1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest badanie stabilności układu automatyki mające na celu prześledzenie zmian zachowania się układu przy różnych wartościach wzmocnienia.

Kryterium Nyquista jest metodą wykreślną pozwalającą na określenie stabilności układu liniowych ze względu na wykorzystanie charakterystyki amplitudowo-fazowej. Kryterium to dotyczy układów ze sprzężeniem zwrotnym i wykorzystuje kryterium Michajłowa. Dzięki zastosowaniu tego kryterium możemy odpowiedzieć na dwa pytania:

• Jeśli układ otwarty jest stabilny, to czy po zamknięciu go ujemnym sprzężeniem zwrotnym nadal będzie stabilny?

• Jeżeli układ otwarty jest niestabilny, to czy po zamknięciu go ujemnym sprzężeniem zwrotnym stanie się stabilny?

$$\Delta\arg\left\lbrack 1 + G_{0}\left( \text{jω} \right) \right\rbrack = \frac{m}{2}*2\pi$$

Odpowiedzi na powyższe pytania są następujące:

• Układ otwarty stabilny po zamknięciu ujemnym sprzężeniem zwrotnym nadal będzie stabilny jeśli jego charakterystyka amplitudowo fazowa nie będzie obejmować punktu

-1+i0.

• Układ otwarty niestabilny będzie stabilny po zamknięciu ujemnym sprzężeniem zwrotnym jeśli jego charakterystyka amplitudowo fazowa obejmie m/2 razy punkt -1 na osi Re.

1. Schemat badanego układu regulacji:

Wyliczona transmitancja zastępcza powyższego układu:

$$G_{z} = \frac{2k}{0,297s^{3} + 10,257s^{2} + 11,93s + 1 + 2k}$$

Obliczenie z kryterium Hurwitza wzmocnienia k_KR dla którego powyższy układ jest jeszcze stabilny:

$$H = \begin{bmatrix} 10,257 & 0,297 & 0 \\ 1 + 2k & 11,93 & 10,257 \\ 0 & 0 & 1 + 2k \\ \end{bmatrix}$$

$$\Delta_{2} = \begin{bmatrix} 10,257 & 0,297 \\ 1 + 2k & 11,93 \\ \end{bmatrix} = 122,06901 - 0,594k$$

Z kryterium Hurwitza: układ jest stabilny, gdy Δ₂=0, więc:

k_KR=205,5033833

Układ otwarty:

1. Wykres przedstawiający sygnał odpowiedzi w funkcji czasu:

1. Charakterystyka amplitudowo fazowa dla układu otwartego (diagram Nyquista):

1. Charakterystyka logarytmiczna układu otwartego (diagram Bodego);

Układ zamknięty:

1. Dla k=1:

1. Dla k=50:

1. Dla k=150:

1. Dla k=200:

1. Dla k=k_KR=205,5033833:

1. Dla k=250:

1. Dla k=400:

1. Wnioski:

Dla wzmocnienia k=1 badany układ zachowuje się jak układ inercyjny I rzędu. Wraz ze wzrostem wartości wzmocnienia zmniejsza się stabilność układu w wyniku czego pojawiają się w układzie oscylacje gasnące- im większe wzmocnienie tym oscylacje oraz czas po którym następuje ich wygaśnięcie są większe. Dla wartości wzmocnienia k=205,5033833 oscylacje nie są ani gasnące, ani niegasnące. Jest to tzw. granica stabilności badanego układu. Powyżej tej granicy układ staje się niestabilny,

a oscylacje w nim występujące są niegasnące. Za pomocą charakterystyki logarytmicznej (opartej na logarytmicznym kryterium Niquista) można łatwo określić zapas modułu oraz zapas fazy układu automatyki.