Ćwiczenie nr 100a

TEMAT: WYZNACZENIE GĘSTOŚCI CIAŁ STAŁYCH

Cel ćwiczenia:

- wyznaczenie gęstości ciała i niepewności pomiarowych

Do pomiaru otrzymaliśmy aluminiowy walec z wyciętymi dwoma walcami w środku, tak jak na rysunku po lewej stronie. Wysokości H1 i H2 mierzyliśmy śrubą mikrometryczną o dokładności 0,01[mm], a średnice D1, D2 i D3 suwmiarką o dokładności 0,05[mm]. Masę naszej bryły wyznaczyliśmy wagą elektroniczną o dokładności 0,1[g].

Objętość bryły wyraża się wzorem:

$${V = H_{1}\left( \frac{D_{1}}{2} \right)^{2}\pi - \left( H_{1} - H_{2} \right)\left( \frac{D_{2}}{2} \right)^{2}\pi - H_{2}\left( \frac{D_{3}}{2} \right)^{2}\pi\backslash n}{\ \ = \frac{1}{4}\pi\left( H_{1} \bullet {D_{1}}^{2} - \left( H_{1} - H_{2} \right){D_{2}}^{2} - H_{2} \bullet {D_{3}}^{2} \right)}$$

Wyniki pomiarów przedstawiają się następująco:

	H1	H2	D1	D2	D3	m
	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[g]
1.	16,25	2,87	50,4	35,45	28,2	48,5
2.	16,07	3,04	50,4	35,45	28,2	48,5
3.	16,08	3,01	50,4	35,5	28,2	48,4
4.	16,23	2,88	50,4	35,45	27,95
5.	16,1	2,85	50,4	35,4	28,2
6.	16,17	2,87	50,4	35,45	28,1
7.	16,33	2,96	50,4	35,4	28,25
8.	16,33	3,03	50,4	35,45	28,15
9.	16,16	3,09	50,4	35,45	28,2
10.	16,1	3	50,4	35,45	28,2

Tabela obliczonych średnich, niepewności pomiarowych, objętości i gęstości:

H1śr	ΔH1	H2 śr	ΔH2	D1 śr	ΔD1	D2 śr	ΔD2
[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]
16,19	0,04	2,96	0,03	50,4	0,05	35,45	0,05
D3 śr	ΔD3	m śr	Δm	V	ΔV	Δρ/ρ
[mm]	[mm]	[g]	[g]	[g/mm^3]	[g/mm^3]
28,17	0,05	48,5	0,1	17396,66	158,71	0,011184871
ρ	Δρ	ρ	Δρ
[g/mm^3]	[g/mm^3]	[kg/m^3]	[kg/m^3]
0,002787891	0,0000311822	2787,891469	31,1822071

Przykładowe obliczenia:

Średnie wartości pomiarów obliczaliśmy ze wzoru na średnią arytmetyczną:

$$x_{sr} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n}$$

np. ${H1}_{sr} = \frac{161,82}{10} = 16,182 \approx 16,19\lbrack mm\rbrack$

Wynik zaokrąglamy w górę do dokładności śruby mikrometrycznej.

Obliczanie odchylenia standardowego:

$$\delta_{x} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{sr} - x_{i} \right)^{2}}{n(n - 1)}}$$

np. $m = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{3}\left( m_{sr} - m_{i} \right)^{2}}{3(3 - 1)}} = \sqrt{\frac{0,00(6)}{6}} = \sqrt{0,00\left( 1 \right)} = 0,0(3) \approx 0,1\lbrack g\rbrack$

Zaokrąglamy wynik do dokładności wagi.

Błąd bezwzględny objętości ΔV możemy obliczyć metodą różniczki zupełnej. Obliczając pochodne cząstkowe naszego wzoru na objętość otrzymamy:

$$V = \frac{\pi}{4}\left\lbrack \left| {D1}^{2} - {D2}^{2} \right|H1 + \left| {D2}^{2} - {D3}^{2} \right|H2 + \left| 2*H1*D1 \right|D1 + \left| 2*H2*D2 - 2*H1*D2 \right|D2 + \left| 2*H2*D3 \right|D3 \right\rbrack$$

V ≈ 158, 71[mm³]

Gęstość naszej bryły obliczamy ze wzoru:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

$$\rho = \frac{m_{sr}}{V} = \frac{48,5}{17396,66} \approx 0,002787891\left\lbrack \frac{g}{\text{mm}^{3}} \right\rbrack$$

Błąd bezwzględny obliczonej gęstości obliczymy metodą pochodnej logarytmicznej:

$$\Delta\rho = \left( \left| \frac{\Delta m}{m} \right| + \left| \frac{\Delta V}{V} \right| \right)\rho$$

$$\rho = \left( \left| \frac{0,1}{48,5} \right| + \left| \frac{158,71}{17396,66} \right| \right)0,002787891 \approx 0,0000311822\left\lbrack \frac{g}{\text{mm}^{3}} \right\rbrack$$

Pozostaje nam wyliczyć błąd względny:

$$\frac{\rho}{\rho} = \frac{0,0000311822}{0,002787891} \approx 0,0112 = 1,12\%$$

Wnioski:

-nasze obliczenia wskazują na dosyć mały popełniony błąd przy pomiarach

-gęstość uzyskana za pomocą obliczeń jest zbliżona do właściwej gęstości aluminium