2’ SPRAWDZENIE TWIERDZENIA STEINERA

Cel:

• Zapoznanie się z dynamiką ruchu obrotowego

• Sprawdzenie twierdzenia Steinera

Pytania kontrolne:

• Zdefiniować wielkości charakterystyczne dla ruchu obrotowego:

droga kątowa	jest to kąt zakreślony przez promień wodzący punktu ciała	α
prędkość kątowa	Jest wielkością której miarą jest iloraz przebytej drogi kątowej do czasu, w którym ta droga została przebyta	prędkość kątowa średnia $$\mathbf{\omega =}\frac{\mathbf{\alpha}}{\mathbf{t}}$$ prędkość kątowa chwilowa $$\mathbf{\omega = \ }\operatorname{}\frac{\mathbf{\alpha}}{\mathbf{t}}$$
Przyspieszenie kątowe	Jest wielkością której miarą, jest iloraz przyrostu prędkości kątowej do czasu, w którym przyrost ten nastąpił	Przyspieszenie kątowe średnie $$\mathbf{\varepsilon =}\frac{\mathbf{\omega}}{\mathbf{t}}$$ Przyspieszenie kątowe chwilowe $$\mathbf{\varepsilon =}\operatorname{}\frac{\mathbf{\omega}}{\mathbf{t}}$$
Moment bezwładności	Wielkość charakteryzująca bezwładność ciała stosowana przy opisie ruchu obrotowego Moment bezwładności I bryły względem danej osi nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych punktów bryły i kwadratów ich odległości od danej osi. W przypadku bryły o ciągłym rozkładzie masy, dzielimy ją na nieskończenie małe części i sumowanie w poszczególnym wzorze zastępujemy całkowaniem Moment bezwładności ciała o tej samej masie i tym samym promieniu zależy od jego kształtu. Moment bezwładności ciała można wyrazić wzorem	I=∫mr^2dm $$\mathbf{I =}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{m}_{\mathbf{i}}\mathbf{r}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}}$$ I =  ∫r^2dm I = mk^2
Moment pędu	Moment pędu bryły obracającej się wokół osi jest sumą momentów pędów wszystkich jego punktów Moment pędu bryły równy jest iloczynowi jej prędkości kątowej ω i momentowi bezwładności I Wektor momentu pędu jest skierowany zgodnie z osią obrotu, jego wartość bezwzględna wynosi:	L $$\overrightarrow{\mathbf{L}}\mathbf{= I}\overrightarrow{\mathbf{\omega}}$$ L= rmV = mr^2ω
Moment siły	Moment siły względem punktu 0 nazywamy iloczynem wektorowym wektora wodzącego $\overrightarrow{r}$ (łączącego punkt 0 z początkiem wektora $\overrightarrow{F})$ i wektora siły $\overrightarrow{F}$ Moment siły nazywany jest też momentem obrotowym zgodnie z definicją iloczynu wektorowego wartość ta wynosi:	$$\overrightarrow{\mathbf{M}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{r}}\mathbf{\times}\overrightarrow{\mathbf{F}}$$ M = rsinαF

• Twierdzenie Steinera pozwala obliczyć moment bezwładności bryły.

Moment bezwładności (I) bryły względem dowolnej osi jest równy momentom bieżącym (I₀)  względem osi (0₀) równoległej przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy tej bryły (m) i kwadratu odległości pomiędzy osiami (a)

I =  I₀+ma²

• II Zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

Wypadkowy moment sił działających na bryłę sztywną jest równy iloczynowi momentu bezwładności i przyspieszenia kątowego

$$\overrightarrow{\mathbf{M}_{\mathbf{w}}}\mathbf{= \ I\varepsilon}$$

• Wzór na obliczenie gęstości obciążnika

$$\mathbf{\delta = \ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{V}}\mathbf{\ = \ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{V}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{V}_{\mathbf{2}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{\pi}\mathbf{r}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}\mathbf{h}_{\mathbf{1}}\mathbf{+ \pi}\mathbf{r}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\mathbf{h}_{\mathbf{2}}}$$

