Macierze: A=[a_ij]_nxm n-l.wierszy m-l.kolumn det-Wyz. liczymy tylko z □ m.

(+) każdy wyraz tylko jak są te same wymiary. -(*) tylko jak wew. się zg np.: $\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{matrix}\ $*$\text{\ \ }\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ }$=$\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} 1*1 + 2*3 + 3*0 & \ 1*2 + 2*0 + 3*1 \\ 4*1 + 5*3 + 6*0 & \ 4*2 + 5*0 + 6*1 \\ \end{matrix}$

α*det(A) to mnożymy tylko 1wiersz lub kolumnę. det(A)=0 gdy

-2kolumny/wiersze są proporcjonalne. –kolumna/wiersz zerowy

Przekształcenia elementarne nie wpływają na wartość wyznacznika czyli kolumny i wiersze można dodawać i odejmować. Zmieniając kolejność dodajemy minus przed det[]. Wiersz i kolumnę można usunąć jeśli ustawimy 1 w rogu i w dół/bok+ zera (LAPLACEA). Rząd macierzy: Gdy usuwamy wiersz z kolumną to rz[A]+1. Gdy się powtarzają to pomijamy.

Met. Roz. Ukł. Równań: -Tw Cramera: W Wx Wy

-M. Gaussa: x=A^-1b x=$\left| \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{matrix} \right|$ b=$\left| \begin{matrix} b \\ b_{2} \\ \end{matrix} \right|$ x=$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix} \right|$ A^-1=1/det(A) A^d

–M. przekształceń elementarnych: [A I b]~[I I x] dział. tylko na wierszach.

Gdyby wych. to samo w 2wierszach i po I coś innego to sprzeczny. A jak to samo to można wykreślić wiersz. Zostaje 1 zbędny --- to parametr (p) więc mamy nieskończenie wiele rozwiązań. I-macierz jednostkowa[1\]

Macierz odwrotna: [A I I]~[I I A^-1] dz. tylko na wierszach. Musi być □.

Funkcje wielu zmiennych:

Wzory rachunku różniczkowego: (x^a)’=ax^n-1 x>0 (x^x)’=x^x(lnx+1)

(sinx)’=cosx (cosx)’=-sinx

(tgx)’=1/cos²x=1+tg²x (ctgx)’=-1/sin²x=-(1+ctg²x)

(arcsinx)’=1/$\sqrt{1 - x^{2}}$ (arccosx)’=-1/$\sqrt{1 - x^{2}}$

(arctgx)’=1/1+x² (arctgx)’=-1/1+x²

(e^x)’=e^x (a^x)’=a^xln a

(lnIxI)’=1/x (log_aIxI)’=1/xlna=1/x *log_ae

(sinh x)’=cosh x (cosh x)’=sinh x

(tgh x)’=1/cosh²x (ctgh x)’=-1/sinh²x

(arcsinh x)’=1/$\sqrt{1 + x^{2}}$ (arcosh x)’=1/$\sqrt{x^{2} - 1}$

(artgh x)’=1/1-x² (arctgh x)’=-1/1-x²

Działania rachunku różniczkowego: A=e^lnA

[f(x)+g(x)]’=f’(x)+g’(x) [f(x)-g(x)]’=f’(x)-g’(x)

[f(x)*g(x)]’=f’(x)*g(x)+g’(x)*f(x) $\left\lbrack \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} \right\rbrack^{'} = \frac{f^{'}\left( x \right)*g\left( x \right) - g^{'}\left( x \right)*f(x)}{{\lbrack g\left( x \right)\rbrack}^{2}}$

[n*f(x)]’=n[f(x)]’=n*f’(x) (n-stała) [f(g(x))]’=[f’(U)]_U=g(x)*g’(x)

[f(x)]^g(x)=e^g(x)*lnf(x) [f*g]’’=f’’g+f’g’+fg’’

Ekstrema lokalne f.2zmiennych: I) Warunek konieczny: Jeżeli istnieje w pkt: (Xo,Yo) to $\left\{ \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \right.\ $ $\frac{\partial f}{\partial x}\left( Xo,Yo \right) = 0\ \ \ \ \frac{\partial f}{\partial y}\left( Xo,Yo \right)$=0 pkt.pod= stacj.

