Nr ćw. 303	Data: 2.12.2013	Imię i Nazwisko: Marcin Szczukocki Marcin Szczechowicz	Wydział Elektryczny	Semestr I	Grupa EN-2 nr lab.
Prowadzący: mgr Elżbieta Robak	Przygotowanie: Szczukocki, Szczechowicz	Wykonanie: Szczukocki, Szczechowicz	Ocena ostat. :

Wyznaczanie ogniskowych soczewek ze wzoru soczewkowego oraz metodą Bessela.

1. Wstęp teoretyczny

Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone dwoma powierzchniami sferycznymi. Oś łączącą środki krzywizny obu powierzchni nazywamy osią optyczną soczewki. Światło przechodzące przez soczewkę ulega kolejno załamaniu na obu jej powierzchniach. Promień przechodzący przez środek optyczny soczewki nie ulega załamaniu niezależnie od kąta padania na soczewkę. Wiązka promieni biegnąca równolegle do do osi optycznej skupia się w jednym punkcie, zwanym ogniskiem. Odległość ogniska od środka soczewki nazywamy ogniskową.

Dobierając odpowiednio promienie krzywizn buduje się soczewki skupiające i rozpraszające. Wiązka równoległa, padająca na soczewkę rozpraszającą staje się po przejściu przez nią wiązką rozbieżną. W tym przypadku ogniskiem jest punkt przecięcia się przedłużeń promieni załamanych.

Położenie ogniska zależne jest od współczynnika załamania n materiału soczewki względem ośrodka, w którym się znajduje, oraz od promieni krzywizn obu powierzchni ograniczających R1 i R2. Zależność ogniskowej f od powyższych parametrów określona jest równaniem:

(1)

Soczewki mają zdolność odwzorowywania punktów polegającą na tym, że promienie wybiegające z punktu P, zwanego przedmiotem, zostają skupione po przejściu przez soczewkę w punkcie O tworząc obraz przedmiotu. Położenie obrazu zależy od położenia przedmiotu oraz od ogniskowej soczewki - określone jest tzw. równaniem soczewkowym:

, (2)

gdzie: p - odległość przedmiotu od soczewki,

o - odległość obrazu od soczewki.

Równanie (2) może być stosowane w przypadkach, gdy:

(a) promienie wybiegające z P tworzą niewielki kąt z osią optyczną;

(b) soczewka jest cienka, tzn jej grubość jest mała w porównaniu z promieniami krzywizny.

W stosunku do odległości p, o, R1, R2 oraz f istnieje umowa określająca ich znaki:

(a) p jest zawsze dodatnie,

(b) o, R, f są dodatnie, gdy leżą po przeciwnej stronie soczewki niż przedmiot,

(c) o, R i f są ujemne, gdy leżą po tej samej stronie co przedmiot.

Metody znajdowania ogniskowych.

Na podstawie wzoru soczewkowego. Odległości p i o występujące we wzorze (2) są łatwo mierzalne, dzięki czemu wzór ten możemy wykorzystać do wyznaczenia ogniskowej f. Na ławie optycznej umieszczamy świecący przedmiot, soczewkę oraz ekran w ten sposób, aby na ekranie otrzymać wyraźny obraz przedmiotu. Ekran i soczewka umieszczone są na wózkach, co umożliwia ich przesuwanie wzdłuż ławy. Wskaźnik wózka przesuwający się względem podziałki naniesionej na ławie wyznacz dokładnie położenie wózka lub soczewki.

Ponieważ oszacowanie ostrości obrazu jest połączone z dużą niepewnością, ustawienie wózka powtarzamy kilkakrotnie, notujemy za każdym razem położenie wózka, po czym obliczamy wartość średnią.

Znając odpowiednie położenia obliczamy odległości przedmiotu i obrazu, a następnie z równania (2) znajdujemy ogniskową.

Opisana metoda nie może być stosowana bezpośrednio do soczewek rozpraszających, gdyż nie dają one obrazu rzeczywistego. Możemy jednak obliczyć ogniskową układu złożonego z badanej soczewki rozpraszającej i soczewki skupiającej. Mając ogniskową układu f oraz ogniskową fs soczewki skupiającej, znajdujemy ogniskową fr soczewki rozpraszającej z równania:

(3).

