G_{r}\left( s \right) \bullet G_{0}(s) \bullet G_{s}\left( s \right)}D\left( s \right)$ - ogólne równanie UAR

dla D(s)=0: $G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{Y_{0}(s)} = \frac{G_{r}\left( s \right) \bullet G_{0}\left( s \right)}{1 - G_{r}\left( s \right) \bullet G_{0}\left( s \right) \bullet G_{s}\left( s \right)}$

E(s) = Y₀(s) − Y(s) • G_s(s) = Y₀(s) − [E(s)•G_r(s)•G₀+D(s)•G_d(s)]G_s(s)

E(s) = Y₀(s) −  E(s) • G_r(s) • G₀ • G_s(s) −  D(s) • G_d(s) • G_s(s)

E(s)[1+G_r(s)•G₀•G_s(s)] = Y₀(s) − G_s(s) • G_d(s) • D(s)

$E\left( s \right) = \frac{1}{1 + G_{r}\left( s \right) \bullet G_{0} \bullet G_{s}\left( s \right)} \bullet Y_{0}\left( s \right) - \frac{G_{s}\left( s \right) \bullet G_{d}\left( s \right)}{1 + G_{r}\left( s \right) \bullet G_{0} \bullet G_{s}\left( s \right)} \bullet D\left( s \right)$

$$D\left( s \right) = 0 = > \ G_{e}\left( s \right) = \frac{E\left( s \right)}{Y_{0}\left( s \right)} = \frac{1}{1 + G_{r}\left( s \right) \bullet G_{0} \bullet G_{s}\left( s \right)}$$

STABILNOŚĆ UKŁADÓW AUTOMATYCZNEJ REGULACJI

1. Jeżeli w odpowiedzi na impuls o skończonej amplitudzie i skończonym czasie trwania (sygnał) układ powraca do poprzedniego stanu ustalonego to układ jest nazywany stabilnym asymptotycznie.

2. Jeżeli po wymuszeniu impulsem o skończonej amplitudzie i skończonym czasie trwania układ dąży do nowego stanu ustalonego to jest to układ stabilny.

3. Jeżeli w odpowiedzi na impuls o skończonej amplitudzie i skończonym czasie trwania układ (sygnał) nie dąży do wartości stanu ustalonego to jest to układ niestabilny.

Ogólne kryterium stabilności:

Liniowy układ automatycznej regulacji jest stabilny asymptotycznie jeżeli wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego M(s)=0 lężą w lewej półpłaszczyźnie zespolonej z wyłączeniem osi urojonej.

$$G\left( s \right) = \frac{b_{m}s^{m} + b_{m - 1}s^{m - 1} + \ldots + b_{1}s + b_{0}}{a_{n}s^{n} + a_{n - 1}s^{n - 1} + \ldots + a_{1}s + a_{0}} = \frac{L\left( s \right)}{M\left( s \right)}$$

Kryterium Hurvitza – metoda zastępcza określania stabilności

1. $\bigwedge_{iN}^{}{a_{i} > 0}$

2. wartość wszystkich podwyznaczników
Δ _n-1, Δ_n-2, ... , Δ₁ >0 i Δ_n= Δ_H>0
Przykład

M(s) = a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀

1. a₃, a₂, a₁, a₀ >0

2. $H = \left| \begin{matrix} a_{2} & a_{3} & 0 \\ a_{0} & a_{1} & a_{2} \\ 0 & 0 & a_{0} \\ \end{matrix} \right| > 0$

$$_{2} = \left| \begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ a_{0} & a_{1} \\ \end{matrix} \right| = a_{2}a_{1} - a_{0}a_{3}$$

H=₂ • a₀

Kryterium Nyguista

Jeżeli układ otwarty jest stabilny to będzie on również stabilny po jego zamknięciu jeżeli charak. amplitudowo-fazowa układu otwartego nie obejmuje punktu (-1, j₀)

Zapas stabilności

1. Zapas amplitudy (modułu) ΔL – jest to krotność o jaką musiałoby wzrosnąć wzmocnienie przy niezmiennym argumencie (przesunięciu fazowym) układu otwartego, aby układ zamknięty znalazł się na granicy stabilności.

2. Zapas fazy Δϕ – jest to wartość zmiany argumentu ϕ układu otwartego przy niezmiennym wzmocnieniu, która doprowadziłaby układ zamknięty do granicy stabilności.

Ocena jakości regulacji

1. stabilność układu

2. dokładność statyczna

3. dokładność dynamiczna

Kryterium całkowe

1. I₁ = ∫₀^te(t)dt

2. I₂ = IAE = ∫₀^t|e(t)|dt

3. I₃ = ISA = ∫₀^te²(t)dt