II. Elementy kinetyczno-molekularnej teorii budowy ciał.

1. Założenia kinetyczno-molekularnej budowy materii

- wszystkie ciała zbudowane są z atomów lub cząsteczek, których liczba jest ogromna

w 1 mol: p₀ = 1,013·10⁵ Pa V₀=22,4 dm³ N_A=6,023·10²³ atomów/mol

- atomy cząsteczki znajdują się w ciągłym ruchu, w którym rządzą prawa dynamiki Newtona; ruch jest nieodzownym warunkiem istnienia materii; jeżeli na atomy nie działają siły to poruszają się one ruchem jednostajnym prostoliniowym

- własności ciał makroskopowych zależne są od wielkości sił wzajemnego odziaływania między atomami/cząsteczkami

2. Krzywa energii potencjalnej oddziaływania drobin

3. Faza stała, ciekła, gazowa.

• faza stała – struktura krystaliczna, odległość 10^-10 m; z punktu widzenia struktury mikroskopowej charakterystyczne dla tej fazy jest to, że każdy atom wykonuje w niej małe drgania wokół ustalonego położenia równowagi (uporządkowanie dalekiego zasięgu)

• faza ciekła – odległości między atomami są większe niż w fazie stałej; zachowuje określoną objętość, nie zachowując określonego kształtu (uporządkowanie bliskiego zasięgu – tylko w pobliżu danego atomu)

• faza gazowa – duże odległości między atomami, bardzo małe siły wzajemnego oddziaływania (brak uporządkowanej struktury)

4. Napięcie powierzchniowe cieczy

napięcie powierzchniowe – wypadkowa siła, która działa na cząstkę znajdującą się na powierzchni cieczy i jest zwrócona do wnętrza cieczy; napięcie powierzchniowe jest równe sile przypadającej na jednostkę obwodu cieczy; występuje na powierzchni swobodnej cieczy lub na pograniczu dwu niemieszających się ze sobą cieczy

energia cząsteczek warstwy powierzchniowej jest proporcjonalna do pola S tej powierzchni

współczynnik proporcjonalności nazywany napięciem powierzchniowym

napięcie powierzchniowe ma dla każdej cieczy określoną wartość, zależną od temperatury (napięcie powierzchniowe cieczy maleje ze wzrostem temperatury)

napięcie powierzchniowe można także zdefiniować jako stosunek pracy, jaką należy wykonać, aby zwiększyć powierzchnię swobodną cieczy, do przyrostu tej powierzchni

jednostka napięcia powierzchniowego -

5,6. Ciśnienie pod zakrzywioną powierzchnią, wzór Laplace`a.

	Ścięty odcinek („miseczka”) bańki mydlanej, której wielkość jest uwarunkowana wewnętrznym nadciśnieniem i napięciem powierzchniowym. Wewnętrzne nadciśnienie , działające na powierzchnie jest zrównoważone napięciem powierzchniowym. Warunek równowagi: -gęstość

Przy powierzchniach o dowolnej krzywiznie nadciśnienie pod powierzchnią zależy od krzywizny średniej (jeżeli przez dowolny punkt P powierzchni zakrzywionej przeprowadzimy dwa dowolne, prostopadłe przekroje normalne, to suma odwrotności promieni krzywizny obu przekrojów jest wielkością stałą )

Wielkość K nazywa się krzywizną średnia lub krzywizną Gaussa. Jeżeli środki krzywizny nie leżą po tej samej stronie powierzchni, to R₁ i R₂ mają przeciwne znaki.

Jeżeli R₁ i R₂ są promieniami krzywizn prostopadłych przekrojów normalnych pewnej powierzchni, to nadciśnienie wewnątrz takiej powierzchni wynosi:

<= jest to wzór Laplace`a

7. Zjawisko na granicy fazy stałej, ciekłej i gazowej.

na cząsteczki cieczy znajdujące się na jej powierzchni i przylegające bezpośrednio do ściany naczynia (cząstka M) działa siła przyciągania P ściany (skierowana do niej prostopadle) oraz siła Q wywierana przez ciecz (tworzy kąt 45^o ze ścianą naczynia)

powierzchnia swobodna cieczy ustawia się prostopadle do wypadkowej R sił P i Q (w zależności od kierunku wypadkowej powierzchnia swobodna cieczy może być wklęsła, płaska lub wypukła)

8. Naczynia włoskowate

W zależności od kąta przylegania ciecz w pobliżu ścianek naczynia wznosi się lub opada. Zjawisko to występuje bardzo wyrażnie w cienkich rurach (tzw. Naczyniach włoskowatych).

	r – promień rurki R – promień powierzchni swobodnej cieczy - kąt przylegania ciśnienie pod powierzchnią cieczyjest o mniejsze od atmosferycznego (bierzemy połowę wartości , bo mamy tu tylko jedną powierzchnię swobodną, a nie dwie jak w przypadku bańki) To obniżenie ciśnienia powoduje, że ciecz podnosi się w rurce kapilarnej na wysokość h,przy czym: , stąd:

