Obliczenia dla pomiaru odległości przedmiotu i obrazu od soczewki:

f₁ = $\frac{\text{xy}}{x + y}$

soczewka 1	I pomiar	II pomiar	III pomiar		I pomiar	II pomiar	III pomiar		I pomiar	II pomiar	III pomiar
x	82,0	81,8	81,6	x	60,2	60,3	60,0	x	40,0	41,0	39,0
y	9,0	9,2	9,4	y	9,8	9,7	10,0	y	10,0	9,0	11,0
f	8,05	7,96	8,05	f	8,22	8,07	8,37	f	8,18	8,12	8,12
fśr	8,02			fśr	8,22			fśr	8,14

dla pomiaru I:

f₁ = $\frac{82,0*\ 9,0}{82,0\ + \ 9,0}$ = 8,05 cm; f₁ = $\frac{81,8*\ 9,2}{81,8\ + \ 9,2}$ = 7,96 cm; f₁ = $\frac{81,6*9,4}{81,6 + 9,4}$ = 8,05 cm;

f_śr = $\frac{8,05 + 7,96 + 8,05}{3}$ = 8,02 cm;

dla pomiaru II:

f₁ = $\frac{60,2*9,8}{60,2 + 9,8}$ = 8,22 cm; f₁ = $\frac{60,3*9,7}{60,3 + 9,7}$ = 8,07 cm; f₁ = $\frac{60,0*10,0}{60,0 + 10,0}$ = 8,37 cm;

f_śr = $\frac{8,22 + 8,07 + 8,37}{3}$ = 8,22 cm;

dla pomiaru III:

f₁ = $\frac{40,0*10,0}{40,0 + 10,0}$ = 8,00 cm; f₁ = $\frac{41,0*9,0}{41,0 + 9,0}$ = 8,12 cm; f₁ = $\frac{39,0*11,0}{39,0 + 11,0}$ =8,12cm;

f_śr = $\frac{8,00 + 8,12 + 8,12}{3}$ = 8,06 cm;

f_śr = $\frac{\mathbf{8}\mathbf{,}\mathbf{06}\mathbf{+}\mathbf{8}\mathbf{,}\mathbf{22}\mathbf{+}\mathbf{8}\mathbf{,}\mathbf{14}}{\mathbf{3}}$ = 8,13 cm;

soczewka 2	I pomiar	II pomiar	III pomiar		I pomiar	II pomiar	III pomiar		I pomiar	II pomiar	III pomiar
x	80,8	80,8	80,8	x	43,2	43,3	43,3	x	19,7	19,8	19,7
y	12,3	12,3	12,3	y	13,9	13,8	13,8	y	17,4	17,3	17,4
f	10,7	10,7	10,7	f	10,5	10,5	10,5	f	9,2	9,2	9,2
fśr	10,7			fśr	10,5			fśr	9,2

dla pomiaru I:

f₂ = $\frac{80,8*\ 12,3}{80,8\ + \ 12,3}$ = 10,7 cm; f₂ = $\frac{80,8*\ 12,3}{80,8\ + \ 12,3}$ = 10,7 cm; f₂ = $\frac{80,8*\ 12,3}{80,8\ + \ 12,3}$ = 10,7 cm;

f_śr = $\frac{10,7 + 10,7 + 10,7}{3}$ = 10,7 cm;

dla pomiaru II:

f₂ = $\frac{43,2*13,9}{43,2 + 13,9}$ = 10,5 cm; f₂ = $\frac{43,3*13,8}{43,3 + 13,8}$ = 10,5 cm; f₂ = $\frac{43,3*13,8}{43,3 + 13,8}$ = 10,5 cm;

f_śr = $\frac{10,5 + 10,5 + 10,5}{3}$ = 10,5 cm;

dla pomiaru III:

f₂ = $\frac{19,7*17,4}{19,7 + 17,4}$ = 9,2 cm; f₂ = $\frac{19,8*17,3}{19,8 + 17,3}$ = 9,2 cm; f₂ = $\frac{19,7*17,4}{19,7 + 17,4}$ = 9,2 cm;

f_śr = $\frac{9,2 + 9,2 + 9,2}{3}$ = 9,2 cm;

f_śr = $\frac{\mathbf{8}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{+}\mathbf{8}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{9}}{\mathbf{3}}$ = 10,13 cm;

