Politechnika Rzeszowska Rok akademicki 2011/2012

Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Kierunek Budownictwo

Katedra Konstrukcji Budowlanych Studia Stacjonarne

III rok, semestr 6

KONSTRUKCJE DREWNIANE

PRACA PROJEKTOWA

Temat nr 52

Projekt drewnianej konstrukcji nośnej dachu budynku magazynowego

Konsultował: Wykonała:

dr inż. Wiesław Kubiszyn Mateusz Mazurek

III BD, G3

1. OPIS TECHNICZNY

1. Podstawa formalna opracowania

Podstawą formalną wykonania projektu jest temat nr 52 wydany przez Katedrę Konstrukcji Budowlanych Politechniki Rzeszowskiej.

1. Wstęp i założenia

   1. Przedmiot opracowania

Przedmiotem opracowania jest projekt drewnianej konstrukcji nośnej dachu budynku magazynowego.

1. Dane wyjściowe

• Wymiary rzutu budynku w osiach ścian: 16 x 32 [m]

• Wysokość budynku: 5,5 [m]

• Rozstaw głównych układów nośnych dachu: 1,0 [m]

• Lokalizacja: Ostrołęka 3 strefa obciążenia śniegiem, 1 strefa obciążenia wiatrem

• Rodzaj pokrycia dachu: Folia dachowa

• Rodzaj ścian zewnętrznych: cegła pełna

• Dźwigar dachowy trapezowy jednospadkowy

• Rodzaj łączników: płytki kolczaste

  1. Zakres projektu

Projekt obejmuje:

• Opis techniczny

• Obliczenia statyczne zasadniczych elementów konstrukcyjnych dachu, tj. podkładu pod pokrycie oraz wiązara dachowego

• Sprawdzenie stanów granicznych konstrukcji dachu

• Projektowanie węzłów

• Część graficzną, tj. rzut budynku, przekrój poprzeczny, rzut konstrukcji dachu oraz rysunek wykonawczy wiązara dachowego

1. Ogólna koncepcja konstrukcji

Projektowany obiekt przeznaczony jest na budynek magazynowy. Wymiary budynku w osiach ścian 16,0 x 32,0 [m]. Konstrukcję nośną dachu stanowi deskowanie pełne o wymiarach desek 0,02 x 0,15 [m] oraz 33 wiązarów dachowych wykonanych jako dźwigary trapezpwe jednospadkowe o rozstawie co 1,0 [m].

1. Opis poszczególnych ustrojów i elementów konstrukcyjnych

   1. Pokrycie dachowe

Pokrycie dachu wykonane jest z Foli dachowej

1. Podkład pod pokrycie

Deski wykonane z drewna klasy C22 o przekroju 20 x 150 [mm], połączone z dźwigarem za pomocą wkrętów.

1. Dźwigar dachowy

Zaprojektowany jako kratownica trapezowa jednospadkowa.. Pas górny zaprojektowano z drewna klasy C30 z desek o przekroju prostokątnym 45 x 150 i pas dolny zaprojektowano z desek o przekroju prostokątnym 45 x 200 [mm], słupki i krzyżulce wykonano z drewna klasy C50 z belek o przekroju prostokątnym 45 x 150 [mm]. Połączenia kratownicy wykonano z płytek kolczastych M14.

1. Ściany zewnętrzne

Ściana zewnętrzna wykonana z cegły pełnej o grubości 0,36 [m].

1. Obciążenia przyjęte w projekcie

Obliczenia przeprowadzono z uwzględnieniem obciążeń:

• stałych, wynikających z konstrukcji dachu, wg normy PN-EN 1991-1-1

• zmiennych, tj. obciążenia śniegiem (dla 2 strefy) wg PN-EN 1991-1-3 oraz obciążenia wiatrem (dla 1 strefy) wg PN-EN 1991-1-4

Kombinacje obciążeń wykonano zgodnie z obowiązującą normą PN-EN 1990.

1. Metoda obliczeń statycznych

Wszystkie elementy konstrukcyjne obliczano jako ustroje płaskie. Obliczenia statyczne podkładu pod pokrycie wykonano ręcznie, przyjmując schemat belki dwuprzęsłowej. Do obliczeń statycznych wiązara dachowego użyto programu komputerowego Autodesk ROBOT Structural Analysis Professional 2012, który wykorzystuje metodę elementów skończonych.

1. Materiały

Do wykonania podkładu pod pokrycie zastosowano drewno klasy C22, natomiast do konstrukcji dźwigara zastosowano drewno sosnowe klasy C30 i C50.

1. Warunki gruntowe

Posadowienie budynku nie wchodzi w zakres niniejszego opracowania.

1. Wymagana klasa odporności ogniowej

Wymagania klasy odporności ogniowej nie zostały przewidziane w zakresie projektu.