II) War. Dostateczny: Niech W(x,y)=det$\left| \begin{matrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y) & \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y) \\ \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y) & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y) \\ \end{matrix} \right|$

1: Jeżeli W(Xo,Yo)>0 to: a: oraz $\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}$(XoYo)<0 to w (Xo,Yo) jest max lokalne

b: oraz $\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}$(XoYo)>0 to w (Xo,Yo) jest minimum lokalne.

2: Jeżeli W(Xo,Yo)<0 brak ekstremum. 3: W(Xo,Yo)=0, to nie wiadomo.

Np.: e^-xy=0 <=> y=0 bo zawsze e^-x>0

Równania różniczkowe: zwyczajne (ODE): x’=f(t,x) x=x(t) x’=dx/dt

t-zmienna zależna; x-zm.niezależna; x’=g(t)h(x)

-Segregujemy z 1str …dx z drugiej …dt. Całkujemy. Wyliczamy. Wychodzi np.: lnIx-2I=t+C Ix-2I=e^t+C x-2=+- e^ce^t x-2=Ce^t x=Ce^t+2

-Wsp. kierunkowy prostej x’=1 dx/dt=1 ∫dx = ∫1dt x=t+C

Zagadnienia CAUCHEGO(początkowe): $\left\{ \begin{matrix} Y^{'} = f(X,Y) \\ Y^{'}\left( \text{Xo} \right) = Yo \\ \end{matrix} \right.\ $ tj. (Xo,Yo) przez ten pkt przechodzi rozwiązanie. Rozwiązanie graficzne r.r: np.: y’=x+1 y-rozwiązanie y’(Xo)-wsp.kier.prost. stycz. do krzywej y w pkt (Xo,Y(Xo))

równanie stycznej: $\left\{ \begin{matrix} y = y^{'}\left( x \right) + b \\ Po(Xo,Yo) \\ \end{matrix} \right.\ $ b=? i podstawiamy np1.: (0,0) tj Xo=0 u Yo=0 y’=y’(Xo)=0+1=1 równ stycznej do y w (0,0) ly=1x+b b=0 y=x

np2.: (-2,-3) ly=(-1)x+b -3=(-1)(-2)+b b=-5 itd… R.R.Jednorodne: Podstawiamy u=y/x i wychodzi r,r, o zm. rzędu postaci xu’=f(u)-u np.: y’=y-x//x y’=y/x-1 tj. r.r.j. czyli typu f(y/x) Zad: xy’=y+2x → y’=y/x +2 i teraz u=y/x xu=y uxu’=y u+xu’=u+2 xu’=2 r.r.o zm. rozdz. xdu/dx=2 du=2dx/x ∫du=2$\int_{}^{}\frac{1}{x}\text{dx}$ u=2lnIxI+C_o y=x(2lnIxI+C_o) rozw. ogólne.

Szeregi liczbowe: Suma ciągu geom: S_n=a₁$\frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ Zbieżnego: S=a₁/(1-q)

S=$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n} = \operatorname{}{S_{n} =}\operatorname{}{\sum_{k = 1}^{n}a_{n}}$ S<oo zbieżny S=oo rozbieżny. Warunek konieczny zbieżności szeregu: $\sum_{n}^{}{a_{n} < \infty\ }$ → a_n = 0  UW: $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$rozbieżny chociaż lim1/n=0 (szereg harmoniczny).

Kryterium porównawcze: 0≤an≤bn dla n≥n_o n_oeN

WSK: $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{a}} = \left\{ \begin{matrix} < \infty\ dla\ a > 1 \\ rozb\ dla\ a \leq 1 \\ \end{matrix} \right.\ $ Kryterium ilorazowe d’Alamberta:

ξ=$\operatorname{}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ to 1. $\sum_{n}^{\infty}a_{n} < \infty\ $dla ξ<1 2. $\sum_{n}^{\infty}a_{n}\text{rozb\ }$dla ξ>1 ξ=1 ?