Obliczanie niepewności:

u (f)= $\sqrt{{(\frac{y^{2}}{{(x + y)}^{2}}*u(x))}^{2} + ({\frac{x^{2}}{{(x + y)}^{2}}*u(y))}^{2}}$

u(x) = u(y) = $\sqrt{\frac{{0,2}^{2} + \ {0,1}^{2}}{3}}$ = 0,24 cm

u (f₁) = $\sqrt{{(\frac{{81,8}^{2}}{\left( 81,8 + 9,2 \right)^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{{9,2}^{2}}{{(82,0 + 9,2)}^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 0,17 cm

u (f₁) = $\sqrt{{(\frac{{60,15}^{2}}{\left( 60,15 + 9,85 \right)^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{{9,4}^{2}}{{(60,15 + 9,85)}^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 0,15 cm

u (f₁) = $\sqrt{{(\frac{{40,0}^{2}}{\left( 40,0 + 10 \right)^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{{10,0}^{2}}{{(40,0 + 10,0)}^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 0,10 cm

u(f_1śr) = $\frac{0,17 + 0,15 + 0,10}{3}$ =0,15cm

u (f₂) = $\sqrt{{(\frac{{80,8}^{2}}{\left( 80,8 + 12,3 \right)^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{{12,3}^{2}}{{(80,8 + 12,3)}^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 0,18 cm

u (f₂) = $\sqrt{{(\frac{{43,2}^{2}}{\left( 43,2 + 13,9 \right)^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{{13,9}^{2}}{{(43,2 + 13,9)}^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 0,14 cm

u (f₂) = $\sqrt{{(\frac{{19,7}^{2}}{\left( 19,7 + 17,4 \right)^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{{17,4}^{2}}{{(19,7 + 17,4)}^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 0,09 cm

u(f_2śr) = $\frac{0,18 + 0,16 + 0,09}{3}$ =0,14 cm

f₁ = (8,13 ± 0,15) cm

f₂ = (10,13 ± 0,14) cm

Wyznaczenie ogniskowej soczewek z wielkości powiększonego obrazu:

f₁ = $\frac{\text{yL}}{L + L'}$; L= 1,6 cm

soczewka 1	I pomiar	II pomiar	III pomiar		I pomiar	II pomiar	III pomiar		I pomiar	II pomiar	III pomiar
L'	13,5	13,4	13,5	L'	11,3	11,3	11,3	L'	7,3	7,1	7,3
y	76,0	76,1	76,0	y	65,6	65,8	65,4	y	45,0	45,1	45,1
f1	11,46	11,39	11,46	f	9,64	9,64	9,63	f	6,28	6,13	6,28
fśr	11,42			fśr	9,637			fśr	6,20

dla pomiaru I:

f₁ = $\frac{76,0*13,5}{76,0 + 13,5}$ =11,46cm; f₁ = $\frac{76,1*13,4}{76,1 + 13,4}$ = 11,39cm; f₁ = $\frac{76,0*13,5}{76,0 + 13,5}$ =11,46cm;

f_śr = $\frac{11,46 + 11,39 + 11,46}{3}$ = 11,42 cm;

dla pomiaru II:

f₁= $\frac{65,6*11,3}{65,6 + 11,3}$=9,64cm; f₁=$\frac{65,8*11,3}{65,8 + 11,3}$=9,64cm; f₁=$\frac{65,4*11,3}{65,4 + 11,3}$=9,63cm;

f_śr = $\frac{9,64 + 9,64 + 9,63}{3}$ = 9,637 cm;

dla pomiaru III:

f₁ = $\frac{45,0*7,3}{45,0 + 7,3}$ =6,28 cm; f₁ = $\frac{45,1*7,1}{45,1 + 7,1}$ =6,13 cm; f₁ = $\frac{45,1*7,3}{45,1 + 7,3}$ =6,28 cm;

