Ćw. 43

Prawo Fouriera, współczynnik przewodnictwa, jednostka. Termopara. I i II zasada termodynamiki dla układu zamkniętego. Gaz doskonały, gaz rzeczywisty. Równanie stanu gazu, równanie Clapeyrona, przemiany gazu doskonałego. Pojemność cieplna układu, ciepło właściwe, jednostka, ciepło molowe, jednostka. Sposoby wymiany energii cieplnej między ośrodkami.

Ćwiczenie Nr43

 

Wyznaczanie współczynnika przewodnictwa cieplnego powietrza

 

Część teoretyczna

 

Jednym z podstawowych procesów cyrkulacji energii w organizmie jest przewodzenie ciepła. Empirycznie ustalone prawo opisujące transport ciepła przez przewodnictwo można opisać w warunkach stacjonarnych równaniem postaci:

	(1)

gdzie j oznacza gęstość strumienia ciepła przepływającego w kierunku osi x (czyli ilość ciepła przepływająca w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię) uwarunkowanego istnieniem gradientu temperatury dT/dx, χ  jest współczynnikiem przewodnictwa cieplnego danego ośrodka.

         Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika przewodnictwa cieplnego powietrza. Idea pomiaru przedstawia się następująco (patrz rysunek). Rozpatrzmy zbiornik w kształcie walca wzdłuż osi, którego rozpięty jest drut o długości l i oporze R, przez który płynie prąd o natężeniu I. W doświadczeniu mierzymy różnicę temperatur ΔT pomiędzy dwoma punktami znajdującymi się na przekroju kołowym walca, których odległość od drutu wynoszą odpowiednio a, b, b>a. Zakładamy przy tym, że komórka pomiarowa znajduje się w stanie stacjonarnym tzn. temperatura każdego punktu wewnątrz zbiornika nie zależy od czasu.

Z uwagi na małe gradienty temperatur występujące w eksperymencie (w doświadczeniu występują różnice temperatur rzędu 10^-2 K) wielkości ΔT nie mierzymy bezpośrednio. Posługujemy się natomiast termoparami umieszczonymi w punktach a i b.

Różnicę temperatur wyznaczamy z równania charakterystyki termopary:

	(2)

gdzie ΔV jest mierzoną różnicą potencjałów odpowiadającą istniejącej różnicy temperatur ΔT, α jest nachyleniem charakterystyki.

Zwróćmy uwagę, że obok przewodnictwa istotną rolę w transporcie energii z drutu może odgrywać konwekcja oraz promieniowanie w zakresie podczerwieni. Rzeczywiście, z obliczeń teoretycznych wynika, że w warunkach doświadczenia procesy te unoszą 33% mocy prądu, czyli strumień P_c przewodzonego ciepła jest faktycznie równy:

	(3)

Z drugiej strony wynikłe z konwekcji mieszanie powietrza w strefie, gdzie znajdują się termopary jest do zaniedbania (obie termopary znajdują się blisko drutu, gdzie przeważa laminarny przepływ powietrza). Ponadto ilość energii wypromieniowanej z drutu w jednostce czasu (około 3% mocy prądu), powierzchnie termopar oraz kąt bryłowy w jakim znajdują się termopary są zbyt małe, by promieniowanie mogło w znacznym stopniu wpłynąć na wielkość gradientu ΔT.

 

Reasumując, w warunkach  doświadczenia zarówno konwekcja, jak i promieniowanie wpływają na mierzoną różnicę temperatur ΔT praktycznie jedynie pośrednio przez odpływy energii z drutu.

         Można wykazać, że znajomość różnicy temperatur ΔT rzeczywiście wystarcza do wyznaczenia współczynnika χ przewodnictwa cieplnego powietrza. Prawdziwy jest mianowicie związek:

	(4)

 

 

 

 

który można na mocy (2) i (3) zapisać w równoważnej postaci:

 

	(5)

 

Z (5) wynika, że zależność ΔV od I² przedstawia linię prostą:

 

	(6)

gdzie:

k = const.

 

Znajomość nachylenia k prostej (6) umożliwia wyznaczenie współczynnika χ przewodnictwa cieplnego powietrza ze wzoru:

 

	(7)

 

 

Opracowanie wyników pomiarów:

1.    Korzystając z danych zawartych w tabeli sporządzić wykres zależności

ΔV = f (I²).

2.    Obliczyć współczynnik kierunkowy k prostej ΔV = k ^. I² (równanie 6) ze wzoru:

	(8)

Prosta o tak obliczonym współczynniku kierunkowym jest najlepiej dopasowana do danych doświadczalnych, dla których przewidujemy zależność

y = k ^. x	(9)

w tym sensie, że suma kwadratów odległości punktów otrzymanych z doświadczenia od tej prostej osiąga wartość minimalną

	(10)

Taka metoda dopasowania krzywej do danych otrzymanych z eksperymentu nosi nazwę metody najmniejszych kwadratów.

