Zadanie 4.23

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość przyrostów ilości ciepła przemian obiegu porównawczego Otto dla następujących wartości prac bezwzględnych objętościowych przemian oraz parametrów stanu:

p₁ = 1[at], ,

, p_2d = p_3d = 30[at]

= Bp₁ = 0,277579[MPa],

t₁ = 327[ºC], ,

T_3o = BT_2o = 3406,25[K], =BT₁ = 1698,18[K]

V₁ = 10[dm³], , ,

gdy ma on w punkcie początku izentropowego zgęszczania czynnika roboczego wspólne z obiegiem porównawczym Diesla parametry stanu, oraz gdy zasób objętości końca przemiany izentropowej zgęszczania czynnika roboczego w obiegu porównawczym Otto V₂₀ równy jest zasobowi objętości końca przemiany izobarycznej rozgęszczania czynnika roboczego w obiegu porównawczym Diesla . Przyrosty ilości ciepła dostarczonego do obiegów porównawczych Otto i Diesla są sobie równe . Czynnik roboczy pracujący w obiegach porównawczych traktowany jest tak jak gaz doskonały i ma parametry termodynamiczne zbliżone do powietrza, czyli indywidualną stałą gazową oraz wykładnik izentropy k=1,4. Wartość parametrów B i A są odpowiednio równe:

Rozwiązanie:

1. Obieg porównawcze Otto oraz Diesla we współrzędnych p,V oraz T,S.

Ilustracja prac bezwzględnych objętościowych przemian obiegu porównawczego Otto we współrzędnych p, V.

Ilustracja przyrostów ilości ciepła przemian obiegu porównawczego Otto we współrzędnych T, S.

1.1 Tabela zestawienia danych i wyznaczonych parametrów stanu w punktach charakterystycznych obiegu oraz prac bezwzględnych objętościowych i przyrostów ilości ciepła przemian między punktami charakterystycznymi obiegu porównawczego.

Parametry stanu lub wyrażenia podane w treści zadania zapisane są w nawiasach kwadratowych. Wyrażenia nie zapisane w tym trybie są wynikami obliczeń.

Punkt charak- tery- styczny Parametr stanu	1o	2o	3o	4o
pio	[p1]	[p2o=p1]	[p3o=p1]	[p4o=B p1]
Tio	[T1]	[T2o=T1]	[T3o=T1]	[T4o=B T1]
Vio	[V1]	[V2o=V3d]	[V3o=V3d]	[V4o=V1]
Li-jo	[L1-2=$\frac{P_{1}V_{1}}{(k - 1)}$(1-ε^k-1)]	[L2-3o=0]	L3-4o=-BL1-2o	[L4o-1=0]
ΔQi-jo	ΔQ1-2o=0	ΔQ2-3o=∆Qd	ΔQ3-4o=0	ΔQ4o-1= =

2. Wyznaczenie przyrostów ilości ciepła przemian w obiegu porównawczym Otto.

2.1. Wyznaczenie przyrostu ilości ciepła przemian miedzy punktami charakterystycznymi 1-2_o oraz 3-4_o obiegu.

Między punktami charakterystycznymi 1-2₀ oraz 3-4₀ obiegu porównawczego zachodzą przemiany izentropowe. Zatem ciepło właściwe przemian jest równe zeru.

Z definicji ciepła właściwego:

po rozdzieleniu zmiennych

i scałkowaniu w granicach

otrzymano:

oraz

2.2. Wyznaczenie przyrostu ilości ciepła przemiany między punktami charakterystycznymi 2-3₀ obiegu porównawczego.

Miedzy punktami charakterystycznymi 2-3₀ obiegu porównawczego zachodzi przemiana izochoryczna. Przyrost ilości ciepła dostarczanego do układu jest równy:

2.3 Wyznaczenie przyrostu ilości ciepła przemiany między punktami charakterystycznymi 4_o-1 obiegu porównawczego.

Między punktami charakterystycznymi 4_o-1 obiegu porównawczego zachodzi przemiana izochoryczna.