9. Równanie gazu doskonałego

Prawo Boyle`a i Mariotte`a	pV=const
Prawo Gay-Lussaca	V=V0(1+αt)
Prawo Charlesa	P=p0(1+αt)

Z trzech powyższych, empirycznie znalezionych praw wynika równanie gazu doskonałego:

Przemiany gazu doskonałego

Izobaryczna – p=const
Izochoryczna – V=const
Izotermiczna – T=const pV=const
Adiabatyczna – nie zachodzi wymiana ciepła z otoczeniem

Równanie stanu gazu:

Wprowadzając objętość molową równanie przyjmuje postać

R – stała gazowa ()

10. Rozkład Maxwella prędkości drobin

Stosunek liczby cząsteczek dN o prędkosci między v i v+dv do całkowitej liczby cząsteczek N:

v₀ – prędkość najbardziej prawdopodobna, dla której funkcja f(v) osiąga maksimum

f(v) – funkcja rozkładu prędkości (spełnia warunek )

Prędkość średnia:

Prędkość średnia kwadratowa:

11. Średnia droga swobodna drobin gazu

Średnia droga swobodna cząsteczki – średnia długość odcinka prostoliniowego przebiegu cząsteczki między jej zderzeniami z innymi cząsteczkami.

Średnia droga swobodna jest (zgodnie z definicją) równa drodze cząsteczki przebytej z prędkością v w czasie :

12. Kinetyczno-molekularna interpretacja ciśnienia i temperatury

Rozważając gaz zamknięty w naczyniu sześciennym o krawędzi l zajmiemy się jedną z cząsteczek o prędkosci v(v_x, v_y, v_z).

Gdy cząsteczka ta uderza o ściankę A₁ to jej składowa v_x zmienia znak (odbicie sprężyste; v_y i v_z nie ulegają zmianie). Zmiana pędu tej cząsteczki: . Z zasady zachowania pędu wynika, że ścianka naczynia w wyniku uderzenia cząsteczki uzyskała pęd .

Po odbiciu od ściany A₁ cząsteczka osiąga ścianę A₂ i powraca do A₁ nie zderzając się z niczym po drodze. Czas między kolejnymi odbiciami od ścianki A₁: .

Zgodnie z II zasadą dynamiki zmiana pędu ścianki A1 w jednostce czasu jest równa sile działającej na tę ściankę: (F ma przeciwny zwrot niż siła działająca na cząsteczkę). Ciśnienie wynosi (V=l³ – objętość szescianu).

Wyznaczając kwadraty prędkości ze wzoru i podstawiając je do wzoru otrzymujemy . Po wprowadzeniu gęstości gazu otrzymujemy <= to równanie daje kinetyczną interpretację ciśnienia.

Jeżeli równanie obustronnie pomnożymy przez V otrzymamy lub (gdzie oznacza średnią energię kinetyczną ruchu postępowego cząsteczek). Porównując równanie z równaniem ( - stała Boltzmanna, - liczba cząsteczek gazu) otrzymujemy zależność <= to równanie daje kinetyczną interpretację temperatury.

13. Stopnie swobody

Ruch punktu materialnego opisują 3 równania (odpowiadające współrzędnym x, y, z). Ruch swobodnego punktu materialnego ma wtedy 3 stopnie swobody.

Ruch układu złożonego z n swobodnych punktów ma opisują 3n równania – układ ma 3n stopni swobody.

Swoboda ruchu punktów (układu punktów) może być ograniczona, np. gdy punkt (układ punktów) porusza się w jednej płaszczyźnie. Wtedy każdy z punktów (układu punktów) ma 2 (2n) stopni swobody.

Weźmy pod uwagę dwa punkty ciała sztywnego, leżące np. na osi OX układu współrzędnych. Gdyby punkty te były swobodne to miałyby 6 stopni swobody, ale ich odległość jest stała, więc ich ruch opisuje tylko jedno równanie odpowiadające współrzędnym X. Wynika z tego, że dwa punkty sztywne mają 5 stopni swobody. Te dwa punkty wyznaczają w ciele sztywnym prostą (oś). Pozostałe punkty mają stałą odległość od osi (def. ciała sztywnego) i ich ruch opisuje jedno równanie (bo mogą się poruszać tylko po okręgu w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu) – zależność od czasu dla wspólnego kąta obrotu tych punktów. Wynika z tego, że ciało sztywne ma 6 stopni swobody.

14. Zasada ekwipartycji energii

Całkowita energia cząsteczki rozdziela się na energię ruchu postępowego i energię ruchu obrotowego atomów odpowiednio do liczby stopni swobody.

W równowadze termodynamicznej na każdy stopien swobody ruchu cząstki przypada jednakowa część energii wewnętrznej ().

Dla ciała posiadającego n=3 stopnie swobody:

15. Energia wewnętrzna (U)

(wzajemnego oddziaływania wszystkich atomów)

Dla gazu doskonałego E_p=0

; 1 mol => N_A ;

; ;

<= energia wewnętrzna 1 mola gazu.

