Wydział WIiTCh	Imię i nazwisko	Zespół	Data 07.01.2010
Grupa	Badanie drgań tłumionych wahadła torsyjnego	Nr ćwiczenia 3	Ocena i podpis

1. Wprowadzenie do ćwiczenia

Bryłę sztywną obracalną wokół stałej osi obrotu i poddaną momentowi sił M₁, proporcjonalnemu do kąta odchylenia bryły z położenia równowagi φ, można opisać wzorem:

 M₁ = −k₁φ

$$I \bullet \ddot{\varphi} = - k_{1}\varphi$$

gdzie:

k₁ – dodatnia stała; moment kierujący

I - moment bezwładności bryły względem osi obrotu

$\ddot{\varphi}$ – przyspieszenie kątowe

φ - kąt obrotu ciała wokół osi

φ(t) = Φsin(ωt + ε)

gdzie:

Φ - amplituda kątowa drgań,

T – okres drgań

$$\omega = \sqrt{\frac{k_{1}}{I}}$$

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{k_{1}}}$$

Stąd:

$$\varphi\left( t \right) = \Phi\sin\left( 2\pi\frac{t}{T} + \varepsilon \right)$$

Amplituda i okres są nie zmienne w czasie, przy czym okres nie zależy od amplitudy (izochronizm drgań).

Jeżeli oprócz momentu siły M₁ działają na ciało momenty sił skierowane przeciwnie do prędkości ciała, wówczas amplituda maleje z biegiem czasu; obserwujemy drgania zwane tłumionymi, zanikającymi lub gasnącymi.

Prawo zanikania amplitudy zależy od rodzaju tłumienia.

Rozpatrzmy zatem dwa rodzaje tłumienia:

1. tłumienie drgań tarciem kulombowskim (suchym) – tłumienie momentem siły stałym co do wartości, a przeciwnie skierowanym do φ:

$M_{2} = {- M_{t}}_{\ }\frac{\dot{\varphi}}{\left| \dot{\varphi} \right|}$ , gdzie: $\dot{\varphi} \neq 0$

b) tłumienie wiskotyczne – tłumienie momentem siły proporcjonalnym do prędkości kątowej φ i przeciwnie do niej skierowanym:

$$M_{3} = - k_{2}\dot{\varphi}$$

Tłumienie tarciem kulombowskim

Równanie ruchu ciała ma postać:

$$\text{\ I}\ddot{\varphi} = - k_{1}\varphi + M_{2}$$

Rozwiązaniem tego równania są drgania tłumione o amplitudzie malejącej według postępu arytmetycznego o wielkości $\Delta\varphi = \frac{4M_{t}}{k_{1}}$ na jeden okres drgań tłumionych:

Tłumienie wiskotyczne

Występuje przy tłumieniu powolnych, mechanicznych drgań ciała zanurzonego w lepkiej cieczy lub przy tłumieniu drgań elektrycznych w obwodach elektrycznych. Równanie ruchu ma postać:

$$I\ddot{\varphi} = - k_{1}\varphi + M_{3}$$

Jego rozwiązaniem przy słabym tłumieniu (k₂² < 4Ik₁) jest funkcja:

φ(t) = −Φe^−δtsin(ω₁t+ε)

$$gdzie:\ \delta = \frac{k_{2}}{2I},\ \omega_{1} = \sqrt{\frac{k_{1}}{I} - \delta^{2}}$$

Funkcja przedstawiona powyższym równaniem nie jest funkcją periodyczną jak wynika z poniższego rysunku. Jej "okres", tj. czas, jaki upływa miedzy dwoma kolejnymi maksimami lub podwójny czas między dwoma kolejnymi przejściami przez punkt 0 wynosi:

$$T_{1} = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k_{1}}{I} - \frac{{k_{2}}^{2}}{4Ik_{1}}}} = T\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{k_{2}}^{2}}{4Ik_{1}}}}$$

Okres drgań tłumionych wiskotyczne więc jest dłuższy od okresu drgań nie gasnących. Maksima funkcji są przesunięte względem maksimów funkcji sinus kąta w lewo i wartości ich maleją z czasem. Ponieważ termin amplituda odnosi się do stałej wartości maksimów funkcji sinus, wyrażenie Fe^−δt należało by nazwać amplitudę w cudzysłowie. "Amplituda" Fe^−δt maleje z czasem według funkcji wykładniczej, logarytm "amplitudy" maleje liniowo z czasem.

Stosunek dwóch kolejnych wychyleń po tej samej stronie położenia równowagi wynosi:

φ_n = F₀e^−nδT

$$\frac{F_{n}}{F_{n + 1}} = \frac{e^{\frac{- k_{2}t}{2I}}}{e^{\frac{- k_{2}\left( t + T \right)}{2I}}} = e^{\frac{k_{2}t}{2I}}$$

Stosunek ten jest stały i nosi nazwę stosunku tłumienia. Logarytm naturalny tego stosunku:

$$\ln\frac{F_{n}}{F_{n + 1}} = \frac{k_{2}T_{1}}{2I} = D$$

nosi nazwę dekrementu logarytmicznego drgań tłumionych. Jest on również wartością charakterystyczną dla tych drgań.