V= const

stąd

dV=0,

zatem

δL=0

i pierwsza postać pierwszej zasady termodynamiki

dE₁= δQ – δL

zredukuje się do równania

dE₁= δQ

Zasób energii wewnętrznej czynnika roboczego w układzie substancjalnym określony jest związkiem

E_I= m T

Dla gazu doskonałego

=const

Dla układu substancjalnego

m=const

Stąd elementarny przyrost zasobu energii wewnętrznej jest równy

dE_I= m dT

i bilans zasobu energii wewnętrznej przyjmie postać:

δQ = m dT

Całkując powyższe równanie w granicach

otrzymano

= m (T₁ – T_4o )

Z równania Meyera i definicji wykładnika izentropy wynika

Zasób masy czynnika roboczego pracującego w układzie jest równy:

Uwzględniając iż temperatura czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 4₀ obiegu porównawczego określona jest związkiem

T_4o = B T₁

wyznaczono ostatecznie zależność określającą przyrost ilości ciepła wymienionego w przemianie izochorycznej między punktami charakterystycznymi 4_o-1 obiegu porównawczego

3. Obliczenie wartości przyrostów ilości ciepła przemian obiegu porównawczego Otto:

3.1 Obliczenie wartości przyrostu ilości ciepła przemiany między punktami charakterystycznymi 2-3_o obiegu

ΔQ_2-3o = ΔQ_d = 9[kJ]

3.2 Obliczenie wartości przyrostu ilości ciepła przemiany między punktami charakterystycznymi 4_o-1 obiegu porównawczego

3.3 Obliczenie wartości przyrostów ilości ciepła przemian między punktami charakterystycznymi 1-2_o oraz 3-4_o obiegu porównawczego.

Zgodnie z pkt 2.1 wartości przyrostów ilości ciepła przemian między punktami charakterystycznymi 1-2_o oraz 3-4_o obiegu porównawczego są odpowiednio równe

ΔQ_1-2o = 0

oraz

ΔQ_3-4o= 0

Zadanie 4.24

Wyznaczyć, a następnie obliczyć wartości modułów prac zgęszczania i rozgęszczania czynnika roboczego w obiegu porównawczym Otto, moduły przyrostów ilości ciepła doprowadzonego i wyprowadzonego z obiegu porównawczego, pracę obiegu, ciepło obiegu, sprawność termiczną obiegu, jeżeli parametry stanu w punktach charakterystycznych, prace bezwzględne objętościowe i przyrosty ilości ciepła przemian w obiegu porównawczym Otto są odpowiednio równe:

p₁=1[at], , t₁=327[°C] ,

gdzie:

zaś parametry stanu są wspólne dla obiegów porównawczych Otto i Diesla w punkcie charakterystycznym początku izentropowego zgęszczania czynnika roboczego, oraz gdy zasób objętości końca przemiany izentropowej zgęszczania w obiegu porównawczym Otto równy jest zasobowi objętości końca przemiany izobarycznej rozgęszczania czynnika roboczego w obiegu porównawczym Diesla. Ponadto, czynnik roboczy pracujący w obiegach porównawczych traktowany jest tak jak gaz doskonały i ma parametry termodynamiczne zbliżone do powietrza, czyli indywidualną stałą gazową R=287,04 [$\frac{J}{\text{kgK}}$] oraz wykładnik izentropy k=1,4.

Rozwiązanie:

1. Obiegi porównawcze Diesla i Otto we współrzędnych p, V oraz T, S.

Ilustracja prac bezwzględnych objętościowych przemian obiegu porównawczego Otto we współrzędnych p,V.

Ilustracja przyrostów ilości ciepła przemian obiegu porównawczego Otto we współrzędnych T,S.

1.1. Tabela zestawienia danych i wyznaczonych parametrów stanu w punktach charakterystycznych obiegu oraz prac bezwzględnych objętościowych i przyrostów ilości ciepła między punktami charakterystycznymi obiegu porównawczego.

Parametry stanu lub wyrażenia podane w treści zadania zapisane są w nawiasach kwadratowych. Wyrażenia nie zapisane w tym trybie są wynikami obliczeń..

