AKADEMIA GÓRNICZO–HUTNICZA
	KATEDRA ELEKTROTECHNIKI I ELEKTROENERGETYKI
	LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI TEORETYCZNEJ
Wydział: EAIiIB	Rok: 2013/2014
Kierunek studiów: Elektrotechnika	Grupa: 5
Temat ćwiczenia Prąd Stały	Zespół: C
Data wykonania: 7 XI 2013	Data oddania:

1. PRAWA KIRCHHOFFA oraz ZASADA SUPERPOZYCJI

Schemat układu:

Tabelka poniżej przedstawia zmierzone przez nas rezystancje oraz wartości wartości źródeł napięciowych:

R1 [Ω]	R2 [Ω]	R3 [Ω]	E1 [V]	E2 [V]
36.4	30	54.3	15	13

Znając powyższe wartości należało rozwiązać układ metodą potencjałów węzłowych oraz metodą oczkową:

METODA POTĘCJAŁÓW WĘZŁOWYCH

$$\left\lbrack \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} \right\rbrack V_{a} = \frac{E_{1}}{R_{1}} + \frac{E_{2}}{R_{2}}\text{\ \ \ \ \ \ \ } \Rightarrow \ V_{a} = \frac{\frac{E_{1}}{R_{1}} + \frac{E_{2}}{R_{2}}}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}} \approx 10.67\lbrack V\rbrack$$

V_a = U₃ = 10.67[V]

Z NPK:

E₁ − U₁ − U₃ = 0 ⇒ U₁ = E₁ − U₃ =  4.33[V]

E₂ − U₂ − U₃ = 0 ⇒ U₂ = E₂ − U₃ =  2.33[V]

Z Prawa Ohma:

$$I_{1} = \frac{U_{1}}{R_{1}} = 119\lbrack mA\rbrack$$

$$I_{2} = \frac{U_{2}}{R_{2}} = 78\lbrack mA\rbrack$$

$$I_{3} = \frac{U_{3}}{R_{3}} = 197\lbrack mA\rbrack$$

Tabela wartości teoretycznych obliczonych metodą węzłową:

		I1 [mA]	I2 [mA]	I3 [mA]	∑Ii [mA]	U1 [V]	U2 [V]	U3 [V]	U1+U3-E1 [V]	U2+U3-E2 [V]
1.	E1= 15 [V] E2= 13 [V]	119	78	197	394	4.33	2.33	10.67	0	0

METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH

$$\begin{bmatrix} R_{1} + R_{3} & - R_{3} \\ - R_{3} & R_{2} + R_{3} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_{a} \\ I_{b} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_{1} \\ {- E}_{2} \\ \end{bmatrix}$$

Rozwiązujemy układ metodą Cramera:

$$W = \left| \begin{matrix} R_{1} + R_{3} & - R_{3} \\ - R_{3} & R_{2} + R_{3} \\ \end{matrix} \right| = 4697.52$$

$W_{I_{a}} = \left| \begin{matrix} E_{1} & {- R}_{3} \\ {- E}_{2} & R_{2} + R_{3} \\ \end{matrix} \right| = 558.6$ $W_{I_{b}} = \left| \begin{matrix} R_{1} + R_{3} & E_{1} \\ {- R}_{3} & {- E}_{2} \\ \end{matrix} \right| = - 364.6$

$I_{a} = \frac{W_{I_{a}}}{W} = 119\lbrack mA\rbrack$ $I_{b} = \frac{W_{I_{b}}}{W} = - 78\lbrack mA\rbrack$

I₁ = I_a = 119[mA] I₂ = −I_b = 78[mA]

Z PPK:

I₁ + I₂ − I₃ = 0  ⇒ I₃ = I₁ + I₂ = 197[mA]

Tabela wartości teoretycznych obliczonych metodą węzłową:

		I1 [mA]	I2 [mA]	I3 [mA]	∑Ii [mA]	U1 [V]	U2 [V]	U3 [V]	U1+U3-E1 [V]	U2+U3-E2 [V]
1.	E1= 15 [V] E2= 13 [V]	119	78	197	394	4.33	2.33	10.67	0	0