16. Ciepło właściwe C_p (pod stałym ciśnieniem) i ciepło właściwe C_V (przy stałej objętości)

współczynnik proporcjonalności c (charakterystyczny dla danej substancji) nosi nazwę ciepła właściwego

Wartości c są wartościami średnimi, ponieważ ciepło właściwe wykazuje też zależność od temperatury. W przypadku gazu otrzymuje się różne wartości ciepła właściwego w zależności od tego, czy ciepło jest dostarczane przy stałym ciśnieniu, czy przy stałej objętości.

Ciepło właściwe
V=const

III. Podstawy elektromagnetyzmu

1. Pole elektrostatyczne

Ładunki elektryczne występują w w dwóch rodzajach: dodatnie (ładunek protonu) i ujemne (ładunek elektronu). Ładunki oddziałują ze sobą: ładunki tego samego znaku się odpychają, a różnych znaków przyciągają. Wielkość siły oddziaływania i jej zależność od wielkości ładunków i odległości między nimi można znaleźć doświadczalnie.

Oddziaływanie między ładunkami elektrycznymi interpretujemy jako oddziaływanie między nimi a ich polami (między ładunkami a polami innych ładunków).

Pole wytworzone przez ładunek elektryczny nazywamy polem elektrycznym (elektrostatycznym)

2. Prawo Coulomba

Siła oddziaływania między naładowanymi kulkami jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich ładunków i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości ich środków.

	k – współczynnik proporcjonalnosci (związany z układem jednostek) dla układu SI: - przenikalność elektryczna próżni

3. Natężenie i strumień pola elektrycznego

Jeżeli w obszar pola ładunku Q wprowadzimy próbny ładunek punktowy q, to między nim a polem działa siła F. Jej stosunek do ładunku q nosi nazwę natężenia pola elektrycznego.

jednostka =>

Strumień pola elektrycznego – iloczyn skalarny wektora pola elektrycznego i elementu powierzchni, przez którą to pole przenika.

( - liczba linii pola przenikających przez powierzchnię w kierunku prostopadłym)

4. Prawo Gaussa

Natężenie pola ładunku punktowego jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od centrum. Dla pól centralnych typu prawo Gaussa ma postać .

Jeśli wektor pola , to i prawo Gaussa przyjmuje postać: .

Prawo Gaussa dla pola elektrycznego o symetrii sferycznej

5. Dipol

Dipolem elektrycznym nazywamy dwa ładunki elektryczne jednakowej wielkości, lecz przeciwnego znaku Q i –Q, umieszczone w pewnej odległości l od siebie.

Momentem p dipola nazywamy iloczyn : p=Ql , którego zwrot jest skierowany od ładunku ujemnego do dodatniego.

6. Potencjał

Z bezwirowości pola elektrostatycznego wynika jego potencjalność:

K = - grad V_e

Potencjał elektryczny V_e znajdziemy przez całkowanie. W polu centralnym (sferycznym) gradf(r)=()r⁰. Stosując to do pola ładunku punktowego otrzymujemy

=

Czyli i po scałkowaniu prowadzi do wzoru

Najwygodniej jest wybrać taką wartość stałej C, żeby w nieskończoności potencjał równał się zeru. Tak będzie jeśli C = 0:

Potencjał jest równy liniowej całce z natężenia pola w granicach od danego punktu do nieskończoności: . Potencjał elektryczny mierzy się w woltach.

7. Napięcie

Obliczmy różnicę potencjałów między dwoma dowolnymi punktami pola A i B.

;

Różnica potencjałów nosi nazwę napięcia elektrycznego między punktami A i B. Mierzymy je w woltach.

8. Potencjał a natężenie pola

Potencjał elektryczny charakteryzuje pole w danym miejscu – niezależnie od wartości wprowadzonego weń ładunku.

W tym miejscu można nadać potencjałowi nowy sens => potencjał w danym punkcie jest całką z natężenia pola jest więc równy stosunkowi pracy przesunięcia dodatniego ładunku próbnego od danego punktu do nieskończoności (czyli ziemi) do wartości przesuwanego ładunku .

9. Powierzchnie ekwipotencjalne

Powierzchnia ekwipotencjalna – zbiór punktów pola elektrycznego o jednakowym potencjale.

W polu elektrycznym wytworzonym przez ładunek punktowy Q potencjał jest jednakowy we wszystkich punktach pola znajdujących się w jednakowej odległości r od ładunku Q wytwarzającego pole <= czyli powierzchnie ekwipotencjalne mają kształt powierzchni kulistych opisanych na ładunku Q.

Przesunięcie ładunku wzdłuż powierzchni ekwipotencjalnej nie wymaga pracy (różnica potencjałów wynosi zero).

Przeniesienie ładunku pomiędzy powierzchniami ekwipotencjalnymi wymaga wykonania pracy W=qU czyli różnicy potencjałów (wielkość pracy nie zależy od drogi przesunięcia).

