1. Wstęp Teoretyczny

Wyjaśnienie zjawiska fotoelektrycznego i jego opis matematyczny oparte jest na założeniu, że energia wiązki światła pochłaniana jest w postaci porcji (kwantów) równych hν, gdzie h jest stałą Plancka a ν oznacza częstotliwość fali. Kwant promieniowania pochłaniany jest przy tym w całości. Einstein założył dalej, że usunięcie elektronu z powierzchni metalu (substancji) wymaga pewnej pracy zwanej pracą wyjścia, która jest wielkością charakteryzującą daną substancję (stałą materiałową). Pozostała energia unoszona jest przez emitowany elektron. Z tych rozważań wynika wzór:

hν = E₀ + E_{k max}

Gdzie:

• h - stała Plancka;

• ν - częstotliwość padającego fotonu;

• E₀ - praca wyjścia;

• E_{k max} - maksymalna energia kinetyczna emitowanych elektronów.

Jest to zgodne z obserwacjami, a hipoteza kwantów wyjaśnia, dlaczego energia fotoelektronów jest zależna od częstości światła oraz, że poniżej pewnej częstotliwości światła, zjawisko fotoelektryczne nie zachodzi.

• Maksymalna energia kinetyczna fotoelektronów związana jest tylko z energią poszczególnych

fotonów, a nie z ich ilością (natężeniem oświetlenia).

• Aby efekt fotoelektryczny zaszedł, potrzebne jest pochłonięcie fotonu o energii większej bądź

równej od pracy wyjścia danego metalu. Fotony, którym odpowiada większa długość fali (i mniejsza energia) nie są w stanie wyrwa¢ elektronu.

• W teorii fotonowej nie występuje żadne „gromadzenie" energii przez elektrony, które praktycznie natychmiast pochłaniają energię fotonu i ewentualnie opuszczają fotokatodę.

We współczesnej fizyce stała Plancka pełni rolę fundamentalną, występuje bowiem w głównym

równaniu mechaniki kwantowej równaniu Schr oedingera.

Obecnie, większość zależności mechaniki kwantowej zapisuje się z użyciem stałej tsh= $\frac{h}{2\pi}$

Praca wyjścia – najmniejsza energia, jaką należy dostarczyć elektronom danego ciała, aby opuściły to ciało i stały się elektronami swobodnymi. Praca wyjścia jest jednym z parametrów charakteryzujących powierzchnię przewodnika lub półprzewodnika. Określa zdolność danej substancji do emisji elektronów pod wpływem różnych czynników – np. pola elektrycznego, energii cieplnej, światła, promieniowania albo padających cząstek. Praca wyjścia określa także stykową różnicę potencjałów (napięcie kontaktowe).

Ze względu na małą wartość pracy wyjścia, najczęściej używaną jednostką do jej wyrażania jest elektronowolt.

Dla czystych powierzchni polikrystalicznych pierwiastków praca wyjścia wynosi: cez - 1,8 eV, wolfram - 4,5 eV, platyna - 5,3 eV. Dla katody aktywowanej cezem wynosi około 1 eV.

Pierwiastek	eV	Pierwiastek	eV	Pierwiastek	eV	Pierwiastek	eV	Pierwiastek	eV	Pierwiastek	eV
Ag	4,26	Al	4,28	As	3.75	Au	5,1	B	4,45	Ba	2,7
Be	4,98	Bi	4,22	C	5	Ca	2,87	Cd	4,22	Ce	2,9
Co	5	Cr	4,5	Cs	2,14	Cu	4,65	Eu	2,5	Fe	4,5
Ga	4,2	Gd	3,1	Hf	3,9	Hg	4,49	In	4,12	Ir	5,27
K	2,3	La	3,5	Li	2,9	Lu	3,3	Mg	3,66	Mn	4,1
Mo	4,6	Na	2,75	Nb	4,3	Nd	3,2	Ni	5,15	Os	4,83
Pb	4,25	Pt	5,65	Rb	2,16	Re	4,96	Rh	4,98	Ru	4,71
Sb	4,55	Sc	3,5	Se	5,9	Si	4,85	Sm	2,7	Sn	4,42
Sr	2,59	Ta	4,25	Tb	3	Te	4,95	Th	3,4	Ti	4,33
Tl	3,84	U	3,63	V	4,3	W	4,55	Y	3,1	Zn	4,33
Zr	4,05

Otrzymane równanie nadaje się do weryfikacji doświadczalnej i zostało potwierdzone w słynnym eksperymencie przeprowadzonym w roku 1915 przez Millikana. Równanie to pozwala też, po dokonaniu odpowiednich pomiarów, wyznaczyć wartość stałej Plancka, co również zostało uczynione przez Millikana.

