Planimetria

Pojęcia pierwotne

Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są to elementarne, czyli podstawowe figury geometryczne, których nie definiuje się. Każdy z nas wyobraża sobie jakoś te obiekty i trudno je jednoznacznie określić, używając pojęć już zdefiniowanych. W świecie rzeczywistym nie znajdziemy idealnego punktu, prostej ani płaszczyzny. Bez trudu wskażemy jednak ich modele.

Punkt to figura, która żadnego wymiaru nie posiada. Punkty oznaczamy wielkimi literami A, B, C, ...

Wśród linii wyróżniamy proste, łamane i krzywe. Linia prosta to pojęcie dla każdego zrozumiałe. Linia, która nie jest prostą, ale składa się z prostych części, nazywa się łamaną, każda zaś linia, która nie jest prostą i nie składa się z części prostych, nazywa się krzywą.

O prostej możemy powiedzieć, że składa się z nieskończenie wielu punktów. Prostą oznaczamy małymi literami k, l, m, ...

Jeśli na prostej obierzemy dowolny punkt A, to punkt ten dzieli tą prostą na dwie części. Każda z tych części zawierać będzie nieskończoną ilość punktów i każda z nich nazywa się półprostą. Punkt A nazywamy początkiem półprostej.

Geometria analityczna

Prostokątny układ współrzędnych

Przez dowolny punkt O na płaszczyźnie poprowadźmy dwie osie wzajemnie prostopadłe. Na obu osiach wprowadzamy skale równomierne o początku w punkcie O i otej samej jednostce długości. Układ tak zbudowanych osi nazywamy układem współrzędnych prostokątnych na płaszczyźnie. Punkt ich przecięcia O nazywamy początkiem współrzędnych, a osie nazywamy osiami współrzędnych.

Prostokątny układ współrzędnych ma też inną nazwę - kartezjański układ współrzędnych. Nazwa ta pochodzi od Kartezjusza (Rene Descartes, 1596 - 1650) znakomitego matematyka, przyrodnika, filozofa, który był prekursorem geometrii analitycznej. Leganda głosi, że Kartezjusz jako dziecko był bardzo chorowity i często całe dnie musiał leżeć w łóżku, czas ten wykorzystując na myślenie. Kiedyś obserwując muchę chodzącą po suficie, opisał jej drogę za pomocą równania matematycznego.

Prostokątny układ współrzędnych to układ współrzędnych, który na płaszczyźnie tworzą dwie, a w przestrzeni trzy wzajemnie prostopadłe proste, miejsce ich przecięcia jest początkiem układu współrzędnych.

Prosta pozioma i pionowa są osiami liczbowymi. Oś poziomą OX nazywamy osią odciętych, oś pionową OY nazywamy osią rzędnych. Osie przecinają się w punkcie O, zwanym początkiem układu współrzędnych. Osie dzielą płaszczyznę na cztery części zwane ćwiartkami: I, II, III, IV.

Orientacja płaszczyzny

Jeśli obrót osi OX dookoła punktu O o 90° doprowadzający do pokrycia się jej z osią OY odbywa się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, to mówimy, że układ jest prawoskrętny (dodatni kierunek obrotu), a jeśli zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to lewoskrętny.

O płaszczyźnie, na której ustalono kierunek dodatni obrotu, mówimy, że została zorientowana.

Współrzędne punktu na płaszczyźnie

Każdemu punktowi P na płaszczyźnie możemy przyporządkować jednoznacznie parę liczb (x, y), które nazywamy współrzędnymi. Aby określić współrzędne punktu na płaszczyźnie znajdujemy rzuty prostopadłe punktu P odpowiednio na osie OX i OY i odczytujemy liczby x i y, które tym rzutom odpowiadają.

Para (x, y) jest parą uporządkowaną, jako pierwszą wyróżniamy oś OX, a jako drugą oś OY. Oczywiście przyporządkowanie między punktami płaszczyzny i parami liczb (x, y) jest wzajemnie jednoznaczne. Punkt P o współrzędnych x i y zapisujemy P(x, y).