10. Pojemność elektryczna

<= pojemność elektryczna (dla odosobnionego przewodnika)

Pojemność przewodnika zależy od jego rozmiarów i kształtu.

Jednostką pojemności jest farad

Po umieszczeniu w pobliżu przewodnika drugiego przewodnika, będzie się on ładował przez indukcję (na jego powierzchni od strony pierwszego ciała pojawią się ładunki o przeciwnym znaku; jeśli będzie on uziemiony pozostałe ładunki swobodnie odpłyną do ziemi).

W przestrzeni między przewodnikami pole wzrasta, a na zewnątrz ulega osłabieniu <= czyli zmniejsza się także potencjał przewodnika, przy niezmienionym ładunku, co jest równoznaczne ze wzrostem pojemności.

Pojemność przewodnika zależy od konfiguracji otaczających go ciał.

Układ przewodników, w którym pole skupione jest na ograniczonym obszarze, a na zewnątrz praktycznie nie istnieje nazywamy kondensatorem (jego pojemność nie zależy od otoczenia).

Każda z okładek kondensatora ma stały potencjał; napięcie między nimi

Stosunek ładunku do napięcia jest pojemnością kondensatora.

11. Elektronowy mechanizm przewodnictwa elektrycznego

12. Prawo Ohma

Natężenie I prądu płynącego wewnątrz przewodnika pierwszej klasy jest proporcjonalne do napięcia, czyli różnicy potencjałów V1-V2 występującej na końcach przewodnika. Stosunek jest dla danego przewodnika wielkością stałą i nosi nazwę oporu przewodnika R.

Jednostką oporu jest om (): jest to opór przewodnika, przez który płynie prąd o natężeniu 1A, gdy na końcach przewodnika panuje napięcie 1V.

Opór R przewodnika zależy od jego rozmiarów, tzn od długości l i pola przekroju S: , gdzie jest współczynnikiem proporcjonalności i nazywa się oporem właściwym.

Opór właściwy mierzymy w omometrach (m): jest to opór przewodnika o długości 1m i powierzchni 1m².

Odwrotność oporu właściwego nazywamy przewodnością właściwą (jednostką jest siemens).

13,14. Siła Lorentza, wektor indukcji magnetycznej

Przeprowadzając doświadczenia z ruchomymi ładunkami w polu magnetycznym można stwierdzić, że działająca na nie siła (zwana siłą Lorentza) jest prostopadła do ich prędkości i do kierunku pola.

Zmieniając ładunek q i prędkość v dojdziemy do wniosku, że wartość siły jest wprost proporcjonalna do iloczynu ładunku i prędkości oraz do sinusa kąta między kierunkiem pola a prędkością:

Oznaczając współczynnik proporcjonalności jako B otrzymujemy

Wielkość B nosi nazwę indukcji magnetycznej. Jest ona wektorem o kierunku pola. Iloczyn wartości prędkości i indukcji i sinusa kąta między nimi jest iloczynem wektorowym

Równość można uznać za definicję wektora indukcji magnetycznej.

Jeżeli ładunki poruszają się prostopadle do pola, siła Lorentza przyjmuje wartość , stąd

Jednostką inducji magnetycznej jest tesla (T):

15. Strumień indukcji magnetycznej

Strumień indukcji określa się podobnie jak strumień skalarny każdego innego wektora jako i zwykle nazywa się go strumieniem magnetycznym. Jednostką strumienia jest weber:

Ze względu na to, że linie pola magnetycznego (linie indukcji) są krzywymi zamknietymi, strumień przez powierzchnię zamkniętą jest równy zeru: <= jest to prawo Gaussa dla pola magnetycznego. Jego postac różniczkowa: divB=0

16. Moment magnetyczny obwodu elektrycznego

Umieszczamy w polu magnetycznym przewodnik w kształcie prostokątnej ramki o bokach a i b, przez którą płynie prąd I. Normalna do płaszczyzny ramki tworzy kąt z wektorem indukcji B. Na każdy bok ramki działa siła Ampere`a prostopadła do niego i do wektora indukcji. Siły te „starają się” obrócić ramkę, tak by normalna do niej pokryła się z wektorem B. Jeżeli dwa boki, np. b, będą prostopadłe do B, to siły rozpychające oba pozostałe boki działają w jednej linii; ich moment jest równy zeru: M_a = 0.

Wypadkowy moment obracający ramkę pochodzi od sił działających na boki b, równych . Siły te tworzą parę sił o ramieniu asin. Jej moment:

Przypisując polu powierzchni ramki ab=S kierunek normalnej do ramki i zwrot zgodny z ruchem śruby prawoskrętnej obracanej przez opływający ramkę prąd, można napisać:

Wektor p_m nosi nazwę momentu magnetycznego i mierzy się go w 1Am².