• Moment bezwładności względem osi symetrii

$$\mathbf{I}_{\mathbf{0}\mathbf{\text{ab}}}\mathbf{=}\mathbf{I}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{I}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{m}_{\mathbf{1}}\mathbf{r}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{m}_{\mathbf{2}}\mathbf{r}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\rho}\mathbf{V}_{\mathbf{1}}\mathbf{r}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\rho}\mathbf{V}_{\mathbf{2}}\mathbf{r}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\pi\rho(}\mathbf{r}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{4}}\mathbf{h}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{r}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{4}}\mathbf{h}_{\mathbf{2}}\mathbf{)}$$

• Całkowity moment bezwładności układu w przeprowadzonym doświadczeniu wynosi:

I=I₀+k(I_0ab+md²)

Doświadczalna zależność I(d²) powinna mieć charakter linowy. Sprawdzamy, czy wyznaczony na podstawie regresji linowej I = a*d²+b współczynnik kierunkowy a prostej oraz wyraz wolny b przyjmują odpowiednią wartość: a = k * m

b=I₀+kI_0ab

Przebieg pomiarów:

1’ Obliczanie momentu bezwładności z definicji

 

Obciążnik mniejszy:

• Wyznaczyć masę i wymiary geometryczne obciążnika mniejszego (tabela)

r_1m=0.0148,   r_2m=0.01195,   h_1m=0.0075,   h_3m=0.0074,    m_m=0, 0656 

• Obliczyć gęstość obciążnika

$\mathbf{\rho}_{\mathbf{m}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{m}}}{\mathbf{V}_{\mathbf{m}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{m}}}{\mathbf{\pi}\mathbf{r}_{\mathbf{1}\mathbf{m}}^{\mathbf{2}}\mathbf{h}_{\mathbf{1}\mathbf{m}}\mathbf{+ \pi}\mathbf{r}_{\mathbf{2}\mathbf{m}}^{\mathbf{2}}\mathbf{h}_{\mathbf{3}\mathbf{m}}}\mathbf{= \ }\mathbf{7735.073725\ \lbrack kg/}\mathbf{m}^{\mathbf{3}}\mathbf{\rbrack}$

V_1m   =  πr_1m²h_1m  = π * 0.0148² * 0.0075 = 5.16101 * 10⁻⁶

V_2m   =  πr_2m²h_3m  = π * 0.01195² * 0.0074 = 3.31984 * 10⁻⁶

V_m  = V_1m   +  V_2m   =  8.48085 * 10⁻⁶

• Obliczyć moment bezwładności mniejszego obciążnika względem jego osi symetrii

$$\mathbf{I}_{\mathbf{0}\mathbf{m}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\pi}\mathbf{\rho}_{\mathbf{m}}\left( {\mathbf{r}_{\mathbf{1}\mathbf{m}}^{\mathbf{4}}\mathbf{*h}}_{\mathbf{1}\mathbf{m}}\mathbf{+}{\mathbf{r}_{\mathbf{2}\mathbf{m}}^{\mathbf{4}}\mathbf{*h}}_{\mathbf{3}\mathbf{m}} \right)\mathbf{=}\mathbf{6.205654719*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 6}}\mathbf{\ \lbrack kg/}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{\rbrack}$$

h_1m * r_1m⁴ =   3.59839 * 10⁻¹⁰

h_3m * r_2m⁴ =   =   1.50905 * 10⁻¹⁰

(r_1m⁴ * h_1m+r_2m⁴ * h_3m) = 5.10744* 10⁻¹⁰

$$\frac{1}{2}\pi\rho_{m} = 0.5*\pi\ *7735.073725 = 12150.22539$$

Obciążnik większy:

• Wyznaczyć masę i wymiary geometryczne obciążnika większego(tabela)