1. Charakterystyka agresywności środowiska

Przyjęto stopień agresywności środowiska XC1 (umiarkowany) wg PN-EN ISO 12944.

1. Ogólne zasady montażu

Montaż konstrukcji dachu należy wykonać według oddzielnego opracowania (projektu montażu). Roboty należy wykonywać zgodnie z zasadami stuki budowlanej, z poszanowaniem zasad BHP, pod fachowym nadzorem.

1. Literatura:

• PN-EN 1990 – Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji

• PN-EN 1991-1-1 – Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Oddziaływania ogólne.

• PN-EN 1991-1-3 – Eurokod 1: Oddziaływania ogólne – obciążenie śniegiem

• PN-EN 1991-1-4 – Eurokod 1: Oddziaływania ogólne – obciążenie wiatrem

• PN-EN 1995-1-1 – Eurokod 5: Projektowanie konstrukcji drewnianych

1. PROJEKTOWANIE ZASADNICZYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH DACHU

Pozycja 1. Podkład pod pokrycie (element nośny pokrycia – łaty)

1. Warstwy pokrycia dachowego

1. Zestawienie oddziaływań na połać dachową na 1 m²

   1. Oddziaływania stałe

Pokrycie dachu dachówką ceramiczną, zatem przyjęto:

g_k = 1,0 [kN/m²]

γ_f = 1,35

g_d = 1,35 [kN/m²]

1. Oddziaływania zmienne

   • Obciążenie śniegiem (wg PN-EN 1991 – 1 – 3)

S = μ_i · C_e · C_t · S_k [kN/m²]

Lokalizacja: Radom – 2 strefa obciążenia śniegiem

S_k = 0,9 [kN/m²]

Przyjęto teren normalny C_e = 1,0

C_t = 1,0

μ₁ = 0,8

S = 0,8 · 1,0 · 1,0 · 0,9 = 0,72 [kN/m²]

γ_f = 1,5

S_d = 0,72 · 1,5 = 1,08 [kN/m²]

• Obciążenie wiatrem

Lokalizacja: Radom – 1 strefa obciążenia wiatrem

A = 200 m n.p.m. < 300 m n.p.m.

Kategoria terenu IV

Kąt nachylenia połaci dachu 15°

Dach jednospadowy

• Na powierzchnie zewnętrzne

- Wartość podstawowa prędkości wiatru: V_b,0 = 22 [m/s] Tablica NA.1

- Bazowa prędkość wiatru: V_b = c_dir · c_season · V_b,0

Tablica NA.2. c_dir = 1,0

c_season = 1,0

V_b = 1,0 · 1,0 · 22 = 22,0 [m/s]

- Wartość bazowa ciśnienia prędkości: q_b = 0,5 · ρ · V_b² [N/m²]

ρ = 1,25 [kg/m³]

q_b = 0,5 · 1,25 · 22² = 302,5 [N/m²] = 0,303 [kN/m²]

- Wysokość odniesienia: z_e = 4,0 + 2,0 = 6,0 [m] < z_min = 10,0 [m] zatem z_e = 10,0 [m]

- Współczynnik ekspozycji Tablica NA.3:

$$c_{e}\left( z \right) = 1,5 \bullet \left( \frac{z}{10} \right)^{0,29} = 1,5 \bullet \left( \frac{10}{10} \right)^{0,29} = 1,5$$

- Wartość szczytowa ciśnienia prędkości: q_p(z) = c_e(z) · q_b = 1,5 · 0,303 = 0,454 [kN/m²]

- Współczynnik konstrukcyjny: c_sc_d = 1,0 dla budynków o wysokości mniejszej niż 15[m]

Obciążenie wiatrem na 1m² połaci dachu θ = 0°:

e = min (b; 2h) = min (15; 2·6) = 12,0

Kąt nachylenia połaci dachu 15°

w_e = c_pe · q_p(z_e)

- ssanie:

Pole F: c_pe,1 = -2,0 w_e,F = -2,0 · 0,454 = -0,908 [kN/m²]

Pole G: c_pe,1 = -1,5 w_e,G = -1,5 · 0,454 = -0,681 [kN/m²]

Pole H: c_pe,1 = -0,3 w_e,H = -0,3 · 0,454 = -0,136 [kN/m²]

- parcie:

Pole F: c_pe,1 = +0,2 w_e,F = 0,2 · 0,454 = 0,091 [kN/m²]

Pole G: c_pe,1 = +0,2 w_e,G = 0,2 · 0,454 = 0,091 [kN/m²]

Pole H: c_pe,1 = +0,2 w_e,H = 0,2 · 0,454 = 0,091 [kN/m²]