POMIARY

Tabela pomiarów

		I1 [mA]	I2 [mA]	I3 [mA]	∑Ii [mA]	U1 [V]	U2 [V]	U3 [V]	U1+U3-E1 [V]	U2+U3-E2 [V]
1.	E1= 15 [V] E2= 13 [V]	-123	-74	-198	-395	4.51	2.2	10.7	0.21	-0.1

Zasada superpozycji - pomiary

2.	E1= 15[V] E2= 0 [V]	-270	172	-99	-197	9.71	-5.1	5.3	0.01	0.2
3.	E1= 0 [V] E2= 13 [V]	148	-246	-99	-197	-5.3	7.37	5.35	0.05	-0.28
4.	(2)+(3)	-122	-74	-198	-394	4.41	2.27	10.65	0.06	-0.27
5.	(1) -(4)	-1	0	0	-1	0.1	-0.07	0.05	0.15	0.26

1. CHARAKTERYSTYKI ŹRÓDŁA ENERGII

R1 [Ω]	R2 [Ω]	R3 [Ω]	E1 [V]	E2 [V]
36.4	54.3	30	15	13

METODA THEVENINA

Pierwsze liczymy rezystancję wzierną:

$$\mathbf{R}_{\mathbf{w}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{= 51.79\lbrack}\mathbf{\Omega}\mathbf{\rbrack}$$

Liczymy napięcie na zaciskach A i B:

Z NPK:

U_AB + U₃ − U₂ − E₂ = 0

I₀ = 0

Z prawa Ohma:

$$I_{1} = \frac{E_{1}}{R_{1} + R_{2}}$$

U₃ = R₃I₀ = 0[V]

$$U_{2} = R_{2}{I_{1} = R}_{2}\frac{E_{1}}{R_{1} + R_{2}}$$

Napięcie U_AB wynosi:

$$U_{\text{AB}} = E_{2} + R_{2}\frac{E_{1}}{R_{1} + R_{2}} = 21.98\lbrack V\rbrack$$

Źródło Thevenina jest to napięcie widziane z zacisków A i B:

$$\mathbf{E}_{\mathbf{T}}\mathbf{=}\mathbf{E}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\frac{\mathbf{E}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}\mathbf{= 21.98\lbrack V\rbrack}$$

Prąd teoretyczny: Napięcie teoretyczne:

$\mathbf{I =}\frac{\mathbf{E}_{\mathbf{T}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{w}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{\text{obc}}}}$ U=R_obcI

Tabela pomiarów

Lp	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
R0 [Ω]	∞	119.23	109.78	106.10	99.73	94.74	89.24	80.83	73.26	62.46	53.70	43.55	33.60	23.30	0
I [mA]	0	130	138	141	147	152	158	168	178	195	211	234	261	297	427
U [V]	0	15.5	15.15	14.96	14.66	14.4	14.1	13.58	13.04	12.18	11.33	10.19	8.77	6.92	0
P [mW]	0	2015	2090.7	2109.36	2155.02	2188.8	2227.8	2281.44	2321.12	2375.1	2390.63	2384.46	2288.97	2055.24	0

Tabela wartości teoretycznych

Lp	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
R0 [Ω]	∞	119.23	109.78	106.10	99.73	94.74	89.24	80.83	73.26	62.46	53.70	43.55	33.60	23.30	0
I [mA]	0	128.52	136.04	139.21	145.06	150.00	155.85	165.74	175.77	192.39	208.36	230.54	257.41	292.72	424.41
U [V]	0	15.32	14.93	14.77	14.47	14.21	13.91	13.4	12.88	12.02	11.19	10.04	8.65	6.82	0
P [mW]	0	1969.46	2031.69	2056.18	2098.66	2131.75	2167.66	2220.29	2263.37	2311.77	2331.34	2314.69	2226.28	1996.4	0

WYKRESY

niebieski – wartości zmierzone

pomarańczowy – wartości teoretyczne

P = f(R₀) U_AB = f(R₀)

I₀ = f(R₀) U_AB = f(I₀)

Wykresy wykonaliśmy wykorzystując program Matlab.