(r_1w=0.01485,   r_2w=0.01205,   h_3w=0.0164,   h_1w=0.0133,    m_w=0.1275

• Obliczyć gęstość obciążnika

$\mathbf{\rho}_{\mathbf{w}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{w}}}{\mathbf{V}_{\mathbf{w}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{m}_{\mathbf{w}}}{\mathbf{\pi}\mathbf{d}_{\mathbf{3}\mathbf{w}}^{\mathbf{2}}\mathbf{h}_{\mathbf{1}\mathbf{w}}\mathbf{+ \pi}\mathbf{d}_{\mathbf{4}\mathbf{w}}^{\mathbf{2}}\mathbf{h}_{\mathbf{3}\mathbf{w}}}\mathbf{=}\mathbf{7636.893563\ \lbrack kg/}\mathbf{m}^{\mathbf{3}}\mathbf{\rbrack}$

V_1w   =  πr_1w²h_1w  = π * 0.01485² * 0.0133 = 9.21413 * 10⁻⁶

V_2w   =  πr_2w²h_3w  = π * 0.01205² * 0.0164 = 7.48114 * 10⁻⁶

V_w  = V_1w   +  V_2w   =  16.69527 * 10⁻⁶

• Obliczyć moment bezwładności większego obciążnika względem jego osi symetrii

$$\mathbf{I}_{\mathbf{0}\mathbf{w}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\pi}\mathbf{\rho}_{\mathbf{w}}\left( \mathbf{r}_{\mathbf{1}\mathbf{w}}^{\mathbf{4}}\mathbf{*h}_{\mathbf{1}\mathbf{w}}\mathbf{+}\mathbf{r}_{\mathbf{2}\mathbf{w}}^{\mathbf{4}}\mathbf{*h}_{\mathbf{3}\mathbf{w}} \right)\mathbf{=}\mathbf{1.19066941*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\mathbf{\ }\mathbf{\ \lbrack}\mathbf{kg/}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{\rbrack}$$

r_1w⁴*h_1w = 6, 46781 * 10⁻¹⁰

r_2w⁴*h_3w = 3, 45774 * 10⁻¹⁰ 

(r_1w⁴*h_1w+r_2w⁴*h_3w) =  9.92555 * 10⁻¹⁰

$$\frac{1}{2}\pi\rho_{w} = \ 0.5*\pi\ *7636.893563 = 11996.00436$$

2’ Wyznaczyć moment bezwładności tarczy bez obciążników

• Wyznaczyć masę ciężarka m = 0.0538kg

promień bębna r =0.0117m

• Obliczyć przyspieszenie kątowe tarczy ε

α = n * 2π gdzie n=4 ponieważ wykonywaliśmy czterokrotny pełen obrót tarczy

α = 25.13274123

2α = 50.26548246

t_sr = 7.70

t_sr² =  59.29

$$\mathbf{\varepsilon}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{\alpha}}{\mathbf{t}_{\mathbf{sr}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{8477902253}\mathbf{\ \ \lbrack}\mathbf{\text{rad}}\mathbf{/}\mathbf{s}\mathbf{2}\mathbf{\rbrack}$$

• Obliczyć moment siły naprężenia linki M_N

g=9.81N

M_N=m(g − εr)r = 6.168758895*10⁻³ [N*m]

(g − εr) = 9.81 - 0.8477902253 * 0.0117 =  9.800080854

• Z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego M_N= I₀𝜺

wyznaczyć moment bezwładności tarczy bez obciążników I₀

M_N= 6.168758895 * 10⁻³ [N * m]

ε = 0.8477902253  [rad/s2]

$$\mathbf{I}_{\mathbf{0}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{N}}}{\mathbf{\varepsilon}}\mathbf{=}\ \frac{\mathbf{m}\left( \mathbf{g - \varepsilon r} \right)\mathbf{r}}{\mathbf{\varepsilon}}\mathbf{=}\mathbf{7.276279805*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 3}}$$

M_N=I₀*ε=6.168758894*10⁻³ [kg*m²]