Obciążenie wiatrem na 1m² połaci dachu θ = 90°:

- ssanie:

Pole F_up: c_pe,1 = -2,9 w_e,F = -2,9 · 0,454 = -1,317 [kN/m²]

Pole F_low: c_pe,1 = -2,4 w_e,F = -2,4 · 0,454 = -1,090 [kN/m²]

Pole G: c_pe,1 = -2,5 w_e,G = -2,5 · 0,454 = -1,135 [kN/m²]

Pole H: c_pe,1 = -1,2 w_e,H = -1,2 · 0,454 = -0,545 [kN/m²]

Pole I: c_pe,1 = -1,2 w_e,I = -1,2 · 0,454 = -0,545 [kN/m²]

• Na powierzchnie wewnętrzne

w_i = c_pi · q_p(z_i)

parcie: c_pi = +0,2 w_i = 0,2 · 0,454 = 0,091 [kN/m²]

ssanie: c_pe = -0,3 w_i = -0,3 · 0,454 = -0,136 [kN/m²]

w_k = 0,091 + 0,136 =0,227 [kN/m²]

1. Schemat statyczny podkładu pod pokrycie dachowe

1. Zestawienie obciążeń na element – łatę

Obciążenie	Wartość	Obciążenie ┴	Obciążenie ||	Szerokość zbierania	Obciążenie ┴	Obciążenie ||
-	kN/m^2	kN/m^2	kN/m^2	m	kN/m	kN/m
g	1,0	0,966	0,259	0,30	0,290	0,078
S	0,72	0,672	0,180	0,30	0,202	0,054
we	0,091	0,091	0	0,30	0,027	0
wi	0,136	0,136	0	0,30	0,041	0
Qca	1,0	0,966	0,259	0,30	0,290	0,078
P	1,0	0,966	0,259	-	0,966	0,259

1. Kombinacje oddziaływań – kombinacja podstawowa w stanie granicznym STR – warunki eksploatacji = sytuacja obliczeniowa trwała

Kombinacje obciążeń zalecone dla stanu STR przez Załącznik krajowy do EN 1990:

1. $\sum_{j \geq 1}^{}{\gamma_{G,j}G_{k,j} + \gamma_{Q,1}\psi_{0,1}Q_{k,1} + \sum_{i > 1}^{}{\gamma_{Q,i}\psi_{0,i}Q_{k,i}}}$

2. $\sum_{j \geq 1}^{}{\xi_{j}\gamma_{G,j}G_{k,j} + \gamma_{Q,1}Q_{k,1} + \sum_{i > 1}^{}{\gamma_{Q,i}\psi_{0,i}Q_{k,i}}}$

ψ₀ = 0, 5 – śnieg

ψ₀ = 0, 6 – wiatr

ξ = 0, 85

γ_Gj, sup = 1, 35 – niekorzystne

γ_Q, i = 1, 50 – niekorzystne

1. Obliczenia statyczne (analiza elementu konstrukcyjnego)

$$M_{y} = \max\begin{Bmatrix} 1,35 \bullet g_{\bot} + 1,5 \bullet 0,5 \bullet S_{\bot} + 1,5 \bullet 0,6 \bullet w_{\bot} \\ 0,85 \bullet 1,35 \bullet g_{\bot} + 1,5 \bullet S_{\bot} + 1,5 \bullet 0,6 \bullet w_{\bot} \\ \end{Bmatrix} \bullet \frac{l^{2}}{8}$$

$$M_{z} = \max\begin{Bmatrix} 1,35 \bullet g_{\parallel} + 1,5 \bullet 0,5 \bullet S_{\parallel} + 0 \\ 0,85 \bullet 1,35 \bullet g_{\parallel} + 1,5 \bullet S_{\parallel} + 0 \\ \end{Bmatrix} \bullet \frac{l^{2}}{8}$$

$$M_{y} = \max\begin{Bmatrix} 1,35 \bullet 0,290 + 1,5 \bullet 0,5 \bullet 0,202 + 1,5 \bullet 0,6 \bullet (0,027 + 0,041) \\ 0,85 \bullet 1,35 \bullet 0,290 + 1,5 \bullet 0,202 + 1,5 \bullet 0,6 \bullet (0,027 + 0,041) \\ \end{Bmatrix} \bullet \frac{{1,0}^{2}}{8}$$

$$M_{y} = \max\begin{Bmatrix} 0,604 \\ 0,697 \\ \end{Bmatrix} \bullet 0,125 = 0,697 \bullet 0,125 = \mathbf{0,087}\left\lbrack \mathbf{\text{kNm}} \right\rbrack\mathbf{= 8,7\ \lbrack kNcm\rbrack}$$

$$M_{z} = \max\begin{Bmatrix} 1,35 \bullet 0,078 + 1,5 \bullet 0,5 \bullet 0,054 + 0 \\ 0,85 \bullet 1,35 \bullet 0,078 + 1,5 \bullet 0,054 + 0 \\ \end{Bmatrix} \bullet \frac{{1,0}^{2}}{8}$$

$$M_{z} = \max\begin{Bmatrix} 0,146 \\ 0,171 \\ \end{Bmatrix} \bullet 0,125 = 0,171 \bullet 0,125 = \mathbf{0,021\ }\left\lbrack \mathbf{\text{kNm}} \right\rbrack\mathbf{= 2,1\lbrack kNcm\rbrack}$$