2. Metoda pomiaru

Przyrząd składa się z kuli zawieszonej na stalowym drucie wlutowanym osiowo w walec, obracalny w łożysku za pośrednictwem pokrętła o niewielki kąt. Wiązka światła z rzutnika odbija się od zwierciadła przymocowanego do drutu i daje na skali plamkę świetlną. Podczas drgań obrotowych kuli plamka świetlna wykonuje drgania liniowe o odchyleniu x proporcjonalnym do kąta obrotu kuli φ, gdyż dla niewielkich kątów:

(gdzie l jest odległością skali od zwierciadełka); stąd:

x ≅ 2φl

Tłumienie proporcjonalne do prędkości ruchu realizujemy przez zanurzenie drgającej kuli w lepkiej cieczy, np. w wodzie; stąd nazwa tego rodzaju tłumienia: lepkościowe lub wiskotyczne. Tłumienie stałym momentem uzyskujemy, podstawiając pod kulę cienką blaszkę przesuwalną na statywie, której wysokość, a więc i nacisk na kulę można regulować za pomocą śruby. Tłumienie pochodzące od lepkości powietrza i tarcia wewnętrznego w materiale drutu jest tak małe, że można je wobec obu rozpatrywanych momentów hamujących pominąć. Kulę wprawiamy w drganie przez powolny obrót zawieszenia z położenia wyjściowego w skrajne, a następnie szybki powrót do położenia wyjściowego.

3. Wykonanie ćwiczenia

Zadanie 1: Badanie drgań obrotowych kuli nietłumionych (z pominięciem oporów powietrza i tłumienia w metalu drutu)

1. Obserwacja kolejnych amplitud x_n po tej samej stronie położenia równowagi.

Pomiar okresu drgań przez kilkakrotny pomiar czasu przypadającego na 10 okresów.

lp.	10T [s]	Xn [dz]
1	32,75	150
2	32,80	150
3	33,14	150
4	33,02	150
5	32,90	149
6	33,03	149
7	32,70	149
8	32,57	148
9	32,60	148
10	32,66	148

$$\overset{\overline{}}{10T} = 32,817\lbrack s\rbrack$$

1. Wykres zależności amplitudy od czasu (wykres 1)

3) Obliczenie momentu kierującego:

m = 0, 750 [kg] R = 0, 0285 [m] R = 0, 00005[m] m = 0, 0005[kg]

T_syst.=0,1 [s] – błąd systematyczny T

W tej części ćwiczenia mieliśmy za zadanie zmierzyć okres drgań wahadła fizycznego, oraz wychylenie. Wyznaczamy błąd 10$\overset{\overline{}}{T}$ wahadła:

10$\overset{\overline{}}{T}$=32, 817[s] $\overset{\overline{}}{T_{\ }} = 3,2817\left\lbrack s \right\rbrack$

$$S_{T} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( T_{i} - \overset{\overline{}}{T} \right)^{2}}{\left( n - 1 \right)}} = 0,0548\ \left\lbrack s \right\rbrack$$

$$T_{c} = S_{\overset{\overline{}}{T}} + T_{\text{syst.}} = 0,0548 + 0,1 = 0,1548\left\lbrack s \right\rbrack$$

T = (3, 2 ± 0, 1548) [s]

$$I\ = \frac{2}{5}mR^{2} = \ 0,000243675 \approx \ 2,4368 \bullet 10^{- 4}\ \left\lbrack \text{kg} \bullet m^{2} \right\rbrack$$

$${k}_{1\ max} = k \bullet \left( \left| \frac{I}{I} \right| + \left| \frac{2T_{c}}{T_{c}} \right| \right) = 4,46827 \bullet 10^{- 5}\ \left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$

$$k_{1} = 4 \bullet^{2}\ \bullet \frac{2,4368 \bullet 10^{- 4}}{{3,2817}^{2}} \approx 8,9327 \bullet 10^{- 4}\ \left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$

$$\mathbf{k}_{\mathbf{1}}\mathbf{\ }\mathbf{= \ }\left( \mathbf{\ 8,9\ }\mathbf{}\mathbf{\ }\mathbf{0,4469\ } \right)\mathbf{\bullet 1}\mathbf{0}^{\mathbf{- 4}}\left\lbrack \frac{\mathbf{N}}{\mathbf{m}} \right\rbrack$$

Zadanie 2: Badanie drgań obrotowych kuli tłumionych wiskotycznie

1. Obserwacja kolejnych wychyleń x_n po tej samej stronie położenia równowagi. Pomiar okresu drgań tłumionych wiskotycznie przez kilkakrotny pomiar czasu przypadającego na 10 okresów.