3.    Obliczyć ze wzoru (7) wartość współczynnika χ przewodnictwa cieplnego powietrza przyjmując, że:

R	=0,63 Ω
b/a	=2
l	=0,19 m
α	= 19,853 K/mV = 19 853 K/V

4.    Obliczyć błąd Δk współczynnika kierunkowego k za pomocą związku:

	(11)

gdzie:

	(12)

S_k jest średnim błędem kwadratowym współczynnika k, natomiast t(α;n-1) jest wartością statystyki t Studenta odpowiadającą współczynnikowi istotności α 
oraz ilości stopni swobody n-1, przyjmujemy t(α;n-1)=t(0,05;5)=2,02.

Korekcję błędu za pomocą rozkładu t studenta stosujemy w przypadku małej liczby punktów pomiarowych (w przypadku dużej serii pomiarów za błąd przyjmujemy średni błąd kwadratowy). Wielkość p =1 - α określa prawdopodobieństwo, że mierzona wielkość znajduje się rzeczywiście w obliczonym przedziale błędu.

5.    Korzystając ze wzoru:

	(13)

obliczyć błąd Δχ, którym obarczony jest pomiar współczynnika χ.

6.    Zapisać końcowy wynik w postaci:

χ=(χ ± Δχ)	(14)

 

 

Literatura uzupełniająca:

Przewodnictwo cieplne:

F. Reif, „Fizyka Statystyczna”, PWN, Warszawa, 1975

D. Sivoukhine, „cours de Physique Generale”, “II Thermodynamique et Physique Moleculaire”, Mir, Moscou, 1986

D. Elwell, A. J. Pointon, “Termodynamika Klasyczna”, WNT, Warszawa, 1976

Rachunek błędów:

H. Hansel, „Podstawy Rachunku Błędów”, WNT, Warszawa, 1968

J. L. Kacperski, K. Niedźwiedziuk, „I Pracownia Fizyczna”, skrypt UŁ, 1975

 

PRZEBIEG DOŚWIADCZENIA:

 

UWAGA: nie włączać zasilacza!

 

I. Zerowanie mikrowoltomierza:

1. Włączyć mikrowoltomierz – przycisk „MAINS”.

2. Wybrać zakres 30µV. 
     3. Po upływie 10 minut nastawić zero mikrowoltomierza. W tym celu należy:

a) wcisnąć przycisk „P” (końcówki mikrowoltomierza są wtedy zwarte).

b) wyzerować miernik pokrętłem zerowania.

 

II. Pomiary:

1. Wycisnąć przycisk „P” (końcówki mikrowoltomierza są wtedy podłączone do   termopar).

2. Przed włączeniem zasilacza skręcić potencjometry VOLTAGE (FINE/COARSE) w prawo do oporu, a CURRENT (FINE/COARSE) – w lewe skrajne położenie.

3. Włączyć zasilacz przyciskiem POWER.

4. Ustawić kolejne wartości prądu (CURRENT) podane w tabeli – 0,05A; 0,10A itd., pokrętłem regulacji - potencjometr FINE.

Dla każdej wartości prądu odczekać około 5 minut w celu ustalenia się równowagi w komórce pomiarowej.

UWAGA: kontrolować prąd zasilania i w razie konieczności przełączyć zakres mikrowoltomierza na 100µV.

5. Zapisać w tabeli odczytane z mikrowoltomierza wartości różnicy potencjałów ΔV odpowiadające kolejnym wartościom prądu  zasilania I.

6. Po zakończeniu pomiarów:

     a) pokrętła regulacji prądu zasilania CURRENT skręcić w lewo.

     b) wyłączyć zasilacz.

     c) nastawić mikrowoltomierz na 1000µV.

     d) wyłączyć mikrowoltomierz.

 

 

4.    Wyniki zamieścić w tabelach:

 

Lp.	I [A]	ΔV [µV]	ΔV [V]
1	0,05
2	0,10
3	0,15
4	0,20
5	0,25
6	0,30

 

 

i		xi	yi	xi^.yi	xi^2	yi-Yi	(yi-Yi)^2
	I [A]	I^2 [A^2]	ΔV [V]	I^2. ΔV [A^2V]	I^4 [A^4]	ΔV-k^.I^2 [V]	(ΔV-k^.I^2)^2 [V^2]
1	0,05
2	0,10
3	0,15
4	0,20
5	0,25
6	0,30
n=6	suma

 

 

 

 

 

 

Sprawozdanie powinno zawierać:

1.            Tabele pomiarów.

2.            Wzory, podstawienia do wzorów, wyniki obliczeń.

3.            Wyniki zapisane w jednostkach SI

4.            Wykresy