Przy stosowaniu tej metody należy pamiętać, że obraz rzeczywisty uzyskamy wtedy, gdy spełniony będzie warunek oraz, że ogniskowa soczewki rozpraszającej jest ujemna.

metoda bessela. Odległości obrazu i przedmiotu występują w równaniu (2) w postaci symetrycznej, tzn. że po zamianie ich wartości równanie pozostaje w dalszym ciągu prawdziwe. Fizyczną konsekwencją symetrii równania soczewkowego jest możliwość uzyskania ostrego obrazu przy dwóch położeniach soczewki względem przedmiotu.

Przy stałej odległości l przedmiotu od ekranu obraz powstaje w odległości o oraz o' = p od soczewki. Przy jednym położeniu obraz jest pomniejszony, a przy drugim powiększony w stosunku do przedmiotu.

Możemy napisać układ równań:

o + p = l

o - p = e.

Z powyższych równań wyliczamy p oraz o i następnie wstawiamy do równania (2), otrzymując po prostych przekształceniach

(4).

Aby wyznaczyć ogniskową soczewki lub układu soczewek z równania (4) należy zmierzyć odległość przedmiotu od ekranu l odległość e między dwoma położeniami soczewki, przy których obraz na ekranie jest ostry.

1. Pomiary

I seria pomiarowa

	Obraz bliższy (odległość obrazu od soczewki „o”) [cm]	Obraz dalszy (odległość obrazu od soczewki „o”) [cm]
Soczewka skupiająca A	14,5	89
Soczewka skupiająca B	40,8	69,3
Soczewka skupiająca C	24,7	78,7
Układ: soczewka rozpraszająca 1 + skupiająca A	22,1	81,7
Układ: soczewka rozpraszająca 2 + skupiająca A	37	68,6
Układ: soczewka rozpraszająca 3 + skupiająca A	19	86

Ad. Dla układu z soczewkami skupiającymi B i C uzyskany obraz nie istniał, zatem przeprowadzono pomiary tylko z soczewką skupiającą A.

II seria pomiarowa

	Obraz bliższy (odległość obrazu od soczewki „o”) [cm]	Obraz dalszy (odległość obrazu od soczewki „o”) [cm]
Soczewka skupiająca A	14,6	89,2
Soczewka skupiająca B	40,4	69
Soczewka skupiająca C	24,5	79
Układ: soczewka rozpraszająca 1 + skupiająca A	22	81,9
Układ: soczewka rozpraszająca 2 + skupiająca A	36,7	68,5
Układ: soczewka rozpraszająca 3 + skupiająca A	18,6	85,9

III seria pomiarowa

	Obraz bliższy (odległość obrazu od soczewki „o”) [cm]	Obraz dalszy (odległość obrazu od soczewki „o”) [cm]
Soczewka skupiająca A	14,8	89,4
Soczewka skupiająca B	40,3	68,8
Soczewka skupiająca C	24,3	78,9
Układ: soczewka rozpraszająca 1 + skupiająca A	22,3	82
Układ: soczewka rozpraszająca 2 + skupiająca A	36,5	68,4
Układ: soczewka rozpraszająca 3 + skupiająca A	19,1	85,9

UŚREDNIENIE WYNIKÓW POMIARÓW

	Obraz bliższy (odległość obrazu od soczewki „o”) [cm]	Obraz dalszy (odległość obrazu od soczewki „o”) [cm]
Soczewka skupiająca A	14,6	89,2
Soczewka skupiająca B	40,5	69,0
Soczewka skupiająca C	24,5	78,9
Układ: soczewka rozpraszająca 1 + skupiająca A	22,1	81,9
Układ: soczewka rozpraszająca 2 + skupiająca A	36,7	68,5
Układ: soczewka rozpraszająca 3 + skupiająca A	18,9	85,9

1. Obliczenia

1. Obliczanie ogniskowych soczewek ze wzoru soczewkowego: $\frac{1}{p} + \frac{1}{o} = \frac{1}{f}$

p- odległość przedmiotu od soczewki p=1m-o

o- odległość obrazu(ekranu) od soczewki (zmierzona, wyniki podano w tabeli)

f – ogniskowa soczewki

Przykładowe obliczenie dla soczewki skupiającej A (obraz bliższy):

$$\frac{1}{0,854m} + \frac{1}{0,146m} = \frac{1}{f}$$

$$\frac{1}{f} = 8,02m$$

f = 0, 125m

Pozostałe wyniki przedstawiono w tabeli:

