Temat 3

Płaszczyzna regresji – badanie deformacji płaskiej powierzchni.

Mariusz Król

Grzegorz Kruczek

GIP1

Rok akademicki 2015/2016

Przygotowanie danych:

• Zestaw 1: W programie AutoCAD 2011 utworzono płaszczyznę pionową o bokach długości 2x3 m, którą następnie skręcono o kąt 24º. Następnie z płaszczyzny zdjęto regularny zbiór 36 punktów (6 wierszy i 6 kolumn), które zaburzono błędem losowym (poprzecznym do płaszczyzny) o wartości do 10 mm.

• Zestaw 2a: W zestawie 1 zaburzono 3 punkty błędem poprzecznym do płaszczyzny , o wartości kilka- kilkanaście cm.

• Zestaw 2b: W zestawie 1 zaburzono około 20% mierzonych punktów błędem poprzecznym do płaszczyzny, o wartości kilka- kilkanaście cm.

Obliczenia

Zestaw 1

• Dane:

Współrzędne punktów
X [m]
0,548
0,828
1,096
1,376
1,649
1,924
0,550
0,823
1,097
1,370
1,649
1,924
0,549
0,824
1,101
1,374
1,644
1,923
0,554
0,823
1,100
1,375
1,648
1,920
0,553
0,826
1,098
1,374
1,650
1,920
0,551
0,823
1,101
1,372
1,647
1,922

• Wyznaczenie płaszczyzny regresji minimalizując kolejno wartości względem osi X, Y i Z:

Równania ogólne x3

Rozwiązanie za pomocą równania: x = A^-1B

Macierz A		Macierz B		x
12,104	26,313	19,494		27,596		2,258941		A
26,313	75,060	48,600		60,082		0,001226		B
19,494	48,600	36,000		44,504		0,011320		C
								D
Macierz A		Macierz B		x
62,919	60,082	44,504		27,596		0,442407		A
60,082	75,060	48,600		26,313		-0,000543		B
44,504	48,600	36,000		19,494		-0,004667		C
								D
Macierz A		Macierz B		x
62,919	27,596	44,504		60,082		2,325908		A
27,596	12,104	19,494		26,313		-5,256849		B
44,504	19,494	36,000		48,600		1,321317		C
								D

Rozwiązanie za pomocą równania: x = (A^TA)^-1(A^TB)

Minimalizacja względem osi X:

Macierz A		Macierz B		x
0,244	0,600	1		0,548
0,353	0,600	1		0,828
0,488	0,600	1		1,096
0,596	0,600	1		1,376
0,721	0,600	1		1,649
0,841	0,600	1		1,924
0,239	0,900	1		0,550
0,363	0,900	1		0,823
0,486	0,900	1		1,097
0,609	0,900	1		1,370
0,721	0,900	1		1,649
0,841	0,900	1		1,924
0,242	1,200	1		0,549
0,362	1,200	1		0,824
0,477	1,200	1		1,101
0,601	1,200	1		1,374
0,732	1,200	1		1,644
0,843	1,200	1		1,923
0,230	1,500	1		0,554
0,363	1,500	1		0,823
0,480	1,500	1		1,100
0,599	1,500	1		1,375
0,723	1,500	1		1,648
0,849	1,500	1		1,920
0,231	1,800	1		0,553
0,357	1,800	1		0,826
0,484	1,800	1		1,098
0,602	1,800	1		1,374
0,719	1,800	1		1,650
0,850	1,800	1		1,920
0,236	2,100	1		0,551
0,363	2,100	1		0,823
0,475	2,100	1		1,101
0,606	2,100	1		1,372
0,725	2,100	1		1,647
0,844	2,100	1		1,922

Minimalizacja względem osi Y:

