Wydział WIL	Imię i nazwisko Jakub Steindel	Zespół 9	Data 13.04.2013
Grupa 2	Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego	Nr ćw. 1	Ocena i podpis

1. Wstęp teoretyczny

Przyspieszenie ziemskie g jest to przyspieszenie ciał spadających swobodnie w polu grawitacyjnym Ziemi (przy braku oporów ruchu). Z prawa powszechnej grawitacji Newtona można wyliczyć, że na powierzchni Ziemi jego wartość dana jest wzorem:

$$\mathbf{g = G}\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{z}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{z}}^{\mathbf{2}}}$$

gdzie: G – stała grawitacji, M_z – masa Ziemi, R_z – promień Ziemi.

Zatem na biegunach, gdzie promień naszej planety jest najmniejszy będzie ono miało największą wartość. Na wartość przyspieszenia wpływa także ruch obrotowy Ziemi, gdyż związane z nim przyspieszenie odśrodkowe zmniejsza mierzone przyspieszenie ziemskie na całym globie, z wyjątkiem biegunów. Wartość przyspieszenia ziemskiego maleje wraz z wysokością nad powierzchnią Ziemi.

2. Metoda pomiaru

Wartość przyspieszenia ziemskiego możemy wyznaczyć wykorzystując prawa ruchu harmonicznego wahadła prostego. Wahadło proste jest to w naszym przypadku mała kulka zawieszona na nierozciągliwej lekkiej nici, której ciężar możemy zaniedbać. Wychylona zostaje z położenia równowagi o niewielki kąt α˂5˚, który zapewnia dostatecznie dobre wyniki. Kulka swobodnie puszczona wykonuje ruch drgający prosty.

Rozważając ruch kulki pod wpływem siły, która jest składową ciężaru kulki styczną do toru ruchu:

F = −mgsinφ,

gdzie sinφ ≅ φ, a wtedy F = −mgφ

Rozwiązując odpowiednie równanie ruchu dostajemy, że kątowe wychylenie kulki φ jest funkcją okresową czasu o okresie danym wzorem:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ , gdzie l – długość wahadła.

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

3. Wykonanie ćwiczenia

Pomiar długości nici oraz średnicy kuli:

L.p.	ln [cm]	ln [m]	2rk [mm]	rk [m]
1	70,3	0,703	19,67	0,009835
2	70,4	0,704	19,70	0,009850
3	69,8	0,698	19,66	0,00983
4	70,2	0,702	19,67	0,009835
5	70,3	0,703	19,69	0,009845
6	70,2	0,702	19,69	0,009845
7	70,1	0,701	19,65	0,009825

$$\overset{\overline{}}{\mathbf{l}_{\mathbf{n}}}\mathbf{\approx 0,}\mathbf{7019\ \lbrack m\rbrack}$$

$$\overset{\overline{}}{\mathbf{r}_{\mathbf{k}}}\mathbf{\approx 0,}\mathbf{0098\ \lbrack m\rbrack}$$

l_w = l_n + r_k

l_w = 0, 7019 + 0, 0098 = 0, 7117 [m]

l = 0, 0005 [cm]

gdzie:

2r_k – to średnica kulki,

l_n – długość nici,

l_w – długość wahadła,

l - niepewność systematyczna równa połowie najmniejszej działki przyrządu

Pomiar i obliczenia okresu ruchu

L.p.	20T [s]	Ti [s]	$T_{i} - \overset{\overline{}}{T}$ [s]	$\left( T_{i} - \overset{\overline{}}{T} \right)^{2}$ [s^2]
1	34,00	1,7000	-0,0077	0,00005929
2	34,56	1,7280	1,728	2,985984
3	34,80	1,7400	1,74	3,0276
4	34,31	1,7155	1,7155	2,94294025
5	33,10	1,6550	1,655	2,739025

$$\overset{\overline{}}{T_{i}} = 1,7077\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T = 0,0025\lbrack s\rbrack$$

Niepewności systematyczne

Czas 20T mierzony był stoperem o dokładności 0,1[s], dlatego:

20T = 0, 05[s]T = 0, 0025[s]

Obliczenie przyspieszenia ziemskiego g z wartości uśrednionych:

$$g = \frac{4\pi^{2}l}{{\overset{\overline{}}{T}}^{2}} = \frac{4 \bullet {(3,1416)}^{2} \bullet 0,7117}{{1,7077}^{2}} = 9,6346 \approx 9,63\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

Maksymalna niepewność względna i procentowa pomiaru pośredniego g :

$$g = \left| \frac{4\pi^{2}}{{\overset{\overline{}}{T}}^{2}} \right| \bullet \left| l \right| + \left| \frac{- 8\pi^{2}l}{{\overset{\overline{}}{T}}^{3}} \right| \bullet \left| T_{\max} \right|$$

Stąd:

$$\delta_{\max} = \left( \frac{g}{g} \right)_{\max} = \left| \frac{l}{l} \right| + \left| \frac{2T_{\max}}{\overset{\overline{}}{T}} \right|$$

$$\delta_{\max} = \left| \frac{0,0005}{0,7117} \right| + \left| \frac{2 \bullet 0,05}{1,7077} \right| = 0,0593$$

δ_% = δ_max • 100%

δ_% = 5, 93%

g_max = g • δ_max

$${g}_{\max} = 9,63 \bullet 5,93\% = 0,5711 \approx 0,58\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

Przyspieszenie ziemskie g wynosi $\mathbf{\approx (9}\mathbf{,63}\mathbf{\pm 0,}\mathbf{58}\mathbf{)\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$

4. Wnioski

W wyniku doświadczenia wyznaczyliśmy przyspieszenie ziemskie o wartości

$(9,63 \pm 0,58)\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$. Natomiast tablicowa wartość przyspieszenia ziemskiego dla Krakowa wynosi (9,8105±0,0001) $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$. Jak łatwo zauważyć wynik pomiaru doświadczalnego mieści się w przedziale z wynikiem tablicowym przyspieszenia ziemskiego. Wynik eksperymentalny posiada jednak dużą niepewność w stosunku do niepewności tablicowego g. Spowodowane jest to następującymi czynnikami:

• niepewności systematyczne wynikające z niezerowej nierozciągliwości nici, niedokładności przyrządów oraz pominięcia oporów powietrza

• niepewności przypadkowe objawiające się różnym, indywidualnym czasem reakcji osoby mierzącej podczas wykonywania pomiarów oraz precyzji w ich odczytywaniu.

Właśnie ten drugi czynnik miał największy wpływ na dokładność wyników otrzymanych w tym doświadczeniu.