W przypadku solenoidu, którego oś tworzy kąt z kierunkiem indukcjimagnetycznej B, na każde uzwojenie przypada moment pary siłtaki sam, jak w przypadku pojedynczej ramki. Dla solenoidu o N zwojach działa wypadkowy moment par sił: , czyli moment magnetyczny solenoidu wynosi:

17. Pole magnetyczne prądu

Pole magnetyczne układów przewodników z pradęm można wyznaczyć jedną z następujących metod:

• z prawa Ampere`a (pola o dużym stopniu symetrii)

• z prawa Biota – Savarta (przewodniki o nieskomplikowanych kształtach i tam, gdzie można wyliczyć występującą w nim całkę)

• z równania Poissona dla wektorowego potencjału magnetycznego

18. Prawo Ampere`a

Z natężenia pola magnetycznego wynika, że .

Iloczyn jest długością okręgu zatoczonego promieniem r wokół przewodnika.

jest równa cyrkulacji z natężenia po konturze kołowym, zatem:

<= prawo Ampere`a

W ogólnym przypadku kontur całkowania może obejmować dowolną liczbę n przewodników. Natężenie I należy wówczas rozumieć jako sumę natężeń prądów w poszczególnych przewodnikach:

Prawo Ampere`a wyraża podstawową właściwość pola magnetycznego – jego wirowość. W polu bezwirowym (np. elektrostatycznym) cyrkulacja z natężenia jest równa zeru:

Ponieważ , prawo Ampere`a można przedstawić w postaci

19. Prawo Biota – Savarta

W przypadku przewodnika o dowolnym kształcie pole magnetyczne jest skomplikowane. Natężenie w dowolnym punkcie P pola można wyznaczyc z prawa Biota – Savarta, które działanie magnetyczne prądu rozpatruje jako sumę działań pochodzących od poszczególnych elementów przewodnika.

Przewodnik, w którym płynie prąd o natężeniu I dzialimy na małe elementy dl => wg prawa Biota – Savarta każdy element dl wnosi do indukcji B w określonym punkcie przyczynek dB:

r – wektor wodzący łączący dl z P, - wersor wektora r,

wzór na natężenie pola wynikający z prawa Biota – Savarta:

20, 21, 22. Indukcja elektromagnetyczna; prawo Faradaya; reguła Lentza

Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstawaniu prądów elektrycznych w zamkniętym obwodzie podczas przemieszczania się względem siebie źródła pola magnetycznego i tego zamkniętego obwodu. Mówimy, że w obwodzie jest indukowana siła elektromotoryczna (SEM indukcji), która wywołuje przepływ prądu indukcyjnego.

Prawo indukcji Faradaya stosuje się do trzech różnych sytuacji fizycznych:

• Nieruchoma pętla, względem której porusza się źródło pola magnetycznego (mamy tzw. elektryczną SEM).

• Przewód w kształcie pętli porusza się w obszarze pola magnetycznego (magnetyczna SEM).

• Nieruchoma pętla i nieruchome źródło pola magnetycznego lecz zmienia się prąd, który jest źródłem pola magnetycznego (także elektryczna SEM).

Na podstawie obserwacji Faraday doszedł do wniosku, że czynnikiem decydującym jest szybkość zmian strumienia magnetycznego φ_B. Ilościowy związek przedstawia prawo Faradaya

Prawo Faradaya: Siła elektromotoryczna indukowana w obwodzie zamkniętym jest równa szybkości zmian strumienia indukcji magnetycznej B objętego tym obwodem.

Kierunek siły elektromotorycznej określa reguła Lentza, wg której prąd indukowany ma taki kierunek, że przeciwstawia się przyczynie, która ten prąd wywołała.

Przyczyną powstawania siły elektromotorycznej jest:

1. ruch przewodnika w stałym polu magnetycznym (kierunek prądu indukowanego jest taki, że siła elektrodynamiczna, działająca w polu magnetycznym na poruszający się przewodnik z prądem, przeciwdziała ruchowi tego przewodnika; ruch przewodnika jest hamowany),

2. zmiana strumienia magnetycznego w spoczywającym obwodzie zamkniętym (indukowany prąd ma taki kierunek, że jego własne pole magnetyczne jest przeciwnie skierowane dopola pierwotnego B, gdy ono narasta, a jest skierowane zgodnie z polem pierwotnym, gdy ono maleje).

Prawo Faradaya i reguła Lentza wynikają z zasady zachowania energii.

Wzór na siłę elektromotoryczną po uwzglednieniu reguły Lentza:

Dla solenoidu o N zwojach:

23. Samoindukcja

Zmiany natężenia prądu w obwodzie powodują zmiany natężenia pola magnetycznego tego prądu, czyli pola, w którym znajduje się obwód. Na skutek tego indukuje się siła elektromotoryczna indukcji własnej (samoindukcji):

Jeżeli kształt i rozmiary obwodu nie zmieniają się, to L = const i ostatecznie

Jest to prawo Faradaya dla samoindukcji; minus po prawej stronie wyraża regułę Lentza. Wytworzona siła elektromotoryczna przeciwdziała zmianom, tzn. opóźnia wzrost lub spadek natężenia prądu. Nawet przy szybkim zamykaniu lub otwieraniu obwodu o dużej indukcyjności prąd narasta lub maleje powoli, tym wolniej im większa jest wartość L.