Macierz A		Macierz B		x
0,548	0,600	1		0,244
0,828	0,600	1		0,353
1,096	0,600	1		0,488
1,376	0,600	1		0,596
1,649	0,600	1		0,721
1,924	0,600	1		0,841
0,550	0,900	1		0,239
0,823	0,900	1		0,363
1,097	0,900	1		0,486
1,370	0,900	1		0,609
1,649	0,900	1		0,721
1,924	0,900	1		0,841
0,549	1,200	1		0,242
0,824	1,200	1		0,362
1,101	1,200	1		0,477
1,374	1,200	1		0,601
1,644	1,200	1		0,732
1,923	1,200	1		0,843
0,554	1,500	1		0,230
0,823	1,500	1		0,363
1,100	1,500	1		0,480
1,375	1,500	1		0,599
1,648	1,500	1		0,723
1,920	1,500	1		0,849
0,553	1,800	1		0,231
0,826	1,800	1		0,357
1,098	1,800	1		0,484
1,374	1,800	1		0,602
1,650	1,800	1		0,719
1,920	1,800	1		0,850
0,551	2,100	1		0,236
0,823	2,100	1		0,363
1,101	2,100	1		0,475
1,372	2,100	1		0,606
1,647	2,100	1		0,725
1,922	2,100	1		0,844

Minimalizacja względem osi Z:

Macierz A		Macierz B		x
0,548	0,244	1		0,600
0,828	0,353	1		0,600
1,096	0,488	1		0,600
1,376	0,596	1		0,600
1,649	0,721	1		0,600
1,924	0,841	1		0,600
0,550	0,239	1		0,900
0,823	0,363	1		0,900
1,097	0,486	1		0,900
1,370	0,609	1		0,900
1,649	0,721	1		0,900
1,924	0,841	1		0,900
0,549	0,242	1		1,200
0,824	0,362	1		1,200
1,101	0,477	1		1,200
1,374	0,601	1		1,200
1,644	0,732	1		1,200
1,923	0,843	1		1,200
0,554	0,230	1		1,500
0,823	0,363	1		1,500
1,100	0,480	1		1,500
1,375	0,599	1		1,500
1,648	0,723	1		1,500
1,920	0,849	1		1,500
0,553	0,231	1		1,800
0,826	0,357	1		1,800
1,098	0,484	1		1,800
1,374	0,602	1		1,800
1,650	0,719	1		1,800
1,920	0,850	1		1,800
0,551	0,236	1		2,100
0,823	0,363	1		2,100
1,101	0,475	1		2,100
1,372	0,606	1		2,100
1,647	0,725	1		2,100
1,922	0,844	1		2,100

Współczynniki równań ogólnych, dla minimalizacji po odpowiadających sobie osiach, obliczone dwoma metodami, są identyczne.

• Wyznaczenie odległości mierzonych punktów od każdej z płaszczyzn:

Wzór na odl

Odległości od wpasowanej płaszczyzny
Dx [m]
0,007
0,008
0,008
0,007
0,003
0,005
0,001
0,004
0,005
0,007
0,003
0,004
0,004
0,003
0,004
0,001
0,009
0,003
0,008
0,004
0,001
0,003
0,001
0,004
0,007
0,002
0,003
0,000
0,004
0,005
0,002
0,004
0,006
0,005
0,002
0,001

Minimalizacja odległości względem osi Z daje o 1-2 rzędy wyższe wartości odległości punktów od płaszczyzny ze względu liczenie ich niemal po stycznych do płaszczyzny.

• Transformacja punktów, w taki sposób, aby płaszczyzna przez nie tworzona była mniej więcej równoległa do płaszczyzny XZ:

Wzór

Wyniki transformacji:

X' [m]	Y' [m]	Z' = Z [m]
0,600	0,001	0,600
0,900	-0,015	0,600
1,200	0,001	0,600
1,500	-0,015	0,600
1,800	-0,011	0,600
2,100	-0,015	0,600
0,600	-0,005	0,900
0,900	-0,003	0,900
1,200	-0,003	0,900
1,500	-0,001	0,900
1,800	-0,012	0,900
2,100	-0,014	0,900
0,600	-0,003	1,200
0,900	-0,004	1,200
1,200	-0,012	1,200
1,500	-0,010	1,200
1,800	0,000	1,200
2,100	-0,012	1,200
0,600	-0,015	1,500
0,900	-0,004	1,500
1,200	-0,009	1,500
1,500	-0,012	1,500
1,800	-0,010	1,500
2,100	-0,006	1,500
0,600	-0,014	1,800
0,900	-0,009	1,800
1,200	-0,005	1,800
1,500	-0,009	1,800
1,800	-0,014	1,800
2,100	-0,004	1,800
0,600	-0,009	2,100
0,900	-0,003	2,100
1,200	-0,014	2,100
1,500	-0,004	2,100
1,800	-0,008	2,100
2,100	-0,011	2,100

