TEORIA STEROWNIA

Zajęcia nr 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

O WSPÓŁCZYNNIKACH STAŁYCH

Rachunek oparta torów daje wygodne sposoby rozwiązywania równań różniczkowych liniowych. Szczególnie piękne pole do zastosowań stanowią równania cząstkowe, ale także w przypadku równań zwyczajnych stosowanie operatorów daje pewne korzyści w stosunku do metod klasycznych. Nie wymaga ono stworzenia dla tych równań żadnej osobnej teorii, sprowadzając je automatycznie, zarówno w przypadku jednorodności jak i niejednorodności do zwykłych równań algebraicznych.

Ważne w rozwiązywaniu równań będzie twierdzenie:

TWIERDZENIE:

sⁿa = a⁽ⁿ⁾ + a^{(n − 1)}(0) + sa^{(n − 2)}(0) + … + s^n − 1a(0)

Ze względu na zastosowanie przy rozwiązaniu równań różniczkowych najwygodniej jest zapisać ostatni wzór w postaci:

a⁽ⁿ⁾ = sⁿa − s^n − 1a(0) − … − sa^{(n − 2)}(0) − a^{(n − 1)}(0)

Ćwiczenie 1: Znaleźć rozwiązanie x(t) równania różniczkowego przy zadanych warunkach początkowych:

1. x^′ − x = (2t−1)e^t2,  x(0) = 2

2. x^″ − λ²x = 0 , λ ≠ 0,   x(0) = α ,  x^′(0) = β

3. x^″ − x^′ − 6x = 2 ,   x(0) = 1 ,  x^′(0) = 0

4. x⁽⁸⁾ + 2x⁽⁶⁾ − 2x^″ − x = 0 ,   x(0) = x^″(0) = x⁽⁴⁾(0) = x⁽⁶⁾(0) = 0 ,   x^′(0) = 2,   x⁽³⁾(0) = 2,   x⁽⁵⁾(0) = −1,   x⁽⁷⁾(0) = 11

5. x^′ − x = 1,  x(0) = 1

6. x^′ + x = e^−t,  x(0) = 1

7. x^″ − 2x^′ = e^2t ,   x(0) =  x^′(0) = 0

8. y^″ − 2y^′ − 3y = e^3t ,   y(0) =  y^′(0) = 0

9. y^″ + 4y = 8sin2t ,   y(0) = 0,   y^′(0) = 2

‘

Ćwiczenie 2: Rozwiązać układ równań różniczkowych przy zadanych założeniach:

1. $\left\{ \begin{matrix} x^{'} - \alpha x - \beta y = \beta e^{\text{αt}} \\ y^{'} + \beta x - \alpha y = 0 \\ \end{matrix},\ \right.\ \text{\ x}\left( 0 \right) = 1,\ y\left( 0 \right) = 1$

2. $\left\{ \begin{matrix} y^{'} + 5y + 2z = 0 \\ z^{'} - y + 7z = 0 \\ \end{matrix},\ \right.\ \text{\ y}\left( 0 \right) = 1,\ z\left( 0 \right) = 1$

3. $\left\{ \begin{matrix} x^{'} - 2y^{'} + x = 1 \\ {x + y}^{'} - 2y = e^{- t} \\ \end{matrix},\ \right.\ \text{\ x}\left( 0 \right) = 1,\ y\left( 0 \right) = 0$

4. $\left\{ \begin{matrix} y^{''} - y + z^{''} + z^{'} = e^{t} \\ y^{'} - y - z^{'} - 2z = {- e}^{t} \\ \end{matrix},\ \right.\ \ y^{'}\left( 0 \right) = \frac{3}{8},\ y\left( 0 \right) = 0,\ z^{'}\left( 0 \right) = - \frac{7}{8},\ z\left( 0 \right) = \frac{9}{8}$

5. $\left\{ \begin{matrix} x^{'} - z^{'} - z = 0 \\ - x^{'} - 2z^{'} + x + y = tht \\ {2x}^{''} + {2y}^{''} + z^{''} + z = - 2\frac{\text{sht}}{\text{ch}^{3}t} \\ \end{matrix},\ \ x\left( 0 \right) = x^{'}\left( 0 \right) = y\left( 0 \right) = z\left( 0 \right) = z^{'}\left( 0 \right) = 0 \right.\ $

Ćwiczenie 3: Znaleźć rozwiązanie x(t) równania różniczkowego przy zadanych warunkach początkowych:

Ćwiczenie 4: Rozwiązać układ równań różniczkowych przy zadanych założeniach: