Algebra

09.10

Strukturą algebraiczną nazywamy zbiór wyrazów z określonymi w nim działaniami.
Np. (R,+,*) - zbiór liczb rzeczywistych z dzialaniami + i *;
(Z,+) - zbiór liczb całkowitych z działaniem +.

Dla oznaczenia znanych zbiorów liczbowych urzywamy:
R – zbiór liczb rzeczywistych
Q – zbiór liczb wymiernych
R-Q – zbiór liczb niewymirnych
Z – zbiór liczb całkowitych
N – zbiór liczb naturalnych

Def. Iloczynem kartezjańskim zbiorów A, B nazywamy zbiór oznaczony symbolem A × B i określonym następująco:
A × B = {(a,b),   a ∈ A,   b ∈ B} // zbiór uporządkowanych par elementów z których pierwszy
// wzięty jest ze zbioru A a drugi ze zbioru B
A × B = {(a,b),   a, b ∈ A}

⊕4	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

Def. Działaniem wewnętrznym w zbirze A nazywamy każdą funkcję f : A × A → A, czyli funkcję która każdą parę elementów ze zbioru A przyporządkowuje do zbioru A.
Przyjeło się że zamiast takiego zapisu: c=f(a,b) działania f(a,b) pisać będziemy oznaczająco: a * b,  a • b,  a ∘ b,  a ⊙ b, np:
1) Na liczbach całkowitych Z określono dzialanie a ∘ b = a^b - Takie dzialanie nie jest działaniem wewnętrznym ponieważ jego wynik może wyjść poza zbiór Z.
2) W – zbiór wektorów swobodnych na płaszczyźnie. Iloczynem skalarnym wektorów $\frac{\rightarrow}{V} = \left\lbrack v_{1},v_{2} \right\rbrack\text{\ \ i\ \ }\frac{\rightarrow}{W} = \left\lbrack w_{1},w_{2} \right\rbrack\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{\rightarrow}{V} \circ \frac{\rightarrow}{W} = v_{1}*w_{1} + v_{2}*w_{2}$ - Wynik nie jest wektorem.
3) W zbiorze Z₄ = {0, 1, 2, 3} określamy działanie następujące: a⊕₄b – Dzialanie dodawania modulo 4 (reszta z dzielenia zwykłej sumy przez 4).

Działanie wewnętrzne. Z­₄ – zbiór reszt dzielenia przez 4.

⊙4	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	0	2
3	0	3	2	1

4) W zbiorze Z₄ = {0, 1, 2, 3} określamy działanie a⊙₄b.

Dzialanie wewnętrzne.

WŁASNOŚCI DZIAŁAŃ
Def. Mówimy że działanie ∘ określone w ziorze A jest przemienne jeśli $\begin{matrix} \bigwedge_{}^{}\ \\ a,b \in A \\ \end{matrix}a \circ b = b \circ a$. Wszystkie podane wcześniej w przykładach działania wewnętrzne były działaniami przemiennymi.
Np. (ℝ−{0}, :)      a ÷ b ≠ b ÷ a; (ℝ, −)      a − b ≠ b − a.

Def. Mówimy że działanie ∘ określone w ziorze A jest łączne jeśli $\begin{matrix} \bigwedge_{}^{}\ \\ a,b,c \in A \\ \end{matrix}a \circ \left( b \circ c \right) = (a \circ b) \circ c$.
UWAGA! Jeżeli działanie jest łączne to możemy pisać a ∘ b ∘ c - nie urzywając nawiasów bo bez
względu na kolejność wykonywania działań wynik będzie taki sam.
W dzialaniu które nie jest łączne koniecznie musimy umieścić nawiasy:
a ÷ (b÷c) ≠ (a ÷ b)÷c.

$$\begin{matrix} \bigwedge \\ a \\ \end{matrix}a \circ e = a + e + 1 = a$$

(ℤ−{0}, ∘),    e = 1 ∖ n1⁻¹ = 1,    bo 1 ∘ 1⁻¹ = 1 ∘ 1 = 1 ∖ n

(ℝ, ∘),    a ∘ b = a + b + 1,    e = −1,    a⁻¹ = ?