• Wyznaczenie parametrów płaszczyzny po obrocie:

Macierz A		Macierz B		x
75,020	65,590	48,585		-0,416		-0,006832
65,590	75,060	0,000		-0,399		0,000650
48,585	0,000	36,000		-0,292		0,001101

• Aproksymacja względem osi Y:

Dy' [m]	Dy [m]
0.003	0.006
0.010	0.008
0.007	0.008
0.006	0.007
0.001	0.003
0.002	0.005
0.003	0.001
0.002	0.004
0.004	0.005
0.007	0.007
0.002	0.003
0.001	0.004
0.000	0.004
0.000	0.003
0.006	0.005
0.001	0.001
0.011	0.009
0.000	0.003
0.013	0.008
0.000	0.003
0.003	0.001
0.003	0.003
0.000	0.001
0.007	0.004
0.012	0.007
0.006	0.002
0.001	0.003
0.001	0.000
0.004	0.004
0.008	0.006
0.007	0.002
0.001	0.004
0.008	0.006
0.004	0.005
0.002	0.002
0.001	0.001

W zestawieniu porównano aproksymacje względem osi Y dla punktów płaszczyzny równoległej do płaszczyzny XZ (lewa kolumna) oraz punktów płaszczyzny pionowej, nierównoległej względem osi XZ (prawa kolumna). Wyniki obliczeń są bardzo do siebie zbliżone - największe rozbieżności wynoszą 5 mm.

Zestaw 2a

• Dane:

Współrzędne punktów
X [m]
0.547
0.827
1.095
1.375
1.648
1.923
0.549
0.822
1.096
1.370
1.648
1.949
0.548
0.823
1.100
1.373
1.643
1.922
0.553
0.823
1.057
1.374
1.647
1.920
0.553
0.790
1.097
1.373
1.649
1.919
0.551
0.822
1.101
1.371
1.647
1.922

• Wyznaczenie płaszczyzny regresji minimalizując kolejno wartości względem osi X, Y i Z:

Macierz A		Macierz B		x
12.329	26.739	19.754		27.799		2.295743		A
26.739	75.060	48.600		59.948		-0.020642		B
19.754	48.600	36.000		44.429		0.002319		C
								D
Macierz A		Macierz B		x
62.815	59.948	44.429		27.799		0.428505		A
59.948	75.060	48.600		26.739		0.008968		B
44.429	48.600	36.000		19.754		0.007765		C
								D
Macierz A		Macierz B		x
62.815	27.799	44.429		59.948		-1.456958		A
27.799	12.329	19.754		26.739		3.391114		B
44.429	19.754	36.000		48.600		1.287366		C
								D

• Wyznaczenie odległości mierzonych punktów od każdej z płaszczyzn:

Odległośći od wpasowanej płaszczyzny
Dx [m]
0.005
0.007
0.010
0.003
0.003
0.002
0.003
0.002
0.005
0.008
0.000
0.063
0.003
0.002
0.008
0.002
0.010
0.000
0.017
0.004
0.096
0.007
0.003
0.004
0.019
0.073
0.005
0.007
0.009
0.003
0.016
0.008
0.017
0.005
0.006
0.006

Minimalizacja odległości względem osi Z daje o 1-2 rzędy wyższe wartości odległości punktów od płaszczyzny ze względu liczenie ich niemal po stycznych do płaszczyzny.