1. Sprawdzenie stanów granicznych

   1. Sprawdzenie stanu granicznego nośności (SGN)

Dane materiałowe:

• Drewno klasy C22 f_mk = 22 [N/mm²]

• Przekrój łaty 50 x 50 [mm]

• k_m = 0,7 (dla przekroju prostokątnego)

• $k_{h} = \min{\left( \left( \frac{150}{h} \right)^{0,2};1,3 \right) =}\min{\left( \left( \frac{150}{50} \right)^{0,2};1,3 \right) = \min\left( 1,25;1,3 \right) = 1,25}$

• γ_M = 1,3 dla drewna litego

• k_mod = 0,9 dla obciążenia krótkotrwałego – wiatr i 2 kl. użytkowania konstrukcji

$$f_{m,d,1} = k_{h} \bullet \frac{f_{m,k} \bullet k_{\text{mod}}}{\gamma_{M}} = 1,25 \bullet \frac{22 \bullet 0,9}{1,3} = 19,04\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack = 1,90\left\lbrack \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \right\rbrack$$

$$W_{y} = \frac{b \bullet h^{2}}{6} = \frac{50 \bullet 50^{2}}{6} = 20833\ \left\lbrack mm^{3} \right\rbrack = 20,83\lbrack cm^{3}\rbrack$$

$$W_{z} = \frac{h \bullet b^{2}}{6} = \frac{50 \bullet 50^{2}}{6} = 20833\ \left\lbrack mm^{3} \right\rbrack = 20,83\ \lbrack cm^{3}\rbrack$$

$$I_{y} = \frac{b \bullet h^{3}}{12} = \frac{50 \bullet 50^{3}}{12} = 520833\ \left\lbrack mm^{4} \right\rbrack = 52,08\ \lbrack cm^{4}\rbrack$$

$$I_{z} = \frac{h \bullet b^{3}}{12} = \frac{50 \bullet 50^{3}}{12} = 520833\left\lbrack mm^{4} \right\rbrack = 52,08\ \lbrack cm^{4}\rbrack$$

1. $k_{m} \bullet \frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}} + \frac{\sigma_{m,z,d}}{f_{m,z,d}} \leq 1,0$

2. $\frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}} + k_{m} \bullet \frac{\sigma_{m,z,d}}{f_{m,z,d}} \leq 1,0$

$$\sigma_{m,y,d} = \frac{M_{y}}{W_{y}} = \frac{8,70\ \lbrack kNcm\rbrack}{20,83\ \lbrack cm^{3}\rbrack} = 0,418\ \left\lbrack \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \right\rbrack$$

$$\sigma_{m,z,d} = \frac{M_{z}}{W_{z}} = \frac{2,10\ \lbrack kNcm\rbrack}{20,83\ \lbrack cm^{3}\rbrack} = 0,101\left\lbrack \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \right\rbrack$$

1. $k_{m} \bullet \frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}} + \frac{\sigma_{m,z,d}}{f_{m,z,d}} = 0,7 \bullet \frac{0,418}{1,90} + \frac{0,101}{1,90} = 0,207 < 1,0$

2. $\frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}} + k_{m} \bullet \frac{\sigma_{m,z,d}}{f_{m,z,d}} = \frac{0,418}{1,90} + 0,7 \bullet \frac{0,101}{1,90} = 0,257 < 1,0$

   1. Sprawdzenie stanu granicznego użytkowalności (SGU)

$$E_{0,mean} = 10\left\lbrack \frac{\text{kN}}{mm^{2}} \right\rbrack = 1000\left\lbrack \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \right\rbrack$$

k_def = 0, 8 (dla drewna litego, klasa 2 użytkowania)

Śnieg: ψ₀ = 0, 5; ψ₂ = 0

Wiatr: ψ₀ = 0, 6; ψ₂ = 0

$$u_{\text{fin}} = u_{fin,G} + u_{fin,Q1} + \sum_{}^{}{u_{fin,Qi} \leq u_{net,fin}}$$

u_fin, G = u_inst, G(1 + k_def)

u_fin, Q1 = u_inst, Q1(1 + ψ_2, 1k_def)

u_fin, Qi = u_inst, Qi(ψ_0, i + ψ_2, ik_def)

$$u = \sqrt{u_{\text{finz}}^{2} + u_{\text{finy}}^{2}}$$

$$u_{net,fin} = \frac{l}{200} = \frac{100}{200} = 0,5\ \left\lbrack cm \right\rbrack = 5\lbrack mm\rbrack$$

