ZADANIA MATURALNE – CIĄGI LICZBOWE

WYMAGANIA EGZAMNIACYJNE:

• Wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym

• Badanie czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczne

• Stosowanie wzorów na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego, również umieszczone w kontekście praktycznym

Zadanie 1.

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n=(-1)ⁿ dla n=1,2,3… ^. Oblicz a₂, a₄ i a₅.

Zadanie 2.

Pan Kowalski planując wyjazd na wakacje letnie w następnym roku postanowił założyć lokatę, wpłacając do banku 2000 zł na okres jednego roku. Ma do wyboru trzy rodzaje lokat:

• Lokata A – oprocentowanie w stosunku rocznym 5%, kapitalizacja odsetek po roku,

• Lokata B – oprocentowanie w stosunku rocznym 4,8%, kapitalizacja odsetek co pół roku,

• Lokata C – oprocentowanie w stosunku rocznym 4,6%, kapitalizacja odsetek co kwartał.

Oceń, wykonując odpowiednie obliczenia, która lokata jest najkorzystniejsza dla Pana Kowalskiego.

Zadanie 3.

W ciągu arytmetycznym dane są wyrazy: a₃=4, a₆=19. Wyznacz wszystkie wartości n, dla których wyrazy ciągu a_n są mniejsze od 200.

Zadanie 4.

Rozwiąż równanie (2x+1)+(2x+4)+(2x+7)+……+(2x+28)=155, jeśli wiadomo, że składniki po lewej stronie są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego.

Zadanie 5.

Liczby:1,3,x-11, w podanej kolejności, są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba x jest równa:

A. 5 B. 9 C. 16 D. 20

Zadanie 6.

Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy (-2). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. 16 B. -16 C. 8 D. -8

Zadanie 7.

Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a piaty wyraz tego ciągu jest równy 1. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. 4 B. 4 C. 16 D. 16

Zadanie 8.

Ciąg a_n jest określony wzorem a_n=(-1)ⁿ(n²-2n) dla n1. Wtedy:

A. a₃>3 B. a₃=3 C. a₃<2 D. a₃=2

Zadanie 9. (2 pkt)

Liczby x-2, 3, x+6 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciagu arytmetycznego. Oblicz x.

Zadanie 10.

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=(-3)ⁿ· (9-n²) dla n1. Wynika stąd, że

A. a₃=-81 B. a₃=-27 C. a₃=0 D. a₃>0

Zadanie 11.

Liczby x-1, 4, 8 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego . Wówczas liczba x jest równa:

A. 3 B. 1 C. -1 D. -7

Zadanie 12.

Liczby -8, 4, x+1 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba x jest równa:

A. -3 B. -1,5 C. 1 D. 15

Zadanie 13. (2pkt)

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg określony wzorem: a_n=n²-2n-24 dla n1?

Zadanie 14. (2pkt)

Liczby 2, x-3, 8 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x. odp: x=7

Zadanie 15. (2pkt)

Wyrazami ciągu arytmetycznego (a_n) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2. Ponadto a₃=12. Oblicz a₁₅. odp: a₁₅=72

Zadanie 16. (5pkt)

Liczby a, b, c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 93. Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz a, b, c. odp: a=13, b=15, c=75 lub a=31, b=31, c=31

Zadanie 17. (5pkt)

Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, piaty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Odp: a_n=2 lub a_n=3n-7

Zadanie 18.

W ciągu geometrycznym drugi wyraz jest równy (-2), a trzeci wyraz (-18). Iloraz tego ciągu jest równy:

A. -9 B. -3 C. 3 D. 9

Zadanie 19.

Piaty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 17, a różnica tego ciągu jest równa (-2). Drugi wyraz tego ciągu jest równy:

A. 9 B. 11 C. 23 D. 25

Zadanie 20. (5pkt)

Ciąg (a, b, c) jest arytmetyczny i a+b+c=33. Ciąg (a, b+3, c+13) jest geometryczny. Oblicz a, b, c.

Zadanie 21. (2pkt)

Wykaż, że dla każdego m ciąg () jest arytmetyczny.

Zadanie 22.

Dla n=1,2,3,…ciąg (a_n) jest określony wzorem: a_n=(-1)ⁿ · (3-n). Wtedy:

A. a₃<0 B. a₃=0 C. a₃=1 D. a₃>1

Zadanie 23.

W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz jest równy 14, a jedenasty jest równy 34. Różnica tego ciągu jest równa:

A. 9 B. C. 2 D.

Zadanie 24.

W ciągu geometrycznym (a_n) dane są: a₁=32 i a₄=-4. Iloraz tego ciągu jest równy

A. 12 B. C. - D. -12

Zadanie 25.

W ciągu arytmetycznym (a_n) dane są: a₃=13 i a₅=39. Wtedy wyraz a₁ jest równy:

A. 13 B. 0 C. -13 D. -26

Zadanie 26.

