Akademia Techniczno-Humanistyczna
w Bielsku-Białej
Wydział: Budowy Maszyn i Informatyki
Kierunek: Zarządzanie i Inżynieria Produkcji
Rok akademicki: 2011/2012; Semestr III

ĆWICZENIE NR 65

Wyznaczanie pojemności kondensatora metodą drgań relaksacyjnych.

Grupa: 106

1. Wstęp teoretyczny

Kondensator - jest to element elektryczny (elektroniczny), zbudowany z dwóch przewodników (okładek) rozdzielonych dielektrykiem.

Doprowadzenie napięcia do okładek kondensatora powoduje zgromadzenie się na nich ładunku elektrycznego. Po odłączeniu od źródła napięcia, ładunki utrzymują się na okładkach siłami przyciągania elektrostatycznego. Jeżeli kondensator, jako całość, nie jest naelektryzowany to cały ładunek zgromadzony na obu okładkach jest jednakowy co do wartości, ale przeciwnego znaku. Kondensator charakteryzuje pojemność określająca zdolność kondensatora do gromadzenia ładunku:

Wzór na pojemność kondensatora:

$$C = \frac{Q}{U}$$

C – pojemność, w faradach [F]

Q – ładunek zgromadzony na jednej okładce, w kulombach [C]

U – napięcie elektryczne między okładkami, w woltach [V]

Farad:

$$1F = \frac{1C}{1V} = \frac{s^{4}{\bullet A}^{2}}{kg \bullet m^{2}}$$

Pojemność wyrażana jest w faradach. Jeden farad to bardzo duża jednostka, dlatego w praktyce spotyka się kondensatory o pojemnościach piko-, nano-, mikro- i milifaradów.

Pojemność elektryczna przewodnika:

To zdolność przewodnika do gromadzenia i przechowywania ładunku elektrycznego.

Pojemność elektryczna przewodnika zależy od:

• rozmiarów przewodnika,

• obecności innych przewodników,

• ośrodka, w którym się dany przewodnik znajduje,

Wzór na pojemność przewodnika:

$C = \frac{Q}{V}$ $\ \left\lbrack \frac{1C}{1V} = 1F \right\rbrack$

gdzie:

C – pojemność przewodnika [F]

Q – ładunek elektryczny [C]

V – potencjał [V]

Łączenie kondensatorów:

Kondensatory w układach mogą być łączone:

• szeregowo

• równolegle

• mieszanie

Połączenie szeregowe:

Przy łączeniu kondensatorów w szereg odwrotność  pojemności wypadkowej jest sumą odwrotności pojemności składowych. Przy większych układach możliwy jest mieszany sposób łączenia kondensatorów, wykorzystujący zarówno połączenia szeregowe, jak i równoległe.

Pojemność zastępcza kondensatorów w układzie szeregowym:

$$\frac{1}{C_{\text{sz}}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}} + \ldots + \frac{1}{C_{n}}$$

Połączenie szeregowe

Cechy charakterystyczne połączenia szeregowego:

• ładunki na każdym kondensatorze mają jednakową wartość

• napięcie całkowite przyłożone do gałęzi jest sumą napięć na

• poszczególnych kondensatorach

• dowolną ilość szeregowo połączonych kondensatorów można

• zastąpić jednym. Zamiana ta nie może spowodować zmiany

• napięcia całkowitego U i ładunku zgromadzonego w układzie.

Połączenie równoległe:

Łącząc kondensatory równolegle, wartość zastępcza ich pojemności jest sumą pojemności składowych poszczególnych kondensatorów. 

Cechy charakterystyczne połączenia równoległego:

• napięcie na każdym z kondensatorów jest jednakowe

• ładunek całkowity jest sumą ładunków na poszczególnych kondensatorach

• dowolną ilość równolegle połączonych kondensatorów można zastąpić jednym.

Pojemność zastępczą Cz obliczamy ze wzoru:

Cz =C₁ + C₂ + C₃ + … + C_n

Połączenie równoległe

Połączenie mieszane to takie, w którym występują łączenia równoległe i szeregowe.

