| Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy |
|---|
| LABORATORIUM FIZYCZNE |
Adrianna Kuna Aleksandra Wiśniewska |
| Wykonanie |
| SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA M3 |
Temat: Badanie drgań wahadła sprężynowego. |
Cel ćwiczenia
poznanie ruchu harmonicznego i jego podstawowych praw
badanie drgań wahadła sprężynowego
Zagadnienia związane z badaniem drgań wahadła sprężynowego
Prawo Hooke’ a
Jest to prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości. Ta prawidłowość pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nie przekraczających tzw. granicy Hooke'a (zwanej też granicą proporcjonalności), i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke'a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o pomijalnie małej lepkości.
Ruch harmoniczny
Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruch periodycznym można zawsze wyrazić przy pomocy funkcji sinus lub cosinus. Ponieważ funkcje te są funkcjami harmonicznymi, przeto ruch periodyczny można określać jako ruch harmoniczny.
Okres ruchu harmonicznego
Jest to czas trwania jednego pełnego drgnięcie albo cyklu (jest to najkrótszy czas, po którym ruch zaczyna się powtarzać). Jednostką jest tutaj sekunda [1s].
Drgania harmoniczne
Najprostszy rodzaj drgań okresowych (akustycznych, elektrycznych, mechanicznych) podczas których charakteryzująca je wielkość fizyczna A (np. wychylenie ciała, napięcie elektryczne) zmienia się wg wzoru:
A = A0sin(ωt + φ0),
gdzie A0 — amplituda, ω — częst. kątowa, φ0 — faza początkowa.
Izochronizm
Właściwość wszystkich harmonicznych układów drgających polegająca na niezależności okresu drgań od ich amplitudy. Rzeczywiste układy drgające wykonują z dobrym przybliżeniem drgania harmoniczne i pozostają izochroniczne wówczas, gdy amplituda drgań jest stosunkowo mała.
Wyznaczenie współczynnika sprężystości sprężyny
Każdy ciężarek ważył 50 g. Na sprężynie zawieszono 6 ciężarków.
| Użyte obciążenie | Wydłużenie | Współczynnik sprężystości |
|---|---|---|
| masa [kg] | ciężar Q [N] | x0i = li – l0i [m] |
| 0, 05 | 0, 49 | 0, 016 |
| 0, 1 | 0, 98 | 0, 033 |
| 0, 15 | 1, 47 | 0, 055 |
| 0, 2 | 1, 96 | 0, 073 |
| 0, 25 | 2, 45 | 0, 1 |
| 0, 3 | 2, 94 | 0, 125 |
| Wartość średnia współczynnika sprężystości k = $\frac{k_{1}\ + \ k_{2} + \ \ldots\ + \ k_{n}}{m}$ |
Obliczenie ciężaru
Wzór ogólny: Q [N] = m [kg] * g [m/s2]
Q1 = 0, 05 * 9, 8 = 0,49
Q2 = 0, 1 * 9, 8 = 0, 98
Q3 = 0, 15 * 9, 8 = 1, 47
Q4 = 0, 2 * 9, 8 = 1, 96
Q5 = 0, 25 * 9, 8 = 2, 45
Q6 = 0, 3 * 9, 8 = 2, 94
Wydłużenie sprężyny zmierzono ręcznie, miarą. Następnie pomiar z centymetrów zamieniono na metry. Wyniki zestawiono w tabeli.
Obliczenie współczynnika sprężystości
Wzór ogólny: $\mathbf{k}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{Qi}}}{\mathbf{x}_{\mathbf{0}\mathbf{i}}}$ [$\frac{\mathbf{N}}{\mathbf{m}}\mathbf{\rbrack}$
$$k_{1} = \frac{0,49}{0,016} = 30,63{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }k}_{4} = \frac{1,96}{0,073} = 26,85$$
$$k_{2} = \frac{0,98}{0,033} = 29,7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k_{5} = \frac{2,45}{0,1} = 24,5$$
$$k_{3} = \frac{1,47}{0,055} = 26,73{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }k}_{6} = \frac{2,94}{0,125} = 23,52$$
Wartość średnia współczynnika sprężystości:
$$k = \ \frac{k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{4} + k_{5} + k_{6}}{6} =$$
Wyznaczenie okresu drgań wahadła sprężynowego
Okres drgań zmierzono w trzech pomiarach. Zmierzono czas stoperem dla 20 okresów.
| Okres drgań - wzór | Wynik |
|---|---|
| T1 = $\frac{t_{1}}{n}$ | 0,76 |
| T2 = $\frac{t_{2}}{n}$ | 0,76 |
| T3 = $\frac{t_{3}}{n}$ | 0,76 |
| Średni okres drgań: T = $\frac{T_{1} + T_{2} + T_{3}}{3}$ | 0,76 |
Obliczenia:
1.pomiar –> 15, 28 [s], czyli T1 = $\frac{15,\ 28}{20}$ = 0, 76
2.pomiar –> 15, 16 [s], czyli T2 = $\frac{15,16}{20}$ = 0, 76
3.pomiar –> 15, 20 [s], czyli T3 = $\frac{15,20}{20}$ = 0, 76
Średni okres drgań: T = $\frac{T_{1} + T_{2} + T_{3}}{3}$ = 0, 76
T = 2π $\sqrt{\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{c}}\mathbf{+ \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3\ }}\mathbf{\ }\mathbf{m}_{\mathbf{s}}}{\mathbf{k}}}$ ,
gdzie: mc - masa wszystkich ciężarków
ms – masa sprężyny
k – najmniejszy współczynnik sprężystości
T = 2*3, 14 $\sqrt{\frac{0,3 + \ \frac{1}{3\ }*0,013}{23,52}}$
T = 6,28 $\sqrt{0,013}$
T = 6,28 * 0,11
T = 0, 69
Błędy
Pomiarowy
T = 0, 76 – 0, 69 = 0, 07 [s]
Procentowy
$\frac{T}{T}*100\% =$ $\frac{0,\ 07}{0,\ 76}*100\% = 9,2\%$
Wnioski
W doświadczeniu można zauważyć, że jeśli dokładamy kolejny ciężarek o tej samej masie sprężyna wydłuża się a współczynnik k maleje. Przy pomiarze tak zwanym „ręcznym” (czyli stoperem) okresu drgań, można zauważyć iż jest to bardzo dokładny pomiar.