Zadanie 4 Równanie różniczkowe y’=(2x-y)/x nazywa się równaniem jednorodnym. Krzywa całkowa tego równania przechodząca przez pkt (1,2), ma równanie: y=x³+x

y’= (2x-y)/x y’= 2-y/x

y/x = u y = ux

y’= x’u + xu’= u+u’x

u+u’x=2-u

(du/dx)x = 2-2u xdu = (2-2u)dx

du/[2(1-u)] = dx/x

-1/2ln|1-u| = ln|x| + ln|c|

ln|1-u| = ln|x|² + ln|c|²

1-u = - x²c² u = x²c² +1

y/x = x²c² +1 y = x³c² +x

2 = 1c² +1 c² =1

c = 1 y = x³ + x

Zadanie 5

Wzór y=x+c nie określa rozwiązania ogólnego równania xy”=(y²)² – 1 y’ = t t’ = y”

Xt’ = t² – 1 x(dt/dx)= t² – 1 dt=[dx (t² – 1)]x

dt/(√t²-1)=dx/x

ln|t²-√t²-1| = ln|x| + ln|c| t²-√t²-1 = xc

Zadanie 4

W interpretacji geometrycznej zagadnienie Cauchy’ego dla równania w postaci normalnej y’=f(x,y) oznacza, ze………………………

y’=f(x,y) oznacza, że przez każdy pkt wew przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa

Zadanie 5 Rozwiązanie szczególne równania y”+4y=2sinxcosx w postaci …………(nie wyliczać stałych)

y”+4y=2sinxcosx y”+4y=sin2x

r²+4=0 r²=-4 r=+-2

y=sin2x +cos2x y_o=c₁cos2x+c₂sin2x

y_s=xe^ox(Asin2x+Bcos2x)

y_s=x(Asin2x+Bcos2x)

Zadanie 4 Równanie różniczkowe y”+y’/x=4x² sprowadzamy przez podstawienie ……………… do równania liniowego pierwszego rzędu, które rozwiązujemy metodą uzmienniania, otrzymując jego rozwiązanie ogólne.

y”+y’/x=4x² u=y’ u’=y”

u’+u/x=4x² du/dx=4x²-u/x (du/dx)x+u = 4x³

Zadanie 5 Zagadnienie Cauchy’ego dla y⁽³⁾-2y”+y=e^x polega na rozwiązaniu całki szczególnej spełniającej warunek początkowy: y(x_o)=y_o y’(x_o)=y₁ y”(x_o)=y₂

Zadanie 4

Równanie różniczkowe y’=(1+e^y)/e^y⋅2x/(x²+1), jest typu zmiennych rozdzielonych i ma rozwiązanie…………………warunek y(1)=0 postaci:

y’=(1+e^y)/e^y⋅2x/(x²+1)

dy/dx= (1+e^y)/e^y⋅2x/(x²+1)

dy= (1+e^y)/e^y⋅2x/(x²+1)dx

dye^y /(1+e^y) =2x/(x²+1)dx

ln|1+e^y|=ln| x²+1|+ln|c|

1+e^y=cx²+c e^y=cx²+c-1 e⁰=c 1 +c-1 c=1 1+ e^y = x²+1 e^y = x² y=lnx²

Zadanie 4

Całka ogólna równanie x(dx/dy)-y=y² (jakiej…Bernulliego) jest określona równaniem…

xy’-y=y²/y², y’x/y²-1/y=y, z=1/y, z’=-1/y², -xz’-z=y², -xz’-z=0, -x(dz/dx) -z=0, (dz/dx)=-z/x,

-lnz=lnx+lnc, z=c/x, z’=(C’x-C)/x², -x(C’x-C)/x²-C/x=1, - C’/x²+C/x-C/x=1, -C’/x²=1,

Zadanie 5 Rozwiązaniami szczególnymi równania y^IV=0 są trzy funkcje określone wzorami… ich kombinacja liniowa jest całka ogólną tego równania ponieważ?

y’’’=0, r³=0, r=0,y₁=1, y₂=C₁x, y₃=C₂x²

Zadanie 4 Zagadnienie Couchy’ego dla równania y’’’=xy polega na…znalezieniu całki szczególnej spełniającej warunek początkowy y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y_1, y’’(x₀)=y₂

Zadanie 5 Przewidziec rozwiązanie szczególne

y’’’+y’=xe^-x+2 nie licząc stałych

y’’’+y’=xe^-x+2, r³+r=0, r(r²+1)=0, r=0 i r²=-i, y=C₁+C₂cosx+C₃sinx, y_s=e^-x(Ax+B), A=-1/2, B=1, y_s=ax,a=2, Y= e^-x(-1/2x+1)+2x + C₁+C₂cosx+C₃sinx

Zadanie 5 Rozwiązaniami szczególnymi równania y’’ +y’=x+e^-x można przewidzieć w postaci (nie liczyć stałej) y’’ +y’=x+e^-x ,y’’+y’=0, r²+r=0, r=0, r=-1, y=C₁+C₂e^-x, y=x(ax+b), Y= x(ax+b)+Cxe^-x

Zadanie 5

y₁=5cos3x i y₂=2sin3x są całki ogólne równania jednorodnego II rzędu równanie to jest postaci… uzasadnić

Zadanie 5 Funkcje o wzorach y₁= 5cos3x y₂ = 2sin3x są rozwiązaniem szczególnym (liniowo niezależne sprawdzić)równania różniczkowego 2 rzędu liniowego jednorodnego postaci y”+9y= 0

Rozwiązanie

W_x = |Y₁(x) y₂(x)|
|Y₁’(x) y₂’(x)|

W_x =|5cos3x 2sin3x| =30cos²3x + 30 sin² 3x =

30 ≠ 0⇒l

|-15sin3x 6cos3x| liniowo niezależne

y = C₁ cos3x + C₂sin3x bo r² + 9 = 0

Zadanie 8 Czy równanie y = 2x + c określa rozwiązanie ogólne równania xy” = (y’)² – 4. Uzasadnić . Warunek cauchyego y(x₀) = y₀, y’(x₀) = y₁ , y”(x₀) = y₂ spełnione polowicz.Y = 2x + C , y’= 2 , y” = 0 x*0 = 4 -4⇒ 0 =0 Odpowiedz , nie równanie ogólne jest funkcja postaci y = y (x , C₁ , C₂)

Zadanie Zagadnienie Cauch’ego dla równania y”=x²y polega na znalezieniu całki szczególnej , której spełnione warunki początkowe y(x₀)=y₀ , y’(x₀)=y₁

Zadanie y’”-y’=xsinx+2 y³-y=0

y(y²-1)=0 y=0 ,y=1, y=-1

C₁+C₂e^x+C₂e^-x y_s=xe^0xAx = Ax

y_s=xe⁰(Ax+B)cosx+x(Cx+D)sinx

Zadanie Sprawdzić, że 2 funkcje y=x , y=x^-1sa rozw szczególnym równania x²y”+xy’-y=0 x>0 Jego rozwiązanie ogólne jest więc w postaci ....... ponieważ W_(x)nie zero y₁ y₂ są liniowo nie zależne x²y”+xy’-y=0

y=x x²*0+x-x

y’=1 0=0

y”=0

y=x^-1 2x²*x^-3+(-x*x^-2)-x^-1=0

y’=-x^-2 0=0 stąd

y”=2x^-3 y=C₁x+C₂1/x

| x 1/x |

W(x)= |1 -(1/x²)| = -1/x-1/x=-2/x nie0 dlatego x>0