Wektory

Wielkości, dla określenia których wystarczy podanie ich wartości liczbowych, nazywamy wielkościami skalarnymi lub skalarami. Są to między innymi: długość odcinka, masa, objętość. Wielkości, dla jednoznacznego określania których trzeba podać ich wartość liczbową, kierunek i zwrot nazywamy wielkościami wektorowymi lub krótko wektorami. Wektorami są więc: prędkość, przesunięcie, siła. Wektory to odcinki skierowane, czyli takie, w których wyróżniono początek i koniec.

Wektory przedstawia się na dwa sposoby. Pierwszy to ujęcie graficzne, gdzie wektor przedstawiamy przez narysowanie strzałki na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Drugi sposób to ujęcie analityczne, wówczas wektor to układ dwóch liczb - współrzędnych na płaszczyźnie (lub trzech liczb w przestrzeni). Zaletą ujęcia graficznego jest lepsze działanie na wyobraźnię, zaletą ujęcia analitycznego jest łatwość obliczeń matematycznych.

Wektor to uporządkowana para punktów. Jeden z nich jest początkiem (punktem zaczepienia), drugi końcem wektora. Posiada zwrot, kierunek i wartość. Kierunkiem wektora nazywamy prostą, na której ten wektor leży. Zwrot określa nam, początkek i koniec wektora. Wartość wektora to jego długość określana w jednostkach.

Wektor o początku A i końcu B oznaczamy: AB  Wektory oznaczamy często również małymi literami: u,w,v. Długość (wartość) wektora AB oznaczamy |AB|

Dwa wektory leżące na jednej prostej lub na porostych równoległych nazywamy wektorami kolinearnymi (równoległymi). Wektory równoległe mogą mieć ten sam zwrot. Wtedy mówimy, że są zgodnie kolinearne. Jeżeli mają różne zwroty, mówimy o nich, że są niezgodnie kolinearne.

Wektory zgodnie kolinearne i mające tę samą długość nazywamy wektorami równymi, natomiast niezgodnie kolinearne o tej samej długości - wektorami przeciwnymi.

W wyniku przesunięcia równoległego wektora otrzymujemy wektor równy wyjściowemu. Położenie punktu zaczepienia nie odgrywa więc roli. Klasę wektrorów równoległych o tej samej długości i zwrocie (tzn. równych) nazywamy wektorem swobodnym.
Wektor, dla którego ważny jest punkt zaczepienia, tzn. punkt początkowy i końcowy, nazywamy wektorem związanym (zaczepionym). Wektor, którego długość jest równa jednostce, nazywamy wersorem.

Rzutem prostokątnym wektora na oś nazywamy wektor, którego początek jest rzutem początku, a koniec rzutem końca danego wektora.

Współrzędne i długość wektora

Dany jest wektor u na osi liczbowej. Miarą wektora u względem osi nazywamy liczbę równą długości tego wektora opatrzoną znakiem + lub -, w zależności od tego czy jest on zgodnie, czy niezgodnie kolinearny z osią.

Dany jest wektor u. Miary rzutów wektora u na osie prostokątnego układu współrzędnych względem tych osi nazywamy współrzędnymi wektorau.

Rozkład wektora na wersory osi

Niech i, j, k, będą wersorami odpowiednio osi OX, OY i OZ.

Jeśli u=[u_x,u_y,u_z], to u=u_xi+u_yj+u_zk

Wektor jest jednoznacznie określony wtedy, gdy znana jest trójka liczb u_x, u_y, u_z. W przypadku wektorów znajdujących się na płaszczyźnie dowolny wektor może być przedstawiony za pomocą dwóch jego współrzędnych u_x, u_y.

Współrzędne wektora na płaszczyźnie

Jeżeli dane są punkty A(x_a; y_a) i B(x_b; y_b) na płaszczyźnie, to współrzędne wektora AB obliczamy odejmując od siebie odpowiednie współrzędne końca i początku danego wektora.
AB=[x_b−x_a;y_b−y_a]=[x;y]
Długość wektora |AB| =\(x_b−x_a) ²+(y_b−y_a) ²=\x²+y²

Współrzędne wektora w przestrzeni

Jeżeli dane są punkty A(x_a; y_a; z_a) i B(x_b; y_b; z_b) w przestrzeni, to współrzędne wektora AB analogicznie obliczamy odejmując od siebie odpowiednie współrzędne końca i początku danego wektora.

