POLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ Mechaniczno - Energetyczny
Laboratorium Podstaw Fizyki
Nr ćwiczenia 100	Temat ćwiczenia: „Wyznaczanie gęstości ciał stałych”
Nazwisko i imię prowadzącego kurs: Dr inż. Damian Siedlecki

Wykonawca: Jerzy Edmund Jankowski Nr Indeksu 182874	Data wykonania ćwiczenia: 27.11.2010 r. (sobota) godz. 10^45 – 13^45
Nr grupy ćwiczeniowej	Ocena końcowa
Data oddania sprawozdania 11.12.2010 r.

Zatwierdzam wyniki pomiarów.

Data i podpis prowadzącego zajęcia

Adnotacje dotyczące wymaganych poprawek oraz daty otrzymania poprawionego sprawozdania

WSTĘP

Na zajęciach dokonano różnych pomiarów sześcianu, aby następnie wyznaczyć jego gęstość . Do pomiarów tych użyto wagi i suwmiarki.

Dla badanej bryły wyznaczanie gęstości sprowadza się do bezpośredniego pomiaru masy oraz jej wymiarów geometrycznych niezbędnych do wyliczenia wartości pośrednich- objętości danej bryły , a następnie podstawieniu do wzoru

ρ = $\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{V}}$

ρ – gęstość bryły

V – objętość bryły

m – masa bryły

1. Zestaw przyrządów:

• śruba mikrometryczna – dokładności 0,01 mm,

• suwmiarka – dokładności 0,05 mm,

• waga – dokładność 0,1 g.

• mierzony element – prostopadłościan wykonany z metalu.

1. Cel ćwiczenia:

Wyznaczenie gęstości badanego elementu. Zapoznanie się z podstawowymi narzędziami (sposobem pomiaru oraz niedokładnościami przyrządów). Analiza otrzymanych wyników i nauka pisania sprawozdań.

1. Pomiary

Pomiary długości boków zostały wykonane przy użyciu suwmiarki. Błąd pomiaru przyjęto jako najmniejszą działkę suwmiarki Δ X_s = 0,05 mm

Niepewność standardowa przyrządu pomiarowego (suwmiarki) :

δX_S = $\frac{X_{S}}{\sqrt{3}}$ = $\frac{0,05}{\sqrt{3}}$ = 0,0289 ≈ 0,029 mm = 0,029 x 10^-3 m

l.p.	bok a mm	Δ a mm	bok b mm	Δ b mm	bok c mm	Δ c mm	V mm^3	Δ V mm^3
1.	25,00	0,08	24,90	0,02	30,00	0,03	18 675,00	93,31
2.	24,90	-0,02	24,80	-0,08	29,95	-0,02	18 494,72	-86,97
3.	24,90	-0,02	24,90	0,02	30,00	0,03	18 600,30	18,61
4.	24,95	0,03	24,95	0,07	29,95	-0,02	18 643,95	62,26
5.	24,85	-0,07	24,85	-0,03	29,95	-0,02	18 494,80	-86,89
6.	24,90	-0,02	24,90	0,02	------------	------------	------------
	aśr	σ	bśr	σ	cśr	σ	Vśr	σ
	24,92	0,02	24,88	0,02	29,97	0,01	18 581,69	37,45

Waga elementu 52,0 g. = 52 x 10^-3 kg

Pomiary wagi zostały wykonane przy pomocy wagi szalkowej. Błąd pomiaru przyjęto jako najmniejszy odważnik mogący służyć do pomiaru Δ X_w = 0,1 g

Niepewność standardowa przyrządu pomiarowego (wagi) :

δX_w = $\frac{X_{w}}{\sqrt{3}}$ = $\frac{0,1}{\sqrt{3}}$ = 0,0577350 ≈ 0,058 g = 0,058 x 10^-3 kg

1. Obliczenia

Wartość średnia dla boku a: a_śr = $\frac{1}{\text{n\ }}$ $\sum_{n = 1}^{n}a$_i

a_śr = $\frac{1}{6}$ (25,00+24,90+24,90+24,95+24,85+24,90) = 24,91666 ≈ 24,92

Błąd bezwzględny: Δ a = a_i – a_śr Δ a₁ = a₁ – a_śr = 25,00 – 24,92 = 0,08

Odchylenie standardowe: σ = $\sqrt{\frac{\sum_{n = 1\ }^{n}{d_{i}^{2}}}{n(n - 1)}}$

dla boku a:

σ_a = $\sqrt{\frac{{(0,08)}^{2} + {( - 0,02)}^{2} + {( - 0,02)}^{2} + {(0,03)}^{2} + \ {( - 0,07)}^{2} + {( - 0,02)}^{2}}{6(5)}}$ = $\sqrt{\frac{0,0134}{30}}\ $ =0,02113 ≈ 0,02

Całkowita niepewność standardowa średniej wartości boków a,b,c:

U_a =$\sqrt{{\sigma_{a}}^{2} + \frac{{\text{δX}\text{S\ }}^{2}}{3}}$ = $\sqrt{{0,02}^{2} + \frac{{0,05\ }^{2}}{3}}$ = 0,0351 mm

U_b =$\sqrt{{\sigma_{b}}^{2} + \frac{{\text{δX}\text{S\ }}^{2}}{3}}$ = $\sqrt{{0,02}^{2} + \frac{{0,05\ }^{2}}{3}}$ = 0,0351 mm

U_c =$\sqrt{{\sigma_{c}}^{2} + \frac{{\text{δX}\text{S\ }}^{2}}{3}}$ = $\sqrt{{0,01}^{2} + \frac{{0,05\ }^{2}}{3}}$ = 0,0306 mm

objętości bryły: x = $\frac{1}{x}$ $\sum_{i = 1}^{n}\text{xi}$ x= $\frac{1}{5}$ 92908,77 = 18 581,754 mm³

Objętość bryły: V_śr= a_śr * b_śr * c_śr V_śr=24,92 * 24,88 * 29,97 = 18 581,69 mm³

Błąd bezwzględny: ΔV = V_i – V_śr ΔV₁ = 18675,00 – 18581,69 = 93,31

Odchylenie standardowe objętości: $\text{\ \ }\sigma_{V}\ = \ \sqrt{\frac{\sum_{\ \ i = 1}^{n}\text{\ \ }{\Delta V}^{2}}{n(n - 1)}}$

σ_V = $\sqrt{}\frac{\left( 93,31 \right)^{2\ } + \left( - 86,97 \right)^{2\ } + \left( 18,61 \right)^{2\ } + \left( 62,26 \right)^{2\ } + \left( - 86,89 \right)^{2\ }}{5\ \left( 5 - 1 \right)}$ = 37,44532 ≈ 37,45

Złożona niepewność pomiaru objętości bryły:

U_c(V_śr) = $\sqrt{\sum_{K}^{}\left. \frac{\partial y}{\partial X_{k}}\ U(X_{k} \right.}$²

U_c(V_śr) =$\sqrt{{(\frac{1}{a_{sr}}\ U_{a})}^{2} +}{(\frac{1}{b_{sr}}\ U_{b})}^{2} + {(\frac{1}{c_{sr}}\ U_{c})}^{2}$ = $\sqrt{{(\frac{1}{24,92}\ 0,0351)}^{2} +}{(\frac{1}{24,88}\ 0,0351)}^{2} + {(\frac{1}{29,97}\ 0,0306)}^{2}$ =0,0022 mm^{3 =} 2,2^-12 m³

Gęstość metalu: ρ = $\frac{m}{V}$ $\left. \frac{\text{kg}}{m3} \right.$

m = 52,0 g = 0,052 kg

V = 18 581,69 mm³ = 18 581,69 x 10^-9 m³ =1,858169 x 10^-5 m³

ρ = $\frac{0,052}{0,000018582}$ = 2798,41 $\left. \frac{\text{kg}}{m3} \right.$

Złożona niepewność pomiaru pośredniego gęstości:

U_c(ρ) = $\sqrt{\sum_{K}^{}\left. \frac{\partial y}{\partial X_{k}}\ U(X_{k} \right.}$²

U_c(ρ) = $\sqrt{{(\frac{1}{V_{sr}}\text{\ \ δX}w)}^{2} + \ (\frac{m}{V_{sr}^{2\ \ }}\ U(V_{sr}))^{2}\text{\ \ }}$ = $\sqrt{{(\frac{1}{{1,858169x10}^{- 5}}\ 0,058\ x\ 10^{- 3\ })}^{2} + \ {(\frac{52\ x\ 10^{- 3}}{{{(1,858169x10^{- 5})}^{2}}^{}}}^{\ }{2,2x10}^{- 12})^{2}\ }$ = 3,12 $\frac{\text{kg}}{m^{3}}$

1. Wnioski:
   Z dokonanych pomiarów i obliczeń możemy wywnioskować, że użyty do pomiarów element w postaci sześciennej kostki wykonany został z aluminium bowiem obliczona gęstość materiału z którego została wykonana kostka wynosi 2798,41 $\left. \frac{\text{kg}}{m3} \right.$ ± 3.12 $\left. \frac{\text{kg}}{m3} \right.$ , natomiast odczytana z tablic gęstość właściwa aluminium w temperaturze 20 ^o C wynosi 2720 $\left. \frac{\text{kg}}{m3} \right.$.

Różnica 78,41 $\left. \frac{\text{kg}}{m3} \right.$ ± 3,12 $\left. \frac{\text{kg}}{m3} \right.$ jest wynikiem błędów pomiarowych wynikających z niedokładności przyrządów pomiarowych, z małej ilości pomiarów (różnice w wymiarach kostki pochodzące z niedokładności wykonania kostki) jak również z możliwych domieszek w składzie materiału z którego została wykonana kostka.