Kąt Obrotu	Czas obrotu	Czas średni	Przyspieszenie kątowe	Moment siły naprężenia linki	Moment bezwładności tarczy bez obciążników
α [rad]	ti [s]	tśr [s]	𝜺 [rad/s^2]	MN [N*m]	I0 [kg*m^2]
25.13274123	7,78	7,70	0.8477902253	6.168758895*10^−3	7.276279805*10^−3
	7,72
	7,6

3’ Wyznaczanie momentu bezwładności tarczy z obciążnikami

I=I₀+k(I_0mw+mr²)

• Metodą regresji linowej wyznaczyć: sumę momentów bezwładności tarczy bez obciążników i obciążników oraz łączną masę obciążników

Obciążnik mniejszy (załącznik tabela nr 1):

I₀+kI_0m = 0.007288691

km_m = 0,1312

2α = 50.26548246

M_N =  6.168758894 * 10⁻³ [kg * m²]

I_0m = 6.205654719 * 10⁻⁶ [kg/m²]

Numer otworu [n]	Odległość obciążnika od środka tarczy rob [m]	rob^2 [m^2]	Czas średni tsr [s]	tobsr^2 [s^2]	Przyspieszenie kątowe ε  [rad/s^2]	$$\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{N}}}{\mathbf{\varepsilon}}$$ [kg*m^2]	Imi [kg*m^2]
1	0,1468	0,0216	9,27	85,93	0,5849	0,01055	1,41990 *10^−3
2	0,1021	0,0104	8,22	67,57	0,7439	0,00829	0,69005*10^−3
3	0,1222	0,0149	8,34	69,56	0,7227	0,00854	0,98580*10^−3
4	0,0696	0,0048	7,58	57,51	0,8741	0,00706	0,32398*10^−3
5	0,1617	0,0261	9,22	85,07	0,5909	0,01044	1,72144*10^−3
6	0,0918	0,0084	8,19	67,08	0,7494	0,00823	0,55903*10^−3
7	0,1257	0,0158	8,74	76,39	0,6580	0,00937	1,04272*10^−3
8	0,0511	0,0026	8,00	64,00	0,7854	0,00785	0,17750*10^−3

Uśredniona wartość $\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{N}}}{\mathbf{\varepsilon}}\mathbf{\text{\ \ }}$ = 0,00879

I_mi= I_0m+ mr²

I_mi1 =  6.205654719 * 10⁻⁶ + 0.0656 * 0.0216 = 1, 41990 * 10⁻³

I_mi8 =  6.205654719 * 10⁻⁶ + 0.0656 * 0.0026 = 0, 17750 * 10⁻³

I=I₀+k(I_0m+mr²)

I₁ =  7.276279805 * 10⁻³ + 2 * (6.205654719*10⁻⁶+0.0656*0.0216) =  0.10116* 10⁻³

I₈ =  7.276279805 * 10⁻³ + 2 * (6.205654719*10⁻⁶+0.0656*0.0026) =  7, 63128*10⁻³

Numer otworu [n]	Kwadrat odległości obciążnika od środka tarczy rob^2 [m^2]	Moment bezwładności tarczy wraz z obciążnikami I [kg*m^2]
1	0,0216	10,11608 *10^−3
2	0,0104	8,65637 *10^−3
3	0,0149	9,24788 *10^−3
4	0,0048	7,92424 *10^−3
5	0,0261	10,71916 *10^−3
6	0,0084	8,39435 *10^−3
7	0,0158	9,36172 *10^−3
8	0,0026	7,63128 *10^−3

Obciążnik większy (załącznik tabela nr 2):

I₀+kI_0w = 0,007314412438

km_w = 0,255

2α = 50.26548246

M_N =  6.168758894 * 10⁻³ [kg * m²]

I_0w = 11, 9066941 * 10⁻⁶  [kg/m²]

