SPIS TREŚCI:

Dane materiałowe…………………………………………………………………………2

1. Dach………………………………………………………………………………………..2

1.1.1 Płyta łukowa………………………………………………………………………….2

1.1.2 Belka wezgłowiowa…………………………………………………………………26

1.1.3 Ściąg…………………………………………………………………………………42

1.2 Słupy

2.1 Strop nad kondygnacją II

2.1.1 Płyta stropowa

2.1.2 Podciągi

2.1.2.1 Podciągi w osi x

2.1.2.2 Podciągi w osi y

2.2 Słupy

2.2.1 Słupy zewnętrzne

2.2.2 Słupy wewnętrzne

2.3 Schody

3.1 Strop nad kondygnacją II

3.1.1 Płyta stropowa

3.1.2 Podciągi

3.1.2.1 Podciągi w osi x

3.1.2.2 Podciągi w osi y

3.2 Słupy

3.2.1 Słupy zewnętrzne

3.2.2 Słupy wewnętrzne

3.3 Schody

3.4 Belka podwalinowa

4.1 Stopy fundamentowe

4.1.1 Stopy zewnętrzne

4.1.2 Stopy wewnętrzne

Warunki geometryczne sprawdzono wg:

J. Kobiak W. Stachurski ’Konstrukcje żelbetowe’ Tom 3, Arkady, Warszawa 1989, str.244

K. Grabiec ’Konstrukcje betonowe’ Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1992, str.401

c) Parametry przekrojowe

pole przekroju w zworniku

Ac = ar ⋅ h1

A = 2,25 ⋅ 0,10 = 0,225 m 2

moment bezwładności w zworniku

pole przekroju w wezgłowiu

Ar = ar ⋅ h2

A = 2,25 ⋅ 0,13 = 0,2925 m 2

moment bezwładności w wezgłowiu

równanie osi łuku

równanie pochodnej osi łuku

d) Zebranie obciążeń Obciążenie ciężarem własnym
płyta żelbetowa	0,10
razem [kN/m^2]
na jednostkę długości [kN/m]
Obciążenie ciężarem własnym dopełniającym 2 x papa na lepiku	2
szlichta cementowa	0,03
ocieplenie - styropian	0,08
warstwa wyrównawcza - cementowa	0,03
razem [kN/m^2]
na jednostkę długości [kN/m]
Obciążenie śniegiem wg PN-80/B-02010 obciążenie charakterystyczne gruntu (II strefa)
współczynnik kształtu dachu
razem [kN/m^2]
na jednostkę rozpiętości [kN/m]
Obciążenie wiatrem wg PN-77/B-02011 charakterystyczne ciśnienie prędkości wiatru (II strefa)
współczynnik ekspozycji
współczynnik działania porywów wiatru
razem [kN/m^2]
na jednostkę długości [kN/m]

W dalszych obliczeniach obciążenie wiatrem pominięto z uwagi na fakt, że daje ono na większości obszarów działanie ssące (odciążające łuk).

Średni współczynnik obciążenia dla ciężaru własnego i śniegu:

Przyjęto oparcie łuku na dwóch brzegowych belkach wieńczących (wezgłowiowych), o wymiarach poprzecznych 0,2 x 0,5 m. W przekroju każdej z w/w belek żelbetowych wyprofilowano od strony zewnętrznej gzyms o wysięgu 0,32 m i grubości 0,10 m.

Obciążenie od gzymsu:

płyta żelbetowa 0,10 x 0,32 x 2,25 x 25,00 = 1,80 x 1,1 = 1,98 kN

śnieg na gzymsie 0,72 x 0,30 x 2,25 = 0,49 x 1,4 = 0,69 kN

--------------------------------------

razem = 2,29 kN 2,67 kN

Moment obliczeniowy od gzymsu:

M d = −2,67 ⋅ 0,5 ⋅ (0,20 + 0,32) = −0,69 kNm

e) Schemat statyczny i geometria łuku

Łuk pracuje jako element prętowy wolnopodparty (z przegubami na obu podporach), o szerokości pasma odpowiadającego rozstawowi ściągów (2,25 m).

Dokonano podziału łuku na 21 węzłów (co daje 20 prętów), przy czym ściąg jest dodatkowym

21 prętem o charakterze cięgna (przenoszącym tylko rozciąganie). Parametry geometryczne łuku

w wybranych punktach podziału przedstawiono w poniższej tabeli:

Węzeł	x [m]	y [m]	tan fi	fi [deg]	Pręt	tan fi	fi [deg]	sin fi	cos fi
1	0	0	1,319618	53,1427
					1	1,427466	54,98714	0,819023	0,57376
2	0,738	0,517	1,535314	56,83159
					2	1,643162	58,67603	0,854241	0,519876
3	1,507	0,985	1,773848	60,48687
					3	1,904535	62,29771	0,885375	0,464877
4	2,305	1,404	2,079665	64,19023
					4	2,254795	66,08274	0,914132	0,405417
5	3,128	1,769	2,477238	67,8787
					5	2,699681	69,67465	0,937735	0,34735
6	3,973	2,082	3,028829	71,5456
					6	3,357977	73,41655	0,958405	0,285411
7	4,836	2,339	3,863068	75,26103
					7	4,368159	77,10551	0,974783	0,223156
8	5,714	2,54	5,270885	78,95233
					8	6,173611	80,79916	0,987134	0,159896
9	6,603	2,684	8,241978	82,62968
					9	10,31034	84,46021	0,995329	0,096537
10	7,5	2,771	20,67241	86,30733
					10	31,03448	88,15444	0,999481	0,032206
11	8,4	2,8	0	0
					11	-31,0345	-88,1544	-0,99948	0,032206
12	9,3	2,771	-20,6724	-86,3073
					12	-10,3103	-84,4602	-0,99533	0,096537
13	10,197	2,684	-8,24198	-82,6297
					13	-6,17361	-80,7992	-0,98713	0,159896
14	11,086	2,54	-5,27089	-78,9523
					14	-4,36816	-77,1055	-0,97478	0,223156
15	11,964	2,339	-3,86307	-75,261
					15	-3,35798	-73,4166	-0,95841	0,285411
16	12,827	2,082	-3,02883	-71,5456
					16	-2,69968	-69,6747	-0,93774	0,34735
17	13,672	1,769	-2,47724	-67,8787
					17	-2,25479	-66,0827	-0,91413	0,405417
18	14,495	1,404	-2,07966	-64,1902
					18	-1,90453	-62,2977	-0,88538	0,464877
19	15,293	0,985	-1,77385	-60,4869
					19	-1,64316	-58,676	-0,85424	0,519876
20	16,062	0,517	-1,53531	-56,8316
					20	-1,42747	-54,9871	-0,81902	0,57376
21	16,8	0	-1,31962	-53,1427

f) Siły wewnętrzne

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń statycznych (z uwzględnieniem obciążenia ciężarem własnym, śniegiem oraz gzymsem) uzyskano następujące wartości ekstremalnych sił wewnętrznych w newralgicznych przekrojach łuku:

- w zworniku (kluczu)

M_max = 9,3 kNm N_odp=160,1 kN

N_max = 160,3 kN M_odp=7,8 kNm

- w ¼ rozpiętości

M_max = -5,7 kNm N_odp= 178,3 kN

N_max = 178,3 kN M_odp= -5,7 kNm

- w węzgłowiu

M_max = -4,7 kNm N_odp= 189,1 kN

N_max = 195,4 kNm M_odp= -0,7 kN

- reakcja podporowa

V= 112,1 kN

- siła w ściągu

H= 160,0 kN

*Obliczenia wykonano w programie RM-WIN. Wyniki w załączniku.

g) Wymiarowanie

Płyta łuku

ξ_eff,lim=0,55
μ_eff,lim=ξ_eff,lim*(1-0,5*ξ_eff,lim)=0,39875

METODA 1

- parametr łuku

$$\mathrm{\alpha =}\frac{\mathrm{f}}{\mathrm{l}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{2,8}}{\mathrm{16,8}}\mathrm{= 0,167}$$

-długość łuku

$$s = \frac{l}{8 \bullet \alpha}\left\lbrack \sqrt{16 \bullet \alpha^{2} \bullet \left( 1 + 16 \bullet \alpha^{2} \right)} + \ln\left( 4 \bullet \alpha + \sqrt{1 + 16 \bullet \alpha^{2}} \right) \right\rbrack = 17,977\ m$$

