Analiza matematyczna 1/Wykład 2: Funkcje elementarne
Funkcje elementarne
Przypominamy własności funkcji znanych ze szkoły (funkcja liniowa, homograficzna, wielomianowa, wykładnicza, funkcje trygonometryczne). Definiujemy funkcje hiperboliczne. Rozważamy podstawowe własności funkcji odwrotnych.
Funkcje różnowartościowe. Funkcje monotoniczne
Z wykładu z teorii mnogości wiemy, że funkcja różnowartościowa jest bijekcją na swój zbiór wartości. Wiemy także, że relacja odwrotna do bijekcji jest funkcją i to funkcją różnowartościową określoną na
o wartościach w zbiorze
.
Definicja 2.1.
Niech i niech
. Zacieśnieniem (inaczej: zawężeniem lub restrykcją) funkcji
do zbioru
nazywamy funkcję
równą funkcji
na zbiorze
, tzn.
.
Definicja 2.2.
Niech będzie funkcją. Mówimy, że funkcja
jest funkcją odwrotną do funkcji
, jeśli dla dowolnego elementu
zachodzi równość
i dla dowolnego elementu
zachodzi równość
.
Funkcję odwrotną do funkcji będziemy oznaczać często symbolem
, o ile nie prowadzi to do nieporozumienia. Należy odróżniać pojęcie funkcji odwrotnej od odwrotności funkcji, gdzie przez odwrotność funkcji
rozumiemy funkcję
.
Uwaga 2.3.
Niech będą funkcjami jednej zmiennej. Jeśli
jest funkcją odwrotną do
, to w prostokątnym układzie współrzędnych
wykres funkcji
jest obrazem wykresu funkcji
w symetrii osiowej względem prostej
.
Definicja 2.4.
Mówimy, że funkcja jest rosnąca (odpowiednio: ściśle rosnąca) w przedziale
, jeśli
(odpowiednio: ).
Definicja 2.5.
Mówimy, że funkcja jest malejąca (odpowiednio: ściśle malejąca) w przedziale
, jeśli
(odpowiednio: ).
Definicja 2.6.
Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym przedziale jest rosnąca albo malejąca.
Przykład 2.7.
Funkcja rośnie w każdym z przedziałów postaci
nie jest jednak rosnąca w sumie przedziałów
. Weźmy bowiem np. argumenty
,
. Wówczas
, ale
.
Uwaga 2.8.
Jeśli jest funkcją odwrotną do funkcji
, to
jeśli jest rosnąca, to
jest także rosnąca;
jeśli jest malejąca, to
jest również malejąca.
Krótko: funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest rosnąca, a odwrotna do malejącej - malejąca.
Przegląd funkcji jednej zmiennej rzeczywistej
Definicja 2.9.
Niech będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję
nazywamy funkcją afiniczną.
Uwaga 2.10.
Wykresem funkcji afinicznej jest prosta.
Funkcja jest ściśle rosnąca, gdy
i ściśle malejąca, gdy
. Jest bijekcją zbioru
na zbiór
, gdy
.
Funkcja odwrotna do funkcji afinicznej jest funkcją afiniczną.
Złożenie funkcji afinicznych jest funkcją afiniczną.
Definicja 2.11.
Niech będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi,że
. Funkcję
nazywamy funkcją homograficzną lub - krótko - homografią.
Uwaga 2.12.
Funkcja afiniczna jest szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej.
Wykresem funkcji homograficznej jest prosta (jeśli
jest afiniczna) lub hiperbola (jeśli
nie jest afiniczna).
Funkcja odwrotna do homografii jest homografią.
Złożenie homografii jest homografią.
Definicja 2.13.
Niech będzie stałą, niech
będzie liczbą
całkowitą nieujemną, a - zmienną. Wyrażenie algebraiczne
nazywamy jednomianem zmiennej
. Jeśli
,to liczbę
nazywamy stopniem jednomianu
. Sumę
skończonej liczby jednomianów zmiennej
nazywamy wielomianem zmiennej
. Największy ze stopni tych jednomianów, nazywamy stopniem wielomianu.
Definicja 2.14.
Funkcję nazywamy funkcją wielomianową lub - krótko - wielomianem.
Uwaga 2.15.
Suma oraz iloczyn wielomianów jest wielomianem.
Złożenie funkcji wielomianowych jest funkcją wielomianową.
Wykażmy użyteczne oszacowanie z dołu wielomianu za pomocą funkcji afinicznej
.
Uwaga 2.16. [nierówność Bernoullego]
Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej i dowolnej liczby rzeczywistej
zachodzi nierówność
przy czym dla równość w powyższej nierówności zachodzi wyłącznie dla
.
Dowód 2.16.
Zauważmy, że nierówność zachodzi dla i
. Wykażemy, że dla dowolnej liczby naturalnej
prawdziwa jest implikacja
Mamy bowiem:
Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność zachodzi więc dla każdej liczby całkowitej nieujemnej . Zauważmy, że składnik
dla
zeruje się wyłącznie w punkcie
, stąd nierówność Bernoullego jest ostra poza tym punktem, a jedynie dla
zachodzi równość w tej nierówności.
Definicja 2.17.
Niech będzie liczbą naturalną większą od jedności. Liczbę nieujemną
nazywamy pierwiastkiem arytmetycznym stopnia
z liczby nieujemnej
, jeśli
Pierwiastek stopnia
z liczby
oznaczamy symbolem
.
Uwaga 2.18.
Funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy
jest liczbą nieparzystą.
Jeśli jest parzystą liczbą naturalną, to zacieśnienie funkcji
do przedziału
jest funkcją różnowartościową. Funkcją odwrotną do niej jest funkcja pierwiastek stopnia
określona na przedziale
o wartościach w
.
Jeśli jest nieparzystą liczbą naturalną, to funkcja
jest różnowartościowa na przedziale
. Funkcją odwrotną do niej jest funkcja
Uwaga 2.19.
Jeśli jest liczbą naturalną nieparzystą,często używa się symbolu pierwiastka arytmetycznego do oznaczenia funkcji odwrotnej do funkcji
i oznacza się ją krótko
, przy czym sens tego symbolu dla liczb rzeczywistych ujemnych określa się jak powyżej.
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
Definicja 2.20
Niech będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Funkcję
określoną na zbiorze liczb rzeczywistych nazywamy funkcją wykładniczą o podstawie
.
Uwaga 2.21.
Jeśli , funkcja wykładnicza
jest bijekcją zbioru
na przedział
. Nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny.
Jeśli , funkcja
jest ściśle rosnąca, jeśli zaś
, jest ściśle malejąca.
Jeśli , funkcja
jest stała.
Definicja 2.22.
Niech będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji
nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie
i oznaczamy
.
Na ogół pomija się indeks w oznaczeniu logarytmu liczby
i pisze się krótko
. Zwróćmy jednak uwagę na fakt, że w zależności od dziedziny nauki czy techniki, symbol ten może oznaczać logarytmy o różnych podstawach. I tak informatycy na ogół posługują się tym symbolem, mając na myśli logarytm o podstawie 2, tzn.
. Z kolei w naukach technicznych symbol
oznacza przeważnie logarytm dziesiętny. Natomiast matematycy posługują się najczęściej logarytmem o podstawie
(do definicji i własności tej ważnej stałej powrócimy w następnych modułach). Stąd często w pracach matematycznych symbol
oznacza właśnie logarytm o podstawie
. My jednak, aby uniknąć nieporozumień, logarytm o podstawie
będziemy oznaczać osobnym symbolem
.
Definicja 2.23.
Symbolem będziemy oznaczać potęgę
.
Definicja 2.24.
Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej nazywamy liczbę
.
Uwaga 2.25.
Jeśli , funkcja logarytmiczna
jest bijekcją przedziału
na zbiór
.
Jeśli , funkcja
jest ściśle rosnąca, jeśli zaś
, jest ściśle malejąca.
Jedynym miejscem zerowym funkcji logarytmicznej jest punkt
.
Jeśli , to logarytm
jest dodatni w przedziale
i jest ujemny w przedziale
. Jeśli zaś
, to logarytm
jest ujemny w przedziale
i jest dodatni w przedziale
.
Przypomnijmy jeszcze parę tożsamości, z których często będziemy korzystać.
Uwaga 2.26.
Dla ,
zachodzą równości
oraz
Dla dodatnich liczb ,
,
prawdziwy jest wzór na zmianę podstawy logarytmu
w szczególności, gdy , mamy równość
Dla dowolnej liczby i dodatnich
,
zachodzi równość
która w szczególnym przypadku, gdy , ma postać
Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklometryczne
Przypomnijmy kilka własności funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens i cotangens. Żadna z nich nie jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.
Uwaga 2.27.
Funkcja zacieśniona do przedziału
jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.
Funkcja zacieśniona do przedziału
jest różnowartościowa, ściśle malejąca.
Funkcja zacieśniona do przedziału
jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.
Funkcja zacieśniona do przedziału
jest różnowartościowa, ściśle malejąca.
Pamiętamy również, że zachodzi
Twierdzenie 2.28. [jedynka trygonometryczna]
Dla dowolnej liczby rzeczywistej suma kwadratów cosinusa i sinusa jest równa jedności, tzn.
.
Definicja 2.29.
Funkcję określoną na przedziale o wartościach w przedziale
, odwrotną do zacieśnienia funkcji sinus do przedziału
,nazywamy arcusem sinusem i oznaczamy symbolem
.
Definicja 2.30
Funkcję określoną na przedziale o wartościach w przedziale
, odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus do przedziału
, nazywamy arcusem cosinusem i oznaczamy symbolem
.
Definicja 2.31.
Funkcję określoną na przedziale o wartościach w przedziale
, odwrotną do zacieśnienia funkcji tangens do przedziału
, nazywamy arcusem tangensem i oznaczamy symbolem
.
Definicja 2.32.
Funkcję określoną na przedziale o wartościach w przedziale
, odwrotną do zacieśnienia funkcji cotangens do przedziału
, nazywamy arcusem cotangensem i oznaczamy symbolem
.
Funkcje: arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens i arcus cotangens nazywamy funkcjami cyklometrycznymi.
Uwaga 2.33.
Funkcje arcus sinus i arcus tangens są ściśle rosnące. Funkcje arcus cosinus i arcus cotangens -- ściśle malejące.
Ze wzorów redukcyjnych: oraz
wynika, że
Uwaga 2.34.
Dla dowolnej liczby zachodzi równość
Dla dowolnej liczby zachodzi równość
Funkcje hiperboliczne i funkcje area
Określimy teraz cztery funkcje, których nazwy są nieprzypadkowo zbieżne z nazwami funkcji trygonometrycznych.
Definicja 2.35.
Niech .
Sinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję .
Cosinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję .
Tangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję .
Cotangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję .
Wykażmy wpierw tożsamość, którą przez analogię do znanej tożsamości trygonometrycznej wiążącej wartości funkcji sinus i cosinus, nazwiemy jedynką hiperboliczną.
Twierdzenie 2.36. [jedynka hiperboliczna]
Dla dowolnej liczby rzeczywistej różnica kwadratów funkcji hiperbolicznych cosinus i sinus jest równa jedności, tzn. zachodzi równość
Dowód 2.36.
Z definicji funkcji i
mamy:
stąd
W podobny sposób - wprost z definicji - można wykazać, że zachodzą następujące tożsamości analogiczne do znanych tożsamości trygonometrycznych:
Twierdzenie 2.37.
Niech będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas:
Tożsamości te wykażemy w ramach ćwiczeń do tego modułu.