Numer otworu [n]	Odległość obciążnika od środka tarczy rob [m]	rob^2 [m^2]	Czas średni tsr [s]	tobsr^2 [s^2]	Przyspieszenie kątowe ε  [rad/s^2]	$$\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{N}}}{\mathbf{\varepsilon}}$$ [kg*m^2]	Iwi [kg*m^2]
1	0,1468	0,0216	10,39	107,95	0,46563	0,01325	2,75956*10^−3
2	0,1021	0,0104	9,14	83,54	0,60170	0,01025	1,34102*10^−3
3	0,1222	0,0149	9,74	94,87	0,52985	0,01164	1,91584*10^−3
4	0,0696	0,0048	8,36	69,89	0,71921	0,00858	0,62954*10^−3
5	0,1617	0,0261	10,96	120,12	0,41846	0,01474	3,34564*10^−3
6	0,0918	0,0084	8,91	79,39	0,63316	0,00974	1,08638*10^−3
7	0,1257	0,0158	10,06	101,20	0,49668	0,01242	2,02647*10^−3
8	0,0511	0,0026	8,17	66,75	0,75305	0,00819	0,34484*10^−3

Uśredniona wartość $\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{N}}}{\mathbf{\varepsilon}}\mathbf{\text{\ \ }}$ = 0,011102

I_wi= I_0w+ mr²

I_wi1 =  11, 9066941 * 10⁻⁶ + 0.1275 * 0, 0216 = 2, 75956 * 10⁻³ 

I_wi8 =  11, 9066941 * 10⁻⁶ + 0.1275 * 0, 0026 = 0, 34484 * 10⁻³

I=I₀+k(I_0w+mr²)

I₁ =  7.276279805 * 10⁻³ + 2 * (11,9066941*10⁻⁶  +0.1275*0.0216) =  0.12795* 10⁻³

I₈ =  7.276279805 * 10⁻³ + 2 * (11,9066941*10⁻⁶  +0.1275*0.0026) =  7, 96595*10⁻³

Numer otworu [n]	Kwadrat odległości obciążnika od środka tarczy rob^2 [m^2]	Moment bezwładności tarczy wraz z obciążnikami I [kg*m^2]
1	0,0216	12,79540*10^−3
2	0,0104	9,95832 *10^−3
3	0,0149	11,10797*10^−3
4	0,0048	8,53535 *10^−3
5	0,0261	13,96755 *10^−3
6	0,0084	9,44904 *10^−3
7	0,0158	11,32922 *10^−3
8	0,0026	7,96595 *10^−3

4’ Wykres + regresja liniowa (załącznik wykres nr 3)

Metoda regresji linowej:

I =  I₀+kI_0m+km_mr_ob² I =  I₀+kI_0w+km_wr_ob²

y    =        b                +                ax

I = a*r_ob²+b

I₀+kI_mi=b

km   = a 

5’ Wnioski

Po zapoznaniu się z tematyką dynamiki ruchu obrotowego, przeprowadzeniu doświadczenie ze zmodyfikowaną wersją wahadła Oberbecka, a następnie opracowaniu otrzymanych danych można wysyć następujące wnioski:

• moment bezwładności tarczy bez obciążników jest mniejszy niż z obciążnikami

(co obrazują zamieszczonych w sprawozdaniu obliczenia)

• im dalej umieszczony jest obciążnik na tarczy tym większy jest jego moment bezwładności względem osi symetrii tarczy

(porównanie danych umieszczone w tabelach powyżej)

• przyspieszenie kątowe ε wzrasta do środka osi symetrii tarczy (im obciążnik jest bliżej osi tarczy – tym przyspieszenie kątowe jest większe)

• moment bezwładności tarczy wraz z obciążnikami jest tym większym im bliżej od środka osi symetrii tarczy umieszczone są obciążniki

wykonane doświadczenie obrazuje jak wielki wpływ na poszczególne parametry układu ma rozłożenie masy względem jej osi symetrii, a tym samym udowadnia, że jeśli chcemy uzyskać większą prędkość kątową powinniśmy skupić ciężar jak najbliżej środka symetrii danego ciała uzyskując maksymalny moment bezwładności.