W ciągu geometrycznym (a_n) dane są: a₁=3 i a₄=24. Iloraz tego ciągu jest równy:

A. 8 B. 2 C. D. -,0

Zadanie 27.

Liczby x, 5, 10 w podanej kolejności są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:

A. 2,5 B. 5 C. 10 D. 0

Zadanie 28.

W ciągu arytmetycznym o różnicy 4 siódmy wyraz wynosi 33. pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. 5 B. 9 C. 29 D. 132

Zadanie 29. (6pkt)

Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny, w którym środkowy wyraz jest równy 8. Wyznacz długości boków trójkąta, oblicz jego pole oraz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 30. (2pkt)

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym . Sprawdź, czy istnieje wyraz tego ciągu równy 1,6.

Zadanie 31. (2pkt)

Suma dziesięciu wyrazów początkowych pewnego ciągu geometrycznego o ilorazie q=2 wynosi 431. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zadanie 32. (2pkt)

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym: .

1. Którym wyrazem tego ciągu jest liczba 1?

2. Ile wyrazów dodatnich ma ten ciąg?

Zadanie 33. (2pkt)

Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym a₃=7 i a₁₃-a₉=20

Zadanie 34. (2pkt)

Piłka odbijając się od ziemi osiąga za każdym razem wysokość wynoszącą poprzedniej. A za trzecim razem wysokość 54 cm. Na jaką wysokość odbiła się piłka za pierwszym razem?

Zadanie 35. (2pkt)

Wykaż, że ciąg a_n=5 · 2ⁿ⁺¹ jest geometryczny.

Zadanie 36. (4pkt)

Wyznacz wyraz ogólny ciągu a_n, jeśli suma n początkowych jego wyrazów wyraża się wzorem: S_n=3n²+4n.

Zadanie 37. (4pkt)

Liczby (4, x, y) tworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugą liczbę zwiększymy o 1, a trzecią zwiększymy o 3, to otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz liczby x i y.

Zadanie 38. (2pkt)

Mama Stasiowi kieszonkowe: w pierwszym miesiącu otrzyma 3 zł, a w każdym następnym o 2 zł więcej niż w poprzednim. W którym miesiącu Staś otrzyma 61 zł?

Zadanie 39. (2pkt)

Balon wzniósł się w pierwszej minucie na wysokość 8m, a w każdej następnej minucie wznosił się 2 razy wolniej niż w poprzedniej. Po jakim czasie balon osiągnie wysokość 15m?

Zadanie 40. (2pkt)

Pierwszy odcinek łamanej na długość 3 cm, a każdy następny jest 2 razy dłuższy od poprzedniego. Z ilu odcinków składa się łamana, jeśli ma ona długość 765 cm?

Zadanie 41. (2pkt)

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym . Uzasadnij, ze jest to ciąg arytmetyczny.

Zadanie 42. (5pkt)

O liczbach a, b, c wiemy, że ciąg (a, b, c) jest arytmetyczny i a+c= 10 , zaś ciąg

(a+1,b+4,c+19) jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

Zadanie 43. (5pkt)Wyznacz wszystkie wartości k ∈ R , dla których pierwiastki wielomianu

W(x) = (x² − 8x +12)⋅(x − k) są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu

geometrycznego.

Zadanie 44. (3pkt)

Udowodnij, że jeżeli ciąg (a,b, c) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny,

to a=b=c.

Zadanie 45. (6pkt)

Dany jest ciąg arytmetyczny ( a n) dla n ≥1, w którym a 7= 1, a 11= 9.

a) Oblicz pierwszy wyraz a 1 i różnicę r ciągu (a n).

b) Sprawdź, czy ciąg jest geometryczny.

c) Wyznacz takie n, aby suma n początkowych wyrazów ciągu (a n) miała wartość

najmniejszą.

Zadanie 46. (5pkt)

Zadanie 47. (5pkt)

Zadanie48.(4pkt)

Zadanie49.(5pkt)

Zadanie50.(5pkt)

Zadanie51.(5pkt) Ciąg (a,b,c) jest geometryczny i a+b+c= 26 , zaś ciąg (a−5,b−4,c−11) jest

arytmetyczny. Oblicz a , b , c .

Zadanie52.(2pkt) Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 26, a suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 70. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zadanie53.(5pkt) Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Ich suma jest równa 15. Jeżeli pierwszą i trzecią liczbę pozostawimy bez zmian, a drugą pomniejszymy o jeden, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz wyrazy ciągu arytmetycznego.

Zadanie54.(2pkt) Zadanie55.(5pkt) Wyznacz pierwsze trzy wyrazy ciągu geometrycznego wiedząc, że są one dodatnie, ich suma jest równa 21 oraz suma ich odwrotności jest równa .