24. Równania Maxwella w postaci całkowej

W polu o zmiennej indukcji magnetycznej całkowity strumień indukcji magnetycznej objętej obwodem wyraża się całką . Korzystając ze wzoru otrzymujemy dla obwodu zamkniętego zależność i porównujemy ze wzorem i otrzymujemy prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya w postaci .

W polu elektrostatycznym dla każdej krzywej zamkniętej <= pole elektrostatyczne jest bezwirowe. Natomiast pole elektryczne powstające wokół zmieniającego się pola magnetycznego jest polem wirowym. Różna od zera całka jest elektrycznym napięciem brzegowym pola magnetycznego (wokół zmiennego pola magnetycznego powstaje wirowe pole elektryczne – linie tego pola są zamknięte, a ich kierunek jest prostopadły do kierunku pola magnetycznego). Wartość elektrycznego napięcia brzegowego jest równa zmianie strumienia indukcji w jednostce czasu.

Obwód prądu stałego jest zawsze zmaknięty, natomiast prąd zmienny płynie również w obwodach zawierających kondesator. Maxwell wykazał, że związek jest słuszny, jeżeli założyć, że w próżni lub w dielektryku znajdującym się między okładkami kondensatora płynie tzw. prąd przesunięcia I_p, który uzupełnia prąd przewodzenia, płynący w innych częściach obwodu. Prąd całkowity . Przy przepływie prądu zmiennego przez kondensator pole wytworzone między jego okładkami ulega ciągłej zmianie. Chwilowa wartość indukcji elektrycznej D zależy od gęstości powierzchniowej ładunków znajdujących się w danej chwili na okładkach kondensatora . Różniczkując ten związek otrzymujemy ale

Zamiana ładunku na okładkach kondensatora jest równa prądowi przesunięcia I_p, natomiast jest gęstością prądu przesunięcia.

Według Maxwella całkowita gęstość prądu Jc jest sumą gęstości prądu przewodzenia oraz gęstości prądu przesunięcia , z czego wynika:

Siła magnetomotoryczna wirowego pola magnetycznego (powstałego wokół pradu przewodzenia i uzupełniającego go prądu przesunięcia tworzących obwód zamknięty) wynosi: .

Ponieważ , więc <= po podstawieniu otrzymujemy:

<= jest to podstawowe prawo pola elektromagnetycznego (mówi, że zarówno wokół prądu przewodzenia, jak i wókół prądu przesunięcia powstaje wirowe pole magnetyczne).

Związek wraz z uogólnionym prawem indukcji magnetycznej Faradaya noszą nazwę równań Maxwella w postaci całkowej.

Równania Maxwella:

	Prawo	Równanie	Czego dotyczy	Doświadczenie
1	Gaussa dla elektryczności		ładunek i pole elektryczne	Przyciąganie, odpychanie ładunków (1/r^2). Ładunki gromadzą się na powierzchni metalu
2	Gaussa dla magnetyzmu		pole magnetyczne	nie stwierdzono istnienia monopola magnetycznego
3	indukcji Faradaya		efekt elektryczny zmieniającego się pola magnetycznego	indukowanie SEM w obwodzie przez przesuwany magnes
4	Ampera (rozszerzone przez Maxwella)		efekt magnetyczny zmieniającego się pola elektrycznego	prąd w przewodniku wytwarza wokół pole magnetyczne prędkość światła można wyliczyć z pomiarów EM

IV. Elementy ruchu drgającego i falowego

1. Oscylator harmoniczny

Oscylator harmoniczny – ciało wykonujące oscylacje harmoniczne - drgania dookoła położenia równowagi wg równania

s – wychylenie punktu drgającego od położenia równowagi

t – czas

A i - wielkości stałe w danym ruchu (niezależne od czasu)

Znaczenie stałej A wynika z charakteru funkcji sinus – funkcja ta może się zmieniać w granicach od –1 do +1, czyli wychylenie s może się zmieniać <= czyli punkt może się odsuwać od położenia równowagi o

A – największe wychylenie od położenia równowagi => amplituda ruchu harmonicznego

T – okres (najmniejszy odstęp czasu, po którym ruch się powtarza)

- pulsacja - ;częstość kołowa (częstotliwość) - (1s^-1 = 1 Hz – herc)

- argument sinusa/cosinusa => faza

- faza początkowa

Sinus czy cosinus?

jeśli oznaczymy jako otrzymujemy:

Przebieg zależności pozostaje przy tym niezmieniony, przesuwa się tylko początek rachuby czasu.

2. Drgania tłumione

Opory ruchu =>

Rodzaje oporów ruchu:

• tarcie poślizgowe (stała siła N dociska do siebie ślizgające się ciała)

( - współczynnik tarcia statycznego)

• lepkość albo tarcie wenętrzne (tarcie przy ślizganiu się po sobie warstw danej substancji przy niezbyt dużych prędkościach wprost proporcjonalne do prędkości)

; (współczynnik f [współczynnik oporów ruchu)jest wprost proporcjonalny do współczynnika lepkości)

• opór hydrodynamiczny (proporcjonalny do kwadratów prędkości – przy niezbyt dużych prędkościach)

Siła F_t, która powoduje tłumienie, jest proporcjonalna do prędkości ruchu i jest skierowana przeciwnie ().