• Względem osi y

$$u_{inst,G,\bot} = \frac{2,09}{384} \bullet \frac{g_{\bot} \bullet l^{4}}{E \cdot I_{y}}$$

$$u_{inst,G,\bot} = \frac{2,09}{384} \bullet \frac{0,0029\ \left\lbrack \frac{\text{kN}}{\text{cm}} \right\rbrack \bullet 100^{4}\left\lbrack cm^{4} \right\rbrack}{1000\left\lbrack \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \right\rbrack \cdot 52,08\ \left\lbrack cm^{4} \right\rbrack} = \frac{606100}{19998720} = 0,030\ \left\lbrack \text{cm} \right\rbrack = 0,3\ \lbrack mm\rbrack$$

$$u_{inst,S,\bot} = \frac{2,09}{384} \bullet \frac{0,0020\ \left\lbrack \frac{\text{kN}}{\text{cm}} \right\rbrack \bullet 100^{4}\left\lbrack cm^{4} \right\rbrack}{1000\left\lbrack \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \right\rbrack \cdot 52,08\ \left\lbrack cm^{4} \right\rbrack} = \frac{422180}{19998720} = 0,021\ \left\lbrack \text{cm} \right\rbrack = 0,2\ \lbrack mm\rbrack$$

$u_{inst,W,\bot} = \frac{2,09}{384} \bullet \frac{\left( 0,00027 + 0,00041 \right)\left\lbrack \frac{\text{kN}}{\text{cm}} \right\rbrack \bullet 100^{4}\left\lbrack cm^{4} \right\rbrack}{1000\left\lbrack \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \right\rbrack \cdot 52,08\ \left\lbrack cm^{4} \right\rbrack} = \frac{68000}{19998720} = 0,0034\ \left\lbrack \text{cm} \right\rbrack = 0,03\ \lbrack mm\rbrack$

u_{fin, G, ⊥} = u_inst, G(1+k_def) = 0, 3 ⋅ (1+0,8) = 0, 54 [mm]

u_{fin, S, ⊥} = u_inst, S(1+ψ_2, 1k_def) = 0, 2 ⋅ (1+0⋅0,8) = 0, 2 [mm]

u_{fin, W, ⊥} = u_inst, W(ψ_0, i+ψ_2, ik_def) = 0, 03 ⋅ (0,6+0⋅0,8) = 0, 02 [mm]

$$u_{fin,y} = u_{fin,G} + u_{fin,Q1} + \sum_{}^{}{u_{fin,Qi} = 0,54 + 0,2 + 0,02 = 0,8\ \lbrack mm\rbrack}$$

• Względem osi z

$$u_{inst,G, \parallel} = \frac{2,09}{384} \bullet \frac{g_{\parallel} \bullet l^{4}}{E \cdot I_{z}}$$

$$u_{inst,G, \parallel} = \frac{2,09}{384} \bullet \frac{0,00078\left\lbrack \frac{\text{kN}}{\text{cm}} \right\rbrack \bullet 100^{4}\left\lbrack cm^{4} \right\rbrack}{1000\left\lbrack \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \right\rbrack \cdot 52,08\ \left\lbrack cm^{4} \right\rbrack} = \frac{163020}{19998720} = 0,0082\ \left\lbrack \text{cm} \right\rbrack = 0,08\ \lbrack mm\rbrack$$

$$u_{inst,S, \parallel} = \frac{2,09}{384} \bullet \frac{0,00054\left\lbrack \frac{\text{kN}}{\text{cm}} \right\rbrack \bullet 100^{4}\left\lbrack cm^{4} \right\rbrack}{1000\left\lbrack \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \right\rbrack \cdot 52,08\ \left\lbrack cm^{4} \right\rbrack} = \frac{112860}{19998720} = 0,0056\ \left\lbrack \text{cm} \right\rbrack = 0,06\ \lbrack mm\rbrack$$

u_{fin, G, ∥} = u_inst, G(1+k_def) = 0, 08 ⋅ (1+0,8) = 0, 14 [mm]

u_{fin, S, ∥} = u_inst, S(1+ψ_2, 1k_def) = 0, 06 ⋅ (1+0⋅0,8) = 0, 06 [mm]

$$u_{fin,z} = u_{fin,G} + u_{fin,Q1} + \sum_{}^{}{u_{fin,Qi} = 0,14 + 0,06 = 0,2\ \lbrack mm\rbrack}$$