Idea kwantu energii została zapożyczona przez Einsteina z prac Plancka dotyczących wyjaśnienia zjawiska promieniowania ciała doskonale czarnego.

Odstępstwa od powyższego opisu

1.Światło zazwyczaj oddziałuje z elektronami znajdującymi sie na powierzchni katody, ale niektóre fotony mogą wnikać głębiej. Wówczas uwolniony elektron, zanim opuści katodę, może wytracić część energii na zderzenia wewnątrz katody.

2. W przypadku bardzo dużych natężeń światła spójnego (z lasera) mogą zachodzić procesy wielofotonowe, co oznacza, że jeden elektron może zaabsorbować energię kilku fotonów.

Zjawisko fotoelektryczne wewnętrzne

W efekcie fotoelektrycznym wewnętrznym energia fotonu też jest całkowicie pochłaniana przez elektron. Ale elektron nie jest uwalniany, jak to ma miejsce w zjawisku fotoelektrycznym zewnętrznym. Elektron po uzyskaniu dodatkowej energii przenosi się do pasma przewodnictwa zmieniając tym samym własności elektryczne materiału. Zjawisko to zachodzi tylko wówczas, gdy energia fotonu jest większa, niż wynosi szerokość pasma wzbronionego (odległość energetyczna między pasmem walencyjnym a pasmem przewodnictwa).

1. Przebieg pomiarów

Celem niniejszego ćwiczenia jest:

• wyznaczenie stałej Plancka h,

Cel ten osiągniemy analizując:

1. Wykres zależności napięcia od częstotliwości padającego promieniowania U(ν). Częstotliwość obliczamy ze wzoru ν = c/λ, gdzie c = 2,99792* 10⁸m/s - prędkość światła.

2. Na wykresie nanosimy prostą U = aν + b, której parametry obliczamy metod¡ najmniejszych kwadratów.

3. Stałą Plancka obliczymy ze wzoru h = ea, gdzie e = 1,6021892* 10^-19C - ładunek elementarny.

Rysunek 1: Zestaw pomiarowy: a - rtęciowa lampa spektralna, b - szczelina o regulowanej szerokości,

c - soczewka, d - zasilacz lampy, e - uchwyt na siatkę dyfrakcyjną, f - miernik uniwersalny (używany

jako woltomierz), g - wzmacniacz pomiarowy, h - fotokomórka

1. Pomiary

λ[nm]	365	405	436	546	579
ν [Hz]	8,213 * 10^14	7,402* 10^14	6,876* 10^14	5,491* 10^14	5,178* 10^14
U[V]	1,499	1,321	1,180	0,775	0,668

Aby wyznaczyć współczynniki a oraz b prostej U = a * ν + b korzystamy z metody najmniejszych kwadratów.

S_n = $\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{\ {(y_{i} - ax_{i} - b)}^{2}}$

gdzie n – ilość pomiarów

y_i – wartość próbki i (kolejny pomiar U_H)

x_i – wartość ustawiona prądu I

a,b - współczynniki

Aby zminimalizować błąd należy policzyć pochodne cząstkowe $\frac{\text{dS}}{\text{da}}$ oraz $\frac{\text{dS}}{\text{db}}$ i przyrównać je do 0. Korzystamy tu z warunku koniecznego istnienia ekstremum lokalnego.

Ponieważ

$\frac{\text{dS}}{\text{da}}$= $\frac{2}{n}\sum_{i = 1}^{n}{\ {( - x_{i})*(y_{i} - ax_{i} - b)}^{}}$ = 0

$\frac{\text{dS}}{\text{db}}$= $\frac{2}{n}\sum_{i = 1}^{n}{\ {( - 1)*(y_{i} - ax_{i} - b)}^{}}$ = 0

Otrzymujemy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi