Teoria Sterowania – Egzamin – Część Zająca

1. Podaj definicję sterowalności oraz warunek.

Obiekt nazywa się całkowicie sterowalnym, jeżeli stosując ograniczone przedziałami, ciągłe sterowanie można go przeprowadzić w skończonym czasie z dowolnego zadanego stanu początkowego X₀ do stanu końcowego X_k = 0.

Warunek:

0 ≠  det[B AB A²B … A^n − 1B]

1. Podaj definicję obserwowalności oraz warunek.

Obiekt nazywa się całkowicie sterowalnym, jeżeli przy zadanym dowolnym sterowaniu istnieje skończona chwila t_k taka, że na podstawie znajomości sterowania u[t_k, t_k] i odpowiedzi y[t_k, t_k] w przedziale [t_k, t_k] można wyznaczyć każdy stan X₀ w każdej chwili początkowej t = t₀.

Warunek:

0 ≠  det[C CA CA² …  CA^n − 1]

1. Podaj definicję układu liniowego, przykład.

Układ liniowy jest to matematyczny opis układu regulacji oparty na przekształceniu liniowym, który można opisać warunkiem liniowości:

Jeśli dane są dwa sygnały wejściowe:

i odpowiadające im sygnały wyjściowe:

wówczas dla dowolnych wartości skalarnych:

i

układ liniowy musi spełniać następującą zależność:

1. Podaj definicję układu inercyjnego.

Jest to układ odniesienia, względem którego każde ciało, niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się bez przyspieszenia (tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku).

1. Podaj definicję układu stacjonarnego.

Układ stacjonarny jest to układ, którego wyjście nie zależy wprost od czasu, a jego parametry się nie zmieniają (jeśli się zmieniają, zmiany te są pomijane).

1. Podaj wzór obserwatora pełnego.

$$\left\{ \begin{matrix} \hat{\dot{x}} = A\hat{x} + Bu + G\left\lbrack y - \hat{y} \right\rbrack \\ \hat{y} = C\hat{x} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Gdzie: G – macierz wzmocnień obserwatora

1. Podaj wzór obserwatora zredukowanego.

$$\left\{ \begin{matrix} \dot{v} = \ A_{11}v + A_{12}y + B_{1}u \\ \dot{y} - A_{22}y - B_{2}u = A_{21}v \\ \end{matrix} \right.\ $$

1. Zbadaj stabilność układu.

Rozwiązanie:

φ(λ) = det|I•λ−A|

φ(λ) = 0

1. Wyznacz sprzężenia stabilizujące zapewniające stabilność nieasymptotyczną.

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ a_{0} & a_{1} \\ \end{bmatrix}\ ze\ sprzezeniami \rightarrow \ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ a_{0} + k_{0} & a_{1} + k_{1} \\ \end{bmatrix}\ $$

φ(λ) = det|I•λ−A|

φ(λ) = 0

Oczekiwane pierwiastki równania charakterystycznego:

(λ−p₁)(λ−p₂) = 0

$$\left\{ \begin{matrix} \lambda_{0} = b_{0} \\ \lambda_{1} = b_{1} \\ \end{matrix} \right.\ \ ,\ dla\ \lambda^{n}b_{1} + \lambda^{n - 1}b_{0} = 0$$

$$k = \left\lbrack k_{0}\ k_{1}\ \right\rbrack\ wyznaczane\ z:k = \left\{ \begin{matrix} k_{0} - a_{0} = {- b}_{0} \\ k_{1} - a_{1} = {- b}_{1} \\ \end{matrix} \right.\ $$

1. Sterowanie deadbeat – definicja, zastosowanie.

2. Dokonaj dyskretyzacji układu opisanego równaniem: $\dot{x} = u$

3. Sprawdź stabilność narysowanego poniżej układu zamkniętego dla u = y.

Rozwiązanie:

1. Układ zamknięty

$$\left\{ \begin{matrix} \dot{x} = Ax + Bu \\ y = Cx \\ \end{matrix} \right.\ $$

u = y

$$\dot{x} = Ax + B \bullet (Cx)$$

$$\dot{x} = \left( A + B \bullet C \right)x$$

1. Stabilność:

φ(λ) = det[I • λ − (A+B•C)]