• Detekcja błędów grubych za pomocą metody duńskiej:

Wzór

Wyznaczenie średnich odległości, po odpowiednich osiach, od wpasowanej płaszczyzny:

Średnie odległości od wpasowanej płaszczyzny [m]
po osi X
po osi Y
po osi Z

Przeprowadzenie detekcji błędów dla współczynnika prawdopodobieństwa równego 4:

Estymacja mocna z zastosowaniem metody duńskiej
Vx [m]
0.007
0.005
0.002
0.009
0.009
0.010
0.009
0.010
0.008
0.004
0.012
-0.051
0.010
0.010
0.005
0.010
0.003
0.012
-0.005
0.008
-0.084
0.005
0.009
0.008
-0.007
-0.061
0.007
0.005
0.003
0.010
-0.004
0.004
-0.004
0.008
0.007
0.006

Duża liczba błędów grubych zidentyfikowana dla odległości liczonych po osi Z ma związek z liczeniem tych odległości niemal po stycznych do płaszczyzny.

Błędy estymacji po poszczególnych osiach:

Błędy estymacji [m]
mx
my
mz

• Transformacja punktów, w taki sposób, aby płaszczyzna przez nie tworzona była mniej więcej równoległa do płaszczyzny XZ:

Wyniki transformacji:

X' [m]	Y' [m]	Z' = Z [m]
0.601	0.004	0.600
0.901	-0.011	0.600
1.201	0.004	0.600
1.501	-0.011	0.600
1.801	-0.008	0.600
2.101	-0.011	0.600
0.601	-0.002	0.900
0.901	0.001	0.900
1.201	0.001	0.900
1.501	0.003	0.900
1.801	-0.008	0.900
2.101	-0.074	0.900
0.601	0.001	1.200
0.901	0.000	1.200
1.201	-0.008	1.200
1.501	-0.006	1.200
1.801	0.004	1.200
2.101	-0.008	1.200
0.601	-0.011	1.500
0.901	0.000	1.500
1.201	0.098	1.500
1.501	-0.008	1.500
1.801	-0.006	1.500
2.101	-0.002	1.500
0.601	-0.010	1.800
0.901	0.080	1.800
1.201	-0.001	1.800
1.501	-0.005	1.800
1.801	-0.010	1.800
2.101	-0.001	1.800
0.601	-0.005	2.100
0.901	0.001	2.100
1.201	-0.010	2.100
1.501	0.000	2.100
1.801	-0.004	2.100
2.101	-0.007	2.100

Transformację przeprowadzono analogicznie do obliczeń w zestawie 1.

• Wyznaczenie parametrów płaszczyzny po obrocie:

Macierz A		Macierz B		x
75.122	65.641	48.623		-0.158		0.003377
65.641	75.060	0.000		0.044		-0.002370
48.623	0.000	36.000		-0.025		-0.005263

• Aproksymacja względem osi Y i detekcja błędów grubych dla współczynnika prawdopodobieństwa równego 4:

1	2	3	4	5
Dy' [m]	Dy [m]	Vy [m]	warunek	spraw.
0.009	0.001	0.003	0.711
0.007	0.010	0.005	1.260
0.007	0.009	0.005	1.226
0.010	0.002	0.002	0.582
0.007	0.006	0.005	1.274
0.011	0.007	0.001	0.193
0.004	0.008	0.008	2.059
0.006	0.001	0.006	1.616
0.005	0.004	0.007	1.849
0.005	0.009	0.007	1.774
0.007	0.002	0.005	1.267
0.073	0.059	-0.062	15.701	błąd
0.007	0.007	0.004	1.140
0.005	0.005	0.007	1.844
0.004	0.008	0.008	1.977
0.003	0.002	0.009	2.378
0.006	0.012	0.006	1.487
0.007	0.004	0.005	1.164
0.004	0.022	0.008	2.004
0.006	0.007	0.006	1.500
0.103	0.095	-0.091	23.179	błąd
0.004	0.006	0.008	2.076
0.003	0.000	0.008	2.161
0.000	0.008	0.012	3.029
0.002	0.023	0.010	2.465
0.086	0.070	-0.074	18.986	błąd
0.005	0.006	0.007	1.839
0.001	0.006	0.011	2.893
0.006	0.006	0.006	1.441
0.002	0.007	0.010	2.552
0.003	0.021	0.008	2.164
0.008	0.011	0.004	0.976
0.004	0.017	0.008	2.115
0.005	0.004	0.007	1.788
0.000	0.003	0.012	2.955
0.004	0.002	0.008	2.107