Punkt cha- raktery- styczny Parametr stanu	1o	2o	3o	4o
pio	[p1]
Tio	[T1]
Vio	[V1]
Li − jo
∆Qi − jo

2. Praca obiegu porównawczego Otto

2.1. Wyznaczenie modułu pracy rozgęszczania (ekspansji) obiegu porównawczego Otto.

Zgodnie z ilustracją prac bezwzględnych objętościowych przemian obiegu porównawczego Otto moduł pracy rozgęszczania (ekspansji) czynnika roboczego jest równy

gdzie

zaś

2.2. Wyznaczenie modułu pracy zgęszczania (kompresji) obiegu porównawczego Otto.

Zgodnie z ilustracją prac bezwzględnych objętościowych przemian obiegu porównawczego Otto moduł pracy zgęszczania (kompresji) czynnika roboczego w obiegu porównawczym jest równy

2.3. Wyznaczenie pracy obiegu porównawczego Otto.

Praca obiegu porównawczego Otto określona jest zależnością

L_ob = |L_ex| − |L_k| = BL_1 − 2o − L_1 − 2o = L_1 − 2o(B−1)

3. Ciepło obiegu porównawczego Otto

3.1. Wyznaczenie modułu przyrostu ilości ciepła dostarczonego do obiegu porównawczego Otto

Zgodnie z ilustracją ciepła przemian obiegu porównawczego Otto moduł ciepła dostarczanego do czynnika roboczego jest równy

|Q_d| = |Q_2 − 3o| = |Q_do| = Q_do

3.2. Wyznaczenie modułu przyrostu ilości ciepła wyprowadzonego z obiegu porównawczego Otto.

Zgodnie z ilustracją ciepła przemian obiegu porównawczego Otto moduł ciepła wyprowadzonego z czynnika roboczego pracującego w obiegu porównawczym jest równy

$$\left| Q_{w} \right| = \left| {Q}_{4o - 1} \right| = \left| - \frac{p_{1}V_{1}}{(k - 1)}(B - 1) \right| = \frac{p_{1}V_{1}}{(k - 1)}(B - 1)$$

3.3. Wyznaczenie przyrostu ilości ciepła obiegu porównawczego Otto.

Przyrost ilości ciepła obiegu porównawczego Otto określony jest zależnością

$${Q}_{\text{ob}} = \left| {Q}_{d} \right| - \left| Q_{w} \right| = {Q}_{\text{do}} - \frac{p_{1}V_{1}}{(k - 1)}(B - 1)$$

4. Wyznaczenie sprawności termicznej obiegu porównawczego Otto.

Sprawność termiczna obiegu porównawczego równa jest iloczynowi pracy obiegu równej co do wartości ciepłu obiegu, do modułu przyrostu ilości ciepła dostarczonego do obiegu

$\eta_{\text{tob}} = \ \frac{L_{\text{ob}}}{\left| {Q}_{d} \right|}$ = $\frac{{Q}_{\text{ob}}}{\left| {Q}_{d} \right|} = \frac{\left| {Q}_{d} \right| - \ \left| {Q}_{w} \right|}{\left| {Q}_{d} \right|}\ $

Zatem sprawność termiczna obiegu porównawczego Otto określona jest zależnością

$$\eta_{\text{tob}} = \frac{{Q}_{\text{ob}}}{\left| {Q}_{d} \right|} = \frac{{Q}_{\text{do}} - \frac{p_{1}V_{1}}{\left( k - 1 \right)}(B - 1)}{{Q}_{\text{do}}} = 1 - \frac{p_{1}V_{1}}{{Q}_{\text{do}}(k - 1)}(B - 1)$$

5. Wartość pracy obiegu porównawczego Otto.

5.1. Obliczenie wartości modułu pracy rozgęszczania (ekspansji) obiegu porównawczego Otto.

5.2. Obliczenie wartości modułu pracy zgęszczania (kompresji) obiegu porównawczego Otto.

5.3. Obliczenie wartości pracy obiegu porównawczego Otto.

L_ob = |L_ex| − |L_k| = 6979, 77 − 2466, 74 = 4513, 03[J]

6. Wartość ciepła obiegu porównawczego Otto.

6.1. Obliczanie wartości modułu przyrostu ilości ciepła dostarczonego do obiegu porównawczego Otto

|Q_d| = |Q_2 − 3o| = |Q_do| = |9000| = 9000[J]

6.2. Obliczanie wartości modułu przyrostu ilości ciepła wyprowadzonego z obiegu porównawczego Otto

6.3. Obliczanie wartości przyrostu ilości ciepła obiegu porównawczego Otto

Q_ob = |Q_d| − |Q_w| = 9000 − 4486, 97 = 4513, 03[J]