Równanie różniczkowe ruchu drgającego tłumionego ma postać:

lub czyli

po wprowadzeniu oznaczeń oraz otrzymujemy:

- częstotliwość własna nietłumionych drgań układu ()

Rozwiązanie równania zależy od znaku wyrażenia

	słabe tłumienie	tłumienie jest bardzo silne; ruch przestaje być okresowy – jest to ruch aperiodyczny	drganie jest tłumione krytycznie i układ wraca do spoczynku w czasie najkrótszym
Wzór na wychylenie

3. Drgania wymuszone

Masa m zawieszona na sprężynie spiralnej i wytrącona z położenia równowagi przez jednorazowe szarpnięcie sprężyny do góry będzie wykonywac drgania tłumione z częstotliwością v₁ nieco mniejszą od częstotliwości własnej , której wartość zależy od wielkości masy m i własności sprężyny. Drganie to zaniknie po niedługim czasie. Jeżeli będziemy rownomiernie pociągać za koniec sprężyny z częstotliwością v, wówczas:

• nie występuje tłumienie drgań, ponieważ doprowadzona z zewnątrz energia równoważy straty energii na pokonanie tarcia w ruchu,

• masa m wykonuje drgania z częstotliwością ruchu ręki v, a nie z częstotliwością własną v₀,

• amplituda drgań zależy od częstotliwości v siły wymuszającej ruch.

Przy częstotliwościach v, małych w stosunku do częstotliwości własnej v₀ układu amplituda drgań jest bardzo mała. Ze wzrostem v rośnie amplituda drgań, osiągając maksymalną wartość gdy . W tym przypadku wystąpi rezonans układu drgającego z siłą wymuszającą drgania. Przy dalszym wzroście częstotliwości siły wymuszającej () amplituda drgań znów maleje.

Jeśli siła wymuszająca równanie różniczkowe drgania wymuszonego ma postać:

4. Ruch falowy

Niech w ośrodku modelowym doskonale sprężystym, jednorodnym i nieograniczonym znajduje się sprężysta kula. Jednorazowemu rozszerzeniu tej kuli bez zmiany kształtu (odkształcenie objętościowe) towarzyszy wystąpienie w jej najbliższym otoczeniu zaburzenia w postaci zagęszczenia cząstek ośrodka. Dzięki właściwościom sprężystym ośrodka zaburzenie to przekazywane jest z biegiem czesu cząstkom położonym coraz dalej od kuli, a każda z cząstek, do której doszło zaburzenie, rozpoczyna ruch drgający dookoła położenia równowagi. Kula stanowi w tym przypadku źródło pojedynczego zaburzenia w postaci zgęszczenia, czyli źródło pojedynczego impulsu zgęszczenia lub pojedynczej fali zgęszczenia.

Zjawisko to wygląda analogicznie w przypadku jednorazowego skurczenia się kuli – wtedy kula stanowi źródło pojedynczego impulsu rozrzedzenia lub pojedynczej fali rozrzedzenia.

Jeżeli zmiany objętości kuli zachodzą okresowo, to w otaczającym ją ośrodku powstaje ciąg okresowo pojawiających się zgęszczeń lub rozrzedzeń – czyli ciąg fal okresowych.

W ruchu falowym źródło fali przekazuje pewną ilość energii swemu otoczeniu. Skutkiem przekazania tej energii jest powstanie określonego zaburzenia ośrodka. To zaburzenie i związana z jego powstaniem energia przenoszą się stopniowo do coraz dalej położonych cząstek ośrodka.

Ruch falowy jest związany z dwoma procesami: z transportem energii przez ośrodek od cząstki do cząstki i z ruchem drgającym poszczególnych cząstek dookoła ich położenia równowagi. Nie jest związany z ruchem materii jako całości.

5. Rodzaje i podział fal

W zależności od liczby wymiarów przestrzeni: fale trój-, dwu-, jednowymiarowe.

W zależności od kształtu powierzchni falowych: kuliste, elipsoidalne, kołowe, eliptyczne, itd.

Fale płaskie – ich promienie stanowią zbiór prostych równoległych (w przestrzeni trójwymiarowej – powierzchnie falowe są płaszczyznami; w przestrzeni dwuwymiarowej – powierzchnie falowe redukują się do linii prostych)

Fale poprzeczne – kierunek ruchu zaburzenia jest prostopadły do kierunku ruchu drgającego cząstek.

Fale podłużne – kierunek ruchu drgającego cząstek jest równoległy do ruchu zaburzenia.