• Sprawdzenie warunku

$$u = \sqrt{{0,8}^{2} + {0,2}^{2}} = \sqrt{0,68} = 0,82\ \left\lbrack \text{mm} \right\rbrack < u_{net,fin} = 5\lbrack mm\rbrack$$

1. Kombinacje oddziaływań – kombinacja podstawowa w stanie granicznym STR – warunki wykonawstwa = sytuacja obliczeniowa przejściowa

Kombinacje obciążeń zalecone dla stanu STR przez Załącznik krajowy do EN 1990:

1. $\sum_{j \geq 1}^{}{\gamma_{G,j}G_{k,j} + \gamma_{Q,1}\psi_{0,1}Q_{k,1} + \sum_{i > 1}^{}{\gamma_{Q,i}\psi_{0,i}Q_{k,i}}}$

2. $\sum_{j \geq 1}^{}{\xi_{j}\gamma_{G,j}G_{k,j} + \gamma_{Q,1}Q_{k,1} + \sum_{i > 1}^{}{\gamma_{Q,i}\psi_{0,i}Q_{k,i}}}$

ψ₀ = 1, 0

ξ = 0, 85

γ_Gj, sup = 1, 35 – niekorzystne

γ_Q, i = 1, 50 – niekorzystne

1. Obliczenia statyczne (analiza elementu konstrukcji)

$$M_{y}^{\text{EC}} = \max\begin{Bmatrix} 1,35 \bullet g_{\bot} \cdot 0,0703 \cdot l^{2} + 1,5 \bullet 1,0 \cdot q_{ca\bot} \bullet 0,096 \cdot l^{2} \\ 0,85 \bullet 1,35 \bullet g_{\bot} \cdot 0,0703 \cdot l^{2} + 1,5 \bullet q_{ca\bot} \bullet 0,096 \cdot l^{2} \\ \end{Bmatrix}$$

$$M_{z}^{\text{EC}} = \max\begin{Bmatrix} 1,35 \bullet g_{\parallel} \cdot 0,0703 \cdot l^{2} + 1,5 \bullet q_{ca \parallel} \bullet 0,096 \cdot l^{2} \\ 0,85 \bullet 1,35 \bullet g_{\parallel} \cdot 0,0703 \cdot l^{2} + 1,5 \bullet q_{ca \parallel} \bullet 0,096 \cdot l^{2} \\ \end{Bmatrix}$$

$$M_{y}^{\text{EC}} = \max{\begin{Bmatrix} 1,35 \bullet 0,290 \cdot 0,0703 \cdot 1^{2} + 1,5 \bullet 0,290 \bullet 0,096 \cdot 1^{2} \\ 0,85 \bullet 1,35 \bullet 0,290 \cdot 0,0703 \cdot 1^{2} + 1,5 \bullet 0,290 \bullet 0,096 \cdot 1^{2} \\ \end{Bmatrix} = max\begin{Bmatrix} 0,0693 \\ 0,0652 \\ \end{Bmatrix}}$$

M_y^EC = 0, 0693 [kNm] = 6, 93[kNcm]

$$M_{z}^{\text{EC}} = \max{\begin{Bmatrix} 1,35 \bullet 0,078 \cdot 0,0703 \cdot 1^{2} + 1,5 \bullet 0,078 \bullet 0,096 \cdot 1^{2} \\ 0,85 \bullet 1,35 \bullet 0,078 \cdot 0,0703 \cdot 1^{2} + 1,5 \bullet 0,078 \bullet 0,096 \cdot 1^{2} \\ \end{Bmatrix} = max}\begin{Bmatrix} 0,0186 \\ 0,0175 \\ \end{Bmatrix}$$

M_z^EC = 0, 0186 [kNm] = 1, 86[kNcm]

M_y^PN = 1, 35 ⋅ q_⊥ ⋅ 0, 0703 ⋅ l² + 1, 5 ⋅ P_⊥ ⋅ 0, 207 ⋅ l

M_y^PN = 1, 35 ⋅ 0, 290 ⋅ 0, 0703 ⋅ 1² + 1, 5 ⋅ 0, 966 ⋅ 0, 207 ⋅ 1 = 0, 327 [kNm] = 32, 7[kNcm]

M_z^PN = 1, 35 ⋅ q_∥ ⋅ 0, 0703 ⋅ l² + 1, 5 ⋅ P_∥ ⋅ 0, 207 ⋅ l

M_z^PN = 1, 35 ⋅ 0, 078 ⋅ 0, 0703 ⋅ 1² + 1, 5 ⋅ 0, 259 ⋅ 0, 207 ⋅ 1 = 0, 088 [kNm] = 8, 78 [kNcm]