Uwaga 2.38.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej mamy:
Warto porównać otrzymane wzory z poznanymi w szkole analogicznymi wzorami dla funkcji trygonometrycznych:
Podkreślmy kilka własności funkcji hiperbolicznych.
Uwaga 2.39
Funkcja sinus hiperboliczny jest bijekcją na
. Jest nieparzysta, ściśle rosnąca.
Funkcja cosinus hiperboliczny jest określona na i przyjmuje wartości w przedziale
. Jest funkcją parzystą. Nie jest różnowartościowa. Jej zacieśnienie do przedziału
jest funkcją ściśle rosnącą.
Funkcja tangens hiperboliczny jest bijekcją na przedział
. Jest nieparzysta, ściśle rosnąca.
Funkcja cotangens hiperboliczny jest bijekcją zbioru na zbiór
. Jest nieparzysta, ściśle malejąca w przedziale
i w przedziale
.
Określmy funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych. Nazywamy je funkcjami area.
Definicja 2.40.
Funkcję odwrotną do funkcji sinus hiperboliczny nazywamy area sinusem hiperbolicznym i oznaczamy .
Funkcję odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus hiperboliczny do przedziału nazywamy area cosinusem hiperbolicznym
i oznaczamy .
Funkcję odwrotną do funkcji tangens hiperboliczny nazywamy area tangensem hiperbolicznym i oznaczamy .
Funkcję odwrotną do funkcji cotangens hiperboliczny nazywamy area cotangensem hiperbolicznym i oznaczamy .
Zwróćmy uwagę na tożsamości (kilka podobnych wykażemy w ramach ćwiczeń):
Uwaga 2.41.
Prawdziwe są następujące równości:
a) dla
b) dla
Dowód 2.41.
a) Niech . Wówczas dla
mamy
, czyli
. Z jedynki trygonometrycznej wynika,że
b) Należy powtórzyć powyższe rozumowanie stosując jedynkę hiperboliczną zamiast jedynki trygonometrycznej.
Funkcje area można wyrazić także za pomocą logarytmu naturalnego.
Twierdzenie 2.42
Zachodzą następujące tożsamości:
a) dla
b) dla
c) dla
d) dla
Dowód 2.42.
a) Wyznaczamy zmienną z równania:
.Mamy
Stąd , czyli
dla wszystkich
b) Podobnie jak w punkcie a) wyznaczamy zmienną z równania
i otrzymujemy
, czyli
, dla
.
c) Z równania dostajemy
, czyli
dla .
d) Pamiętając, że , podstawiamy w poprzedniej tożsamości
w miejsce zmiennej
i otrzymujemy:
dla
W ramach ćwiczeń wykażemy zaskakującą - na pierwszy rzut oka - uwagę.
Uwaga 2.43.
Dla dowolnej liczby funkcja
jest wielomianem zmiennej .
Dla dowolnej liczby funkcja
jest wielomianem zmiennej .
Dla dowolnej liczby funkcje
oraz
są zacieśnieniami -- odpowiednio do przedziałów
oraz
tego samego wielomianu
zmiennej
, to znaczy dla dowolnej liczby
istnieje funkcja wielomianowa
taka, że zachodzą równości
Definicja 2.44.
Wielomian , o którym mowa w powyższej uwadze, którego zacieśnieniem do przedziału
jest funkcja
, nazywamy wielomianem Czebyszewa stopnia
,
.
Ćwiczenie 2.1.
Dana jest funkcja afiniczna . Wyznaczyć:
a) odwrotność tej funkcji,
b) funkcję odwrotną do ,
c) złożenie ,
,
,
.
d) Czy istnieje malejąca funkcja afiniczna taka, że
?
Wskazówka
a) Co to jest odwrotność?
b) Wystarczy wyznaczyć z równania
.
c) Skorzystać z definicji złożenia. Składanie funkcji jest łączne.
d) Niech . Jakie warunki muszą spełniać współczynniki
i
, aby
?