L.p	xn [dz]	10T1
1	150	32,60
2	180	32,68
3	175	32,71
4	165	33,01
5	150	32,82
6	140	32,90
7	135	33,14
8	130	33,02
9	120	31,76
10	115	33,00

$$\overset{\overline{}}{10T_{1}} = 32,764\ \ \ \ \ \ \ \overset{\overline{}}{T_{1}} = 3,2764$$

S_10T1 = 0, 141421 ≈ 0, 1415 S_T1 = 0, 01415

T₁ = S_T1 + T_syst. = 0, 11415 [s]

T₁=(3, 2±0, 1142)[s]

1. Wykres przedstawiający zależność „amplitudy” od czasu

2. Wykres przedstawiający zależność logarytmu amplitudy od czasu

3. Obliczenie stosunku tłumienia i dekrementu logarytmicznego obserwowanych drgań tłumionych

$$\delta = \frac{A_{n}}{A_{n + 1}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overset{\overline{}}{\delta} = \overset{\overline{}}{\frac{A_{n}}{A_{n + 1}}} \approx 1,0439\text{\ \ }$$

$$\Lambda = \ln\left( \frac{A_{n}}{A_{n + 1}} \right)\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overset{\overline{}}{\Lambda} = \operatorname{}{\approx 0,0429}$$

1. Obliczanie współczynników J,   k₁,   k₂

$J = \frac{2}{5}mR^{2}\ \ \ \ \ J = \frac{2}{5} \bullet 0,750 \bullet \left( 0,0285 \right)^{2} = 2,43675 \bullet 10^{- 4}$

$$k_{1} = \frac{4\pi^{2}J}{T^{2}}\text{\ \ \ \ \ }k_{1} = \frac{4 \bullet \left( 3,1416 \right)^{2} \bullet 2,43675 \bullet 10^{- 4}}{\left( 3,2764 \right)^{2}} \approx 8,9615 \bullet 10^{- 4}$$

$$k_{2} = \frac{2J\delta}{T_{1}}\text{\ \ \ \ \ }k_{2} = \frac{2 \bullet 2,43675 \bullet 10^{- 4} \bullet 1,0714}{3,2764} \approx 1,5937 \bullet 10^{- 4}$$

$$k_{2} = 2I \bullet \left( \frac{D}{T_{1}} + \frac{DT_{1}}{{T_{1}}^{2}} \right) = 5,2060 \bullet 10^{- 5}\left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$

Zadanie 3: Badanie drgań obrotowych kuli tłumionych tarciem kulombowskim

1. Obserwacja kolejnych amplitud x_n po tej samej stronie położenia równowagi

L.p.	xn [dz]
1	200
2	180
3	175
4	165
5	150
6	140
7	135
8	130
9	120
10	115

1. Wykres przedstawiający zależność „amplitudy” od czasu

2. Obliczanie momentu siły tarcia

$$M_{t} = \frac{k_{1}\varphi}{4} = \frac{k_{1}x}{8l}$$

$$x = \overset{\overline{}}{\left( x_{n} - x_{n + 1} \right)} \approx 9,4445\ \left\lbrack \text{dz} \right\rbrack$$

$k_{1}\ = \ \left( \ 8,9\ \ 0,4469\ \right) \bullet 10^{- 4}\left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack\text{\ \ \ \ \ \ \ }l = 0,93 \pm 0,001\ \lbrack m\rbrack$ dx = 0, 1 [dz]

$$M_{t} = \frac{8,9 \bullet 10^{- 4} \bullet 9,4445}{8 \bullet 0,93} = 1,1298 \bullet 10^{- 3}\ \lbrack N \bullet m\rbrack$$

$$M_{t} = M_{t} \bullet \left( \left| \frac{dk_{1}}{k_{1}} \right| + \left| \frac{\text{dx}}{x} \right| + \left| \frac{\text{dl}}{8l} \right| \right)$$

$$M_{t} = 1,1298 \bullet 10^{- 3} \bullet \left( \frac{0,4469\ }{8,9} + \frac{0,1\ }{9,4445\ } + \frac{1 \bullet 10^{- 3}}{8 \bullet 0,93} \right) = 0,8846 \bullet 10^{- 5}\ \lbrack N \bullet m\rbrack$$

M_t = (112,9±0,8846) • 10⁻⁵ [N•m]

4. Wnioski

Wszystkie części ćwiczenia zostały wykonane poprawnie o czym świadczą wykresy. Zaistniałe niepewności były spowodowane niedokładnością ludzkiego oka i przyrządów, które mieliśmy do dyspozycji. Otrzymane w sposób eksperymentalny wyniki posiadają stosunkowo dużą niepewność. Spowodowane jest to następującymi czynnikami:

• niepewności systematyczne wynikające z niezerowego tłumienia wewnątrz metalu drutu, na którym była zamocowana kula, nieidealności łożysk w pokrętle regulacyjnym, niedokładności przyrządów oraz pominięcia oporów powietrza

• niepewności przypadkowe objawiające się różnym, indywidualnym czasem reakcji osoby mierzącej podczas wykonywania pomiarów oraz precyzji w odczytywaniu danych.