M_y = max(M_y^EC, M_y^PN) = max(6,93;32,7) = 32, 7 [kNcm]

M_z = max(M_z^EC, M_z^PN) = max(1,86;8,8) = 8, 78 [kNcm]

1. Sprawdzenie stanów granicznych

   1. Sprawdzenie stanu granicznego nośności (SGN)

Dane materiałowe:

• Drewno klasy C22 f_mk = 22 [N/mm²]

• Przekrój łaty 50 x 50 [mm]

• k_m = 0,7 (dla przekroju prostokątnego)

• $k_{h} = \min{\left( \left( \frac{150}{h} \right)^{0,2};1,3 \right) =}\min{\left( \left( \frac{150}{50} \right)^{0,2};1,3 \right) = \min\left( 1,25;1,3 \right) = 1,25}$

• γ_M = 1,3 dla drewna litego

• k_mod = 0,9 dla obciążenia krótkotrwałego – wiatr i 2 kl. użytkowania konstrukcji

$$f_{m,d,1} = k_{h} \bullet \frac{f_{m,k} \bullet k_{\text{mod}}}{\gamma_{M}} = 1,25 \bullet \frac{22 \bullet 0,9}{1,3} = 19,04\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack = 1,90\left\lbrack \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \right\rbrack$$

$$W_{y} = \frac{b \bullet h^{2}}{6} = \frac{50 \bullet 50^{2}}{6} = 20833\ \left\lbrack mm^{3} \right\rbrack = 20,83\lbrack cm^{3}\rbrack$$

$$W_{z} = \frac{h \bullet b^{2}}{6} = \frac{50 \bullet 50^{2}}{6} = 20833\ \left\lbrack mm^{3} \right\rbrack = 20,83\ \lbrack cm^{3}\rbrack$$

$$I_{y} = \frac{b \bullet h^{3}}{12} = \frac{50 \bullet 50^{3}}{12} = 520833\ \left\lbrack mm^{4} \right\rbrack = 52,08\ \lbrack cm^{4}\rbrack$$

$$I_{z} = \frac{h \bullet b^{3}}{12} = \frac{50 \bullet 50^{3}}{12} = 520833\left\lbrack mm^{4} \right\rbrack = 52,08\ \lbrack cm^{4}\rbrack$$

1. $k_{m} \bullet \frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}} + \frac{\sigma_{m,z,d}}{f_{m,z,d}} \leq 1,0$

2. $\frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}} + k_{m} \bullet \frac{\sigma_{m,z,d}}{f_{m,z,d}} \leq 1,0$

$$\sigma_{m,y,d} = \frac{M_{y}}{W_{y}} = \frac{32,7\mathbf{\ }\ \lbrack kNcm\rbrack}{20,83\ \lbrack cm^{3}\rbrack} = 1,570\ \left\lbrack \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \right\rbrack$$

$$\sigma_{m,z,d} = \frac{M_{z}}{W_{z}} = \frac{8,78\ \lbrack kNcm\rbrack}{20,83\ \lbrack cm^{3}\rbrack} = 0,422\left\lbrack \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \right\rbrack$$

1. $k_{m} \bullet \frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}} + \frac{\sigma_{m,z,d}}{f_{m,z,d}} = 0,7 \bullet \frac{1,570}{1,90} + \frac{0,422}{1,90} = \ 0,801 < 1,0$

2. $\frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}} + k_{m} \bullet \frac{\sigma_{m,z,d}}{f_{m,z,d}} = \frac{1,570}{1,90} + 0,7 \bullet \frac{0,422}{1,90} = 0,982 < 1,0$

   1. Sprawdzenie stanu granicznego użytkowalności (SGU)

$$E_{0,mean} = 10\left\lbrack \frac{\text{kN}}{mm^{2}} \right\rbrack = 1000\left\lbrack \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \right\rbrack$$

k_def = 0, 8 (dla drewna litego, klasa 2 użytkowania)

ψ₀ = 1, 0

ψ₂ = 0, 2

$$u_{\text{fin}} = u_{fin,G} + u_{fin,Q1} + \sum_{}^{}{u_{fin,Qi} \leq u_{net,f\text{in}}}$$

u_fin, G = u_inst, G(1 + k_def)

u_fin, Q = u_inst, Q(1 + ψ_2, 1k_def)

$$u = \sqrt{u_{\text{finz}}^{2} + u_{\text{finy}}^{2}}$$

$$u_{net,fin} = \frac{l}{200} = \frac{100}{200} = 0,5\ \left\lbrack \text{cm} \right\rbrack = 5\lbrack mm\rbrack$$