W kolumnach 1 i 2 zestawiono wartości minimalizacji odległości od płaszczyzny po osi Y po i przed obrotem ; w wyniku zaburzeń błędami grubymi występują rozbieżności wyników sięgające 21 mm. Kolumny 3, 4 i 5 zawierają wyniki detekcji błędów grubych - zidentyfikowane błędy pokrywają się z wykrytymi przed wykonaniem obrotu płaszczyzny.

Błąd estymacji po osi Y: m_y' = 0.004 m.

Zestaw 2b

• Dane:

Współrzędne punktów
X [m]
0.547
0.802
1.095
1.375
1.648
1.923
0.549
0.822
1.096
1.369
1.625
1.923
0.492
0.823
1.100
1.373
1.684
1.922
0.553
0.822
1.099
1.402
1.647
1.891
0.552
0.785
1.097
1.373
1.649
1.919
0.550
0.822
1.167
1.371
1.646
1.921

• Wyznaczenie płaszczyzny regresji minimalizując kolejno wartości względem osi X, Y i Z:

Macierz A		Macierz B		x
12.264	26.401	19.665		27.651		2.224656		A
26.401	75.060	48.600		60.048		0.041457		B
19.665	48.600	36.000		44.431		-0.036981		C
								D
Macierz A		Macierz B		x
62.849	60.048	44.431		27.651		0.422095		A
60.048	75.060	48.600		26.401		-0.018446		B
44.431	48.600	36.000		19.665		0.050201		C
								D
Macierz A		Macierz B		x
62.849	27.651	44.431		60.048		0.774993		A
27.651	12.264	19.665		26.401		-1.817393		B
44.431	19.665	36.000		48.600		1.386250		C
								D

• Wyznaczenie odległości mierzonych punktów od każdej z płaszczyzn:

Odległości od wpasowanej płaszczyzny
Dx [m]
0.004
0.041
0.006
0.023
0.020
0.025
0.005
0.003
0.004
0.004
0.041
0.019
0.140
0.000
0.009
0.007
0.099
0.012
0.004
0.006
0.000
0.073
0.004
0.070
0.002
0.103
0.009
0.004
0.002
0.006
0.012
0.017
0.159
0.014
0.009
0.005

Minimalizacja odległości względem osi Z daje o 1-2 rzędy wyższe wartości odległości punktów od płaszczyzny ze względu liczenie ich niemal po stycznych do płaszczyzny.

• Detekcja błędów grubych za pomocą metody duńskiej:

Wyznaczenie średnich odległości, po odpowiednich osiach, od wpasowanej płaszczyzny:

Średnie odległości od wpasowanej płaszczyzny
po osi X
po osi Y
po osi Z

Zaobserwowano wzrost średnich wartości odległości od wpasowanej płaszczyzny spowodowany zaburzeniem modelu przez zbyt dużą liczbę błędów grubych.

Przeprowadzenie detekcji błędów dla współczynnika prawdopodobieństwa równego 4:

Estymacja mocna z zastosowaniem metody duńskiej
Vx [m]
0.023
-0.015
0.021
0.004
0.006
0.002
0.022
0.024
0.023
0.023
-0.014
0.008
-0.114
0.026
0.018
0.020
-0.072
0.015
0.023
0.021
0.026
-0.046
0.023
-0.043
0.024
-0.076
0.018
0.023
0.025
0.021
0.014
0.010
-0.132
0.013
0.018
0.022

Duża liczba błędów grubych zidentyfikowana dla odległości liczonych po osi Z ma związek z liczeniem tych odległości niemal po stycznych do płaszczyzny.