6. Równanie fali płaskiej

7. Prędkość fazowa i grupowa

8. Dyspersja fal

czyli => obserwujemy dyspersję

czyli => prędkość fazowa jest równa prędkości

grupowej => nie zachodzi dyspersja

=> dyspersja normalna => rośnie to v rośnie

=> dyspersja anormalna => rośnie to v maleje

9. Superpozycja i interferencja fal

Rozważmy dwie fale o równych częstotliwościach i amplitudach ale o fazach różniących się o ϕ. Równania tych fal są następujące

y₁ = Asin(kx – ωt – ϕ)

y₂ = Asin(kx – ωt)

Znajdźmy teraz falę wypadkową (zasada superpozycji) jako sumę y = y₁ + y₂.

Korzystając ze wzoru na sumę sinusów otrzymujemy

y = 2Acos(ϕ/2)sin(kx – ωt – ϕ/2)

co jest równaniem fali sinusoidalnej o amplitudzie 2Acos(ϕ/2). Dla ϕ = 0 fale spotykają się zgodnie w fazie (wzmacniają), a dla ϕ = 180 wygaszają.

10. Fale stojące

Rozważmy teraz dwa ciągi falowe biegnące w przeciwnych kierunkach tzn.

y₁ = Asin(kx – ωt)

y₂ = Asin(kx + ωt)

np. falę padającą i odbitą.

Falę wypadkową można zapisać jako

y = y₁ + y₂ = 2Asinkxcosωt

To jest równanie fali stojącej. Zauważmy, że cząstki drgają ruchem harmonicznym prostym. Cząstki mają tę samą częstość ale różną amplitudę zależną od położenia cząstki x. Punkty kx = π/2, 3π/2, 5π/2, itd. czyli x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4 itd. mające maksymalną amplitudę nazywamy strzałkami a punkty kx = π, 2π, 3π itd. czyli x = λ/2, λ, 3λ/2 itd. mające zerową amplitudę nazywamy węzłami.

Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną istotną różnicę. Energia nie jest przenoszona wzdłuż sznura bo nie może ona przepłynąć przez węzły, jest na stałe zmagazynowana w poszczególnych elementach sznura.

11. Fale akustyczne

Fale akustyczne – fale podłużne rozchodzące się w ośrodku sprężystym.

Ludzkie ucho słyszy fale o częstości f = 16 Hz – 20 kHz (dźwięki)

f<16 Hz – infradźwięki

f>20 kHz – ultradźwięki

f>1 GHz - hiperdźwięki

12. Cechy dźwięku

• wysokość – jest związana z częstotliwością drgań źródła: częstotliwościom małym odpowiadają dźwięki niskie i odwrotnie. O wysokości decyduje częstotliwość tonu podstawowego

• natężenie – mierzy się ilością energii przenoszonej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni ustawionej prostopadle do promienia fali. Natężenie wyraża się w lub w . Ponieważ natężenie dźwięku jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy, więc tym samym obowiązuje proporcjonalność natężenia do kwadratu amplitudy drgań źródła

• barwa dźwięku – decyduje o niej: liczba składowych tonów harmonicznych i stosunki ich natężeń. Różnice barwy można ustalić za pomocą słuchu lub też porównując krzywe zależności wychyleń źródła od położenia równowagi od czasu (taka krzywa w przypadku źródła tonu prostego ma kształt sinusoidy). Ustalając liczbę występujących w danym dźwięku tonów harmonicznych i stosunki ich natężeń otrzymujemy charakterystykę danego dźwięku w postaci tzw. widma akustycznego

13. Natężenie fali

Natężenie fali – energia przenoszona w jednostce czasu przez jednostkowy element powierzchni w kierunku prostopadłym do niego (gdy fala przebiega przez ośrodek jej energia może być pochłaniana przez ten ośrodek)

14. Ultradźwięki

Fale o f>20 kHz – ultradźwięki

f = - ultradźwięki czasem do 10¹² Hz

f>1 GHz – hiperdźwięki

Zastosowanie ultradźwięków:

Bierne – wykorzystuje się takie fale sprężyste, które nie powodują zmian ośrodka, w którym się rozchodzą, gdyż wykorzystuje się je w diagnostyce materiałowej, medycznej i do wyznaczania modułów sprężystości, badania defektów, badania naprężeń wewnętrznych, kontroli procesów technologicznych, badania emisji akustycznej (ruchów górotwórczych, pęknięć skał), do badania wytrzymałości zbiorników ciśnieniowych, grubości ścian zbiorników, w hydrolokacji, diagnostyce medycznej (wykrywanie kamieni, narośli, guzów), do badania oka (oftamologia), do badania położenia płodu

Czynne – wykorzystuje się do celowego zaprowadzania zmian – można mieszać ciecze niemieszające się (tworzenie emulsji), do spawania

W zastosowaniu biernym wykorzystujemy ultradźwięki o małym natężeniu, a w czynnym o dużym natężeniu.

Źródłem są membrany, struny, słupy powietrza

Do wytwarzania ultradźwięków wykorzystuje się zjawisko piezoelektryczne. Materiałem wykorzystywanym jest piezoelektryk (np. kryształ kwarcu).