-długość obliczeniowa łuku (dwuprzegubowego)

l₀ = 0, 6 • s = 0, 6 • 17, 977 = 10, 79m

$$I = \frac{I_{k} + I_{w}}{2} = \frac{0,000188 + 0,000412}{2} = 0,0003m^{4}$$

$$l_{k} = \frac{1}{2}s = \frac{17,977}{2} = 8,99\ m$$

$$N_{\text{dop}} = \frac{\pi^{2}}{3}\frac{E_{\text{cm}} \bullet I}{{l_{k}}^{2}} = \frac{\pi^{2}}{3}\frac{30 \bullet 1000000 \bullet 0,0003}{{8,99}^{2}} = 365,762\ kN > \ N_{\frac{1}{4}\text{rozp}} = 178,3\ kN$$

Ponieważ powyższy warunek został spełniony, można przyjąć, że nie trzeba uwzględniać efektów II rzędu. Wobec tego przyjęto w metodzie 1. współczynnik η = 1, 0 dla wszystkich przekrojów łuku żelbetowego.
Należy przy tym dodać, że początkowo przyjęto η = 1, 1 , a następnie metodą iteracyjną wyliczano potrzebne zbrojenie. Okazało się jednak, że w rezultacie otrzymano zawyżone wyniki (zbyt duże mimośrody e_tot), ponieważ warunek był spełniany dopiero przy współczynniku η rzędu 8 – 14.
Zdecydowano się więc przyjąć η = 1, 0, z racji powyżej spełnionego warunku na siłę N_dop.

• Zbrojenie w kluczu

a₁=1,9 cm

d=h-a₁=10-1,9=8,1 cm

b=2,25 m

współczynnik η=1,0

1. N_sd(max)=163,4 kN M_sd(odp)=4,3 kNm

$$e_{e} = \frac{\text{Msd}}{\text{Nsd}} = \frac{4,3}{163,4} = 0,0263\ m = 2,63cm$$

e₀=e_a+e_e=3,63cm

e_tot= η*e₀=3,63cm

e_s1=h/2+e_tot-a₁=6,73 cm

e_s2=e_tot-h/2+a₂=0,53 cm

Zakładamy przypadek dużego mimośrodu.

Przyjmujemy, że

x_eff=x_eff,lim=ξ_eff,lim*d=0,55*8,1=4,455 cm

Przekrój zbrojenia ściskanego A_s2 wyliczymy z równowagi momentów względem środka ciężkości zbrojenia rozciąganego A_s1:

$$A_{s2} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - \mu_{eff,lim} \bullet f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}}{f_{\text{yd}} \bullet (d - a_{2})} = \frac{163,4 \bullet 6,73 - 0,39875 \bullet 1,33 \bullet 225 \bullet {8,1}^{2}}{31 \bullet (8,1 - 1,9)} = - 35,01\text{cm}^{2}$$

Ponieważ As₂<0, przy wyznaczaniu zbrojenia rozciąganego A_s1 podstawiamy A_s2=0.

Ponadto:

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - f_{\text{yd}} \bullet A_{s2} \bullet \left( d - a_{2} \right)}{f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}} = \frac{163,4 \bullet 6,73 - 31 \bullet 0 \bullet \left( 8,1 - 1,9 \right)}{1,33 \bullet 225 \bullet {8,1}^{2}} = 0,056$$

ξ_eff = 1 − (1−2•μ_eff)^0, 5 = 1 − (1−2•0,056)^0, 5 = 0, 0577

$$\xi_{\text{eff}} = 0,0577 < \left( \frac{2a_{2}}{d} \right) = \frac{2 \bullet 1,9}{8,1} = 0,469$$

$$A_{s1} = \frac{Nsd \bullet e_{s2}}{f_{\text{yd}} \bullet \left( d - a_{2} \right)} = \frac{163,4 \bullet 0,53}{31 \bullet \left( 8,1 - 1,9 \right)} = 0,45cm^{2}$$

1. M_(max) = 9,3 kNm N_sd(odp)=160,1 kN

$$e_{e} = \frac{\text{Msd}}{\text{Nsd}} = \frac{9,3}{160,1} = 5,808cm$$

e₀=e_a+e_e=1+5,808=6,808 cm

e_tot= η*e₀=1*6,808=6,808 cm

e_s1=h/2+e_tot-a₁=10/2+6,808-1,9=9,908 cm

e_s2=e_tot-h/2+a₂=6,808-10/2+1,9=3,708 cm

Zakładamy przypadek dużego mimośrodu.

Przyjmujemy, że

x_eff=x_eff,lim=ξ_eff,lim*d=0,55*8,1=4,455 cm

Przekrój zbrojenia ściskanego A_s2 wyliczymy z równowagi momentów względem środka ciężkości zbrojenia rozciąganego A_s1:

$$A_{s2} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - \mu_{eff,lim} \bullet f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}}{f_{\text{yd}} \bullet (d - a_{2})} = \frac{160,1 \bullet 9,908 - 0,39875 \bullet 1,33 \bullet 225 \bullet {8,1}^{2}}{31 \bullet (8,1 - 1,9)} = - 32,48\text{cm}^{2}$$

Ponieważ As₂<0, przy wyznaczaniu zbrojenia rozciąganego A_s1 podstawiamy A_s2=0.

Ponadto:

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - f_{\text{yd}} \bullet A_{s2} \bullet \left( d - a_{2} \right)}{f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}} = \frac{160,1 \bullet 9,908 - 31 \bullet 0 \bullet \left( 8,1 - 1,9 \right)}{1,33 \bullet 225 \bullet {8,1}^{2}} = 0,0808$$

ξ_eff = 1 − (1−2•μ_eff)^0, 5 = 1 − (1−2•0,0808)^0, 5 = 0, 0844

$$\xi_{\text{eff}} = 0,0844 < \left( \frac{2a_{2}}{d} \right) = \frac{2 \bullet 1,9}{8,1} = 0,469$$

$$A_{s1} = \frac{Nsd \bullet e_{s2}}{f_{\text{yd}} \bullet \left( d - a_{2} \right)} = \frac{160,1 \bullet 3,708}{31 \bullet \left( 8,1 - 1,9 \right)} = 3,089cm^{2}$$

• Zbrojenie w ¼ rozpiętości

h=11,5 cm

a₁=1,9 cm

d=h-a₁=11,5-1,9=9,6 cm

b=2,25 m =225 cm

współczynnik η=1,0

N_sd(max)=178,3 kN M_sd(odp)=M_sd(max)=5,7 kNm

$$e_{e} = \frac{\text{Msd}}{\text{Nsd}} = \frac{5,7}{178,3} = 3,197cm$$

e₀=e_a+e_e=4,197cm

e_tot= η*e₀=1*4,197=4,197cm

e_s1=h/2+e_tot-a₁=11,5/2+4,197-1,9=8,047cm

e_s2=e_tot-h/2+a₂=4,197-11,5/2+1,9=0,347cm

Zakładamy przypadek dużego mimośrodu.

Przyjmujemy, że

x_eff=x_eff,lim=ξ_eff,lim*d=0,55*9,6=5,28 cm

Przekrój zbrojenia ściskanego A_s2 wyliczymy z równowagi momentów względem środka ciężkości zbrojenia rozciąganego A_s1:

$$A_{s2} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - \mu_{eff,lim} \bullet f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}}{f_{\text{yd}} \bullet (d - a_{2})} = \frac{178,3 \bullet 8,047 - 0,39875 \bullet 1,33 \bullet 225 \bullet {9,6}^{2}}{31 \bullet (9,6 - 1,9)} = - 40,06\text{cm}^{2}$$

Ponieważ As₂<0, przy wyznaczaniu zbrojenia rozciąganego A_s1 podstawiamy A_s2=0.