Rozwiązanie
a) Odwrotnością funkcji jest funkcja
b) Wyznaczamy z równania
. Stąd
jest funkcją odwrotną do
. A więc funkcją odwrotną do
jest
.
c) Funkcją odwrotną do jest
, więc
, gdzie
oznacza odwzorowanie identycznościowe. Wobec tego
. Podobnie
. Spostrzegamy, że:
wobec tego
d) Jeśli , to
. Jeśli
, to współczynniki
,
muszą spełniać układ równań:
który spełniają dwie pary liczb . Funkcja
jest malejąca, a
jest rosnącą funkcją afiniczną.
Ćwiczenie 2.2.
Dana jest homografia . Wyznaczyć:
a) odwrotność tej homografii,
b) homografię odwrotną,
c) złożenie ,
,
oraz
.
d) Czy istnieje homografia taka, że
?
Wskazówka
a), b) c) Zastosować wskazówki do ćwiczenia 2.1.
d) Niech . Zauważyć, że można przyjąć, że
(dlaczego?). Jakie równania muszą spełniać współczynniki
, aby
?
Rozwiązanie
a) Odwrotnością danej homografii jest .
b) Homografię odwrotną do otrzymamy, wyznaczając
z równania
. Stąd
, czyli homografią odwrotną do
jest ta sama funkcja.
c) Skoro , więc - podobnie jak w ćwiczeniu 2.1. - złożenie
,
. Spostrzegamy, że:
wobec tego ,
.
d) Niech . Współczynnik
, gdyż w przeciwnym przypadku funkcja
byłaby afiniczna i złożenie
byłoby funkcją afiniczną, co nie jest możliwe. Skoro
możemy podzielić licznik i mianownik rozważanego ułamka przez stałą
i przyjąć, że
to znaczy:
. Wobec tego
Równość zachodziłaby, gdyby odpowiednie współczynniki homografii
oraz
były równe,
Ale jest to niemożliwe, gdyż z równości wynika, że
, co pociąga za sobą w konsekwencji nierówność:
, która jest fałszywa. Nie ma więc takiej homografii
, aby
.
Ćwiczenie 2.3.
Wyrazić w prostszej postaci:
a) ,
,
b) ,
,
c) ,
,
d) ,
,
e) ,
.
Wskazówka
a) Skorzystać ze związku: .
b) Skorzystać z jedynki trygonometrycznej.
Rozwiązanie
a) Zauważmy, że funkcja jest określona w każdym punkcie zbioru liczb rzeczywistych i jest okresowa o okresie
. Wystarczy więc wyznaczyć jej wartości w jakimkolwiek przedziale postaci
. Funkcja cosinus jest parzysta, stąd złożenie
jest funkcją parzystą. Wystarczy więc rozważyć wyrażenie
w zbiorze
. Jeśli
, to różnica
. Korzystając ze wzoru redukcyjnego:
, otrzymujemy
dla . Wobec parzystości rozważanej funkcji mamy dla
równość
Funkcja ma okres
i jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. Podobnie jak w poprzednim przykładzie określimy więc jej wartość w przedziale
. Dzięki okresowości wystarczy to, aby określić jej wartość dla dowolnej liczby rzeczywistej
. Zauważmy, że funkcja
jest nieparzysta, więc
, stąd
dla
Rozumując jak poprzednio, na mocy wzoru
redukcyjnego równość: . Stąd
dla . Natomiast dla
mamy równość
Stąd dla
mamy
Korzystając teraz z nieparzystości
funkcji dla
, otrzymamy
Stąd ostatecznie dla
mamy
b) Niech . Zatem
. Z jedynki trygonometrycznej:
. Stąd
dla
.
Podobnie dostajemy równość: dla
.
c) Funkcja jest nieparzysta, gdyż jest złożeniem dwóch funkcji nieparzystych:
oraz
. Jest okresowa o okresie
wystarczy więc rozważyć ją np. na przedziale
. Ze wzoru redukcyjnego mamy
stąd
dla .
