Analiza matematyczna 1/Wykład 2: Funkcje elementarne

Funkcje elementarne

Przypominamy własności funkcji znanych ze szkoły (funkcja liniowa, homograficzna, wielomianowa, wykładnicza, funkcje trygonometryczne). Definiujemy funkcje hiperboliczne. Rozważamy podstawowe własności funkcji odwrotnych.

Funkcje różnowartościowe. Funkcje monotoniczne

Z wykładu z teorii mnogości wiemy, że funkcja różnowartościowa jest bijekcją na swój zbiór wartości. Wiemy także, że relacja odwrotna do bijekcji jest funkcją i to funkcją różnowartościową określoną na o wartościach w zbiorze .

Definicja 2.1.

Niech i niech . Zacieśnieniem (inaczej: zawężeniem lub restrykcją) funkcji do zbioru nazywamy funkcję równą funkcji na zbiorze , tzn. .

Definicja 2.2.

Niech będzie funkcją. Mówimy, że funkcja jest funkcją odwrotną do funkcji , jeśli dla dowolnego elementu zachodzi równość i dla dowolnego elementu zachodzi równość .

Funkcję odwrotną do funkcji będziemy oznaczać często symbolem , o ile nie prowadzi to do nieporozumienia. Należy odróżniać pojęcie funkcji odwrotnej od odwrotności funkcji, gdzie przez odwrotność funkcji rozumiemy funkcję .

Uwaga 2.3.

Niech będą funkcjami jednej zmiennej. Jeśli jest funkcją odwrotną do , to w prostokątnym układzie współrzędnych wykres funkcji jest obrazem wykresu funkcji w symetrii osiowej względem prostej .

Definicja 2.4.

Mówimy, że funkcja jest rosnąca (odpowiednio: ściśle rosnąca) w przedziale , jeśli

(odpowiednio: ).

Definicja 2.5.

Mówimy, że funkcja jest malejąca (odpowiednio: ściśle malejąca) w przedziale , jeśli

(odpowiednio: ).

Definicja 2.6.

Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym przedziale jest rosnąca albo malejąca.

Przykład 2.7.

Funkcja rośnie w każdym z przedziałów postaci nie jest jednak rosnąca w sumie przedziałów . Weźmy bowiem np. argumenty , . Wówczas , ale .

Uwaga 2.8.

Jeśli jest funkcją odwrotną do funkcji , to

jeśli jest rosnąca, to jest także rosnąca;

jeśli jest malejąca, to jest również malejąca.

Krótko: funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest rosnąca, a odwrotna do malejącej - malejąca.

Przegląd funkcji jednej zmiennej rzeczywistej

Definicja 2.9.

Niech będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję nazywamy funkcją afiniczną.

Uwaga 2.10.

Wykresem funkcji afinicznej jest prosta.

Funkcja jest ściśle rosnąca, gdy i ściśle malejąca, gdy . Jest bijekcją zbioru na zbiór , gdy .

Funkcja odwrotna do funkcji afinicznej jest funkcją afiniczną.

Złożenie funkcji afinicznych jest funkcją afiniczną.

Definicja 2.11.

Niech będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi,że . Funkcję nazywamy funkcją homograficzną lub - krótko - homografią.

Uwaga 2.12.

Funkcja afiniczna jest szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej.

Wykresem funkcji homograficznej jest prosta (jeśli jest afiniczna) lub hiperbola (jeśli nie jest afiniczna).

Funkcja odwrotna do homografii jest homografią.

Złożenie homografii jest homografią.

Definicja 2.13.

Niech będzie stałą, niech będzie liczbą

całkowitą nieujemną, a - zmienną. Wyrażenie algebraiczne nazywamy jednomianem zmiennej . Jeśli ,to liczbę nazywamy stopniem jednomianu . Sumę skończonej liczby jednomianów zmiennej nazywamy wielomianem zmiennej . Największy ze stopni tych jednomianów, nazywamy stopniem wielomianu.

Definicja 2.14.

Funkcję nazywamy funkcją wielomianową lub - krótko - wielomianem.

Uwaga 2.15.

Suma oraz iloczyn wielomianów jest wielomianem.

Złożenie funkcji wielomianowych jest funkcją wielomianową.

Wykażmy użyteczne oszacowanie z dołu wielomianu za pomocą funkcji afinicznej .

Uwaga 2.16. [nierówność Bernoullego]

Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej i dowolnej liczby rzeczywistej zachodzi nierówność

przy czym dla równość w powyższej nierówności zachodzi wyłącznie dla .

Dowód 2.16.

Zauważmy, że nierówność zachodzi dla i . Wykażemy, że dla dowolnej liczby naturalnej prawdziwa jest implikacja

Mamy bowiem:

Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność zachodzi więc dla każdej liczby całkowitej nieujemnej . Zauważmy, że składnik dla zeruje się wyłącznie w punkcie , stąd nierówność Bernoullego jest ostra poza tym punktem, a jedynie dla zachodzi równość w tej nierówności.

Definicja 2.17.

Niech będzie liczbą naturalną większą od jedności. Liczbę nieujemną nazywamy pierwiastkiem arytmetycznym stopnia z liczby nieujemnej , jeśli Pierwiastek stopnia z liczby oznaczamy symbolem .

Uwaga 2.18.

Funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą nieparzystą.

Jeśli jest parzystą liczbą naturalną, to zacieśnienie funkcji do przedziału jest funkcją różnowartościową. Funkcją odwrotną do niej jest funkcja pierwiastek stopnia określona na przedziale o wartościach w .

Jeśli jest nieparzystą liczbą naturalną, to funkcja jest różnowartościowa na przedziale . Funkcją odwrotną do niej jest funkcja

Uwaga 2.19.

Jeśli jest liczbą naturalną nieparzystą,często używa się symbolu pierwiastka arytmetycznego do oznaczenia funkcji odwrotnej do funkcji i oznacza się ją krótko , przy czym sens tego symbolu dla liczb rzeczywistych ujemnych określa się jak powyżej.

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Definicja 2.20

Niech będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Funkcję określoną na zbiorze liczb rzeczywistych nazywamy funkcją wykładniczą o podstawie .

Uwaga 2.21.

Jeśli , funkcja wykładnicza jest bijekcją zbioru na przedział . Nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny.

Jeśli , funkcja jest ściśle rosnąca, jeśli zaś , jest ściśle malejąca.

Jeśli , funkcja jest stała.

Definicja 2.22.

Niech będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie i oznaczamy .

Na ogół pomija się indeks w oznaczeniu logarytmu liczby i pisze się krótko . Zwróćmy jednak uwagę na fakt, że w zależności od dziedziny nauki czy techniki, symbol ten może oznaczać logarytmy o różnych podstawach. I tak informatycy na ogół posługują się tym symbolem, mając na myśli logarytm o podstawie 2, tzn. . Z kolei w naukach technicznych symbol oznacza przeważnie logarytm dziesiętny. Natomiast matematycy posługują się najczęściej logarytmem o podstawie (do definicji i własności tej ważnej stałej powrócimy w następnych modułach). Stąd często w pracach matematycznych symbol oznacza właśnie logarytm o podstawie . My jednak, aby uniknąć nieporozumień, logarytm o podstawie będziemy oznaczać osobnym symbolem .

Definicja 2.23.

Symbolem będziemy oznaczać potęgę .

Definicja 2.24.

Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej nazywamy liczbę .

Uwaga 2.25.

Jeśli , funkcja logarytmiczna jest bijekcją przedziału na zbiór .

Jeśli , funkcja jest ściśle rosnąca, jeśli zaś , jest ściśle malejąca.

Jedynym miejscem zerowym funkcji logarytmicznej jest punkt .

Jeśli , to logarytm jest dodatni w przedziale i jest ujemny w przedziale . Jeśli zaś , to logarytm jest ujemny w przedziale i jest dodatni w przedziale .

Przypomnijmy jeszcze parę tożsamości, z których często będziemy korzystać.

Uwaga 2.26.

Dla , zachodzą równości

oraz

Dla dodatnich liczb , , prawdziwy jest wzór na zmianę podstawy logarytmu

w szczególności, gdy , mamy równość

Dla dowolnej liczby i dodatnich , zachodzi równość

która w szczególnym przypadku, gdy , ma postać

Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklometryczne

Przypomnijmy kilka własności funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens i cotangens. Żadna z nich nie jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

Uwaga 2.27.

Funkcja zacieśniona do przedziału jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.

Funkcja zacieśniona do przedziału jest różnowartościowa, ściśle malejąca.

Funkcja zacieśniona do przedziału jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.

Funkcja zacieśniona do przedziału jest różnowartościowa, ściśle malejąca.

Pamiętamy również, że zachodzi

Twierdzenie 2.28. [jedynka trygonometryczna]

Dla dowolnej liczby rzeczywistej suma kwadratów cosinusa i sinusa jest równa jedności, tzn. .

Definicja 2.29.

Funkcję określoną na przedziale o wartościach w przedziale , odwrotną do zacieśnienia funkcji sinus do przedziału ,nazywamy arcusem sinusem i oznaczamy symbolem .

Definicja 2.30

Funkcję określoną na przedziale o wartościach w przedziale , odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus do przedziału , nazywamy arcusem cosinusem i oznaczamy symbolem .

Definicja 2.31.

Funkcję określoną na przedziale o wartościach w przedziale , odwrotną do zacieśnienia funkcji tangens do przedziału , nazywamy arcusem tangensem i oznaczamy symbolem .

Definicja 2.32.

Funkcję określoną na przedziale o wartościach w przedziale , odwrotną do zacieśnienia funkcji cotangens do przedziału , nazywamy arcusem cotangensem i oznaczamy symbolem .

Funkcje: arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens i arcus cotangens nazywamy funkcjami cyklometrycznymi.

Uwaga 2.33.

Funkcje arcus sinus i arcus tangens są ściśle rosnące. Funkcje arcus cosinus i arcus cotangens -- ściśle malejące.

Ze wzorów redukcyjnych: oraz wynika, że

Uwaga 2.34.

Dla dowolnej liczby zachodzi równość

Dla dowolnej liczby zachodzi równość

Funkcje hiperboliczne i funkcje area

Określimy teraz cztery funkcje, których nazwy są nieprzypadkowo zbieżne z nazwami funkcji trygonometrycznych.

Definicja 2.35.

Niech .

Sinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję .

Cosinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję .

Tangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję .

Cotangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję .

Wykażmy wpierw tożsamość, którą przez analogię do znanej tożsamości trygonometrycznej wiążącej wartości funkcji sinus i cosinus, nazwiemy jedynką hiperboliczną.

Twierdzenie 2.36. [jedynka hiperboliczna]

Dla dowolnej liczby rzeczywistej różnica kwadratów funkcji hiperbolicznych cosinus i sinus jest równa jedności, tzn. zachodzi równość

Dowód 2.36.

Z definicji funkcji i mamy:

stąd

W podobny sposób - wprost z definicji - można wykazać, że zachodzą następujące tożsamości analogiczne do znanych tożsamości trygonometrycznych:

Twierdzenie 2.37.

Niech będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas:

Tożsamości te wykażemy w ramach ćwiczeń do tego modułu.

Uwaga 2.38.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej mamy:

Warto porównać otrzymane wzory z poznanymi w szkole analogicznymi wzorami dla funkcji trygonometrycznych:

Podkreślmy kilka własności funkcji hiperbolicznych.

Uwaga 2.39

Funkcja sinus hiperboliczny jest bijekcją na . Jest nieparzysta, ściśle rosnąca.

Funkcja cosinus hiperboliczny jest określona na i przyjmuje wartości w przedziale . Jest funkcją parzystą. Nie jest różnowartościowa. Jej zacieśnienie do przedziału jest funkcją ściśle rosnącą.

Funkcja tangens hiperboliczny jest bijekcją na przedział . Jest nieparzysta, ściśle rosnąca.

Funkcja cotangens hiperboliczny jest bijekcją zbioru na zbiór . Jest nieparzysta, ściśle malejąca w przedziale i w przedziale .

Określmy funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych. Nazywamy je funkcjami area.

Definicja 2.40.

Funkcję odwrotną do funkcji sinus hiperboliczny nazywamy area sinusem hiperbolicznym i oznaczamy .

Funkcję odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus hiperboliczny do przedziału nazywamy area cosinusem hiperbolicznym
i oznaczamy .

Funkcję odwrotną do funkcji tangens hiperboliczny nazywamy area tangensem hiperbolicznym i oznaczamy .

Funkcję odwrotną do funkcji cotangens hiperboliczny nazywamy area cotangensem hiperbolicznym i oznaczamy .

Zwróćmy uwagę na tożsamości (kilka podobnych wykażemy w ramach ćwiczeń):

Uwaga 2.41.

Prawdziwe są następujące równości:
a) dla
b) dla

Dowód 2.41.

a) Niech . Wówczas dla mamy , czyli . Z jedynki trygonometrycznej wynika,że

b) Należy powtórzyć powyższe rozumowanie stosując jedynkę hiperboliczną zamiast jedynki trygonometrycznej.

Funkcje area można wyrazić także za pomocą logarytmu naturalnego.

Twierdzenie 2.42

Zachodzą następujące tożsamości:
a) dla
b) dla
c) dla
d) dla

Dowód 2.42.

a) Wyznaczamy zmienną z równania: .Mamy

Stąd , czyli dla wszystkich

b) Podobnie jak w punkcie a) wyznaczamy zmienną z równania i otrzymujemy , czyli , dla .

c) Z równania dostajemy , czyli

dla .

d) Pamiętając, że , podstawiamy w poprzedniej tożsamości w miejsce zmiennej i otrzymujemy:

dla

W ramach ćwiczeń wykażemy zaskakującą - na pierwszy rzut oka - uwagę.

Uwaga 2.43.

Dla dowolnej liczby funkcja

jest wielomianem zmiennej .

Dla dowolnej liczby funkcja

jest wielomianem zmiennej .

Dla dowolnej liczby funkcje oraz są zacieśnieniami -- odpowiednio do przedziałów oraz tego samego wielomianu zmiennej , to znaczy dla dowolnej liczby istnieje funkcja wielomianowa

taka, że zachodzą równości

Definicja 2.44.

Wielomian , o którym mowa w powyższej uwadze, którego zacieśnieniem do przedziału jest funkcja , nazywamy wielomianem Czebyszewa stopnia , .

Ćwiczenie 2.1.

Dana jest funkcja afiniczna . Wyznaczyć:
a) odwrotność tej funkcji,
b) funkcję odwrotną do ,
c) złożenie , , , .
d) Czy istnieje malejąca funkcja afiniczna taka, że ?

Wskazówka

a) Co to jest odwrotność?
b) Wystarczy wyznaczyć z równania .
c) Skorzystać z definicji złożenia. Składanie funkcji jest łączne.
d) Niech . Jakie warunki muszą spełniać współczynniki i , aby ?

Rozwiązanie

a) Odwrotnością funkcji jest funkcja
b) Wyznaczamy z równania . Stąd jest funkcją odwrotną do . A więc funkcją odwrotną do jest .
c) Funkcją odwrotną do jest , więc , gdzie oznacza odwzorowanie identycznościowe. Wobec tego . Podobnie . Spostrzegamy, że:

wobec tego
d) Jeśli , to . Jeśli , to współczynniki , muszą spełniać układ równań:

który spełniają dwie pary liczb . Funkcja jest malejąca, a jest rosnącą funkcją afiniczną.

Ćwiczenie 2.2.

Dana jest homografia . Wyznaczyć:
a) odwrotność tej homografii,
b) homografię odwrotną,
c) złożenie , , oraz .
d) Czy istnieje homografia taka, że ?

Wskazówka

a), b) c) Zastosować wskazówki do ćwiczenia 2.1.
d) Niech . Zauważyć, że można przyjąć, że (dlaczego?). Jakie równania muszą spełniać współczynniki , aby ?

Rozwiązanie

a) Odwrotnością danej homografii jest .
b) Homografię odwrotną do otrzymamy, wyznaczając z równania . Stąd , czyli homografią odwrotną do jest ta sama funkcja.
c) Skoro , więc - podobnie jak w ćwiczeniu 2.1. - złożenie , . Spostrzegamy, że:

wobec tego , .
d) Niech . Współczynnik , gdyż w przeciwnym przypadku funkcja byłaby afiniczna i złożenie byłoby funkcją afiniczną, co nie jest możliwe. Skoro możemy podzielić licznik i mianownik rozważanego ułamka przez stałą i przyjąć, że to znaczy: . Wobec tego

Równość zachodziłaby, gdyby odpowiednie współczynniki homografii oraz były równe,

Ale jest to niemożliwe, gdyż z równości wynika, że , co pociąga za sobą w konsekwencji nierówność: , która jest fałszywa. Nie ma więc takiej homografii , aby .

Ćwiczenie 2.3.

Wyrazić w prostszej postaci:
a) , ,
b) , ,
c) , ,
d) , ,
e) , .

Wskazówka

a) Skorzystać ze związku: .
b) Skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

Rozwiązanie

a) Zauważmy, że funkcja jest określona w każdym punkcie zbioru liczb rzeczywistych i jest okresowa o okresie . Wystarczy więc wyznaczyć jej wartości w jakimkolwiek przedziale postaci . Funkcja cosinus jest parzysta, stąd złożenie jest funkcją parzystą. Wystarczy więc rozważyć wyrażenie w zbiorze . Jeśli , to różnica . Korzystając ze wzoru redukcyjnego: , otrzymujemy

dla . Wobec parzystości rozważanej funkcji mamy dla równość

Funkcja ma okres i jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. Podobnie jak w poprzednim przykładzie określimy więc jej wartość w przedziale . Dzięki okresowości wystarczy to, aby określić jej wartość dla dowolnej liczby rzeczywistej . Zauważmy, że funkcja jest nieparzysta, więc , stąd

dla

Rozumując jak poprzednio, na mocy wzoru

redukcyjnego równość: . Stąd

dla . Natomiast dla

mamy równość

Stąd dla

mamy

Korzystając teraz z nieparzystości

funkcji dla , otrzymamy Stąd ostatecznie dla mamy

b) Niech . Zatem . Z jedynki trygonometrycznej: . Stąd dla .

Podobnie dostajemy równość: dla .

c) Funkcja jest nieparzysta, gdyż jest złożeniem dwóch funkcji nieparzystych: oraz . Jest okresowa o okresie wystarczy więc rozważyć ją np. na przedziale . Ze wzoru redukcyjnego mamy stąd

dla .

Podobnie jest nieparzysta, okresowa o okresie . Wystarczy więc rozważyć ją np. w przedziale , gdzie zachodzi równość:

d) Pamiętając, że , otrzymamy , dla .

Podobnie: , dla .

e) Z jedynki hiperbolicznej dla . Po podstawieniu , dostajemy , dla .

Z kolei . Funkcja jest określona na całym zbiorze liczb rzeczywistych i jest parzysta. Mamy równość:

prawdziwą dla wszystkich liczb rzeczywistych .

Ćwiczenie 2.4.

Wykazać, że dla dowolnych liczb , zachodzą równości:
a)
b)

Wskazówka

a) Warto przekształcić wpierw prawą stronę równości, skorzystać z definicji funkcji oraz , wykonać mnożenie i zredukować wyrazy podobne.
b) Należy postąpić podobnie jak w punkcie a) zadania.

Rozwiązanie

a) Z definicji funkcji i mamy:

stąd

b) Dokonując podobnych przekształceń jak w punkcie a), otrzymujemy:

stąd

Ćwiczenie 2.5.

a) Niech dla . Wykaż, że , oraz

dla .
b) Wykazać, że funkcja jest wielomianem zmiennej , dla .

Wskazówka

a) Przekształcić oraz , wykorzystując wzory wyrażające sinus i cosinus sumy , analogiczne do tych, które zostały wykazane w ćwiczeniu 2.4., a mianowicie:

b) Suma i iloczyn wielomianów jest wielomianem. Wykorzystać formułę z punktu a) zadania.

Rozwiązanie

a) Niech . Stosując znane wzory na cosinus i sinus sumy oraz jedynkę trygonometryczną, otrzymamy

gdyż oraz Przekształćmy także

Stąd . Wobec tego

b) Formuła wykazana w punkcie b) pozwala wyznaczyć dla . Iloczyn i suma wielomianów jest wielomianem. Funkcje oraz są wielomianami zmiennej , więc każda kolejna funkcja

jest również wielomianem zmiennej .

Ćwiczenie 2.6.

a) Niech dla . Wykaż, że , oraz

dla .

b) Wykazać, że funkcja jest wielomianem zmiennej , dla .
c) Wykazać, że dla dowolnej liczby istnieje wielomian taki, że oraz są restrykcjami - odpowiednio do przedziałów oraz - wielomianu .

Wskazówka

a) Warto uprościć oraz , wykorzystując wzory wykazane w ćwiczeniu 2.4.
b) Suma i iloczyn wielomianów jest wielomianem. Wykorzystać formułę z punktu a) zadania.
c) Porównać formuły z punktów b) w ćwiczeniu 2.5. i ćwiczeniu 2.6. Wyznaczyć dziedziny funkcji oraz .

Rozwiązanie

Niech . Postępując podobnie jak w ćwiczeniu 2.5. tzn. stosując wykazane w ćwiczeniu 2.4. wzory na cosinus hiperboliczny i sinus hiperboliczny sumy oraz jedynkę hiperboliczną, otrzymamy

gdyż oraz Przekształćmy także

Stąd . Wobec tego

b) Zauważmy, że formuła wykazana w punkcie b) pozwala wyznaczyć dla . Iloczyn i suma wielomianów jest wielomianem. Ponadto funkcje oraz są wielomianami zmiennej , więc każda kolejna funkcja

jest również wielomianem zmiennej .
c) Formuły pozwalające wyznaczyć oraz są identyczne:

Wielomiany oraz są więc zacieśnieniem -- odpowiednio do przedziałów oraz - tego samego wielomianu
, . Zwróćmy uwagę na fakt, że dziedziną każdej z funkcji jest przedział a dziedziną funkcji - przedział . Stąd formalnie równość funkcji ma sens w części wspólnej obu dziedzin, tj. w punkcie .