Ponadto:

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - f_{\text{yd}} \bullet A_{s2} \bullet \left( d - a_{2} \right)}{f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}} = \frac{178,3 \bullet 8,047 - 31 \bullet 0 \bullet \left( 9,6 - 1,9 \right)}{1,33 \bullet 225 \bullet {9,6}^{2}} = 0,052$$

ξ_eff = 1 − (1−2•μ_eff)^0, 5 = 1 − (1−2•0,052)^0, 5 = 0, 05345

$$\xi_{\text{eff}} = 0,05345 < \left( \frac{2a_{2}}{d} \right) = \frac{2 \bullet 1,9}{9,6} = 0,3958$$

$$A_{s1} = \frac{Nsd \bullet e_{s2}}{f_{\text{yd}} \bullet \left( d - a_{2} \right)} = \frac{178,3 \bullet 0,347}{31 \bullet \left( 9,6 - 1,9 \right)} = 0,259cm^{2}$$

• Zbrojenie w wezgłowiu

h=13 cm

a₁=1,9 cm

d=h-a₁=13-1,9=11,1 cm

b=2,25 m =225 cm

współczynnik η=1,0

1. N_sd(max)=195,4 kN M_sd(odp)=0,7 kNm

$$e_{e} = \frac{\text{Msd}}{\text{Nsd}} = \frac{0,7}{195,4} = 0,358cm$$

e₀=e_a+e_e=1,358cm

e_tot= η*e₀=1*1,358=1,358cm

e_s1=h/2+e_tot-a₁=13/2+1,358-1,9=5,958cm

e_s2=e_tot-h/2+a₂=1,358-13/2+1,9=3,242cm

Zakładamy przypadek małego mimośrodu (siła Nsd znajduje się pomiędzy środkami ciężkości zbrojenia A_s1 oraz A_s2).

Przyjmujemy, że

x_eff=x_eff,lim=ξ_eff,lim*d=0,55*11,1=6,105 cm

Przekrój zbrojenia ściskanego A_s2 wyliczymy z równowagi momentów względem środka ciężkości zbrojenia rozciąganego A_s1:

$$A_{s2} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - \mu_{eff,lim} \bullet f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}}{f_{\text{yd}} \bullet (d - a_{2})} = \frac{195,4 \bullet 5,958 - 0,39875 \bullet 1,33 \bullet 225 \bullet {11,1}^{2}}{31 \bullet (11,1 - 1,9)} = - 47,47\text{cm}^{2}$$

Ponieważ As₂<0, przy wyznaczaniu zbrojenia rozciąganego A_s1 podstawiamy A_s2=0.

Ponadto:

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - f_{\text{yd}} \bullet A_{s2} \bullet \left( d - a_{2} \right)}{f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}} = \frac{195,4 \bullet 5,958 - 31 \bullet 0 \bullet \left( 11,1 - 1,9 \right)}{1,33 \bullet 225 \bullet 11,1} = 0,0316$$

ξ_eff = 1 − (1−2•μ_eff)^0, 5 = 1 − (1−2•0,0316)^0, 5 = 0, 0321

$$\xi_{\text{eff}} = 0,0321 < \left( \frac{2a_{2}}{d} \right) = \frac{2 \bullet 1,9}{11,1} = 0,3423$$

$$A_{s1} = \frac{- Nsd \bullet e_{s2}}{f_{\text{yd}} \bullet \left( d - a_{2} \right)} = \frac{195,4 \bullet 3,242}{31 \bullet \left( 11,1 - 1,9 \right)} = - 2,22cm^{2}$$

Ponieważ A_s1<0, mamy przypadek małego mimośrodu.

x_eff=4,701cm<x_eff,lim=6,105cm

Wynika z tego, że f_cd nie jest graniczną wytrzymałością betonu na ściskanie i z tego powodu wychodzi

x_eff<<x_eff,lim

Należy wyznaczyć naprężenia w betonie.

$$a = \frac{h}{2} - e_{\text{tot}} = \frac{13}{2} - 1,35 = 5,15cm$$

$$\sigma_{c} = \frac{\text{Nsd}}{2 \bullet a \bullet b} = \frac{195,4}{2 \bullet 5,15 \bullet 255} = 0,8445MPa < f_{\text{cd}} = 13,3MPa$$

WNIOSEK :

Beton jest w stanie przenieść naprężenia ściskające, a więc zbrojenie A_s2 nie jest wymagane.

(2) M_(max)=4,7kNm N_(odp)=189,3 kN

$$e_{e} = \frac{\text{Msd}}{\text{Nsd}} = \frac{4,7}{189,3} = 2,483cm$$

e₀=e_a+e_e=3,483cm

e_tot= η*e₀=1*1,358=3,483

e_s1=h/2+e_tot-a₁=13/2+3,483-1,9=8,083cm

e_s2=e_tot-h/2+a₂=1,358-13/2+1,9=1,117cm

Zakładamy przypadek małego mimośrodu (siła Nsd znajduje się pomiędzy środkami ciężkości zbrojenia A_s1 oraz A_s2).

Przyjmujemy, że

x_eff=x_eff,lim=ξ_eff,lim*d=0,55*11,1=6,105 cm

Przekrój zbrojenia ściskanego A_s2 wyliczymy z równowagi momentów względem środka ciężkości zbrojenia rozciąganego A_s1:

$$A_{s2} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - \mu_{eff,lim} \bullet f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}}{f_{\text{yd}} \bullet (d - a_{2})} = \frac{189,3 \bullet 8,083 - 0,39875 \bullet 1,33 \bullet 225 \bullet {11,1}^{2}}{31 \bullet (11,1 - 1,9)} = - 46,{2cm}^{2}$$

Ponieważ As₂<0, przy wyznaczaniu zbrojenia rozciąganego A_s1 podstawiamy A_s2=0.

Ponadto:

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - f_{\text{yd}} \bullet A_{s2} \bullet \left( d - a_{2} \right)}{f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}} = \frac{189,3 \bullet 8,083 - 31 \bullet 0 \bullet \left( 11,1 - 1,9 \right)}{1,33 \bullet 225 \bullet 11,1} = 0,0415$$

ξ_eff = 1 − (1−2•μ_eff)^0, 5 = 1 − (1−2•0,0415)^0, 5 = 0, 0424

$$\xi_{\text{eff}} = 0,0424 < \left( \frac{2a_{2}}{d} \right) = \frac{2 \bullet 1,9}{11,1} = 0,3423$$

$$A_{s1} = \frac{- Nsd \bullet e_{s2}}{f_{\text{yd}} \bullet \left( d - a_{2} \right)} = \frac{189,3 \bullet 1,117}{31 \bullet \left( 11,1 - 1,9 \right)} = - 0,742cm^{2}$$

Ponieważ A_s1<0, mamy przypadek małego mimośrodu.

Wynika z tego, że f_cd nie jest graniczną wytrzymałością betonu na ściskanie i z tego powodu wychodzi

x_eff<<x_eff,lim.

Należy wyznaczyć naprężenia w betonie.

$$a = \frac{h}{2} - e_{\text{tot}} = \frac{13}{2} - 1,35 = 5,15cm$$

$$\sigma_{c} = \frac{\text{Nsd}}{2 \bullet a \bullet b} = \frac{189,3}{2 \bullet 5,15 \bullet 255} = 0,721MPa < f_{\text{cd}} = 13,3MPa$$

WNIOSEK :

Beton jest w stanie przenieść naprężenia ściskające, a więc zbrojenie A_s2 nie jest wymagane.

METODA 2

Metoda ta polega na tym, że łuk wymiaruje się tak jak element mimośrodowo ściskany,
jednakże wpływ smukłości uwzględnia się za pomocą współczynnika β, ważnego dla wszystkich przekrojów łuku (w odróżnieniu od metody 1.)

Wyznaczenie współczynnika pomocniczego „α”:

$$\frac{f}{l} = \frac{2,8}{16,8\ } = 0,167$$

Z interpolacji liniowej:

$$\alpha = 31,6 + \frac{\left( 37,2 - 31,6 \right) \bullet (0,2 - 0,167)}{0,1} = 33,448$$

Moment bezwładności w zworniku (kluczu):

$$I_{k} = \frac{225*10^{3}}{12} = 18750cm^{4}$$

Siła krytyczna H_kr:

$$H_{\text{kr}} = \alpha \bullet \frac{E_{c} \bullet I_{c}}{l^{2}} = 33,448 \bullet \frac{30 \bullet 100 \bullet 18750}{1680^{2}} \bullet \frac{\frac{\text{kN}}{cm^{2}} \bullet cm^{4}}{cm^{2}} = 666,6135kN$$

Współczynnik β:

$$\beta = \frac{1}{1 - \frac{H}{H_{\text{kr}}}} = \frac{1}{1 - \frac{160}{666,6135}} = 1,32$$

W celu wyznaczenia wymaganego zbrojenia w poszczególnych przekrojach, powiększamy mimośród e₀ mnożąc go przez wyliczony wcześniej współczynnik β.