7. Obliczenia wartości sprawności termicznej obiegu porównawczego Otto.

Zadanie 4.33

Zasób objętości skokowej silnika czterosuwowego sześciocylindrowego pracującego w obiegu porównawczym Sabathe'go wynosi , a objętości szkodliwej . Parametry stanu czynnika roboczego wpływającego do cylindra są następujące: p₁ = 1[at],  t₁ = 70[⁰C], . W każdym cyklu wtryskiwacz dostarcza do cylindra zasób masy paliwa $\dot{m_{\text{OI}} = 0.2\lbrack\frac{g}{\text{obr}}}\rbrack$ o wartości opałowej W_uc=10200[$\frac{\text{kcal}}{\text{kg}}$]. Mechaniczny równoważnik ciepła I=4,19$\lbrack\frac{J}{\text{cal}}\rbrack$. Paliwo spala sie w $\frac{3}{4}\ $-tych w przemianie izochorycznej a w $\frac{1}{4}$-tej w izobarycznej. Liczba obrotów silnika jest równa n_m=250$\lbrack\frac{\text{obr}}{\min}\rbrack$. Czynnik pracujący w obiegu porównawczym scharakteryzowany jest przez indywidualna stałą gazową

R=287,04[] oraz wykładnik izentropy k=1,4 i traktowany jest tak jak gaz doskonały . Wyznaczyć, a następnie obliczyć wartości parametrów stanu w punktach charakterystycznych obiegu porównawczego Sabathe'go.

Rozwiązanie:

1. Obieg porównawczy Sabathe'go we współrzędnych p,V oraz T,S.

Ilustracja prac bezwzględnych objętościowych przemian obiegu porównawczego Sabathe'go we współrzędnych p,V.

Ilustracja ciepła przemian obiegu porównawczego Sabathe'go we współrzędnych T,S

1.1 Tabela zestawienia danych oraz wyznaczonych parametrów stanu w punktach charakterystycznych obiegu porównawczego.

Parametry stanu lub wyrażenia podane w treści zadania zapisane są w nawiasach kwadratowych. Wyrażenia nie zapisane w tym trybie są wynikami obliczeń.

Punkt charakte- rystyczny Parametr stanu	1	2	3	4	5
	[]			[
Ti	[
Vi		[

gdzie: $x_{0} = \frac{(k - 1){\dot{m}}_{\text{OIO}}\text{Wu}}{kp_{1}\varepsilon^{k}V_{1}}$

2. Wyznaczenie ciśnienia czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 2 obiegu porównawczego Sabathe’go

Między punktami charakterystycznymi 1 i 2 obiegu porównawczego zachodzi przemiana izentropowa.

Równanie izentropy ma postać:

Uwzględniając definicję współczynnika ściśliwości

$$\varepsilon = \frac{V_{1}}{V_{2}} = 1 + \frac{\text{Vs}}{\text{Vr}}$$

otrzymano ostatecznie zależność określającą ciśnienie czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 2 obiegu porównawczego:

Zasób masy paliwa dostarczonego do cylindra przypadający na jeden obrót wału korbowego jest równy sumie zasobu masy paliwa dostarczonego w przemianie izochorycznej oraz zasobu masy paliwa dostarczonego w przemianie izobarycznej

gdzie :

oraz

3.Wyznaczenie temperatury czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 2 obiegu porównawczego Sabathe’go.

Z równania stanu gazu doskonałego Clapeyrona wyznaczono temperaturę czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 2 obiegu porównawczego.

.

Uwzględniając, że zasób masy czynnika roboczego pracującego w układzie jest określony związkiem

oraz definicję współczynnika ściśliwości ε otrzymano zależność określającą temperaturę czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 2 obiegu porównawczego

4. Wyznaczenie temperatury czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 3 obiegu porównawczego Sabathe’go.

Strumień masy paliwa dostarczanego do cylindra w przemianie izochorycznej równy jest iloczynowi zasobu masy paliwa dostarczanego w przemianie izochorycznej i liczbie obrotów silnika

zatem strumień ciepła doprowadzony do cylindra silnika w przemianie izochorycznej określony jest związkiem

.

Czas pojedynczego cyklu pracy obiegu porównawczego wynosi

stąd przyrost ilości ciepła doprowadzonego do cylindra silnika w przemianie izochorycznej między punktami 2-3 obiegu porównawczego określony jest związkiem

.

Między punktami charakterystycznymi 2-3 obiegu porównawczego Sabathe’go zachodzi przemiana izochoryczna. Odwołując się do pierwszej postaci pierwszej zasady termodynamiki dla układu substancjalnego

gdzie

jest pracą bezwzględną objętościową oraz uwzględniając, że rozważana przemiana jest przemianą izochoryczną

zatem

otrzymano zredukowaną postać pierwszej zasady termodynamiki.

Zasób energii wewnętrznej czynnika roboczego w układzie substancjalnym określony jest związkiem

Czynnik roboczy pracujący w obiegu porównawczym traktowany jest tak jak gaz doskonały, zatem

Ponieważ układ jest układem substancjalnym, zatem

Uwzględniając powyższe stwierdzenia określono elementarny przyrost zasobu energii wewnętrznej czynnika roboczego w układzie zależnością

.

Stąd bilans zasobu energii wewnętrznej dla czynnika roboczego w układzie określony jest równaniem

Całkując ostatnie równanie w granicach

otrzymano wyrażenie określające przyrost ilości ciepła przemiany izochorycznej między punktami charakterystycznymi 2-3 obiegu porównawczego

.

Uwzględniając równanie Meyera oraz definicję wykładnika izentropy ciepło właściwe czynnika roboczego przy stałej objętości można zapisać związkiem

.

Biorąc pod uwagę zależność określającą zasób masy czynnika roboczego pracującego w obiegu porównawczym oraz jego temperaturę w punkcie charakterystycznym 2 jak również ostatni związek i podstawiając do równania przyrostu ilości ciepła dostarczanego w przemianie izochorycznej między punktami charakterystycznymi 2-3 obiegu, otrzymano wyrażenie

,

z którego wyznaczono temperaturę w punkcie charakterystycznym 3 obiegu porównawczego

.

Uwzględniając w powyższym wyrażeniu, iż przyrost ilości ciepła dostarczanego do obiegu porównawczego w przemianie izochorycznej jest równy

określono ostatecznie temperaturę czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 3 obiegu porównawczego Sabathe’go

gdzie

zaś:

- jest tą częścią zasobu masy paliwa dostarczanego do cylindra silnika na jeden obrót wału korbowego, która spala się w przemianie izochorycznej.

5. Wyznaczenie ciśnienia czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 3 obiegu porównawczego Sabathe’go.

Z równania stanu gazu doskonałego Clapeyrona określono ciśnienie czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 3 obiegu porównawczego

.

Uwzględniając w powyższym równaniu zależność określającą zasób masy czynnika roboczego pracującego w obiegu porównawczym Sabathe’go oraz jego temperaturę w punkcie charakterystycznym 3, otrzymano

Przyjmując oznaczenie

ciśnienie czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 3 obiegu porównawczego Sabathe’go przyjmie postać

6. Wyznaczenie temperatury czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 4 obiegu porównawczego Sabathe’go.

Między punktami charakterystycznymi 3-4 obiegu porównawczego Sabathe’go zachodzi przemiana izobaryczna. Uwzględniając drugą postać pierwszej zasady termodynamiki

gdzie praca techniczna wyrażona jest zależnością

oraz biorąc pod uwagę, iż rozpatrywana przemiana jest przemianą izobaryczną

p=const.

elementarny przyrost ciśnienia

,

a w konsekwencji praca techniczna jest równa

Druga postać pierwszej zasady termodynamiki opisana jest wówczas równaniem

Zasób entalpii czynnika roboczego w układzie substancjalnym określony jest związkiem

Ponieważ rozpatrywany czynnik roboczy jest gazem doskonałym, to

Układ jest układem substancjalnym, zatem

m=const.

Stąd elementarny przyrost zasobu entalpii jest równy

Uwzględniając drugą postać pierwszej zasady termodynamiki dla przemiany izobarycznej oraz ostatni związek otrzymano równanie

z którego po scałkowaniu w granicach

otrzymano wyrażenie określające przyrost ilości ciepła przemiany izobarycznej między punktami charakterystycznymi 3-4 obiegu porównawczego

,

z którego wyznaczono temperaturę czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 4 obiegu porównawczego Sabathe’go.

Uwzględniając równanie Meyera oraz definicje wykładnika izentropy otrzymano

Z równania stanu gazu doskonałego Clapeyrona wyznaczono masę czynnika roboczego pracującego w obiegu porównawczym

Zatem temperatura czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 4 obiegu porównawczego po uwzględnieniu powyższych dwóch związków oraz zależności określającej temperaturę czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 3 obiegu porównawczego przyjmie postać

Biorąc pod uwagę, że przyrost ilości ciepła dostarczony do obiegu porównawczego w przemianie izobarycznej między punktami charakterystycznymi 3-4 jest równy

oraz, że współczynnik ściśliwości z definicji określony jest związkiem

otrzymano

$$T_{4} = \left( \frac{\left( k - 1 \right)m_{\text{moId}}W_{u}}{kp_{1}V_{r}\varepsilon^{k}} + \left( kx_{0} + 1 \right)\varepsilon^{k - 1}T_{1} \right)$$

przyjmując oznaczenie

wyrażenie określające temperaturę czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 4 obiegu porównawczego przyjmie postać

7. Wyznaczenie zasobu objętości czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 4 obiegu porównawczego Sabathe’go.

Między punktami charakterystycznymi 3 i 4 obiegu porównawczego zachodzi przemiana izobaryczna. Z równania izobary określono zasób objętości czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 4 obiegu porównawczego.

uwzględniając, iż:

oraz zależności określające temperatury czynnika roboczego w punktach charakterystycznych 3 i 4 obiegu porównawczego, otrzymano

7. Wyznaczenie ciśnienia czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 5 obiegu porównawczego Sabathe’go.

Miedzy punktami 4-5 obiegu zachodzi przemiana izentropowa. Z równania izentropy wyznaczono ciśnienie czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 5 obiegu porównawczego.

Uwzględniając, iż

i

oraz zależności określające temperaturę i ciśnienie czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 4 obiegu porównawczego, otrzymano

Biorąc pod uwagę, że

jak również

ciśnienie czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 5 obiegu porównawczego przyjmie postać

7. Wyznaczenie temperatury czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 5 obiegu porównawczego Sabathe’go.

Miedzy punktami charakterystycznymi 5-1 obiegu porównawczego zachodzi przemiana izochoryczna. Z równania izochory wyznaczono temperaturę czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 5 obiegu porównawczego.

3. Obliczenie wartości parametrów stanu czynnika roboczego w punktach charakterystycznych obiegu porównawczego Sabathe’go.

3.1 Obliczenie wartości ciśnienia czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 2 obiegu porównawczego.

Zasób masy czynnika roboczego pracującego w obiegu jest równy

.

Zasób objętości cylindra w punkcie charakterystycznym 1 obiegu porównawczego jest

równy

.

Współczynnik ściśliwości osiąga wartość

Wartość ciśnienia czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 2 obiegu

porównawczego jest równa

[MPa]

3.2 Obliczenie wartości temperatury czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 2

obiegu porównawczego

3.3 Obliczenie wartości temperatury czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 3

obiegu porównawczego

3.4 Obliczenie wartości ciśnienia czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 3

obiegu porównawczego

3.5 Obliczenie wartości temperatury czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 4

obiegu porównawczego

3.6 Obliczenie wartości zasobu objętości czynnika roboczego w punkcie

charakterystycznym 4 obiegu porównawczego

3.7 Obliczenie wartości ciśnienia czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 5

obiegu porównawczego

3.8 Obliczenie wartości temperatury czynnika roboczego w punkcie charakterystycznym 5

obiegu porównawczego

Zadanie 4.37

Wydajność sprężarki idealnej określona jest przez strumień wymiany objętości tłoczonego powietrza wyrażony w metrach sześciennych odniesionych do normalnych warunków fizycznych (p_nf=1[Atm]=760[mmHg], t_nf=0 [°C], $\vartheta_{\text{nf}} = 22,42\ \left\lbrack \frac{m^{3}}{\text{kmol}} \right\rbrack$ ), na jednostkę czasu, którego wartość jest równa ${\dot{V}}_{u} = 4000\left\lbrack \frac{m^{3}}{h} \right\rbrack$. Sprężarka idealna tłoczy powietrze z otoczenia o parametrach stanu p₁=1[at] oraz t₁=25[°C] i zgęszcza je do ciśnienia p₂=8[at]. Zgęszczenie przebiega w przemianie izentropowej z wykładnikiem izentropy k=1,4. Indywidualna stała gazowa powietrza równa jest $R = 287,04\left\lbrack \frac{J}{\text{kgK}} \right\rbrack$, masa cząsteczkowa $M = 28,97\left\lbrack \frac{m^{3}}{\text{kmol}} \right\rbrack$ oraz powietrze traktowane jest tak jak gaz doskonały. Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość temperatury T₂ powietrza po zgęszczeniu, wydajność sprężarki wyrażoną przez strumień wymiany masy tłoczonego powietrza $\dot{m}$, jak również oraz wydajność sprężarki wyrażoną przez strumień wymiany objętości tłoczonego powietrza ${\dot{V}}_{1}$ odniesiony do parametrów stanu p₁ i T₁ powietrza stanowiącego otoczenie sprężarki.