AB=[x_b−x_a;y_b−y_a;z_b−z_a]=[x;y;z] \
Długość wektora |AB| =\(x_b−x_a) ²+(y_b−y_a) ²+(z_b−z_a) ²=\x²+y²+z²

Dół formularzDziałania na wektorach

Suma wektorów

Aby dodać do siebie dwa wektory u i w, należy obrać sobie dowolny punkt. W punkcie A zaczepiamy początek wektora równego wektorowi u. Jego koniec znajuduje się w punkcie B. W punkcie B umieszczamy początek wektora równego wektorowi w. Jego koniec znajduje się w punkcie C. Wektor AC równy jest wektorowi v=u+w.

Wektorami składowymi danego wektora nazywa się wektory, których suma jest równa danemu wektorowi. Wektor będący sumą kilku wektorów nazywany jest wektorem wypadkowym.

Różnica wektorów

Różnicą wektorów u i w nazywamy sumę wektorów u i przeciwnego do w.
v=u−w=u+(−w)

Mnożenie wektora przez liczbę (skalar)

Iloczyn danego wektora u przez skalar s, to wektor v=s·u o tym samym kierunku, ale długości stanowiącej iloczyn długości wektora przez wartość skalara s i zwrocie zgodnym ze zwrotem wektora jeśli s > 0 i przeciwnym gdy s < 0.

Iloczynem dowolnego wektora i liczby s = 0 jest wektor zerowy, a także iloczynem wektora zerowego i dowolnej liczby jest wektor zerowy.

Tak określone mnożenie spełnia podstawowe własności algebraiczne - jest łączne i rozdzielne.

Działania na płaszczyźnie

Jeżeli u=[u_x;u_y]  i  w=[w_x;w_y], to u+w=[u_x+w_x;u_y+w_y]

u−w=[u_x−w_x;u_y−w_y]

Jeżeli u=[u_x;u_y]  i  k∈R, to k·u=[k·u_x;k·u_y]

Kąt między wektorami

Kąt między nierównoległymi wektorami u i w określamy następująco

Z dowolnego punktu O kreślimy wektory OA i OB równe odpowiedznie wektorom u i w. W płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory OA i OB otrzymujemy dwa kąty o miarach łukowych odpowiednio α i 2π - α. Ten z otrzymanych kątów, którego miara jest mniejsza od kąta półpełnego nazywamy kątem między wektorami u i w.

Kątem między dwoma niezerowymi wektorami u i w nazywamy kąt wypukły, którego jedno ramię ma kierunek i zwrot wektora u, a drugie ramię ma kierunek i zwrot wektora w.

Kąt między wektorami zgodnie równoległymi jest równy 0, a między wektorami niezgodnie równoległymi jest równy π.

Jeśli jedno ramię kąta wyróżnimy jako początkowe, a drugie jako końcowe, to taki kąt nazywa się kątem skierowanym. Kąt skierowany, którego ramieniem początkowym jest wektor u, a końcowym w, oznaczamy ∠(u,w).

Miara kąta skierowanego może przyjmować wartości dodatnie lub ujemne. Zależy to od zwrotu kąta skierowanego, czyli od kierunku w którym należy obrócić ramię początkowe, aby otrzymać ramię końcowe. Wartość dodatnią przypisuje się kątom o zwrocie zgodnym z kątem o ramieniu początkowym na dodatniej półosi OX układu współrzędnych i ramieniu końcowym na dodatniej półosi OY. Oznacza to obrót ramienia końcowego przeciwnie do ruchu wskazówek zegara w stosunku do położenia ramienia początkowego.

Kątem między wektorem a osią nazywamy kąt między wektorem a wersorem osi.