• Zbrojenie w kluczu

h=10 cm

a₁=1,9 cm

d=h-a₁=10-1,9=8,1 cm

b=2,25 m

współczynnik β=1,32

1. N_sd(max)=163,4 kN M_sd(odp)=4,3 kNm

$$e_{e} = \frac{\text{Msd}}{\text{Nsd}} = \frac{4,3}{163,4} = 0,0263\ m = 2,63cm$$

e₀=e_a+e_e=3,63cm

e_tot= β*e₀=1,32*3,63=4,78cm

e_s1=h/2+e_tot-a₁=7,88cm

e_s2=e_tot-h/2+a₂=1,68cm

ξ_eff,lim=0,55

μ_eff,lim=ξ_eff,lim*(1-0,5*ξ_eff,lim)=0,39875

Zakładamy przypadek dużego mimośrodu.

Przyjmujemy, że

x_eff=x_eff,lim=ξ_eff,lim*d=0,55*8,1=4,455 cm

Przekrój zbrojenia ściskanego A_s2 wyliczymy z równowagi momentów względem środka ciężkości zbrojenia rozciąganego A_s1:

$$A_{s2} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - \mu_{eff,lim} \bullet f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}}{f_{\text{yd}} \bullet (d - a_{2})} = \frac{163,4 \bullet 7,88 - 0,39875 \bullet 1,33 \bullet 225 \bullet {8,1}^{2}}{31 \bullet (8,1 - 1,9)} = - 34,04\text{cm}^{2}$$

Ponieważ As₂<0, przy wyznaczaniu zbrojenia rozciąganego A_s1 podstawiamy A_s2=0.

Ponadto:

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - f_{\text{yd}} \bullet A_{s2} \bullet \left( d - a_{2} \right)}{f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}} = \frac{163,4 \bullet 7,88 - 31 \bullet 0 \bullet \left( 8,1 - 1,9 \right)}{1,33 \bullet 225 \bullet {8,1}^{2}} = 0,0656$$

ξ_eff = 1 − (1−2•μ_eff)^0, 5 = 1 − (1−2•0,0656)^0, 5 = 0, 0679

$$\xi_{\text{eff}} = 0,0679 < \left( \frac{2a_{2}}{d} \right) = \frac{2 \bullet 1,9}{8,1} = 0,469$$

$$A_{s1} = \frac{Nsd \bullet e_{s2}}{f_{\text{yd}} \bullet \left( d - a_{2} \right)} = \frac{163,4 \bullet 1,68}{31 \bullet \left( 8,1 - 1,9 \right)} = 1,43cm^{2}$$

1. M_(max) = 9,3 kNm N_sd(odp)=160,1 kN

$$e_{e} = \frac{\text{Msd}}{\text{Nsd}} = \frac{9,3}{160,1} = 5,808cm$$

e₀=e_a+e_e=1+5,808=6,808 cm

e_tot= β*e₀=1,32*6,808=8,96cm

e_s1=h/2+e_tot-a₁=10/2+8,96-1,9=12,06 cm

e_s2=e_tot-h/2+a₂=8,96-10/2+1,9=5,86 cm

Zakładamy przypadek dużego mimośrodu.

Przyjmujemy, że

x_eff=x_eff,lim=ξ_eff,lim*d=0,55*8,1=4,455 cm

Przekrój zbrojenia ściskanego A_s2 wyliczymy z równowagi momentów względem środka ciężkości zbrojenia rozciąganego A_s1:

$$A_{s2} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - \mu_{eff,lim} \bullet f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}}{f_{\text{yd}} \bullet (d - a_{2})} = \frac{160,1 \bullet 12,06 - 0,39875 \bullet 1,33 \bullet 225 \bullet {8,1}^{2}}{31 \bullet (8,1 - 1,9)} = - 30,7\text{cm}^{2}$$

Ponieważ As₂<0, przy wyznaczaniu zbrojenia rozciąganego A_s1 podstawiamy A_s2=0.

Ponadto:

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - f_{\text{yd}} \bullet A_{s2} \bullet \left( d - a_{2} \right)}{f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}} = \frac{160,1 \bullet 12,06 - 31 \bullet 0 \bullet \left( 8,1 - 1,9 \right)}{1,33 \bullet 225 \bullet {8,1}^{2}} = 0,0983$$

ξ_eff = 1 − (1−2•μ_eff)^0, 5 = 1 − (1−2•0,0983)^0, 5 = 0, 1037

$$\xi_{\text{eff}} = 0,1037 < \left( \frac{2a_{2}}{d} \right) = \frac{2 \bullet 1,9}{8,1} = 0,469$$

$$A_{s1} = \frac{Nsd \bullet e_{s2}}{f_{\text{yd}} \bullet \left( d - a_{2} \right)} = \frac{160,1 \bullet 5,86}{31 \bullet \left( 8,1 - 1,9 \right)} = 4,881cm^{2}$$

• Zbrojenie w ¼ rozpiętości

h=11,5 cm

a₁=1,9 cm

d=h-a₁=11,5-1,9=9,6 cm

b=2,25 m =225 cm

współczynnik β=1,32

N_sd(max)=178,3 kN M_sd(odp)=Msd_(max)=5,7 kNm

$$e_{e} = \frac{\text{Msd}}{\text{Nsd}} = \frac{5,7}{178,3} = 3,197cm$$

e₀=e_a+e_e=4,197cm

e_tot= β*e₀=1,32*4,197=5,52cm

e_s1=h/2+e_tot-a₁=11,5/2+5,52-1,9=9,37cm

e_s2=e_tot-h/2+a₂=5,52-11,5/2+1,9=1,67cm

Zakładamy przypadek dużego mimośrodu.

Przyjmujemy, że

x_eff=x_eff,lim=ξ_eff,lim*d=0,55*9,6=5,28 cm

Przekrój zbrojenia ściskanego A_s2 wyliczymy z równowagi momentów względem środka ciężkości zbrojenia rozciąganego A_s1:

$$A_{s2} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - \mu_{eff,lim} \bullet f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}}{f_{\text{yd}} \bullet (d - a_{2})} = \frac{178,3 \bullet 9,37 - 0,39875 \bullet 1,33 \bullet 225 \bullet {9,6}^{2}}{31 \bullet (9,6 - 1,9)} = - 39,07\text{cm}^{2}$$

Ponieważ As₂<0, przy wyznaczaniu zbrojenia rozciąganego A_s1 podstawiamy A_s2=0.

Ponadto:

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - f_{\text{yd}} \bullet A_{s2} \bullet \left( d - a_{2} \right)}{f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}} = \frac{178,3 \bullet 9,37 - 31 \bullet 0 \bullet \left( 9,6 - 1,9 \right)}{1,33 \bullet 225 \bullet {9,6}^{2}} = 0,0606$$

ξ_eff = 1 − (1−2•μ_eff)^0, 5 = 1 − (1−2•0,0606)^0, 5 = 0, 0626

$$\xi_{\text{eff}} = 0,0626 < \left( \frac{2a_{2}}{d} \right) = \frac{2 \bullet 1,9}{9,6} = 0,3958$$

$$A_{s1} = \frac{Nsd \bullet e_{s2}}{f_{\text{yd}} \bullet \left( d - a_{2} \right)} = \frac{178,3 \bullet 1,67}{31 \bullet \left( 9,6 - 1,9 \right)} = 1,25\ cm^{2}$$

• Zbrojenie w wezgłowiu

h=13 cm

a₁=1,9 cm

d=h-a₁=13-1,9=11,1 cm

b=2,25 m =225 cm

współczynnik β=1,32

1. N_sd(max)=195,4 kN M_sd(odp)=0,7 kNm

$$e_{e} = \frac{\text{Msd}}{\text{Nsd}} = \frac{0,7}{195,4} = 0,358cm$$

e₀=e_a+e_e=1,358cm

e_tot= β*e₀=1,32*1,358=1,787cm

e_s1=h/2+e_tot-a₁=13/2+1,787-1,9=6,387

e_s2=e_tot-h/2+a₂=1,787-13/2+1,9=2,813cm

Zakładamy przypadek małego mimośrodu (siła Nsd znajduje się pomiędzy środkami ciężkości zbrojenia A_s1 oraz A_s2).

Przyjmujemy, że

x_eff=x_eff,lim=ξ_eff,lim*d=0,55*11,1=6,105 cm

Przekrój zbrojenia ściskanego A_s2 wyliczymy z równowagi momentów względem środka ciężkości zbrojenia rozciąganego A_s1:

$$A_{s2} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - \mu_{eff,lim} \bullet f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}}{f_{\text{yd}} \bullet (d - a_{2})} = \frac{195,4 \bullet 6,387 - 0,39875 \bullet 1,33 \bullet 225 \bullet {11,1}^{2}}{31 \bullet (11,1 - 1,9)} = - 47,2\text{cm}^{2}$$

Ponieważ As₂<0, przy wyznaczaniu zbrojenia rozciąganego A_s1 podstawiamy A_s2=0.