Cauchego: ξ=$\operatorname{}\sqrt[n]{a_{n}}$ -II- Naprzemienny: $\sum_{n}^{\infty}{( - 1)^{n}}b_{n}$ b_n≥0 np.:

$\sum_{n}^{\infty}{( - 1)^{n}}\frac{1}{n}\ $-szereg anharmoniczny(zb). Kr.Laibnitza: lim_{n → ∞}b_n = 0 to

b_n-malejący. Jest zbieżność: a)w zwykłym sensie (badamy zb $\sum_{n}^{\infty}{( - 1)^{n}}b_{n}$)

b) bezwzględna (b.zb: $\sum_{n}^{\infty}{I( - 1)^{n}}b_{n}I$). Jeżeli zachodzi a i nie Zach b to szereg jest zb. Warunkowo. Podaj obszar zbieżności szeregu: g=$\operatorname{}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ lub g=$\operatorname{}\sqrt[n]{a_{n}}$ wtedy promień zb. R=0 dla g=oo;

R=oo dla g=0; R=1/g dla g<oo; Oraz zachodzi A) $\sum_{n}^{\infty}a_{n}$(x-x_o)ⁿ środek w X_o

Jeszt zbieżny dla Ix-x_oI<R czyli xe(-R+X_o,R+X_o) B) jest rozbieżny dla Ix-x_oI>R

Xe(-oo,-R+X_o)v(R+X_o,+oo); C) Dla x=+-R+X_o nie wiadomo. ZAD1: $\sum_{n = 1}^{\infty}\left( \frac{x}{2} \right)^{2}\frac{1}{3n}$=$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{3n{*2}^{n}}x^{n}$ Xo=0 zawsze ge<0,oo) g=$\operatorname{}\sqrt[n]{\frac{1}{3n*2^{n}}}\ $=$\ \operatorname{}{\frac{1}{\sqrt[n]{3}\sqrt[n]{n}*2} = \frac{1}{2}}$ <oo więc R=1/q=1//1/2=2 Zatem:

IxI<2 zbieżny xe(-2,2); rozbieżny dla IxI>2 xe(-oo,-2)v(2,oo) ; nie wiadomo dla x=-2 i x=2, więc badamy zbieżność dla nich. X=-2: $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{3n{*2}^{n}}{( - 2)}^{n}$= $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{3n}{( - 1)}^{n}$=$\frac{1}{3}\sum_{n = 1}^{\infty}{( - 1)^{n}}\frac{1}{n}$ <oo zbieżny szereg harmoniczny. $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{3n}{(2/2)}^{n}$=$\frac{1}{3}\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$ =oo rozbieżny szereg. ODP: Obszar zbieżności naszego szeregu to przedział <-2,2). ZAD2: $\sum_{n = 3}^{\infty}{\frac{x^{\frac{n}{2}}}{4n^{2}}\left( \frac{x}{5} \right)^{2}}$= $\sum_{n = 3}^{\infty}{\frac{1}{4n^{2}*5n}\left( x^{\frac{3}{2}} \right)^{n}}$ g=$\operatorname{}\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{4n^{2}*5^{n}}{4(n + 1)^{2}*5^{n}*5} = \frac{1}{5}$ q=1/5 R=5

Uwzględniamy $x^{\frac{3}{2}}$=5 i $x^{\frac{3}{2}}$=-5 $\sum_{n = 3}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}}$ $\sum_{n = 3}^{\infty}{- \frac{1}{4n^{2}}}$ szereg harmoniczny zbieżny. $\left| x^{\frac{3}{2}} \right| = 5$ . $\left| x^{\frac{3}{2}} \right| = \sqrt[3]{25}$ ODP: O.ZB.SZER. to przedział xe$\left\langle - \sqrt[3]{25},\ \sqrt[3]{25} \right\rangle$