Płaszczyzna

Jeżeli u=[u_x;u_y]  i  w=[w_x;w_y],

$$\cos{\alpha =}\ \frac{u_{x}w_{x} + \ u_{y}w_{y}}{\left| u \right||w|}$$

Przestrzeń

Jeżeli u=[u_x;u_y;u_z]  i  w=[w_x;w_y;w_z],

$$\cos{\alpha =}\ \frac{u_{x}w_{x} + \ u_{y}w_{y}\ + \ u_{z}w_{z}}{\left| u \right||w|}$$

Liniowa zależność wektorów

Wektory u₁,u₂, ...,u_n nazywamy wektorami liniowo zależnymi, jeżeli istnieje n liczb k₁,k₂,...,k_n, z których przynajmniej jedna jest różna od zera, zakich, że
k₁u₁+k₂u₂+...+k_nu_n=0

Dwa wektory, z których jeden powstaje z drugiego przez pomnożenie przez jakąś liczbę nazywamy liniowo zależnymi. Z definicji mnożenia wektora przez liczbę bezpośrednio wynika, że dwa wektory niezerowe liniowo zależne są równoległe. Zachodzi także twierdzenie odwrotne, tzn. każde dwa niezerowe wektory równnoległe są liniowo zależne.

Wektor ∑k_iu_i, gdzie k_i, są liczbami rzeczywistymi, nazywamy kombinacją liniową wektorówu₁,u₂, ...,u_n.

Wektory kolinearne są liniowo zależne i na odwrót, wektory liniowo zależne są kolinearne. Na płaszczyźnie każde trzy wektory są liniowo zależne.

Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym wektorów u i w nazywamy liczbę równą iloczynowi długości obu wektorów i kosinusa kąta jaki tworzą. uow=|u||w|cos∠(u,w)

Iloczyn skalarny można zinterpretować jako wartość równą iloczynowi długości jednego wektora i miary rzutu drugiego wektora na kierunek wyznaczony przez pierwszy wektor. Iloczyn skalarny jest przemienny łączny i rozdzielny względem dodawania.

Z określenia iloczynu skalarnego wynika, że dwa wektory niezerowe są wtedy i tylko wtedy prostopadłe, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero.

Płaszczyzna

Jeżeli u=[u_x;u_y]  i  w=[w_x;w_y],

to uow=u_xw_x+u_yw_y

Korzystając z definicji iloczynu skalarnego można wyznaczyć kąt między wektorami ze wzoru:

$$cos\angle\left( v,w \right) = \frac{u \bullet w}{\left| u \right||w|} = \frac{u_{x}w_{x} + \ u_{y}w_{y}}{\sqrt{u_{x}^{2} + \ u_{y}^{2}} \bullet \ \sqrt{w_{x}^{2} + \ w_{y}^{2}}}$$

Iloczyn wektorowy

Mnożenie wektorowe jest to operacja, której wynikiem jest nowy wektor.

Iloczynem wektorowym wektorów niezerowych u i w nazywamy wektor v taki, że:
1.v=|u||w|sin∠(u,w),
2. v jest wektorem prostopadłym do u i do w,
3. Jego zwrot jest taki, że układ wektorów u, w, v, ma orientacje zgodną z przyjętą orientacją przestrzeni.

Iloczyn wektorowy oznaczamy u×w=v.

Wartość iloczynu wektorowego jest równa iloczynowi długości pierwszego wektora i długości rzutu drugiego wektora na kierunek prostopadły do pierwszego wektora.

Długość wektora otrzymanego jako iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest równy polu równoległoboku rozpiętego na tych wektorach.

Wektor zerowy otrzymamy wówczas, gdy jeden z wektorów wyjściowych jest zerowy lub gdy wyjściowe wektory są równoległe.

Z warunku 1. otrzymujemy warunek równoległości wektorów u i w, a mianowicie
u×w=0

Własności iloczynu wektorowego

u×w=−(w×u),
k(u×w)=(ku)×w=u×(kw),
(u+w)×v=u×v+w×v.

Jeżeli u=[u_x;u_y;u_z]  i  w=[w_x;w_y;w_z],

to

$\mathrm{u \times w}\mathrm{\ = \ }\begin{matrix} i & j & k \\ u_{x} & u_{y} & u_{z} \\ w_{x} & w_{y} & w_{z} \\ \end{matrix} = \left( u_{y}w_{z} - \ u_{z}w_{y} \right)\ i - \left( u_{x}w_{z} - \ u_{z}w_{x} \right)j - \left( u_{x}w_{y} - \ u_{y}w_{x} \right)k$