Błędy estymacji po poszczególnych osiach:

Błędy estymacji [m]
mx
my
mz

• Transformacja punktów, w taki sposób, aby płaszczyzna przez nie tworzona była mniej więcej równoległa do płaszczyzny XZ:

Wyniki transformacji:

X' [m]	Y' [m]	Z' = Z [m]
0.600	0.003	0.600
0.900	0.050	0.600
1.200	0.003	0.600
1.500	-0.013	0.600
1.800	-0.009	0.600
2.100	-0.012	0.600
0.600	-0.003	0.900
0.900	0.000	0.900
1.200	0.000	0.900
1.500	0.001	0.900
1.800	0.047	0.900
2.100	-0.011	0.900
0.600	0.137	1.200
0.900	-0.002	1.200
1.200	-0.010	1.200
1.500	-0.007	1.200
1.800	-0.098	1.200
2.100	-0.010	1.200
0.600	-0.012	1.500
0.900	-0.001	1.500
1.200	-0.006	1.500
1.500	-0.078	1.500
1.800	-0.008	1.500
2.100	0.067	1.500
0.600	-0.011	1.800
0.900	0.091	1.800
1.200	-0.002	1.800
1.500	-0.006	1.800
1.800	-0.011	1.800
2.100	-0.002	1.800
0.600	-0.006	2.100
0.900	0.000	2.100
1.200	-0.175	2.100
1.500	-0.002	2.100
1.800	-0.005	2.100
2.100	-0.008	2.100

Transformację przeprowadzono analogicznie do obliczeń w zestawach 1 i 2.

• Wyznaczenie parametrów płaszczyzny po obrocie:

Macierz A		Macierz B		x
75.029	65.594	48.589		-0.294		-0.002451
65.594	75.060	0.000		-0.305		-0.001923
48.589	0.000	36.000		-0.107		0.000335

• Aproksymacja względem osi Y i detekcja błędów grubych dla współczynnika prawdopodobieństwa równego 4:

Dy' [m]	Dy [m]	Vy [m]	warunek	spraw.
0.005	0.021	0.018	2.620
0.053	0.031	-0.029	4.101	błąd
0.007	0.010	0.017	2.409
0.008	0.019	0.016	2.245
0.004	0.010	0.020	2.880
0.006	0.007	0.018	2.526
0.000	0.022	0.024	3.391
0.004	0.014	0.020	2.894
0.004	0.008	0.019	2.776
0.006	0.000	0.017	2.485
0.053	0.051	-0.029	4.130	błąd
0.005	0.001	0.019	2.733
0.141	0.123	-0.117	16.630	błąd
0.002	0.010	0.021	3.041
0.005	0.012	0.019	2.736
0.001	0.004	0.023	3.209
0.091	0.089	-0.068	9.630	błąd
0.003	0.005	0.021	3.030
0.008	0.021	0.016	2.234
0.004	0.004	0.020	2.868
0.001	0.004	0.023	3.284
0.071	0.069	-0.047	6.754	błąd
0.001	0.007	0.023	3.318
0.075	0.087	-0.051	7.272	błąd
0.006	0.015	0.017	2.473
0.096	0.093	-0.072	10.298	błąd
0.004	0.006	0.020	2.827
0.000	0.007	0.023	3.335
0.004	0.008	0.020	2.897
0.006	0.023	0.017	2.478
0.001	0.005	0.023	3.267
0.005	0.007	0.018	2.614
0.168	0.162	-0.145	20.589	błąd
0.006	0.017	0.018	2.569
0.003	0.019	0.021	2.971
0.001	0.022	0.023	3.295

W kolumnach 1 i 2 zestawiono wartości minimalizacji odległości od płaszczyzny po osi Y po i przed obrotem; w wyniku zaburzeń błędami grubymi występują rozbieżności wyników sięgające 22 mm. Kolumny 3, 4 i 5 zawierają wyniki detekcji błędów grubych - zidentyfikowane błędy nie pokrywają się całkowicie z błędami zidentyfikowanymi przed obrotem płaszczyzny. Zbyt duża liczba błędów grubych w zbiorze uniemożliwia ich jednoznaczne zidentyfikowanie bez drobiazgowej analizy.

Błąd estymacji po osi Y: m_y' = 0.007 m.