a. (1,5 pkt) Rozwiąż zadanie metodą graficzną. Podaj decyzję optymalną i optymalną wartość funkcji celu.
b. (1 pkt) Wyznacz przedział stabilności współczynnika funkcji celu przy zmiennej x1.
c. (0,5 pkt) Podaj przykładową funkcję celu, dla jakiej zadanie nie ma rozwiązania optymalnego przy kryterium maksymalizacji.
d. (1 pkt) Wyznacz i zinterpretuj przedział stabilności wyrazu wolnego w pierwszym warunku ograniczającym.
| Produkt/składnik | ryba | konserwant | zalewa | CENA |
|---|---|---|---|---|
| Deep Sea | 100g/puszka | 2g/puszka | 30g/puszka | 3zł |
| OhTuna | 80g/puszka | 1g/puszka | 40g/puszka | 2zł |
| BestFish | 200g/puszka | - | 20g/puszka | 3,5zł |
| ZAPAS | 100kg | 10kg | 40kg |
| Wartość | Przyrost | Współczynnik | Dopuszczalny | Dopuszczalny | |
|---|---|---|---|---|---|
| Nazwa | końcowa | krańcowy | funkcji celu | wzrost | spadek |
| DeepSea | 500 | 0 | 3 | 1E+30 | 0,05 |
| OhTuna | 0 | -0,025 | 2 | 0,025 | 1E+30 |
| BestFish | 250 | 0 | 3,5 | 2,5 | 0,166666667 |
| Wartość | Cena | Prawa strona | Dopuszczalny | Dopuszczalny | |
| Nazwa | końcowa | dualna | w. o. | wzrost | spadek |
| Ryba | 100 | 17,5 | 100 | 200 | 50 |
| konserwant | 10 | 62,5 | 10 | 10 | 10 |
| Zalewa | 20 | 0 | 40 | 1E+30 | 20 |
a. (1,5 pkt) Zbuduj model matematyczny dla problemu maksymalizacji przychodów firmy.
b. (0,5 pkt) Jaką ilość poszczególnych rodzajów tuńczyka powinna produkować firma i jaki będzie wówczas jej przychód?
c. (1 pkt) Jakiej zmiany maksymalnego przychodu firmy należy się spodziewać w przypadku wzrostu zasobów ryby o 100kg?
d. (1 pkt) Jaki wpływ na optymalną strukturę produkcji i osiągany wówczas przychód firmy miałby wzrost ceny tuńczyka DeepSea do 4zł za puszkę?
Zadanie 3
Na podstawie podanych informacji dotyczących trzygałęziowego, zamkniętego systemu gospodarczego:
| Gałąź | Przepływy | Produkt końcowy |
|---|---|---|
| 1 | 2 | |
| 1 | … | 10 |
| 2 | … | 100 |
| 3 | 5 | … |
| Amortyzacja | 5 | 20 |
| Płace | … | … |
| Zysk | 5 | 20 |
| Produkt globalny | 50 | 200 |
| Materiałochłonność | … | … |
| Płacochłonność | 0,20 | 0,20 |
$$\mathbf{L} = \begin{bmatrix}
& & \\
- 0,3 & & \\
& & \\
\end{bmatrix}$$
a. (1,5 pkt) Uzupełnij brakujące elementy TPM.
b. (1 pkt) Oblicz brakujące element macierzy Leontiewa. Podaj interpretację elementu (3,1) tej macierzy.
c. (0,5 pkt) Oblicz rentowność każdej gałęzi.
d. (1 pkt) Oblicz, jak zmieni się produkt końcowy całego układu, jeśli produkcja globalna w każdej gałęzi wzrośnie o 10.