Iloczyn mieszany

Iloczynem mieszanym (wektorowo-skalarnym) wektorów

u=[u_x;u_y;u_z],  w=[w_x;w_y;w_z],  v=[v_x;v_y;v_z]
nazywamy liczbę (u×w)ov

We współrzędnych iloczyn mieszany wyraża się następująco po

$\left( u \times w \right) \circ v = \ \begin{matrix} u_{x} & u_{y} & u_{z} \\ w_{x} & w_{y} & w_{z} \\ v_{x} & v_{y} & v_{z} \\ \end{matrix} = \ v_{x}u_{y}w_{z} - \ v_{x}u_{z}w_{y} - \ v_{y}u_{x}w_{z} + \ v_{y}u_{z}w_{y}$ + v_zu_xw_y −  v_zu_yw_x

Iloczynu mieszanego trójki wektorów można użyć do obliczenia objętości równoległościanu zbudowanego na tych wektorach.

Prosta na płaszczyźnie

Pojęcie linii prostej jest zrozumiałe dla każdego, w klasycznej geometrii euklidesowej, prosta jest tzw. pojęciem pierwotnym, nie definiowanym formalnie. Można ją jednak interpretować za pomocą pojęć wykraczających poza geometrię, np. jako zbiór punktów spełniających pewne równanie.

W geometri analitycznej prostą określamy jako zbiór punktów spełniających pewne równanie liniowe. Równanie to można zapisać w różnej postaci.

Równanie kierunkowe prostej

Jeśli prosta nie jest równoległa do osi OY, to równanie prostej można zapisać w tak zwanej postaci kierunkowej y = mx + b, gdzie m i b to liczby rzeczywiste.

Parametr m = tgφ nazywany jest współczynnikiem kierunkowym, ponieważ wyznacza on kąt nachylenia tej prostej do osi OX. Parametr b jest rzędną punktu, w którym prosta przecina oś rzędnych.

Równanie y = mx + b wyznacza prostą o współczynniku kierunkowym m i wyrazie wolnym b - nazywamy je równaniem kierunkowym prostej.

Równanie ogólne prostej

W prostokątnym układzie współrzędnych weźmy pod uwagę punkt P(x₁, y₁) i wektor niezerowy v=[A,B]. Ponieważ wektor v jest niezerowy, więc jego współrzędne A i B nie mogą jednocześnie być równe zeru. Istnieje jedna i tylko jedna prosta l przechodząca przez punkt P i prostopadła do wektora v określona równaniem
Ax + By + C = 0.

Dla A, B, C ∈ R, przy czym A i B nie są jednocześnie równe zeru, prosta to zbiór punktów, których współrzędne spełniają zależność: Ax + By + C = 0

Liczby A, B, C nazywamy współczynnikami liczbowymi równania prostej.

Wektor o współrzędnych [-B, A] jest wektorem kierunkowym prostej. Jest on do tej prostej równoległy. Wektor [A, B] jest prostopadły do prostej.

Jeśli A = 0, to prosta jest równoległa do osi OX, jeśli B = 0 to prosta jest równoległa do osi OY, jeśli C = 0, to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Gdy B = 0, równanie Ax + By + C = 0 przybiera postać Ax + C = 0, a ponieważ A ≠ 0, można je napisać w postaci

$$x = \ - \frac{C}{A}$$

Przedstawia ono prostą równoległą do osi OY i przecinającą oś OX w punkcie o odciętej $- \frac{C}{A}$

Gdy B ≠ 0, równanie Ax + By + C = 0 można napisać w postaci

$$y = \ - \frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$$

Jest to równanie kierunkowe prostej, gdzie

$m = \ - \frac{A}{B}$ i $\ \ b = \ - \frac{C}{B}$

Równanie parametryczne i kanoniczne prostej

Rozważmy prostą l, która przechodzi przez punkt P₀(x₀, y₀) i jest równoległa do wektora w=[m,n]. Przenieśmy wektor w w taki sposób, aby jego początek znalażł się w punkcie P₀, wtedy wektor ten będzie leżał na prostej l. Punkt P(x, y) leży na prostej l wtedy i tylko wtedy, gdy wektor P₀P=[x−x₀,y−y₀] jest iloczynem wektora w przez pewną liczbę t, tzn. jeżeli

x − x₀ = mt                        y − y₀ = nt

lub

x =  x₀ +  mt                       y =  y₀ +  nt

Równania te nazywamy równaniami parametrycznymi poszukiwanej prostej l, gdzie zmienny parametr t należy do zbioru liczb rzeczywistych.

W równaniach tych wynika, że t = 0 odpowiada na prostej l punkt P₀(x₀, y₀), czyli początek wektora w, a wartości t = 1 odpowiada koniec wektora w.
W ten sposób równania parametryczne ustalają na prostej l skalę równomierną dla zmiennego parametru t.

W przypadku, gdy wektor w jest wektorem jednostkowym w równaniach parametrycznch prostej, parametr t oznacza odległość punktu P(x, y) ze znakiem + lub - prostej od punktu stałego.

Równanie kanoniczne prostej

Warunek równoległości wektórów PP₀ i w można zapisać we współrzędnych:

$$\frac{x - \ x_{0}}{m} = \ \frac{y - \ y_{0}}{n}$$

Jest to równanie kanoniczne prostej l.

Równanie odcinkowe prostej

Weźmy pod uwagę prostą przechodzącą przez punkty A(a, 0) i B(0, b).

Stosując wzór na równanie prostej przez dwa punkty możemy napisać równanie rozważanej prostej w postaci:

$$\frac{y}{b} = \ \frac{x - a}{- \ a}$$

tzn. w postaci

$$\frac{y}{b} = \ - \ \frac{x}{a} + \ 1$$

$\frac{x}{a} + \ \frac{y}{b} = 1$

Tę postać nazywamy równaniem odcinkowym prostej. Współczynnik a oznacza tutaj odciętą punktu przecięcia prostej z osią OX, a współczynnik b rzędną punktu przecięcia prostej z osią OY.

Proste równoległe do osi współrzędnych

Równanie x = a nazywamy równaniem prostej równoległej do osi OY i przecinającej oś OX w punkcie o odciętej x = a.

Podobnie równanie y = b wyznacza prostą równoległą do osi OX i przcina oś OY w punkcie o rzędnej b, przy czym x może przybierać wszystkie wartości od -∞ do +∞.

Współczynnik kierunkowy prostej

Jeżeli $\varphi\ \neq \ \frac{1}{2}$π, to liczbę m = tgφ nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, nachylonej do osi OX pod kątem φ. Jeżeli kąt φ jest ostry, to współczynnik kierunkowy jest dodatni, jeśli kąt φ jest rozwarty, to współczynnik kierunkowy jest ujemny.

Równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych
Niech prosta l przechodząca przez początek układu współrzędnych będzie nachylona do osi OX pod kątem $\varphi \neq \frac{1}{2}$ π. Punkt P(x, y) leży wtedy i tylko wtedy na prostej l, gdy jego wpsółrzędne spełniają warunek y = mx, gdzie m = tgφ.

Równanie y = mx nazywamy równaniem prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i mającej współczynnik kierunkowy m.

Równanie to nie obejmuje osi OY, której równanie ma postać x = 0.
Równanie prostej przechodzącej porzez początek układu współrzędnych ma więc postać x = 0, bądź y = mx, gdzie m może przybierać dowolną wartość rzeczywistą.

Proste przechodzące przez dany punkt

Mając dany punkt na płaszczyźnie nie jesteśmy w stanie wyznaczyć równania prostej przchodzącej przez ten punkt, bo może być ich nieskończenie wiele. Weźmy więc pod uwagę prostą o danym współczynniku kierunkowym, która przechodzi przez dowolny punkt płaszczyzny. W takim wypadku istnieje tylko jedna taka prosta, której równanie możemy wyznaczyć.

Jeżeli prosta y = mx + b przechodzi przez punkt A(x₁, y₁), to współrzędne punktu A spełniają równanie tej prostej, zatem y₁ = mx₁ + b.

Z równości tej możemy wyliczyć jeden ze współczynników, np. b. Po podstawieniu otrzymanej wartości na b, równanie przybierze postać

y - y₁ =m(x - x₁) , y = m(x - x₁) + y₁.

Jest to równanie prostej przechodzącej przez punkt A(x₁, y₁) i posiadającej współczynnik kierunkowy m.

Dla różnych wartości m równanie daje nam różne proste przechodzące przez punkt A(x₁, y₁). Z równania tego nie otrzymamy jednak prostej przechodzącej przez punkt A(x₁, y₁) prostopadłej do osi OX, jej równanie ma postać x = x₁.