Przykładowy wykres wraz z kodem dołączamy w poniższym screen’ie:

WNIOSKI

1. PRAWA KIRCHHOFFA oraz ZASADA SUPERPOZYCJI

Odczytu rezystancji badanych oporników dokonywaliśmy przyrządem cyfrowym. Mimo, że pomiaru dokonywaliśmy metodą dwuprzewodową, a nie czteroprzewodową wynik jest akceptowalny ponieważ, rezystancje własną przewodów możemy pominąć, gdyż wyniki naszego pomiaru są rzędu kilkudziesięciu omów (36,4Ω ; 30Ω ; 54,3Ω).

Obliczeń teoretycznych dokonywaliśmy dwoma metodami: metodą potencjałów węzłowych i metodą prądów oczkowych. Otrzymane wyniki są porównywalne. Wyniki różnią się maksymalnie o wartość 0,2 [mA] (prąd I₂ ). Różnice, mimo tych samych danych w zadaniu, wynikają z różnych zaokrągleń kalkulatorów (rzędu 0,01). Prawie identyczne wyniki świadczą o poprawności obydwu metod.

Wartości w pomiarach są ujemne, ponieważ amperomierz był odwrotnie wpięty. Jeżeli wskazanie amperomierza jest wartością ujemną oznacza to, że prąd płynie w przeciwnym kierunku niż wpięty jest przyrząd pomiarowy. Nie wpływa to jednak na obliczenia o ile woltomierze i amperomierze są podpięte w zgodnej biegunowości. Należy uważać na to w jaki sposób podpina się przyrządy tak, żeby były podpięte zgodnie ze schematem, aby metoda superpozycji była prawdziwa.

Punkt 5 pokazany jest w celu unaocznienia faktu, że zasada superpozycji działa poprawnie- odjęcie od siebie wyników zmierzonych oraz wyników obliczonych pokazuje wartości równe zero lub bardzo bliskie zero - wyniki się wzajemnie pokrywają, twierdzenie zostało potwierdzone doświadczalnie.

1. CHARAKTERYSTYKI ŹRÓDŁA ENERGII

Poza wartościami obliczonymi umieszczonymi w powyższych tabelach, dokonywaliśmy także obliczeń teoretycznych wartości, które powinny wskazywać przyrządy pomiarowe. Obliczenia dokonywaliśmy w oparciu o metodę Thevenina.

Obliczone wartości są zbliżone do wartości zmierzonych. Oznacza to, że popełniliśmy niewielki błąd podczas obliczeń, który jest spowodowany przybliżaniem wartości w pomiarach oraz obliczeniach.

Z charakterystyki P = f(R₀) widzimy jak w raz ze wzrostem rezystancji rośnie moc jednak do pewnego punktu gdzie osiąga swoje maksimum – w późniejszym momencie wartość ta się stabilizuje i już nie rośnie, a wręcz spada. Dzieje się tak ze względu na dopasowanie mocy do odbiornika - każde źródło ma swoją rezystancję (impedancję) czyli obciążalność, z którą wydziela się ze źródła maksymalna moc – po dopasowaniu odbiornika wydajność źródła jest najlepsza, a straty są najmniejsze. W raz ze wzrostem rezystancji, maleje prąd. W naszym przypadku wartość dopasowania rezystancji wynosi około 50 Ω.

Charakterystyka U_AB = f(R₀) obrazuje nam zmianę napięcia w funkcji zmian rezystancji. Widzimy, że wzrost napięcia przy większych rezystancjach nie zmienia znacząco swojej wartości jak to miało miejsce przy początkowych wartościach rezystancji.

Charakterystyka I₀ = f(R₀) jest funkcją wykładniczą i obrazuje zmianę prądu w funkcji zmian rezystancji. Potwierdza się, że w raz ze wzrostem rezystancji obciążenia maleje prąd zgodnie z prawem Ohma.

Charakterystyka U_AB = f(I₀) obrazuje nam malejące napięcie w funkcji wzrostu prądu I₀, który maleje liniowo.

Wszystkie charakterystyki prócz U_AB = f(I₀) są charakterystykami nieliniowymi zgodnie z prawem Ohma – w raz ze wzrostem rezystancji, napięcie na niej wzrasta a prąd maleje.