Drgania w układach fizycznych

Sprawozdanie 1.

Układy drgające o jednym stopniu swobody. Zjawisko rezonansu i dudnienia.

MiBM, Gr. 3, Sem. VI

Sekcja:

Krzysztof Brewko

Paweł Feliks

Armin Kaminiorz

Dawid Kukofka

Karol Kurzydem

Paweł Pierchała

Wojciech Tarnowski

Wstęp teoretyczny

Układ drgający o jednym stopniu swobody to układ fizykalny o masie m, wykonujący drgania mechaniczne w którym jedna współrzędna np. x(t) w pełni opisuje jego położenie w przestrzeni, w dowolniej chwili czasu t.

Częstotliwość drgań jest liczbą cykli wykonanych w jednostce czasu przez punkt materialny bądź ciało sztywne podczas realizacji ruchu oscylacyjnego ƒ =1/T . Podstawową jednostką częstotliwości jest 1/s , nazywane jednym hercem (1Hz).

Amplitudą drgań nazywa się maksymalne wychylenie punktu materialnego lub środka masy ciała sztywnego od położenia równowagi podczas wykonywania harmonicznego ruchu drgającego.

Drgania wymuszone o jednym stopniu swobody są ruchem oscylacyjnym punktu materialnego bądź ciała sztywnego odbywającym się wyłącznie pod wpływem sprężystości i tłumienia w skutek zakumulowania początkowej energii mechanicznej (T₀=E₀+U₀)

Drgania wymuszone dynamiczne układu o jednym stopniu swobody są ruchem oscylacyjnym punktu materialnego bądź ciała sztywnego, wywołanym(okresowo) zmienną siłą zewnętrzną, działającą na ten punkt lub na środek masy tego ciała.

Drgania wymuszone kinematyczne układu o jednym stopniu swobody są ruchem oscylacyjnym punktu materialnego bądź ciała sztywnego, wywołanym (okresowo) zmiennym przemieszczeniem zewnętrznym, działającym na koniec elementu sprężysto-tłumiącego oscylatora.

Drgania nietłumione są ruchem oscylacyjnym punktu materialnego bądź ciała sztywnego, odbywającym się w warunkach, w których nie można pominąć zjawisk związanych z oporami ruchu.

Rezonans – zjawisko fizyczne zachodzące dla drgań wymuszonych, objawiające się wzrostem amplitudy drgań układu drgającego dla określonych częstotliwości drgań wymuszających. Częstotliwości dla których drgania mają największą amplitudę nazywa się częstotliwością rezonansową. Dla tych częstotliwości, nawet małe okresowe siły wymuszające mogą wytwarzać drgania o znacznej amplitudzie.

Zjawisko rezonansu występuje dla wszystkich typów drgań i fal.

Rezonans występuje, gdy układ drgający łatwo pobiera energię ze źródła pobudzającego go i jest w stanie przechowywać ją. Jednakże, zazwyczaj w układzie istnieją pewne straty energii, zwane tłumieniem, zależą one od amplitudy drgań układu, dlatego przy stałym wymuszaniu dochodzi do stanu równowagi.

Gdy układ drgających o bardzo słabym tłumieniu pobudzany jest drganiem o częstotliwości zbliżonej do jego częstotliwości rezonansowej, układ okresowo pobiera i oddaje energię zmieniając amplitudę cyklicznie co określane jest jako dudnienie.

Dudnienie – okresowe zmiany amplitudy drgania wypadkowego powstałego ze złożenia dwóch drgań o zbliżonych częstotliwościach. Dudnienia obserwuje się dla wszystkich rodzajów drgań, w tym i wywołanych falami.

Położenie statyczne równowagi dla oscylatora harmonicznego

Na rysunku znajduje się kulka o masie m zawieszona na sprężynie o stałej sztywności c.

Przypadek a) - sprężyna znajduje się w stanie swobodnym (brak obciążenia). Jej długość wynosi l₀.

Zaś w przypadku b) oraz c), na sprężynie podwieszona jest masa m. Na ciało sztywne (kulkę) działają wtedy równoważące się siły:

- siła pochodząca od sztywności sprężyny (S_sp),

- ciężar samej kulki (Q).

Mówimy wówczas, że ciało znajduje się w stanie równowagi statycznej. Zależność tę można przedstawić następująco:

c_st = mg

gdzie:

c –sztywność sprężyny $\lbrack\frac{N}{m}\rbrack$

_st - bezwzględny przyrost długości sprężyny pod wpływem działania ciężaru kulki [m]

m - masa kulki [kg]

g - przyspieszenie ziemskie [$\frac{m}{s^{2}}$]

Wykresy

Dane do wykonania wykresów:

- współczynnik sprężystości k = 100 $\lbrack\frac{N}{m}\rbrack$

- masa ciała m = 1,5 [kg]

- długość sprężyny l = 3,7 [m]

- przyspieszenie ziemskie g = 9,807 [$\frac{m}{s^{2}}$]

- częstość drgań własnych ω =$\sqrt{\frac{k}{m}}$ $\ \lbrack\frac{\text{rad}}{s}$]

- lambda statyczne λ_st = $\frac{\text{mg}}{k}$ [m]

Wykres rezonansu

Funkcja: F_y = a[-sin(ω*t)] a – przyjmujemy 1

ω =$\sqrt{\frac{k}{m}}$ = $\sqrt{\frac{100}{1.5}}$ = 8,165 $\lbrack\frac{\text{rad}}{s}$]

F_y = -sin(8,165*t)

Wykres dudnienia

Funkcja: F_y = a[-sin(ω₂*t)] a – przyjmujemy 1

Częstość drgań własnych ω = 8,165 zwiększamy dla badań o 5%

Wtedy: ω₂ = 8,573 $\lbrack\frac{\text{rad}}{s}$]

Więc: F_y2 = -sin(8,573*t)

Wykres dla stanu równowagi statycznej

Siła F_y = 0

λ_st = $\frac{\text{mg}}{k}$ = $\frac{1,5*9,807}{100}$ = 0,1471 [m]

O tyle zostaje zwiększona wartość y (położenie środka ciała) jako wartość bezwzględna:

- przed zmianą y = - 4,2

- po zmianie y = - 4,347

Po zmianach ciało pozostaje w spoczynku.

Wnioski

Rezonans jest w mechanice negatywnym zjawiskiem powodującym duże zniszczenia. Są przypadki gdzie wał który wpadł w rezonans w elektrowni wywołał destrukcje na bardzo dużą skale. Również znany jest przypadek mostu który został zerwany pod wpływem rezonansu. Jednak są przypadki kiedy rezonans ma bardzo duży wpływ na działanie. Rezonans ma decydujące znaczenie dla procesu powstawania i wzmacniania dźwięku w instrumentach muzycznych np.: wykorzystany jest w akustyce poprzez stosowanie pudeł rezonansowych w instrumentach muzycznych, np. w gitarze. Gdy uderzymy strunę gitary, do pudła rezonansowego dochodzą drgania wytwarzane przez uderzoną strunę. W pudle rezonansowym powstają fale stojące o częstotliwościach drgań struny będące składowym harmonicznym częstotliwości podstawowej wytworzonej przez strunę. Składowe o różnych częstotliwościach zostają wzmocnione w różnym stopniu nadając ostatecznie charakterystyczną barwę dźwiękowi danego instrumentu.

Występowanie dudnień może mieć wiele pożądanych zastosowań, m.in.:

• Strojenie instrumentów do zadanego dźwięku: im częstotliwość dźwięku bliższa wartości zadanej, tym okres dudnień większy.

• Pomiar prędkości poprzez interferencje fali wyjściowej i fali odbitej od poruszającego się obiektu (efekt Dopplera), zastosowanie w radarach dopplerowskich.

Dudnienia mogą mieć również niepożądane skutki, np:

• Wytwarzanie głośnych i nieprzyjemnych dźwięków przez elementy maszyny pracujące ze zbliżonymi częstotliwościami

• Możliwość występowania rezonansu o częstotliwości dudnień gdy częstotliwość drgań własnych urządzenia zbliżona jest różnicy częstotliwości elementów składowych (przy czym częstotliwości składowe osobno nie muszą wywoływać rezonansu)