Zbiór wszystkich prostych przechodzących przez dany punkt nazywamy pękiem prostych, a dany punkt środkiem pęku. Środek pęku może być zadany wprost lub jako punkt przecięcia dwóch prostych.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. Jeśli mamy dane dwa różne punkty na płaszczyźnie A₁(x₁, y₁) i A₂(x₂, y₂), możemy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te punkty.

Szukana prosta przechodzi przez punkt A₁(x₁, y₁), więc jej równanie można napisać w postaci
y - y₁ = m(x - x₁) ,

Ponieważ punkt A₂(x₂, y₂) leży na szukanej prostej, więc musi być spełniona równość
y₂ - y₁ = m(x₂ - x₁) .

Przyapdek 1. Niech x₁ ≠ x₂

Punkty A₁(x₁, y₁) i A₂(x₂, y₂) nie leżą na prostej równoległej do osi OY. Wówczas mamy

$m = \ \frac{y_{2} - \ y_{1}}{x_{2} - \ x_{1}}$,
skąd po podstawieniu do równania y - y₁ = m(x - x₁) współczynnika kierunkowego otrzymujemy

$y - \ y_{1} = \ \frac{y_{2} - \ y_{1}}{x_{2} - \ x_{1}}(x - x_{1})$,
lub, gdy y₁ ≠ y₂

$\frac{y - \ y_{1}}{y_{2} - \ y_{1}} = \ \frac{x - \ x_{1}}{x_{2} - \ x_{1}}$.
Jest to szukane równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.

Przypadek 2. Niech x₁ = x₂

Punkty A₁(x₁, y₁) i A₂(x₂, y₂) leżą na prostej równoległej do osi OY. Wówczas równanie tej prostej ma postać x - y₁ = 0 .

Oba przypadki pierwszy i drugi można połączyć w jednym wzorze
(y₂ - y₁)(x₂ - x₁) - (x₂ - x₁)(y - y₁) = 0 .

Odległość punktu od prostej

Odległość punktu P od prostej l jest to długość odcinka, łączącego punkt P z punktem prostej l, prostopadłego do danej prostej.

Niech będzie dana prosta l w postaci ogólnej l: Ax + By + C = 0, oraz punkt P(x₀, y₀) nie leżący na tej prostej.

Odległość punktu P(x₀, y₀) od prostej l: Ax + By + C = 0   wyraża się wzorem

$$d = \ \frac{|Ax_{0} + \ By_{0} + \ C|}{\sqrt{A^{2} + \ B^{2}}}$$

Jeżeli punkt P(x₀, y₀) leży na prostej l, to odległość daje wartość zero.

Wzajemne położenie dwu prostych

Dwie proste na płaszczyźnie mogą się przecinać tylko w jednym punkcie lub wcale się nie przecinać. W przypadku, gdy proste nie przecinają się, to są równoległe lub pokrywają się. Szczególnym przypadkiem dwóch prostych przecinających się jest przypadek prostopadłości tych prostych.

Dla prostych k, l danych równaniami

k :  A₁x +  B₁y + C₁ = 0 

l : A₂x + B₂y +  C₂ = 0

Niech

$$W = \begin{matrix} A_{1} & B_{1} \\ A_{2} & B_{2} \\ \end{matrix} = \ A_{1}B_{2} - \ A_{2}B_{1}$$

$$W = \begin{matrix} B_{1} & C_{1} \\ B_{2} & C_{2} \\ \end{matrix} = \ B_{1}C_{2} - \ B_{2}C_{1}$$

$$W = \begin{matrix} C_{1} & A_{1} \\ C_{2} & A_{2} \\ \end{matrix} = \ C_{1}A_{2} - \ C_{2}A_{1}$$

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by proste k i l przecinały się, jest, by W ≠ 0 (układ oznaczony). Punkt przecięcia się prostych k i l ma współrzędne

$$(\frac{W_{1}}{W},\frac{W_{2}}{W})$$

Jeśli W = 0, oraz W₁ ≠ 0, to zachodzi także W₂ ≠ 0 i proste k, l są równoległe.