Podobnie jest nieparzysta, okresowa o okresie
. Wystarczy więc rozważyć ją np. w przedziale
, gdzie zachodzi równość:
d) Pamiętając, że , otrzymamy
, dla
.
Podobnie: , dla
.
e) Z jedynki hiperbolicznej dla
. Po podstawieniu
, dostajemy
, dla
.
Z kolei . Funkcja
jest określona na całym zbiorze liczb rzeczywistych i jest parzysta. Mamy równość:
prawdziwą dla wszystkich liczb rzeczywistych .
Ćwiczenie 2.4.
Wykazać, że dla dowolnych liczb ,
zachodzą równości:
a)
b)
Wskazówka
a) Warto przekształcić wpierw prawą stronę równości, skorzystać z definicji funkcji oraz
, wykonać mnożenie i zredukować wyrazy podobne.
b) Należy postąpić podobnie jak w punkcie a) zadania.
Rozwiązanie
a) Z definicji funkcji i
mamy:
stąd
b) Dokonując podobnych przekształceń jak w punkcie a), otrzymujemy:
stąd
Ćwiczenie 2.5.
a) Niech dla
. Wykaż, że
,
oraz
dla .
b) Wykazać, że funkcja jest wielomianem zmiennej
, dla
.
Wskazówka
a) Przekształcić oraz
, wykorzystując wzory wyrażające sinus i cosinus sumy
, analogiczne do tych, które zostały wykazane w ćwiczeniu 2.4., a mianowicie:
b) Suma i iloczyn wielomianów jest wielomianem. Wykorzystać formułę z punktu a) zadania.
Rozwiązanie
a) Niech . Stosując znane wzory na cosinus i sinus sumy
oraz jedynkę trygonometryczną, otrzymamy
gdyż oraz
Przekształćmy także
Stąd . Wobec tego
b) Formuła wykazana w punkcie b) pozwala wyznaczyć dla
. Iloczyn i suma wielomianów jest wielomianem. Funkcje
oraz
są wielomianami zmiennej
, więc każda kolejna funkcja
jest również wielomianem zmiennej .
Ćwiczenie 2.6.
a) Niech dla
. Wykaż, że
,
oraz
dla .
b) Wykazać, że funkcja jest wielomianem zmiennej
, dla
.
c) Wykazać, że dla dowolnej liczby istnieje wielomian
taki, że
oraz
są restrykcjami - odpowiednio do przedziałów
oraz
- wielomianu
.
Wskazówka
a) Warto uprościć oraz
, wykorzystując wzory wykazane w ćwiczeniu 2.4.
b) Suma i iloczyn wielomianów jest wielomianem. Wykorzystać formułę z punktu a) zadania.
c) Porównać formuły z punktów b) w ćwiczeniu 2.5. i ćwiczeniu 2.6. Wyznaczyć dziedziny funkcji oraz
.
Rozwiązanie
Niech . Postępując podobnie jak w ćwiczeniu 2.5. tzn. stosując wykazane w ćwiczeniu 2.4. wzory na cosinus hiperboliczny i sinus hiperboliczny sumy
oraz jedynkę hiperboliczną, otrzymamy
gdyż oraz
Przekształćmy także
Stąd . Wobec tego
b) Zauważmy, że formuła wykazana w punkcie b) pozwala wyznaczyć dla
. Iloczyn i suma wielomianów jest wielomianem. Ponadto funkcje
oraz
są wielomianami zmiennej
, więc każda kolejna funkcja
jest również wielomianem zmiennej .
c) Formuły pozwalające wyznaczyć oraz
są identyczne:
Wielomiany oraz
są więc zacieśnieniem -- odpowiednio do przedziałów
oraz
- tego samego wielomianu
,
. Zwróćmy uwagę na fakt, że dziedziną każdej z funkcji
jest przedział
a dziedziną funkcji
- przedział
. Stąd formalnie równość funkcji
ma sens w części wspólnej obu dziedzin, tj. w punkcie
.