Ponadto:

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - f_{\text{yd}} \bullet A_{s2} \bullet \left( d - a_{2} \right)}{f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}} = \frac{195,4 \bullet 6,387 - 31 \bullet 0 \bullet \left( 11,1 - 1,9 \right)}{1,33 \bullet 225 \bullet 11,1} = 0,0339$$

ξ_eff = 1 − (1−2•μ_eff)^0, 5 = 1 − (1−2•0,0339)^0, 5 = 0, 0344

$$\xi_{\text{eff}} = 0,0344 < \left( \frac{2a_{2}}{d} \right) = \frac{2 \bullet 1,9}{11,1} = 0,3423$$

$$A_{s1} = \frac{- Nsd \bullet e_{s2}}{f_{\text{yd}} \bullet \left( d - a_{2} \right)} = \frac{195,4 \bullet 2,813}{31 \bullet \left( 11,1 - 1,9 \right)} = - 1,93cm^{2}$$

Ponieważ A_s1<0, mamy przypadek małego mimośrodu.

$$x_{\text{eff}} = a_{2} + \sqrt{a_{2}^{2} + \frac{2 \bullet N_{\text{sd}} \bullet e_{s2}}{b \bullet f_{\text{cd}}} =}1,9 + \sqrt{{1,9}^{2} + \frac{2 \bullet 195,4 \bullet 2,813}{255 \bullet 1,33}} = 4,6cm$$

x_eff=4,6cm<x_eff,lim=6,105cm

Wynika z tego, że f_cd nie jest graniczną wytrzymałością betonu na ściskanie i z tego powodu wychodzi

x_eff<<x_eff,lim.
Należy wyznaczyć naprężenia w betonie.

$$a = \frac{h}{2} - e_{\text{tot}} = \frac{13}{2} - 1,787 = 4,713m$$

$$\sigma_{c} = \frac{\text{Nsd}}{2 \bullet a \bullet b} = \frac{195,4}{2 \bullet 4,713 \bullet 225} = 0,921MPa < fcd = 13,3MPa$$

WNIOSEK :

Beton jest w stanie przenieść naprężenia ściskające, a więc zbrojenie A_s2 nie jest wymagane.

(2) M_(max)=4,7kNm N_(odp)=189,3 kN

$$e_{e} = \frac{\text{Msd}}{\text{Nsd}} = \frac{4,7}{189,3} = 2,483cm$$

e₀=e_a+e_e=3,483cm

e_tot= β*e₀=1,32*3,483=4,583

e_s1=h/2+e_tot-a₁=13/2+4,583-1,9=9,183cm

e_s2=e_tot-h/2+a₂=4,583+13/2+1,9=0,02cm

Zakładamy przypadek małego mimośrodu (siła Nsd znajduje się pomiędzy środkami ciężkości zbrojenia A_s1 oraz A_s2).

Przyjmujemy, że

x_eff=x_eff,lim=ξ_eff,lim*d=0,55*11,1=6,105 cm

Przekrój zbrojenia ściskanego A_s2 wyliczymy z równowagi momentów względem środka ciężkości zbrojenia rozciąganego A_s1:

$$A_{s2} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - \mu_{eff,lim} \bullet f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}}{f_{\text{yd}} \bullet (d - a_{2})} = \frac{189,3 \bullet 9,183 - 0,39875 \bullet 1,33 \bullet 225 \bullet {11,1}^{2}}{31 \bullet (11,1 - 1,9)} = - {49,1cm}^{2}$$

Ponieważ As₂<0, przy wyznaczaniu zbrojenia rozciąganego A_s1 podstawiamy A_s2=0.

Ponadto:

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{Nsd \bullet e_{s1} - f_{\text{yd}} \bullet A_{s2} \bullet \left( d - a_{2} \right)}{f_{\text{cd}} \bullet b \bullet d^{2}} = \frac{189,3 \bullet 9,183 - 31 \bullet 0 \bullet \left( 11,1 - 1,9 \right)}{1,33 \bullet 225 \bullet 11,1} = 0,0416$$

ξ_eff = 1 − (1−2•μ_eff)^0, 5 = 1 − (1−2•0,0416)^0, 5 = 0, 0425

$$\xi_{\text{eff}} = 0,0425 < \left( \frac{2a_{2}}{d} \right) = \frac{2 \bullet 1,9}{11,1} = 0,3423$$

$$A_{s1} = \frac{- Nsd \bullet e_{s2}}{f_{\text{yd}} \bullet \left( d - a_{2} \right)} = \frac{- 189,3 \bullet 0,02}{31 \bullet \left( 11,1 - 1,9 \right)} = - 0,01cm^{2}$$

$$x_{\text{eff}} = a_{2} + \sqrt{a_{2}^{2} + \frac{2 \bullet N_{\text{sd}} \bullet e_{s2}}{b \bullet f_{\text{cd}}} =}1,9 + \sqrt{{1,9}^{2} + \frac{2 \bullet 189,3 \bullet 0,02}{255 \bullet 1,33}} = 3,81m$$

x_eff=3,81cm<x_eff,lim=6,105cm

Wynika z tego, że f_cd nie jest graniczną wytrzymałością betonu na ściskanie i z tego powodu wychodzi

x_eff<<x_eff,lim.

Należy wyznaczyć naprężenia w betonie.

$$a = \frac{h}{2} - e_{\text{tot}} = \frac{13}{2} - 4,283 = 1,917m$$

$$\sigma_{c} = \frac{\text{Nsd}}{2 \bullet a \bullet b} = \frac{189,3}{2 \bullet 1,917 \bullet 225} = 2,19MPa < fcd = 13,3MPa$$

-ZBROJENIE MINIMALNE

A) W KLUCZU

$A_{s1},min = max\left\{ \begin{matrix} 0,26 \bullet \frac{\text{fctm}}{\text{fyk}} \bullet b \bullet d \\ 0,0013 \bullet b \bullet d \\ \end{matrix} = max\left\{ \begin{matrix} 0,26 \bullet \frac{2,2}{355} \bullet 225 \bullet 8,1 \\ 0,0013 \bullet 225 \bullet 8,1 \\ \end{matrix} = \right.\ \right.\ \max\left\{ \begin{matrix} 2,94cm^{2} \\ 2,37cm^{2} \\ \end{matrix} = 2,94cm^{2} \right.\ $

B) W ¼ ROZPIĘTOŚCI

$A_{s1},min = max\left\{ \begin{matrix} 0,26 \bullet \frac{\text{fctm}}{\text{fyk}} \bullet b \bullet d \\ 0,0013 \bullet b \bullet d \\ \end{matrix} = max\left\{ \begin{matrix} 0,26 \bullet \frac{2,2}{355} \bullet 225 \bullet 9,6 \\ 0,0013 \bullet 225 \bullet 9,6 \\ \end{matrix} = \right.\ \right.\ \max\left\{ \begin{matrix} 3,48cm^{2} \\ 2,81cm^{2} \\ \end{matrix} = 3,48cm^{2} \right.\ $

C) W WEZGŁOWIU

$A_{s1},min = max\left\{ \begin{matrix} 0,26 \bullet \frac{\text{fctm}}{\text{fyk}} \bullet b \bullet d \\ 0,0013 \bullet b \bullet d \\ \end{matrix} = max\left\{ \begin{matrix} 0,26 \bullet \frac{2,2}{355} \bullet 225 \bullet 11,1 \\ 0,0013 \bullet 225 \bullet 11,1 \\ \end{matrix} = \right.\ \right.\ \max\left\{ \begin{matrix} 4,02cm^{2} \\ 3,25cm^{2} \\ \end{matrix} = 4,02cm^{2} \right.\ $

Z uwagi na fakt, że stosując wymiarowanie przekrojów łuku żelbetowego Metodą 1,ze współczynnikiem η, rezultaty okazały się być nie miarodajne, zdecydowano się przyjąć za ostateczne zbrojenie na podstawie obliczeń wg Metody 2, ze współczynnikiem β oraz biorąc pod uwagę względy konstrukcyjne.