Rozwiązanie:

Dane Wyznaczyć a następnie obliczyć wartości

1. Obieg porównawczy lewobieżny sprężarki we współrzędnych p,V oraz T, S.

@@

Ilustracja pracy technicznej przemiany izentropowej między punktami charakterystycznymi 1-2 obiegu porównawczego lewobieżnego sprężarki we współrzednych p,V.

@

Ilustracja ciepła przemiany izentropowej między punktami charakterystycznymi 1-2 obiegu porównawczego lewobieżnego sprężarki we współrzędnych T,S.

1. Model termodynamiczny sprężarki.
   Sprężarka jest maszyną przepływowo-tłokową o cyklicznym reżimie pracy. Między punktami charakterystycznymi 1-2 obiegu porównawczego następuje izentropowe zgęszczanie gazu. Między punktami charakterystycznymi 2-3 izobaryczne tłoczenie gazu z cylindra sprężarki poprzez zawór tłoczący do zbiornika. Między punktami charakterystycznymi 3-4 następuje rozprężanie gazu w przemianie izochorycznej przy zamkniętym zaworze tłoczącym i otwartym zaworze ssącym. Między punktami charakterystycznymi 4-1 następuje zassanie w przemianie izobarycznej powietrza do cylindra sprężarki i cykl pracy zaczyna się od początku. Z punktu widzenia modelu termodynamicznego istotnym jest tylko ten fragment obiegu porównawczego, który dotyczy przemiany o stałym zasobie masy, czyli przemiany izentropowej zgęszczania gazu między punktami charakterystycznymi 1-2 obiegu porównawczego. Pozostałe przemiany, czyli przemiany między punktami charakterystycznymi 2-3 i 4-1 obiegu porównawczego to przemiany izobaryczne, dla których prace techniczne przemian równe są zeru. Natomiast przemiana izochoryczna między punktami charakterystycznymi 3-4 obiegu porównawczego dla sprężarki idealnej charakteryzuje się tym, że objętość szkodliwa w tej przemianie

V_r = 0
a zatem praca techniczna również równa jest zeru.

1. Wyznaczenie temperatury T₂ powietrza po cyklu zgęszczania w przemianie izentropowej między punktami charakterystycznymi 1-2 obiegu porównawczego lewobieżnego.

Z równania izentropy

p₁V₁^k = p₂V₂^k

oraz równania stanu gazu doskonałego Clapeyrona

$$V = \frac{\text{mRT}}{p}$$

otrzymano zależność

$p_{1}(\frac{T_{1}}{p_{1}})^{k}$=$p_{2}(\frac{T_{2}}{p_{2}})^{k}$

którą przekształcono do postaci

$$T_{1}(p_{1})^{\frac{k - 1}{k}} = T_{2}(p_{2})^{\frac{k - 1}{k}}$$

uzyskując ostatecznie wyrażenie określające temperaturę powietrza w punkcie charakterystycznym 2 obiegu porównawczego

$$T_{2} = \left( \frac{p_{2}}{p_{1}} \right)^{\frac{k - 1}{k}}T_{1}$$

4.Wyznaczenie strumienia wymiany masy powietrza $\dot{m}$ sprężarki idealnej.
Zasób objętości gazu V_u w normalnych warunkach fizycznych określany jest jednoznacznie przez zasób masy gazu m zgodnie z równaniem stanu gazu doskonałego Clapeyrona.

$$V_{u} = \frac{RT_{\text{nf}}}{p_{\text{nf}}}m$$

Zatem masowa gęstość zasobu objętości gazu w normalnych warunkach fizycznych jest równa:

$${\frac{V_{u}}{m} = \vartheta}_{f} = \frac{RT_{\text{nf}}}{p_{\text{nf}}} = const$$

Zaś molowa gęstość zasobu objętości gazu odniesiona do normalnych warunków fizycznych ma postać:

$${M\vartheta_{f} = \vartheta}_{\text{nf}} = \frac{BT_{\text{nf}}}{p_{\text{nf}}} = const$$

Otrzymano zatem relację między zasobem objętości gazu znajdującego się w normalnych warunkach fizycznych a jego zasobem masy

