METODA PODSTAWOWA POMIARU NA PRZYKŁADZIE WYZNACZANIA GĘSTOŚCI. BŁĘDY W METODZIE POŚREDNIEJ

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest określenie gęstości wybranej cieczy manometrycznej (denaturat) i gęstości nasypowej pyłu (piasek) oraz przeprowadzenie analizy niepewności uzyskanych na drodze pomiaru wyników.

1. Przebieg ćwiczenia i schemat stanowiska.

Pierwsza część ćwiczenia polegała na wyznaczeniu gęstości nasypowej piasku. W tym celu najpierw zważono naczynie miarowe na wadze elektronicznej WTB 2000. Następnie wsypywano do naczynia piasek za pomocą przyrządu do nasypywania pyłu, ważono go i opróżniało. Piasek był wysypywany do pojemnika. Całą czynność powtórzono pięć razy.

Rys. 1. Schemat stanowiska do wyznaczenia gęstości nasypowej piasku

Druga część ćwiczenia polegała na wyznaczeniu gęstości denaturatu. Najpierw zważono suche naczynie miarowe wspomnianą wcześniej wagą elektroniczną. Następnie nalano do naczynia 40 ml cieczy i zważono ją razem z naczyniem, które następnie opróżniono. Całą czynność powtórzono pięć razy.

Rys. 2. Schemat stanowiska do wyznaczenia gęstości cieczy manometrycznej (denaturat).

1. Tabele z wynikami pomiarów

m g	m0 g	$$\overset{\overline{}}{m}$$ g	u(m) g	V cm^3	u(V) ml	ρc $$\frac{g}{\text{cm}^{3}}$$	$$\overset{\overline{}}{\rho_{c}}$$ $$\frac{g}{\text{cm}^{3}}$$	uA $$\frac{g}{\text{cm}^{3}}$$	uB $$\frac{g}{\text{cm}^{3}}$$	ucałk $$\frac{g}{\text{cm}^{3}}$$
132,99	96,65	36,2	0,0577	40	0,0577	0,91	0,90
132,44						0,90
132,41						0,90		0,013	0,0015	0,013
133,02						0,91
133,37						0,92

Tabela 1. Wyniki pomiarów i wartości niepewności dla gęstości denaturatu

m g	m0 g	$$\overset{\overline{}}{m}$$ g	u(m) g	V cm^3	u(V) %	ρc $$\frac{g}{\text{cm}^{3}}$$	$$\overset{\overline{}}{\rho_{c}}$$ $$\frac{g}{\text{cm}^{3}}$$	uA $$\frac{g}{\text{cm}^{3}}$$	uB $$\frac{g}{\text{cm}^{3}}$$	ucałk $$\frac{g}{\text{cm}^{3}}$$
157,29	117,02	38,9	0,0577	25,81	0,6	1,56	1,53
155,46						1,50
158,04						1,59		0,063	0,036	0,73
154,90						1,48
157,05						1,55

Tabela 2. Wyniki pomiarów i wartości niepewności dla gęstości nasypowej piasku

1. Przykładowe obliczenia

Gęstość denaturatu:

$$\rho_{c} = \frac{\frac{\Sigma(m_{i} - m_{0})}{n}}{V}$$

m_i - pojedynczy pomiar naczynia miarowego z badaną cieczą

m₀ – pomiar wagi suchego naczynia miarowego

n – ilość pomiarów

V – objętość cieczy

$$\rho_{c} = \frac{\frac{\left( 132,99 - 96,65 \right) + \left( 132,44 - 96,65 \right) + \ldots + \left( 133,37 - 96,65 \right)\ }{5}}{40} = 0,90\frac{g}{cm^{3}}$$

Gęstość nasypowa piasku:

$$\rho_{p} = \frac{\frac{\Sigma(m_{i} - m_{0})}{n}}{V}$$

m_i - pojedynczy pomiar naczynia miarowego z piaskiem

m₀ – pomiar wagi suchego naczynia miarowego

n – ilość pomiarów

V – objętość piasku

$$V = H*\pi*\frac{d^{2}}{4} = 49,4*3,14*\frac{{25,8}^{2}}{4} = 25,81\ cm$$

$$\rho_{p} = \frac{\frac{\left( 157,29 - 117,03 \right) + \left( 155,46 - 117,03 \right) + \ldots + \left( 157,05 - 117,03 \right)\ }{5}}{25,81} = 1,53\frac{g}{cm^{3}}$$

Wyznaczenie niepewności pomiarowych:

- niepewność standardowa typu B (dla gęstości denaturatu)

$$u_{B} = u\left( \rho \right) = \rho*\sqrt{\left( \frac{u\left( m \right)}{m} \right)^{2} + \left( \frac{u\left( V \right)}{V} \right)^{2}}$$

$$u_{B} = 0,71*\sqrt{\left( \frac{0,0577}{38,9} \right)^{2} + \left( \frac{0,0577}{40} \right)^{2} =}0,0018\frac{g}{cm^{3}}$$

- odchylenie standardowe średniej

$$\sigma_{\overset{\overline{}}{\rho}} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N}\left( \rho_{i} - \overset{\overline{}}{\rho} \right)^{2}}{N\left( N - 1 \right)}}$$

$$\sigma_{\overset{\overline{}}{\rho}} = \sqrt{\frac{\left( 0,91 - 0,90 \right)^{2} + \left( 0,90 - 0,90 \right)^{2} + \ldots + \left( 0,92 - 0,90 \right)^{2}}{5\left( 5 - 1 \right)}} = 0,005\frac{g}{\text{cm}^{3}}$$

Odczytanie z rozkładu Studenta wartości współczynnika k dla prawdopodobieństwa α = 0, 95

k = 2, 776

- niepewność standardowa typu A:

$$u_{A} = k \bullet \sigma_{\overset{\overline{}}{\rho}} = 2,776 \bullet 0,005 = 0,014\frac{g}{\text{cm}^{3}}$$

-niepewność całkowita:

$$u_{calk}\left( \rho \right) = \ \sqrt{u_{A}^{2} + u_{B}^{2}} = \sqrt{{(0,036)}^{2} + {(0,0015)}^{2}} = 0,036\ \frac{g}{\text{cm}^{3}}$$

1. Wyniki

Gęstość denaturatu: $\rho_{c} = 0,90 \pm 0,03\frac{g}{cm^{3}}$

Gęstość nasypowa piasku: $\rho_{p} = 1,53 \pm 0,05\frac{g}{cm^{3}}$

1. Wnioski

Wyniki pomiaru cieczy manometrycznej (denaturatu) jak i gęstości nasypowej pyłu (piasku) są zbliżone do ich wartości rzeczywistych (wg. Tablic gęstość denaturatu to 0,8$\frac{g}{cm^{3}}$, a gęstość piasku to 1,5 $\frac{g}{cm^{3}}$). Wskazuje to na prawidłowość przeprowadzenia badań. Duży wpływ na wynik ostateczny oraz niepewność miały narzędzia pomiarowe (waga, naczynia), a także dokładność przeprowadzania pomiarów.