Pojemność kondensatora płaskiego:

$$C = \frac{\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}S}{d}$$

gdzie:

S – powierzchnia okładek kondensatora

d – odległość między okładkami

Pojemność kondensatora walcowego (cylindrycznego):

C=$\ \frac{2\pi\varepsilon_{r}\varepsilon_{l}\ }{\ln\frac{r_{2}}{r_{1}}}$

gdzie:

l – długość okładek kondensatora walcowego

r1 – promień wewnętrznej okładki kondensatora

r2 – promień zewnętrznej okładki kondensatora

Pojemność kondensatora kulistego (sferycznego):

C= $\frac{4\pi\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}r_{1}r_{2}}{r_{2} - r_{1}}$

gdzie:

r1 – promień wewnętrznej okładki kondensatora,

r2 – promień zewnętrznej okładki kondensatora.

W poniższych wzorach ε₀  jest przenikalnością elektryczną próżni, zaś ε_r– względną przenikalnością elektryczną ośrodka, z którego wykonano dzielący okładki izolator.

Energia pola elektrycznego kondensatora:

W= E=$\ \frac{CU^{2}}{2}$

gdzie:

W= E – energia pola elektrycznego kondensatora [J]

C – pojemność [F]

U – napięcie elektryczne [V]

Drgania relaksacyjne :

Drgania samowzbudne, nieharmoniczne, zachodzące w układach nieliniowych, w których istotną rolę odgrywają siły dyssypacyjne (tarcie w układzie mechanicznym, opór czynny w układzie elektrycznym). Charakteryzują się powolnym wzrostem energii układu zasilanego z zewnętrznego źródła energii i gwałtownym jej spadkiem, np. wskutek dużego wzrostu oporów ruchu.

1. Wyniki pomiarów

Tabela 1.

	C [μF]	RC [s]	t10 [s]	T [s]
1.	1	1	22.41	2.24
2.	2	2	44.68	4.47
3.	3	3	67.06	6.706
4.	4	4	89.5	8.95
5.	5	5	11.8	11.18
6.	6	6	134.69	13.47
7.	7	7	157.16	15.72
8.	8	8	179.41	17.94
9.	9	9	201.92	20.18
10.	10	10	224.28	22.43
R = 1 [MΩ]
K = 2.245 ± 0.002 [1]	t0= - 0.02 ± 0.01 [s]
	t10 [s]	Tx[s]
11.	C1	23.1	2.31
12.	C2	104.85	10.485
13.	Cs	18.94	1.894
14.	Cr	128	12.8

Wartości parametrów i ich błędy bezwzględne:

a=2.245 Δa=0.002

b=-0.02 Δb=0.01

1. Przebieg Ćwiczenia

1.Używając kondensatora dekadowego zmierzyliśmy czas t₁₀ dziesięciu drgań relaksacyjnych dla każdej wartości pojemności C. Obliczenia umieściliśmy w tabeli nr1.

2. Dokonaliśmy pomiaru czasu t₁₀  dziesięciu drgań relaksacyjnych gdy kondensator dekadowy został zastąpiony przez: kondensator C₁; C₂ ; kondensatory C₁, C₂ połączone szeregowo ; kondensatory C₁, C₂ połączone równolegle. Obliczenia zapisane zostały w tabeli 1.

3. Następnie obliczyliśmy wartości iloczynów RC i okresów T drgań badanych w pkt.1 oraz wartości T₁,T₂,T_s,T_r okresów drgań badanych w pkt.2

4. Po czym obliczyliśmy parametr prostej regresji oraz jego błąd za pomocą programu komputerowego. Dane zostały zapisane w tabeli 1.

5.Obliczyliśmy wartość pojemności badanych kondensatorach C1, C2 oraz wartości pojemności szeregowego Cs i równoległego Cr połączenia tych kondensatorów.