Zadanie 4
Aby ukończyć ścieżkę decyzyjną na pewnej uczelni student musi zaliczyć przynajmniej po dwa przedmioty z grupy „Matematyka”, „Badania operacyjne” oraz „Informatyka”. Niektóre przedmioty są przypisane do więcej niż jednej grupy:
| 1 | Badania operacyjne | M, BO |
|---|---|---|
| 2 | Analiza matematyczna i algebra | M |
| 3 | Bazy danych | I, M |
| 4 | Symulacje komputerowe | I, BO |
| 5 | Programowanie komputerów | I |
| 6 | Prognozowanie | M, BO |
| 7 | Statystyka i ekonometria | M, BO |
Część przedmiotów wymaga zaliczenia prerekwizytów: aby dostać się na Prognozowanie trzeba zaliczyć Statystykę i ekonometrię, a do tego wymaga się znajomości Analizy i algebry. Zaliczenie Programowania komputerów jest warunkiem zapisania się na Bazy danych oraz na Symulacje. Aby zbudować model w postaci zadania programowania matematycznego, pozwalający studentowi zaliczyć ścieżkę przy minimalnej liczbie przedmiotów, zdefiniowano binarne zmienne decyzyjne xi dla i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, przyjmujące wartość 1, jeżeli student wybierze przedmiot o numerze i, oraz 0 w przeciwnym przypadku.
a. (0,5 pkt) Podaj postać funkcji celu tego zadania
b. (1 pkt) Zapisz warunki ograniczające gwarantujące, że student wybierze wymaganą liczbę przedmiotów z każdej grupy.
c. (1 pkt) Zapisz warunki ograniczające gwarantujące uwzględnienie wszystkich prerekwizytów.
d. (1,5 pkt) Z rozwiązania optymalnego tego zadania wynika, że student powinien wybrać Analizę matematyczną i algebrę, ale nie musi zaliczać Statystyki i ekonometrii. Podaj pozostałe przedmioty tworzące rozwiązanie optymalne. Które przedmioty student powinien wybrać na kolejnych semestrach studiów, aby ukończyć ścieżkę w możliwie najkrótszym czasie, jeżeli każdy przedmiot trwa jeden semestr?
Zadanie 5
O trójgałęziowym zamkniętym systemie gospodarczym wiadomo, że: (1) produkcja globalna gałęzi I wynosi 300 jp., gałęzi II 360 jp., gałęzi III 240 jp., (2) gałąź I nie zużywa produktów z gałęzi III, a gałąź III nie zużywa produktów z gałęzi II, (3) w gałęzi I na wytworzenie produkcji globalnej o wartości 1 jp. zużywane są produkty własne o wartości 2/10 jp. oraz produkty z gałęzi II o wartości 4/10 jp., (4) współczynnik materiałochłonności gałęzi II wynosi 2/3, (5) w gałęzi II zużywane są produkty własne o wartości dwukrotnie większej od wartości produktów z gałęzi I oraz produkty z gałęzi III o wartości pięciokrotnie większej od wartości produktów z gałęzi I, (6) zużycie produkcyjne wyrobów gałęzi I wynosi 210 jp., (7) produkt krajowy brutto tego systemu wynosi 330 jp., (8) system spełnia warunek równowagi ogólnej.
(1,5 pkt) Zbuduj tablicę przepływów międzygałęziowych dla tego systemu z pominięciem wierszy amortyzacji, płac i zysków.
(0,5 pkt) Oblicz rentowność gałęzi III, jeśli zysk tej gałęzi stanowi 1/11 wartości dodanej brutto systemu.
(1 pkt) Wiedząc, że w systemie planuje się wzrost produkcji globalnej gałęzi I o 50 jp., brak zmian produkcji globalnej w gałęzi II oraz wzrost produkcji końcowej w gałęzi III o 7 jp., oblicz potrzebną zmianę produkcji globalnej w gałęzi III oraz zmiany produkcji końcowej w gałęziach I i II.
(1 pkt) Oblicz i zinterpretuj sumę elementów drugiej kolumny macierzy Leontiefa.
Zadanie 6
Dane jest ZPL
p.w.
(1)
(2)
(3)
(4)
Podaj rozwiązanie optymalne tego zadania i maksymalną wartość funkcji celu.
Jak zmieni się maksymalna wartość funkcji celu po wyeliminowaniu ze zbioru warunków ograniczających warunku (2)?
Dla jakich wartości współczynnika funkcji celu przy zmiennej punkt jest rozwiązaniem optymalnym tego zadania?
Dla jakich wartości wyrazu wolnego w warunku ograniczającym (2) zbiór rozwiązań optymalnych tego zadania jest odcinkiem?