V_u = ϑ_fm

lub

$$V_{u} = \frac{\vartheta_{\text{nf}}}{M}m$$

Obliczając pochodną powyższych związków po czasie τ

$\frac{dV_{u}}{\text{dτ}} = \frac{\vartheta_{\text{nf}}}{M}\frac{\text{dm}}{\text{dτ}}$

lub

$${\dot{V}}_{u} = \frac{\vartheta_{\text{nf}}}{M}\dot{m}$$

otrzymano nową relację określającą strumień objętości powietrza tłoczonego przez sprężarkę idealną odniesiony do normalnych warunków fizycznych w funkcji strumienia masy tłoczonego powietrza .

Stąd strumień masy tłoczonego powietrza w funkcji strumienia objętości tłoczonego powietrza dla sprężarki idealnej jest równy

$$\dot{m} = \frac{M}{\vartheta_{\text{nf}}}{\dot{V}}_{u}$$

5.Wyznaczenie strumienia wymiany objętości tłoczonego powietrza odniesionego do ustalonych wartości parametrów stanu p₁ i T₁ powietrza stanowiącego otoczenie sprężarki w funkcji strumienia masy tłoczonego powietrza.
Powietrze o ustalonych parametrach stanu p₁, T₁ i zasobie masy m zgodnie z równaniem stanu gazu doskonałego Clapeyrona zajmuje zasób objętości V₁ :

Ponieważ masowa gęstość zasobu objętości jest równa

$$\vartheta_{1} = \frac{RT_{1}}{p_{1}}$$

można zatem napisać

Dla ustalonych parametrów stanu powietrza w otoczeniu sprężarki

$$\frac{p_{1} = const}{T_{1} = const}$$

ϑ₁ = const ∖ n

lub

Stąd strumień wymiany objętości tłoczonego powietrza ${\dot{V}}_{1}$ odniesiony do ustalonych parametrów stanu p₁, T₁ powietrza w otoczeniu sprężarki w funkcji strumienia wymiany objętości tłoczonego powietrza $\dot{V_{u}}$ odniesionego do normalnych warunków fizycznych określony jest poniższą zależnością

$${\dot{V}}_{1} = \frac{M\vartheta_{1}}{\vartheta_{\text{nf}}}{\dot{V}}_{u}$$

6.Obliczenie wartości temperatury T₂ czynnika po zgęszczaniu izentropowym:

$$T_{2} = \left( \frac{p_{2}}{p_{1}} \right)^{\frac{k - 1}{k}}T_{1} = \left( \frac{8}{1} \right)^{\frac{1,4 - 1}{1,4}}\left( 273,15 + 25 \right) = 540,101\left\lbrack K \right\rbrack$$

7.Obliczenie wartości strumienia masy powietrza

$$p_{1} = 1\left\lbrack \text{at} \right\rbrack = 1\left\lbrack \frac{\text{kG}}{\text{cm}^{2}} \right\rbrack = 1 \bullet 9,81 \bullet 10^{4} = 98100\left\lbrack \text{Pa} \right\rbrack$$

$${\dot{V}}_{u} = 4000\left\lbrack \frac{m^{3}}{h} \right\rbrack = 4000 \bullet \frac{1}{3600}\left\lbrack \frac{m^{3}}{s} \right\rbrack = 1,1111\left\lbrack \frac{m^{3}}{s} \right\rbrack$$

$$\dot{m} = \frac{M}{\vartheta_{\text{nf}}}\dot{V_{u}} = \frac{28,97}{22,42} \bullet 1,1111 = 1,4357\left\lbrack \frac{\text{kg}}{s} \right\rbrack$$

8.Obliczenie wartości strumienia wymiany objętości powietrza odniesionego do parametrów stanu p_1,T₁ otoczenia sprężarki.

$$\vartheta_{1} = \frac{RT_{1}}{p_{1}} = \frac{287,04 \bullet \left( 273,16 + 25 \right)}{98100} = 0,872414\left\lbrack \frac{m^{3}}{\text{kg}} \right\rbrack$$

$${\dot{V}}_{1} = \frac{M\vartheta_{1}}{\vartheta_{\text{nf}}}{\dot{V}}_{u} = \frac{28,97 \bullet 0,872414}{22,42} \bullet 1,1111 = 1,25253\ \left\lbrack \frac{m^{3}}{s} \right\rbrack$$