f_śr = $\frac{6,28 + 6,13 + 6,28}{3}$ =6,20 cm;

f_śr = $\frac{\mathbf{11}\mathbf{,}\mathbf{42}\mathbf{+}\mathbf{9}\mathbf{,}\mathbf{637}\mathbf{+}\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{20}}{\mathbf{3}}$ =9,09 cm;

soczewka 2	I pomiar	II pomiar	III pomiar		I pomiar	II pomiar	III pomiar		I pomiar	II pomiar	III pomiar
L'	6,0	6,1	6,0	L'	5,4	5,4	5,4	L'	4,6	4,7	4,6
y	80,8	80,8	80,8	y	43,2	43,2	43,2	y	19,7	19,8	19,7
f	10,8	10,8	10,8	f	10,7	10,7	10,7	f	10,4	10,4	10,4
fśr	10,8			fśr	10,7			fśr	10,4

dla pomiaru I:

f₂ = $\frac{80,8*\ 6,0}{80,8 + \ 6,0}$ = 10,8 cm; f₂ = $\frac{80,8*\ 6,0}{80,8 + \ 6,0}$ = 10,8 cm; f₂ = $\frac{80,8*\ 6,0}{80,8 + \ 6,0}$ = 10,8 cm;

f_śr = $\frac{10,8 + 10,8 + 10,8}{3}$ = 10,8 cm;

dla pomiaru II:

f₂ = $\frac{43,2*5,4}{43,2 + 5,4}$ = 10,7 cm; f₂ =$\frac{43,3*5,5}{43,3 + 5,5}$ = 10,7 cm; f₂ =$\frac{43,3*5,5}{43,3 + 5,5}$ = 10,7cm;

f_śr = $\frac{10,7 + 10,7 + 10,7}{3}$ = 10,7 cm;

dla pomiaru III:

f₂ = $\frac{19,7*4,6}{19,7 + 4,6}$ = 10,2 cm; f₂ = $\frac{19,8*4,7}{19,78 + 4,7}$ = 10,2 cm; f₂ = $\frac{19,7*4,6}{19,7 + 4,6}$ = 10,2 cm;

f_śr = $\frac{10,2 + 10,2 + 10,2}{3}$ = 10,2 cm;

f_śr = $\frac{\mathbf{10}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{+}\mathbf{10}\mathbf{,}\mathbf{7}\mathbf{+}\mathbf{10}\mathbf{,}\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$ = 10,60 cm;

Obliczanie niepewności:

u(f) = $\sqrt{{\frac{L^{2} + LL'}{{(L + L^{'})}^{2}}*u(y))}^{2} + ({\frac{yL'}{{(L + L^{'})}^{2}}*u(L))}^{2} + {(\frac{\text{yL}}{{(L + L^{'})}^{2}}*u(L^{'}))}^{2}}$

u(L’) = u(y) = $\sqrt{\frac{{0,4}^{2} + \ {0,1}^{2}}{3}}$ = 0,24 cm; u(L) = $\sqrt{\frac{0,2}{3}}$ = 0,26 cm

u(f₁) = $\sqrt{{\frac{{1,6}^{2} + 1,6*13,5}{{(1,6 + 13,5)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{76,0*13,5}{{(1,6 + 13,5)}^{2}}*0,26)}^{2} + {(\frac{76,0*1,6}{\left( 1,6 + 13,5 \right)^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 1,18 cm

u(f₁) = $\sqrt{{\frac{{1,6}^{2} + 1,6*11,3}{{(1,6 + 11,3)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{65,6*11,3}{{(1,6 + 11,3)}^{2}}*0,26)}^{2} + {(\frac{65,6*1,6}{\left( 1,6 + 11,3 \right)^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 1,14 cm

u(f₁) = $\sqrt{{\frac{{1,6}^{2} + 1,6*7,2}{{(1,6 + 7,2)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{45,1*7,2}{{(1,6 + 7,2)}^{2}}*0,26)}^{2} + {(\frac{45,1*1,6}{\left( 1,6 + 7,2 \right)^{2}}*0,24)}^{2}}$ =