$C_{x} = \frac{T_{x} - t_{0}}{\text{KR}}$ [μF]

gdzie:

K= 2.245 [s]

t0= -0.02 [s]

R = 1 [MΩ]

C1 = $\frac{2.31 + 0.02}{2.245*1} = 1.03$ [μF]

RC₁= 1*10⁶ * 1.03*10^-6 = 1.03 [Ω*F = $\frac{V}{A}*\frac{A*s}{V}$ = s]

C2 = $\frac{10.485 + 0.02}{2.245*1} = 4.68$ [μF]

RC₂ = 4.68 [s]

Cs = $\frac{1.894 + 0.02}{2.245*1} = 0.85$ [μF]

RC_s = 0.85 [s]

Cr = $\frac{12,8 + 0.02}{2.245*1} = 5.7$ [μF]

RC_r = 5.7 [s]

6.Błąd bezwzględny dla C1, C2, Cs, Cr.

$$\Delta C_{x} = C_{x}\left( \frac{\Delta T_{x} + \Delta t_{0}}{T_{x} - t_{0}} + \frac{\text{ΔK}}{K} + \frac{\text{ΔR}}{R} \right)$$

gdzie:

∆T_x≈ 0.2 [s]

$\frac{R}{R} = 0.02$

$C1 = 1.03(\frac{0.2 + 0.01}{2.31 + 0.02} + \ \frac{0.002}{2.245} + \ 0.02) = 0.12\ \lbrack\mu F\rbrack$

$C2 = 4.68\ (\frac{0.2 + 0.01}{10.485 + 0.02} + \ \frac{0.002}{2.245} + \ 0.02) = 0.19\ \lbrack\mu F\rbrack$

$Cs = 0.85(\frac{0.2 + 0.01}{1.894 + 0.02} + \ \frac{0.002}{2.245} + \ 0.02) = 0.11\ \lbrack\mu F\rbrack$

$Cr = 5.7(\frac{0.2 + 0.01}{12.8 + 0.02} + \ \frac{0.002}{2.245} + \ 0.02) = 0.21\ \lbrack\mu F\rbrack$

7.Obliczyliśmy także błędy względne wyrażone w procentach.

$$\frac{{C}_{s}}{C_{s}}*100\%$$

$$\frac{0.11}{0.85}*100 = 12.94\%$$

$$\frac{C_{r}}{C_{r}}*100\%$$

$$\frac{0.21}{5.7}*100 = 3.68\%$$

8. Obliczyliśmy także wartość zastępczą kondensatorów C1, C2.

Połączonych szeregowo:

$$C_{\text{zs}} = \frac{C_{1}*C_{2}}{C_{1} + C_{2}} = \frac{1.03*4.68}{1.03 + 4.68} = 0.84\ \lbrack\mu F\rbrack$$

Połączonych równolegle:

C_zr = C₁ + C₂ = 1.03 + 4.68 =  5.71 [μF]

9.Obliczenie względnych różnic wyrażonych w procentach.

pomiędzy wartościami C_s i C_zs

$$\delta = \left| \frac{C_{s} - C_{\text{zs}}}{C_{\text{zs}}} \right| \bullet 100\% = \ \left| \frac{0.85 - 0.84}{0.84} \right| \bullet 100\% = 0.012\%$$

pomiędzy wartościami C_r i C_zr

$$\delta = \left| \frac{C_{r} - C_{\text{zr}}}{C_{\text{zr}}} \right| \bullet 100\% = \ \left| \frac{5.7 - 5.71}{5.71} \right| \bullet 100\% = 0.0018\%$$

Tabela 2.

C1 ± ΔC1 [μF]	C2 ± ΔC2 [μF]	Cs ± ΔCs [μF]	$$\frac{\Delta C_{s}}{C_{s}}$$ [%]	Czs [μF]	δ [%]	Cr ± ΔCr [μF]	$$\frac{\Delta C_{r}}{C_{r}}$$ [%]	Czr [μF]	δ [%]
1.03±0.12	4.68±0.19	0.85±0.11	12.94	0.84	0.012	5.7±0.21	3.68	5.71	0.0018