Dla obrazu bliższego:

	p [m]	o[m]	1/f [m]	f [m]
A	0,854	0,146	8,020732	0,125
B	0,595	0,405	4,149808	0,241
C	0,755	0,245	5,406136	0,185
1+A	0,779	0,221	5,809133	0,172
2+A	0,633	0,367	4,305407	0,232
3+A	0,811	0,189	6,524051	0,153

Dla obrazu dalszego:

	p [m]	o[m]	1/f [m]	f [m]
A	0,108	0,892	10,38034	0,096
B	0,310	0,690	4,675082	0,214
C	0,211	0,789	6,006764	0,166
1+A	0,181	0,819	6,745863	0,148
2+A	0,315	0,685	4,634457	0,216
3+A	0,141	0,859	8,256343	0,121

Uśrednienie ogniskowych soczewek i obliczenie odchylenia standardowego dla każdej z nich oraz układów soczewka skupiająca + soczewka rozpraszająca:

Odchylenie standardowe opisane jest wzorem:

	f śr	Odchylenie standardowe
A	0,110	0,0145
B	0,227	0,0135
C	0,175	0,0095
1+A	0,160	0,012
2+A	0,224	0,008
3+A	0,137	0,016

Przykładowe obliczenia średniej oraz jej odchylenia standardowego:

f_śr =(0,096 + 0,125)/2 = 0,110

Odchylenie standardowe:

$$\frac{{(0,125 - 0,11)}^{2} + {(0,096 - 0,11)}^{2}}{2} = 0,0002105$$

$$\sqrt{0,0002105} = 0,0145$$

1. Obliczanie ogniskowej soczewek za pomocą metody Bessela

Wzór: $f = \ \frac{l^{2} - \ e^{2}}{4l}$

l = 1m, za każdym razem odległość przedmiotu od obrazu jest taka sama

e = o – p

I tak, dla obrazu bliższego, otrzymano:

	p [m]	o[m]	e	f
A	0,854	0,146	-0,708	0,125
B	0,595	0,405	-0,19	0,241
C	0,755	0,245	-0,51	0,185
1+A	0,779	0,221	-0,558	0,172
2+A	0,633	0,367	-0,266	0,232
3+A	0,811	0,189	-0,622	0,153

$$f = \ \frac{1^{2} - \ {( - 0,708)}^{2}}{4*1} = 0,125$$

Oraz dla obrazu dalszego:

	p [m]	o[m]	e	f
A	0,108	0,892	0,784	0,096
B	0,310	0,690	0,38	0,214
C	0,211	0,789	0,578	0,166
1+A	0,181	0,819	0,638	0,148
2+A	0,315	0,685	0,37	0,216
3+A	0,141	0,859	0,718	0,121

Uśrednione wartości ogniskowych obliczone metodą Bessela oraz ich odchylenia standardowe ukazano w tabeli:

	f śr	Odchylenie standardowe
A	0,110	0,0145
B	0,227	0,0135
C	0,175	0,0095
1+A	0,160	0,012
2+A	0,224	0,008
3+A	0,137	0,016

1. Wyznaczenie ogniskowych soczewek rozpraszających 1,2 i 3, ze wzoru:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_{1}} + \frac{1}{f_{2\ }} - \frac{d}{f_{1}f_{2\ }}$

d – odległość między soczewkami ( w ćwiczeniu przyjęto 1cm)

f – ogniskowa układu

f₁ – ogniskowa soczewki skupiającej

I tak, otrzymano:

	f	f1	f2
1	0,160	0,110	-0,440
2	0,224	0,110	-0,237
3	0,137	0,110	-0,886

1. Wnioski

Do wyznaczenia ogniskowych soczewek służyć mogą zarówno wzór soczewkowy, jak i metoda Bessela. Otrzymane wyniki w obu metodach praktycznie nie różnią się od siebie. Minimalne różnice wynikają głównie z braku dokładności w określeniu ostrego obrazu (niedokładność oka ludzkiego). Innym mniej znaczącym powodem powstawania błędów pomiarowych są także zaokrąglenia w wynikach. W trakcie wykonywania obliczeń zauważono, że wyniki pomiarów dla danej soczewki są obarczone mniejszym błędem przy metodzie Bessela niż metodzie wzoru soczewkowego. Prawidłowość ta powtarza się dla wszystkich trzech soczewek. Można zatem uznać, że metoda Bessela jest dokładniejsza. Mimo to obie metody są jak najbardziej poprawne przy wyznaczaniu ogniskowej soczewki.