1,08 cm

u(f_1śr) = $\frac{1,18 + 1,14 + 1,08}{3}$ =1,12 cm

u(f₂) = $\sqrt{{\frac{{1,6}^{2} + 1,6*6,0}{{(1,6 + 6,0)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{80,8*6,0}{{(1,6 + 6,0)}^{2}}*0,26)}^{2} + {(\frac{80,8*1,6}{\left( 1,6 + 6,0 \right)^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 1,55 cm

u(f₂) = $\sqrt{{\frac{{1,6}^{2} + 1,6*5,4}{{(1,6 + 5,4)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{43,2*5,4}{{(1,6 + 5,4)}^{2}}*0,26)}^{2} + {(\frac{43,2*1,6}{\left( 1,6 + 5,4 \right)^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 1,37 cm

u(f₂) = $\sqrt{{\frac{{1,6}^{2} + 1,6*4,6}{{(1,6 + 4,6)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{19,7*10,2}{{(1,6 + 4,6)}^{2}}*0,26)}^{2} + {(\frac{19,7*1,6}{\left( 1,6 + 4,6 \right)^{2}}*0,24)}^{2}}$ = 1,20 cm

u(f_2śr) = $\frac{1,55 + 1,37 + 1,2}{3}$ = 1,37 cm

f₁ = (9,09 ± 1,12) cm

f₂ = (10,60 ± 1,37) cm

Wyznaczanie ogniskowej soczewek metodą Bessela:

f = $\frac{d^{2} - l^{2}}{4d}$

dla soczewki 1

	I pomiar	II pomiar	III pomiar		I pomiar	II pomiar	III pomiar
d	85			d	75
l	74,0	74,1	74,0	l	47,1	47,2	46,9
f	8,5	8,6	8,5	f	7,7	7,7	7,8
fśr	8,5				7,7

f₁ = $\frac{85^{2} - 74^{2}}{4*85}$ = 8,4 cm; f₁ = $\frac{85^{2} - {74,1}^{2}}{4*85}$ = 8,5 cm; f₁ = $\frac{85^{2} - 74^{2}}{4*85}$ = 8,4 cm;

f₁ = $\frac{75^{2} - {47,1}^{2}}{4*75}$ = 7,7 cm; f₁ = $\frac{75 - {47,2}^{2}}{4*75}$ = 7,7 cm; f₁ = $\frac{75^{2} - {46,9}^{2}}{4*75}$ = 7,8 cm;

f_śr = $\frac{\mathbf{8,4 + 7,7}}{\mathbf{2}}$ = 8,05 cm

Obliczanie niepewności:

u(d) = u(l) = $\sqrt{\frac{{0,4}^{2} + \ {0,1}^{2}}{3}}$ = 0,24 cm

u (f)= $\sqrt{{(\frac{d^{2} + l^{2}}{{4d}^{2}}*u(d))}^{2} + ({\frac{l}{2d}*u(l))}^{2}}$

u (f)= $\sqrt{{(\frac{{(93)}^{2} + {(74)}^{2}}{{4*(93)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{74}{2*93}*0,24)}^{2}}$ =0,14 cm

u (f)= $\sqrt{{(\frac{{(65)}^{2} + {(47,1)}^{2}}{{4*(65)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{47,1}{2*65}*0,24)}^{2}}$ =0,13 cm

u(f_śr) = $\frac{0,14 + 0,13}{2}$ = 0,135 cm

f = (8,1 ± 0,135) cm

Wyznaczanie ogniskowej soczewki rozproszonej (dla soczewki 1 i rozproszonej):

d	85			d	70
l	4,7	4,9	4,8	l	7,0	6,8	7,1
f	22,6	22,5	22,5	f	20,4	20,6	20,5
fśr	22,5				20,5

f = $\frac{d^{2} - l^{2}}{4d}$

f_1,3 = $\frac{{85,0}^{2} - {4,7}^{2}}{4*85,0}$ =22,6cm; f_1,3 = $\frac{{85,0}^{2} - {4,9}^{2}}{4*85,0}$ =22,4cm; f_1,3=$\frac{{85,0}^{2} - {4,8}^{2}}{4*85,0}$=22,8cm;

f_1,3 = $\frac{{70,0}^{2} - {7,0}^{2}}{4*70,0}$ =20,4 cm; f_1,3 = $\frac{{70,0}^{2} - {6,8}^{2}}{4*70,0}$ =20,6cm; f_1,3 = $\frac{{70,0}^{2} - {7,1}^{2}}{4*70,0}$=20,5cm;

f_śr = $\frac{\mathbf{22}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{+}\mathbf{20}\mathbf{,}\mathbf{6}}{\mathbf{2}}$ = 21,55 cm

Obliczanie niepewności:

u(d) = u(l) = $\sqrt{\frac{{0,4}^{2} + \ {0,1}^{2}}{3}}$ = 0,24 cm

u (f)= $\sqrt{{(\frac{d^{2} + l^{2}}{{4d}^{2}}*u(d))}^{2} + ({\frac{l}{2d}*u(l))}^{2}}$

u (f)= $\sqrt{{(\frac{{(97,1)}^{2} + {(13)}^{2}}{{4*(97,1)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{13}{2*97,1}*0,24)}^{2}}$ =0,13 cm

u (f)= $\sqrt{{(\frac{{(67,1)}^{2} + {(14)}^{2}}{{4*(67,1)}^{2}}*0,24)}^{2} + ({\frac{14}{2*67,1}*0,24)}^{2}}$ =0,1 cm

u(f_śr) = $\frac{0,13 + 0,13}{2}$ = 0,13 cm

f_1,3 = (21,50 ± 0,13) cm f₃ = $\frac{f_{1}f_{1,3}}{f_{1} - f_{1,3}}$ f₃ = $\frac{8,05*21,50}{8,05 - 21,50}$ = -12,7 cm

u (f₃) = $\sqrt{{(\frac{{f_{1}}^{2}}{{(f_{1} - f_{1,3})}^{2}}*u(f_{1,3}))}^{2} + ({\frac{{f_{1,3}}^{2}}{{(f_{1} - f_{1,3})}^{2}}*u(f_{1}))}^{2}}$

u (f₃) = $\sqrt{{(\frac{{8,05}^{2}}{\left( 8,05 - 21,50 \right)^{2}}*(0,13))}^{2} + ({\frac{{21.50}^{2}}{{(8,05 - 21,50)}^{2}}*(0,16))}^{2}}$ = 0,41 cm

f₃ = (-12,7 ± 0,41) cm

Wnioski:

Celem ćwiczenia było wyznaczenie ogniskowej. Można to dokonać kilkoma sposobami:

- pomiar odległości przedmiotu i obrazu od soczewki – wyniki, które otrzymaliśmy ta metodą są następujące: f₁ = (8,13 ± 0,15) cm i f₂ = (10,13 ± 0,14) cm;

- wyznaczanie ogniskowej soczewki z wielkości powiększonego obrazu - wyniki, które otrzymaliśmy ta metodą są następujące: f₁ = (9,09 ± 1,12) cm i

f₂ = (10,60 ± 1,37) cm;

-wyznaczenie ogniskowej soczewek metodą Bessela - wyniki, które otrzymaliśmy ta metodą są następujące: f₁ = (8,1 ± 0,135) cm.

Jak widać z powyższych wyników wartości są do siebie zbliżone i można powiedzieć (uwzględniając niepewności) że nawet porównywalne ze sobą. Ewentualne różnice mogą być spowodowane niedokładnościami odczytu (oka eksperymentatora) czy też niestabilnością statywów z soczewkami.

Dodatkowo w tym ćwiczeniu należało wyznaczyć ogniskową soczewki rozproszonej, która wyniosła: (-12,7 ± 0,41) cm.