Wydział EAIiE |
Grzegorz Czarny Łukasz Cieszkowski |
Rok I |
Grupa I |
Zespół 11 |
|---|---|---|---|---|
Pracownia Fizyczna I |
Temat: MODUŁ YOUNGA |
Nr ćwiczenia 11 |
||
| Data wykonania | Data oddania | Zwrot do poprawy | Data oddania | Data zaliczenia |
Wprowadzenie :
Ciała stałe w zależności od budowy wewnętrznej dzielimy na jednorodne i niejednorodne oraz izotropowe i anizotropowe. Ciała jednorodne to ciała, w których każdy element objętości ma jednakowe właściwości fizykochemiczne. Ciała izotropowe to ciała, których właściwości fizykochemiczne są jednakowe we wszystkich kierunkach pomyślanych w ciele. W ciałach anizotropowych właściwości te zależą od kierunków wybranych w ciele.
Zjawisko odkształceń sprężystych ciał niejednorodnych i anizotropowych jest zjawiskiem złożonym. Mimo że ciała rzeczywiste są raczej niejednorodne i anizotropowe to w przybliżeniu wiele ciał zalicza się do ciał jednorodnych i izotropowych np.: szkło metale i wiele mas plastycznych.
Działaniu sił zewnętrznych powodujących zmiany objętości lub kształtu
towarzyszy zakłócenie rozkładu sił międzycząsteczkowych, objawiające się w pojawieniu się sił wewnętrznych zwanych siłami sprężystości.
Przyłożenie do ciał stałych sił zewnętrznych powoduje odkształcenie ciała tym większe im większa jest przyłożona siła. Dopóki odkształcenie to nie przekracza pewnej granicy (charakterystyczna dla danego cała), to po usunięciu sił zewnętrznych ciało stałe wraca do pierwotnego kształtu. Ciało stałe charakteryzuje więc sprężystość postaci. Po przekroczeniu granicznej wartości siły zewnętrznej powstają odkształcenia niesprężyste.
Przy omawianiu właściwości sprężystych ciał zamiast pojęć siły zewnętrznej i wewnętrznej stosuje się najczęściej pojęcie ciśnienia(zewnętrznego) i naprężenia(wewnętrznego). Ciśnienie (naprężenie) w przypadku równomiernego rozkładu siły F na powierzchni S wynosi :
Wyróżniamy dwa podstawowe typy naprężeń:
- naprężenie normalne:
- naprężenie styczne:
Podstawowe rodzaje odkształceń wiążą się ze zmianą długości i kształtu.
Odkształcenie związane ze zmiana długości określa wydłużenie względne:
Z idealnym odkształceniem postaciowym mamy do czynienia wtedy, gdy gęstość pozostaje niezmienna, a zmianie ulega kształt. Za miarę tego odkształcenia (ścinanie) przyjmuje się
Podstawowym prawem rządzącym sprężystością ciał jest prawo podane przez Hooke’a. Prawo to mówi że stosunek naprężenia do związanego z nim odkształcenia jest wielkością stałą dla danego materiału. Stosunek ten nazywamy modułem sprężystości.
Przy wydłużeniach prawo Hooke’a wyraża się wzorem:
gdzie σ oznacza ciśnienie normalne wynikające z działania sił prostopadłych do powierzchni, E – moduł sprężystości zwany modułem Younga.
Znajomość modułu dla danego materiału pozwala obliczyć przyrost długości pręta lub drutów, wywołanych działaniem siły normalnej F.
Po przekształceniu otrzymujemy zależność wydłużenia od obciążenia:
Do wyznaczenia modułu Younga E stosujemy metodę polegającą na bezpośrednim pomiarze wielkości wchodzących do wzoru definicyjnego :
Siła F rozciągająca drut powstaje przez użycie odważników o masie m , F=m·g.
Funkcją bezpośrednio mierzoną jest zależność zmian długości Δl od masy odważników m.
Ostatecznie wartość modułu Younga obliczamy ze wzoru:
gdzie a jest współczynnikiem nachylenia linii prostej, którą powinna być funkcja zgodnie z prawem Hook’a.
Opracowanie wyników pomiarów.
1. Długości drutów [mm]
| Drut stalowy | Drut mosiężny | Drut miedziany |
|---|---|---|
| 1061 | 1061 | 1062 |
Długość drutów została zmierzona przymiarem liniowym z dokładnością 1mm
2. Średnice drutów [mm]
Średnica drutów została zmierzona za pomocą śruby mikrometrycznej. W celu zwiększenia dokładności pomiar wykonano 10 razy wzdłuż całej długości drutów i obliczono średnią.
| Lp. | Drut stalowy | Drut mosiężny | Drut miedziany |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,84 | 0,80 | 0,81 |
| 2 | 0,83 | 0,80 | 0,81 |
| 3 | 0,83 | 0,80 | 0,81 |
| 4 | 0,83 | 0,78 | 0,81 |
| 5 | 0,83 | 0,78 | 0,82 |
| 6 | 0,83 | 0,78 | 0,81 |
| 7 | 0,83 | 0,79 | 0,81 |
| 8 | 0,83 | 0,79 | 0,81 |
| 9 | 0,83 | 0,80 | 0,81 |
| 10 | 0,83 | 0,80 | 0,81 |
| d | 0,83 | 0,79 | 0,81 |
| u(d) | 0,0031622 | 0,009189 | 0,0031622 |
| S | 0,5410 | 0,4901 | 0,5152 |
| u(S) | 0,0260 | 0,0248 | 0,0254 |
Niepewność standardową typu A dla średnicy drutu obliczamy ze wzoru:
Pole przekroju poprzecznego obliczamy ze wzoru:
Niepewność standardowa pola przekroju drutu obliczamy wykorzystując prawo przenoszenia błędów:
błąd pomiaru = 0,001 [m]
3. Wydłużenia drutów w zależności od wartości siły rozciągające
Masa odważników [kg] |
Siła [N] |
Drut stalowy | Drut mosiężny |
|---|---|---|---|
| 1 | 9,81 | 0,325 | 0,32 |
| 2 | 19,62 | 0,5 | 0,495 |
| 3 | 29,43 | 0,635 | 1,24 |
| 4 | 39,24 | 0,785 | 1,27 |
| 5 | 49,05 | 0,88 | 0,89 |
| 6 | 58,86 | 1 | 1,1 |
| 7 | 68,67 | 1,11 | 1,12 |
| 8 | 78,48 | 1,24 | 1,23 |
| 9 | 88,29 | 1,36 | 1,34 |
| 10 | 98,1 | 1,47 | 1,465 |
Masa odważników [kg] |
Siła [N] |
Drut miedziany |
|---|---|---|
| 0,5 | 4,905 | 0,145 |
| 1 | 9,81 | 0,27 |
| 1,5 | 14,715 | 0,37 |
| 2 | 19,62 | 0,47 |
| 2,5 | 24,525 | 0,56 |
| 3 | 29,43 | 0,655 |
| 3,5 | 34,335 | 0,745 |
| 4 | 39,24 | 0,84 |
| 4,5 | 44,145 | 0,925 |
| 5 | 49,05 | 1 |
Pomiarów wydłużenia dokonujemy kolejno dla rosnących i malejących sił rozciągających, dla drutu miedzianego dokonujemy ich dla mniejszych obciążeń. Obliczamy wartości sił działających na druty korzystając ze wzoru:
F = m·g
gdzie m stanowi masę odważników, a g = 9,81[m/s²] to przyspieszenie ziemskie
4. Tworzymy wykres zależności średniego wydłużenia od masy odważników.
Wyniki pomiarów wydłużenia przedstawiamy w metrach.
Łatwo zauważyć, że 3 i 4 wartość wydłużenia dla drutu stalowego odbiegają od przebiegu prostoliniowego (wartości zaznaczone na czerwono).
5. Do zaznaczonych punktów pomiarowych dopasowujemy prostą, a następnie wyznaczamy jej współczynnik nachylenia.
| Drut stalowy | Drut mosiężny | Drut miedziany | |
|---|---|---|---|
| a (z dopasowania graficznego) | 0,0001 | 0,0002 | 0,0002 |
| E [Pa] | 19,24 · 10 | 10,6 · 10 | 10,09 · 10 |
6. Wykorzystując uzyskane wcześniej pomiary oraz odczytane współczynniki
nachylenia obliczamy wartości modułu Younga posługując się wzorem:
7. Wyznaczamy współczynnik a dla prostej regresji. Usuwamy punkty najbardziej odbiegające od prostej. Za pomocą programu komputerowego obliczamy niepewność pomiarową współczynnika a. Stosując prawo przenoszenia błędów wyznaczamy u(E):
gdzie = 0,001m jest błędem pomiaru długości drutu
| Drut stalowy | Drut mosiężny | Drut miedziany | |
|---|---|---|---|
| a (z prostej regresji) | 0,00018 | 0,00022 | 0,00026 |
| u(a) | 0,00013 | 0,00002 | 0,0001 |
| E [Pa] | 17,45 · 10 | 9,28 · 10 | 10,51 · 10 |
| u(E) [Pa] | 2 · 10 | 0,48 · 10 | 0,89 · 10 |
8. Porównanie wartości doświadczalnych z tablicowymi.
| E [Pa] | Drut stalowy | Drut mosiężny | Drut miedziany |
|---|---|---|---|
| wartość tablicowa | 21,0 · 10 | 10,0 · 10 | 13,0 · 10 |
| E (z dopasowania) | 19,24 · 10 | 10,6 · 10 | 10,09 · 10 |
| E (z proste regresji) | 17,45 · 10 | 9,28 · 10 | 10,51 · 10 |
Wnioski:
Wyniki uzyskane drogą doświadczeń odbiegają od wartości tablicowych. Prawdopodobnie jest to spowodowane niedokładnością pomiarów oraz zaokrągleniami podczas dopasowywania prostej regresji.