⨀4	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	0	2
3	0	3	2	1

Z₄ = {0,1,2,3},       (Z₄,  ⨀₄)

Z tabeli wynika, że działanie ma element neutralny e=1

Próbujemy znaleźć element odwrotny do wszystkich elementów: 1⁻¹ = 1,    bo 1⨀₄1 = 1;
2⁻¹ −  nie istnieje;
3⁻¹ = 1,    bo 3⨀₄3 = 1;
0⁻¹ −  nie istnieje.
WNIOSEK: Może się zdarzyć że względem danego działania niektóre elementy posiadają element odwrotny a inne nie.

NAJPROSTSZĄ STRUKTURĄ ALGEBRAICZNĄ JEST GRUPA!

Def. Grupą nazywamy niepusty zbiór G wraz z określonym w nim działaniem, przy czym dzialanie to ma następujące właściwości:
1) jest łączne;
2) ma element neutralny;
3) każdy element zbioru G ma względem tego działania element odwrotny (jeden)
Jeśli dodatkowo działanie jest przemienne to grupę nazywamy abelową, albo przemienną.
Grupę oznaczamy symbolem: (G,∘)
Potocznie przyjęło się że w rozważaniach teoretycznych jeśli grupa jest nieprzemienna to oznaczamy ją symbolem (G, •),    • −dzialanie nieprzemienne. W tym przypadku element odwrotny oznaczamy a⁻¹.
Natomiast jeśli grupa jest przemienna: (G, +),   + −dzialanie przemienne wtedy element odwrotny oznaczamy −a.
W grupie nieprzemiennej element neutralny oznaczamy (nazywamy) 1, a w grupie przemiennej 0. To znaczy że dla grup nieprzemiennych stosujemy oznaczenie multiplikatywne, a dla przemiennych addytywne.

Niech (G, ∘)=(ℝ,   ⊕ ) // Sprawdzamy czy jest to grupa a ⊕ b = a + b + 1
1) a⨁(b⨁c) = (a⨁b)⨁c
L= a⨁(b⨁c) = a⨁(b+c+1) = a + b + c + 1 + 1 = a + b + c + 2
P= (a+b+1)⨁c = a + b + 1 + c + 1 = a + b + c + 2
L=P – działanie łączne
2) wcześniej znaleźliśmy e = −1
3) we wcześniejszym przykładzie $\begin{matrix} \bigwedge \\ a \\ \end{matrix}a^{- 1} = - a - 2$.
WNIOSKI: (G, ∘) - jest grupą. Wprost z definicji działania ⊕ widać, że jest to działanie przemienne, czyli jest to grupa abelowa (przemienna).

Tw. Jeśli działanie ma element neutralny to taki element jest dokładnie jeden.
Dow. Załóżmy że działanie ∘ ma 2 elementy neutralne e i e′ wtedy $e \circ e^{'} = \left\{ \begin{matrix} e^{'} - \ bo\ e\ jest\ el.neutralnym \\ e - bo\ e^{'}\text{jest\ el.neutralnym} \\ \end{matrix} \Longrightarrow e = e' \right.\ $

Tw. W każdej grupie element odwrotny dla każdego elementu jest określony jednoznacznie.
Dow. Załóżmy że elementami odwrotnymi dla elementu a są elementy a⁻¹ i a^−1′, wtedy: a⁻¹ = a⁻¹ ∘ e = a⁻¹ ∘ (a∘a^−1′) = (a⁻¹∘a) ∘ a^−1′ = e ∘ a^−1′ = a^−1′
Z rachunku wynika że nie może być 2 elementów odwrotnych dla danego elementu.

PODGRUPY

Def. Załóżmy że (G,   ∘ ) jest grupa i H ⊂ G jest niepustym podzbiorem. Jeśli (H,   ∘ ) jest również grupą to nazywamy ją podgrupą grupy G.