ZBROJENIE PRZYJĘTE:

1. Klucz:

A_s1, prov = 10ϕ8 = 5, 03cm² ∖ n(rozstaw co 25 cm − 9pretow; pret nr10 w srodku pasma b)

1. ¼ rozpiętości:

A_s1, prov = 9ϕ8 = 4, 53cm² ∖ nco 25 cm

1. Wezgłowie:

A_s1, prov = 10ϕ8 = 4, 53cm² ∖ nco 25 cm

1. Pręty rozdzielcze:

ϕ6 co 30 cm,  w kierunku prostopadlym do A_s1

ZESTAWIENIE ZBROJENIA:

	M [kNm]	Nsd [kN]	ϕ[mm]	Zbrojenie policzone As1,req [cm^2]	Liczba prętów n[-]	Zbrojenie przyjęte Asr,prov [cm^2]	Stopień zbrojenia ρL [%]
			d[cm]
KLUCZ	160,1	9,3	8	4,88	10	5,03	0,276
			8,1
¼ ROZP.	-5,7	178,3	8	1,25	9	4,53	0,21
			9,6
WEZGŁOWIE	-0,7	195,4	8	<0	9	4,53	0,181
			11,1

1.1.2 Belka wezgłowiowa

Belka wezgłowiowa w najbardziej ogólnym przypadku jest zginana w dwóch płaszczyznach: w płaszczyźnie pionowej – reakcją pionową od płyty łuku, w płaszczyźnie poziomej – reakcją poziomą od płyty łuku, czyli jego rozporem.

Ponieważ w analizowanym przykładzie zastosowano łuk płytowy ze ściągiem – tenże ściąg w płaszczyźnie poziomej jest reakcją podporową, której odpowiada zastępcze oddziaływanie poziome.

1. Belka w płaszczyźnie pionowej

Obliczeniowe obciążenie równomierne wynosi:

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q}_{v} = \frac{V}{a_{r}}$$

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q}_{v} = \frac{112,1}{2,25} = \mathbf{49,82\ kN/m}$$

gdzie V jest reakcją pionową od łuku, natomiast ar jest przyjętym rozstawem ściągów.

Przyjmując, że słupy konstrukcji wsporczej łuku są usytuowane w odległościach odpowiadających podwójnym rozstawom ściągów, schemat statyczny belki wezgłowiowej w płaszczyźnie pionowej jest belką pięcioprzęsłową (założono, że długość rozpatrywanego obiektu znacznie przekracza wielkość odpowiadającą założonej rozpiętości łuku) o rozpiętościach przęseł wynoszących 4,50 m:

Ekstremalne siły wewnętrzne

M_prz = 0,0781*49,82*4,50² = 78,79 kNm (pierwsze przęsło)

M_podp = -0,105*49,82*4,50² = -105,93 kNm (druga podpora)

V_podp = 0,606*48,98*4,5 = 135,86 kN (druga podpora z lewej)

Wymiarowanie

bw = 0,20 m h = 0,40 m d = 0,37 m

1. Przęsło – zginanie
   

$$\mu_{c} = \ \frac{M_{\text{Sd}}}{b_{w}*d^{2}*f_{\text{cd}}}$$

$$\mu_{c} = \ \frac{78,79}{0,20*{0,37}^{2}*13300} = \mathbf{0,22}$$

$$\xi = \ \frac{1 + \sqrt{1 - 2*\mu_{c}}}{2}$$

$$\xi = \ \frac{1 + \sqrt{1 - 2*0,22}}{2} = \mathbf{0,87}$$

$$A_{s1} = \ \frac{M_{\text{Sd}}}{f_{\text{yd}}*\xi*d}$$

$$A_{s1} = \ \frac{78,79}{310000*0,87*0,37} = 7,89*10^{- 4}m^{2} = \mathbf{7,89\ c}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}$$

minA_S1 = minρ₁ *  b_w * d

minA_S1 = 0, 0013 * 20 * 37 = 0, 96 cm² < 7, 89 cm²

przyjęto 2Ø12 i 2Ø12 mm o A_S1 = 8,54cm²

$$\rho_{1} = \ \frac{A_{S1}}{b_{w}*d}$$

$$\rho_{1} = \ \frac{8,54}{20*37}*100\% = \mathbf{1,15\%}$$

Podstawowa długość zakotwienia:

1. Pręty rozciągane, pręt nr.2 i nr.5

$$l_{b} = \ \frac{O*f_{\text{yd}}}{4*f_{\text{bd}}}$$

$$l_{b} = \ \frac{2*310}{4*2,3}$$

l_b= 67, 39cm

1. Pręty ściskane, pręt nr.1

$$l_{b} = \ \frac{O*f_{\text{yd}}}{4*f_{\text{bd}}}$$

$$l_{b} = \ \frac{1,2*310}{4*2,3}$$

l_b= 40, 43cm

Obliczeniowa długość zakotwienia:

1. Pręty rozciągane, pręt nr.2 i nr.5

$$l_{\text{bd}} = \ \alpha_{a}*l_{b}*\frac{A_{s,req}}{A_{s,prov}}$$

$$l_{\text{bd}} = \ 1*67,39*\frac{7,89}{8,54}$$

l_bd= 56, 44 cm

l_bmin =  0, 3 * l_b

l_bmin =  0, 3 * 40, 43

l_bmin= 20, 22

l_bd > 10cm                                                               l_bd > l_bmin

56, 44cm > 10cm                                    56, 44cm > 20, 22cm

Przyjęto: l_bd = 57,00cm

1. Pręty ściskane, pręt nr.1

$$l_{\text{bd}} = \ \alpha_{a}*l_{b}*\frac{A_{s,req}}{A_{s,prov}}$$

$$l_{\text{bd}} = \ 1*40,43*\frac{2,26}{2,26}$$

l_bd= 40, 43 cm

l_bmin =  0, 6 * l_b

l_bmin =  0, 6 * 40, 43

l_bmin= 24, 26

l_bd > 10cm                                                               l_bd > l_bmin

40, 43cm > 10cm                                    40, 43cm > 24, 26cm

Przyjęto: l_bd = 41,00cm

1. Podpora – zginanie

$$\mu_{c} = \ \frac{M_{\text{Sd}}}{b_{w}*d^{2}*f_{\text{cd}}}$$

$$\mu_{c} = \ \frac{105,93}{0,2*{0,37}^{2}*13300} = \mathbf{0,29}$$

$$\xi = \ \frac{1 + \sqrt{1 - 2*\mu_{c}}}{2}$$

$$\xi = \ \frac{1 + \sqrt{1 - 2*0,29}}{2} = \mathbf{0,82}$$

$$A_{s1} = \ \frac{M_{\text{Sd}}}{f_{\text{yd}}*\xi*d}$$

$$A_{s1} = \ \frac{105,93}{310000*0,82*0,37} = 11,26*10^{- 4}m^{2} = \mathbf{11,26\ c}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}$$

minA_S1 = minρ₁ *  b_w * d

minA_S1 = 0, 0013 * 20 * 37 = 0, 96 cm² < 11, 26 cm²

przyjęto 3Ø20 mm i 2Ø12 o A_S1 = 11,68cm²

$$\rho_{1} = \ \frac{A_{S1}}{b_{w}*d}$$

$$\rho_{1} = \ \frac{11,68}{20*37}*100\% = \mathbf{1,58\%}$$

Podstawowa długość zakotwienia:

Pręty rozciągane, pręt nr.3

$$l_{b} = \ \frac{O*f_{\text{yd}}}{4*f_{\text{bd}}}$$

$$l_{b} = \ \frac{2*310}{4*2,3}$$

l_b= 67, 39cm

Obliczeniowa długość zakotwienia:

Pręty rozciągane, pręt nr.3

$$l_{\text{bd}} = \ \alpha_{a}*l_{b}*\frac{A_{s,req}}{A_{s,prov}}$$

$$l_{\text{bd}} = \ 1*67,39*\frac{11,26}{11,68}$$

l_bd= 36, 04 cm

l_bmin =  0, 3 * l_b

l_bmin =  0, 3 * 67, 39

l_bmin= 20, 22

l_bd > 10cm                                                               l_bd > l_bmin

36, 04cm > 10cm                                    36, 04cm > 20, 22cm

Przyjmuje l_bd = 37,00cm

1. Podpora – ścinanie

Sprawdzenie konieczności zbrojenia na ścinanie

k = 1,6 – d > 1

k = 1,6 – 0,37 = 1,23 > 1

$$\rho_{1} = \ \frac{A_{S1}}{b_{w}*d} < 0,01$$

$$\rho_{1} = \ \frac{11,68}{20*37} = \mathbf{0,015} > 0,01\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ wiec\ zakladam{\mathbf{\ }\mathbf{\rho}}_{\mathbf{1}}\mathbf{= 0,01\ }$$