Jeśli W = W₁ = 0, to również W₂ = 0 i proste k i l pokrywają się (układ nieoznaczony).
Współczynniki prostych spełniają wówczas zależność:

$$\frac{A_{1}}{A_{2}} = \ \frac{B_{1}}{B_{2}} = \ \frac{C_{1}}{C_{2}}$$

Warunek równoległości prostych

k: A₁x + B₁y + C₁ = 0,   l: A₂x + B₂y + C₂ = 0

k || l ⇔ A₁B₂ - A₂B₁ = 0

k: y = m₁x + k₁,   l: y = m₂x + k₂

k || l ⇔ m₁ = m₂

Warunek prostopadłości prostych

k: A₁x + B₁y + C₁ = 0,   l: A₂x + B₂y + C₂ = 0

k ⊥ l ⇔ A₁A₂ + B₁B₂ = 0

k: y = m₁x + k₁,   l: y = m₂x + k₂

$$k\bot l \leftrightarrow \ m_{1\ } = \ - \frac{1}{m_{2}}$$

Kąt między dwiema prostymi

Kątem między prostymi nazywamy mniejszy z wyznaczonych przez nie kątów. Jest on nie większy od kąta prostego.

Niech będą dane dwie proste  k: y = m₁x + k₁,   i  l: y = m₂x + k₂

Z rysunku otrzymujemy α + φ = β stąd φ = β – α

$$tg\varphi = tg\left( \beta - \ \alpha \right) = \ \frac{tg\beta - tg\alpha}{1 + tg\alpha tg\beta} = \ \frac{m_{2} - \ m_{1}}{1 + \ m_{1}m_{2}}$$

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by proste były równoległe, jest, by tgφ = 0, tzn. m₁ =  m₂.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by proste były prostopadłe, jest, by tgφ był nieokreślony, tzn. 1 +  m₁m₂ = 0.

Kąt między prostymi k i l zadanymi równaniami odpowiednio:
k: A₁x + B₁y + C₁ = 0,

l: A₂x + B₂y + C₂ = 0,

gdzie A₁² + A₁² > 0 i A₂² + A₂² > 0, daje się wyznaczyć ze wzorów:

$$tg\varphi = \ \frac{A_{1}B_{2} - \ A_{2}B_{2}}{A_{1}A_{2} + \ B_{1}B_{2}}$$

$$cos\varphi = \frac{A_{1}A_{2} + \ B_{1}B_{2}}{\sqrt{A_{1}^{2} + \ B_{1}^{2}}\sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2}}}$$

$$sin\varphi = \ \frac{A_{1}B_{2} - \ A_{2}B_{1}}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2}}\sqrt{A_{2}^{2} + \ B_{2}^{2}}}$$

Punkt przecięcia dwóch prostych

Gdy proste k i l nie są równoległe, to przecinają się one w pewnym punkcie P. Punkt przecięcia P leży tak na prostej k, jak i na prostej l, zatem jego współrzędne muszą spełniać jednocześnie równia obu prostych. Współrzędne punktu P otrzymujemy rozwiązując układ równań

A₁x +  B₁y + C₁ = 0

A₂x +  B₂y +  C₂ = 0

A₁x +  B₁y =   − C₁

A₂x +  B₂y =   − C₂

Mamy układ równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi, które możemy rozwiązać metodą wyznaczników.

$$W = \begin{matrix} A_{1} & B_{1} \\ A_{2} & B_{2} \\ \end{matrix} = \ A_{1}B_{2} - \ A_{2}B_{1}$$

$$W = \begin{matrix} {- C}_{1} & B_{1} \\ {- C}_{2} & B_{2} \\ \end{matrix} = \ {( - C}_{1})B_{2} - \ {( - C}_{2})B_{1}$$

$$W = \begin{matrix} A_{1} & {- C}_{1} \\ A_{2} & {- C}_{2} \\ \end{matrix} = \ A_{1}{( - C}_{2}) - \ A_{2}{( - C}_{1})$$

Zakładaliśmy że proste k i l nie są równoległe, więc W ≠ 0, a układ równań jest oznaczony i ma dokładnie jedno rozwiązanie:

$$x = \ \frac{W_{x}}{W}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y = \ \frac{W_{y}}{W}$$

gdzie x i y są współrzędnymi punktu P przecięcia się prostych k i l.