V_Rd1 = 0,35*k*f_ctd*(1,2+40ρ₁)*b_w*d

V_Rd1 =0,35*1,23*1000*(1,2+40*0,01)*0,20*0,37 = 50,97kN < 135,86 kN

• zbrojenie poprzeczne potrzebne obliczeniowo

długość odcinka ścinania

$$c_{S} = \ \frac{V_{\text{Sd}} - V_{Rd1}}{q_{V}}$$

$$c_{S} = \ \frac{135,86 - 50,97}{49,82} = \mathbf{1,70}\mathbf{m}$$

dla zbrojenia poprzecznego w postaci pionowych strzemion czterociętych Ø8

$$A_{sw1} = m*\frac{\pi*\phi^{2}}{4}$$

$$A_{sw1} = 4*\frac{3,14*{0,8}^{2}}{4} = \mathbf{2,01}\mathbf{c}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}$$

minimalny stopień zbrojenia poprzecznego

$$\rho_{w,min} = \frac{0,08*\sqrt{f_{\text{ck}}}}{f_{\text{yk}}}$$

$$\rho_{w,min} = \frac{0,08*\sqrt{20}}{355} = \mathbf{0,001}$$

maksymalny rozstaw strzemion

$$s_{1,max} = \ \frac{A_{sw,1}}{b_{w}*\rho_{w,min}}$$

$$s_{1,max} = \ \frac{2,01}{20*0,001} = \mathbf{100,5}\mathbf{\text{cm}}$$

maksymalny rozstaw strzemion (konstrukcyjne)

s_1,max = 0,75*d < 40cm

s_1,max = 0,75*37 = 27,75 cm < 40cm

Sprawdzenie betonowych krzyżulców ściskanych (θ = 45°, cotθ = 1,0)

$$\upsilon = 0,6*(1 - \frac{f_{\text{ck}}}{250})$$

$$\upsilon = 0,6*\left( 1 - \frac{20}{250} \right) = \mathbf{0,55}$$

$$V_{Rd2} = \upsilon*f_{\text{cd}}*b_{w}*0,9*d*\frac{\text{cotθ}}{1 + cot^{2}\theta}$$

$$V_{Rd2} = 0,55*13300*0,2*0,9*0,37*\frac{1}{1 + 1^{2}} = \mathbf{243,59}\mathbf{\text{kN}} > 135,86\mathbf{\text{kN}}$$

warunek spełniony

Wyznaczenie zbrojenia poprzecznego

$$V_{\text{Sd}} < V_{Rd3} = \frac{A_{sw1}*f_{ywd1}}{s_{1}}*0,9*d*cot\theta$$

$$s_{1,max\ } = \frac{A_{sw1}*f_{ywd1}}{V_{\text{Sd}}}*0,9*d*cot\theta$$

$$s_{1,max\ } = \frac{2,01*10^{- 4}*21*10^{4}}{135,86}*0,9*0,37*1 = \mathbf{0,10}\mathbf{m = 10,0}\mathbf{\text{cm}}$$

przyjęto S₁ = 10,0cm < 27,75cm

< 40cm

< 100,5cm

1. Belka w płaszczyźnie poziomej

Zastępcze obliczeniowe obciążenie równomierne wynosi:

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q}_{v} = \frac{H}{a_{r}}$$

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q}_{v} = \frac{160}{2,25} = \mathbf{71,11\ kN/m}$$

gdzie H jest siłą w ściągu, natomiast ar jest przyjętym rozstawem ściągów.

Schemat statyczny belki wezgłowiowej w płaszczyźnie poziomej jest belką pięcioprzęsłową o rozpiętościach przęseł wynoszących 2,25 m (odpowiadających założonemu rozstawowi ściągów stalowych):

Ekstremalne siły wewnętrzne

M_prz = 0,0781*71,11*2,25² = 28,11 kNm (pierwsze przęsło)

M_podp = -0,105*71,11*2,25² = -37,80 kNm (druga podpora)

V_podp = 0,606*71,11*2,25 = 96,96 kN (druga podpora z lewej)

Wymiarowanie

bw = 0,40 m h = 0,20 m d = 0,17 m

1. Przęsło – zginanie

$$\mu_{c} = \ \frac{M_{\text{Sd}}}{b_{w}*d^{2}*f_{\text{cd}}}$$

$$\mu_{c} = \ \frac{28,11}{0,40*{0,17}^{2}*13300} = \mathbf{0,18}$$

$$\xi = \ \frac{1 + \sqrt{1 - 2*\mu_{c}}}{2}$$

$$\xi = \ \frac{1 + \sqrt{1 - 2*0,18}}{2} = \mathbf{0,9}$$

$$A_{s1} = \ \frac{M_{\text{Sd}}}{f_{\text{yd}}*\xi*d}$$

$$A_{s1} = \ \frac{28,11}{310000*0,9*0,17} = 5,93*10^{- 4}m^{2} = \mathbf{5,93\ c}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}$$

minA_S1 = minρ₁ *  b_w * d

minA_S1 = 0, 0013 * 40 * 17 = 0, 88 cm² < 5, 93 cm²

przyjęto 6Ø12 mm o A_S1 = 6,79cm²

$$\rho_{1} = \ \frac{A_{S1}}{b_{w}*d}$$

$$\rho_{1} = \ \frac{6,79}{40*17}*100\% = \mathbf{0,99\%}$$

Podstawowa długość zakotwienia:

1. Pręty rozciągane, pręt nr.1 i nr.5

$$l_{b} = \ \frac{O*f_{\text{yd}}}{4*f_{\text{bd}}}$$

$$l_{b} = \ \frac{1,2*310}{4*2,3}$$

l_b= 40, 43cm

1. Pręty ściskane, pręt nr.1 i nr.5

$$l_{b} = \ \frac{O*f_{\text{yd}}}{4*f_{\text{bd}}}$$

$$l_{b} = \ \frac{1,2*310}{4*2,3}$$

l_b= 40, 43cm

Obliczeniowa długość zakotwienia:

1. Pręty rozciągane, pręt nr.1 i nr.5

$$l_{\text{bd}} = \ \alpha_{a}*l_{b}*\frac{A_{s,req}}{A_{s,prov}}$$

$$l_{\text{bd}} = \ 1*40,43*\frac{5,93}{6,79}$$

l_bd= 35, 31cm

l_bmin =  0, 3 * l_b

l_bmin =  0, 3 * 40, 43

l_bmin= 12, 13

l_bd > 10cm                                                               l_bd > l_bmin

35, 31cm > 10cm                                    35, 31cm > 12, 13cm

Przyjęto: l_bd = 35,31cm

1. Pręty ściskane, pręt nr.1 i nr.5

$$l_{\text{bd}} = \ \alpha_{a}*l_{b}*\frac{A_{s,req}}{A_{s,prov}}$$

$$l_{\text{bd}} = \ 1*40,43*\frac{2,26}{2,26}$$

l_bd= 40, 43 cm

l_bmin =  0, 6 * l_b

l_bmin =  0, 6 * 40, 43

l_bmin= 24, 26

l_bd > 10cm                                                               l_bd > l_bmin

40, 43cm > 10cm                                    40, 43cm > 24, 26cm

Przyjęto: l_bd = 41,00cm

1. Podpora – zginanie

$$\mu_{c} = \ \frac{M_{\text{Sd}}}{b_{w}*d^{2}*f_{\text{cd}}}$$

$$\mu_{c} = \ \frac{37,8}{0,40*{0,17}^{2}*13300} = \mathbf{0,25}$$

$$\xi = \ \frac{1 + \sqrt{1 - 2*\mu_{c}}}{2}$$

$$\xi = \ \frac{1 + \sqrt{1 - 2*0,25}}{2} = \mathbf{0,85}$$

$$A_{s1} = \ \frac{M_{\text{Sd}}}{f_{\text{yd}}*\xi*d}$$

$$A_{s1} = \ \frac{37,8}{310000*0,87*0,17} = \mathbf{8,24*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 4}}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 8,24\ c}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}$$

minA_S1 = minρ₁ *  b_w * d

minA_S1 = 0, 0013 * 40 * 17 = 0, 88 cm² < 8, 24 cm²

przyjęto 2Ø12 i 3Ø16 mm o A_S1 = 8,29cm²

$$\rho_{1} = \ \frac{A_{S1}}{b_{w}*d}$$

$$\rho_{1} = \ \frac{8,29}{40*17}*100\% = \mathbf{1,22\%}$$

Podstawowa długość zakotwienia:

Pręty rozciągane, pręt nr.6

$$l_{b} = \ \frac{O*f_{\text{yd}}}{4*f_{\text{bd}}}$$

$$l_{b} = \ \frac{1,6*310}{4*2,3}$$

l_b= 53, 91cm

Obliczeniowa długość zakotwienia:

Pręty rozciągane, pręt nr.6

$$l_{\text{bd}} = \ \alpha_{a}*l_{b}*\frac{A_{s,r\text{eq}}}{A_{s,prov}}$$

$$l_{\text{bd}} = \ 1*53,91*\frac{8,24}{8,29}$$

l_bd= 53, 58 cm

l_bmin =  0, 3 * l_b

l_bmin =  0, 3 * 53, 91

l_bmin= 16, 17

l_bd > 10cm                                                               l_bd > l_bmin

53, 58cm > 10cm                                  53, 58cm > 16, 17cm

Przyjmuje l_bd = 53,60cm

1. Podpora – ścinanie

Sprawdzenie konieczności zbrojenia na ścinanie

k = 1,6 – d > 1

k = 1,6 – 0,17 = 1,43 > 1

$$\rho_{1} = \ \frac{A_{S1}}{b_{w}*d} < 0,01$$

$$\rho_{1} = \ \frac{8,29}{40*17} = \mathbf{0,0122} > 0,01\ \ \ \ przyjmuje\ wiec\ \mathbf{\rho}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ 0,01\ }$$

V_Rd1 = 0,35*k*f_ctd*(1,2+40ρ₁)*b_w*d

V_Rd1 =0,35*1,43*1000*(1,2+40*0,01)*0,40*0,17 = 54,45kN < 96,96 kN

• zbrojenie poprzeczne potrzebne obliczeniowo

długość odcinka ścinania

$$c_{S} = \ \frac{V_{\text{Sd}} - V_{Rd1}}{q_{V}}$$

$$c_{S} = \ \frac{96,96 - 54,45}{71,11} = \mathbf{0,60}\mathbf{m}$$

dla zbrojenia poprzecznego w postaci pionowych strzemion czterociętych Ø8

$$A_{sw1} = m*\frac{\pi*\phi^{2}}{4}$$

$$A_{sw1} = 4*\frac{3,14*{0,8}^{2}}{4} = \mathbf{2,01}\mathbf{c}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}$$

minimalny stopień zbrojenia poprzecznego

$$\rho_{w,min} = \frac{0,08*\sqrt{f_{\text{ck}}}}{f_{\text{yk}}}$$

$$\rho_{w,min} = \frac{0,08*\sqrt{20}}{355} = \mathbf{0,001}$$

maksymalny rozstaw strzemion

$$s_{1,max} = \ \frac{A_{sw,1}}{b_{w}*\rho_{w,min}}$$

$$s_{1,max} = \ \frac{2,01}{40*0,001} = \mathbf{50,25}\mathbf{\text{cm}}$$

maksymalny rozstaw strzemion (konstrukcyjne)

s_1,max = 0,75*d < 40cm

s_1,max = 0,75*17 = 12,75 cm < 40cm

Sprawdzenie betonowych krzyżulców ściskanych (θ = 45°, cotθ = 1,0)

$$\upsilon = 0,6*(1 - \frac{f_{\text{ck}}}{250})$$

$$\upsilon = 0,6*\left( 1 - \frac{20}{250} \right) = \mathbf{0,55}$$

$$V_{Rd2} = \upsilon*f_{\text{cd}}*b_{w}*0,9*d*\frac{\text{cotθ}}{1 + cot^{2}\theta}$$

$$V_{Rd2} = 0,55*13300*0,40*0,9*0,17*\frac{1}{1 + 1^{2}} = \mathbf{203,49kN} > 96,96\mathbf{\text{kN}}$$

warunek spełniony

Wyznaczenie zbrojenia poprzecznego

$$V_{\text{Sd}} < V_{Rd3} = \frac{A_{sw1}*f_{ywd1}}{s_{1}}*0,9*d*cot\theta$$

$$s_{1,max\ } = \frac{A_{sw1}*f_{ywd1}}{V_{\text{Sd}}}*0,9*d*cot\theta$$

$$s_{1,max\ } = \frac{2,01*10^{- 4}*21*10^{4}}{96,96}*0,9*0,17*1 = \mathbf{0,67}\mathbf{m = 6,7}\mathbf{\text{cm}}$$

Przyjęto S₁ = 6,7cm < 12,75cm

< 40 cm

< 50,25cm

,

1.1.3 Ściąg

1. Wyznaczenie wymiaru boku ‘a’ płytki kotwiącej

współczynnik warunków pracy:

m = 1,4

siła w ściągu:

H = 160 kN < 600 kN - przyjęto ściąg wiotki

wymagany przekrój ściągu:

$$A_{s} = m*\frac{H}{f_{\text{yd}}}$$

$$A_{s} = 1,4\ *\frac{160}{310000}\ *\ 10^{4} = \mathbf{7,22}\mathbf{c}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}$$

potrzebna średnica ściągu:

$$O = \sqrt{\frac{4*A_{s}}{\pi}}$$

$O = \sqrt{\frac{\mathrm{4*7,22}}{\mathrm{\pi}}} = 3,03\text{cm} = 30,3\text{mm}$ - przyjęto 30mm

powierzchnia docisku kwadratowej płytki kotwiącej o boku ‘a’:

A_co = a²

powierzchnia rozdziału (rysunek poniżej)

A_c1 = (3a)² = 9a²

współczynnik docisku:

$$\omega_{u} = \frac{A_{c1}}{A_{\text{co}}} = \ \sqrt{\frac{9a^{2}}{a^{2}}}\ = 3,00 > \ \omega_{u,max} = \mathbf{2,5}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ przyjeto\ 2,5$$

wytrzymałość betonu na docisk:

f_cud =  ω_u * f_cd^*

f_cud =  2, 50 * 11, 1 = 27, 75 MPa

potrzebna powierzchnia docisku elementu kotwiącego ściąg

$$A_{\text{co}} = \frac{H}{f_{\text{cud}}}$$

$$A_{\text{co}} = \frac{160}{27750}*10^{4} = \mathbf{57,66\ c}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}$$

bok kwadratowej płytki kotwiącej

$$a = \ \sqrt{A_{\text{co}}}$$

$$a = \ \sqrt{57,66} = 7,59\ cm\ \ \ \ \ \ - przyjeto\ \mathbf{a = 8cm}$$

2. Dane do regulacji ściągu

przyjęty przekrój ściągu

$$A_{s} = \frac{\pi*\ O^{2}}{4}$$

$$A_{s} = \frac{\pi*\ 30^{2}}{4}*10^{- 2} = \mathbf{7,07\ c}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}$$

naprężenia w ściągu

$$\sigma_{s} = \frac{H}{A_{s}}$$

$$\sigma_{s} = \frac{160}{7,07*10^{- 4}} = \ \mathbf{226308\ kPa}$$

ciężar objętościowy stali

$$\gamma_{s} = 78,50\frac{\text{kN}}{m^{3}}$$

przyspieszenie ziemskie

$$g = 9,81\frac{m}{s^{2}}$$

długość ściągu

l = 16, 80 m

częstość drgań własnych

$$n = \frac{1}{2*l}*\sqrt{\frac{g*\sigma_{s}}{\gamma_{s}}}$$

$$n = \frac{1}{2*16,80}*\sqrt{\frac{9,81*226308}{78,50}} = \mathbf{5,00\ }\mathbf{s}^{\mathbf{- 1}}$$

2. Sprawdzenie ściągu na wyrwanie

Obwód płytki kotwiącej

u₁ = 4a₁

u₁ = 4 * 8 = 32 cm² = 0, 32 m²

Obwód powierzchni rozdziału

u₂ = 4 * (a₁ + 2 * h)

u₂ = 4 * (8+2*20) =  192 cm² = 1, 92 m²

Obwód uśredniony

$$u_{sr} = {(u}_{1} + \ u_{2})\frac{1}{2}$$

$$u_{sr} = \frac{0,32 + \ 1,92}{2} = \mathbf{1,12\ }\mathbf{m}^{\mathbf{2}}$$

Sprawdzenie warunku na wyrwanie ściągu

H_sd < f_ctd * u_sr * h  

160kN < 1000 * 1, 12 * 0, 2  

160kN<224kN

warunek spełniony – ściąg nie ulegnie wyrwaniu