• Względem osi y

$$u_{inst,G,\bot} = \frac{2,09}{384} \bullet \frac{g_{\bot} \bullet l^{4}}{E \cdot I_{y}}$$

$$u_{inst,G,\bot} = \frac{2,09}{384} \bullet \frac{0,0029\ \left\lbrack \frac{\text{kN}}{\text{cm}} \right\rbrack \bullet 100^{4}\left\lbrack cm^{4} \right\rbrack}{1000\left\lbrack \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \right\rbrack \cdot 52,08\ \left\lbrack cm^{4} \right\rbrack} = \frac{606100}{19998720} = 0,030\ \left\lbrack \text{cm} \right\rbrack = 0,3\ \lbrack mm\rbrack$$

$$u_{inst,Q,\bot} = 0,015 \cdot \frac{P_{\bot} \cdot l^{3}}{E \cdot I_{y}}$$

$$u_{inst,Q,\bot} = 0,015 \bullet \frac{0,966\ \left\lbrack \text{kN} \right\rbrack \bullet 100^{3}\left\lbrack cm^{3} \right\rbrack}{1000\left\lbrack \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \right\rbrack \cdot 52,08\ \left\lbrack cm^{4} \right\rbrack} = \frac{14490}{52080} = 0,278\left\lbrack \text{cm} \right\rbrack = 2,8\ \lbrack mm\rbrack$$

u_{fin, G, ⊥} = u_inst, G(1+k_def) = 0, 3 ⋅ (1+0,8) = 0, 54 [mm]

u_{fin, Q, ⊥} = u_inst, Q(1+ψ_2, 1k_def) = 2, 8 ⋅ (1+0,2⋅0,8) = 3, 25 [mm]

$$u_{fin,y} = u_{fin,G} + u_{fin,Q1} + \sum_{}^{}{u_{fin,Qi} = 0,54 + 3,25 = 3,79\ \lbrack mm\rbrack}$$

• Względem osi z

$$u_{inst,G, \parallel} = \frac{2,09}{384} \bullet \frac{g_{\parallel} \bullet l^{4}}{E \cdot I_{z}}$$

$$u_{inst,G, \parallel} = \frac{2,09}{384} \bullet \frac{0,00078\left\lbrack \frac{\text{kN}}{\text{cm}} \right\rbrack \bullet 100^{4}\left\lbrack cm^{4} \right\rbrack}{1000\left\lbrack \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \right\rbrack \cdot 52,08\ \left\lbrack cm^{4} \right\rbrack} = \frac{163020}{19998720} = 0,0082\ \left\lbrack \text{cm} \right\rbrack = 0,08\ \lbrack mm\rbrack$$

$$u_{inst,Q, \parallel} = 0,015 \cdot \frac{P_{\parallel} \cdot l^{3}}{E \cdot I_{z}}$$

$$u_{inst,Q, \parallel} = 0,015 \bullet \frac{0,259\left\lbrack \text{kN} \right\rbrack \bullet 100^{3}\left\lbrack cm^{3} \right\rbrack}{1000\left\lbrack \frac{\text{kN}}{cm^{2}} \right\rbrack \cdot 52,08\ \left\lbrack cm^{4} \right\rbrack} = \frac{3885}{52080} = 0,075\left\lbrack \text{cm} \right\rbrack = 0,75\ \lbrack mm\rbrack$$

u_{fin, G, ∥} = u_inst, G(1+k_def) = 0, 08 ⋅ (1+0,8) = 0, 14 [mm]

u_{fin, Q, ∥} = u_inst, Q(1+ψ_2, 1k_def) = 0, 75 ⋅ (1+0,2⋅0,8) = 0, 87 [mm]

$$u_{fin,z} = u_{fin,G} + u_{fin,Q1} + \sum_{}^{}{u_{fin,Qi} = 0,14 + 0,87 = 1,01\ \lbrack mm\rbrack}$$

• Sprawdzenie warunku

$$u = \sqrt{{3,79}^{2} + {1,01}^{2}} = \sqrt{15,38} = 3,92\ \left\lbrack \text{mm} \right\rbrack < u_{net,fin} = 5\lbrack mm\rbrack$$

1. Pozycja 2. Wiązar dachowy

   1. Dane projektowe wyjściowe.

• Wymiary budynku w osiach B x L: 7,5 x 15,0 [m]

• Wysokość budynku 4,0 [m]

• Spadek połaci dachowej 15°

• Siatka geometryczna przekroju:

Długość słupków: 0,40m; 0,80m; 1,20m; 1,60m; 2,00m

Długość krzyżulców: 1,55m; 1,70m; 1,92m; 2,19m

1. Zestawienie oddziaływań na połać dachową na 1m²

   1. Oddziaływania stałe

Dachówka ceramiczna z łatami: g_k = 1,0 [kN/m²]

1. Oddziaływania zmienne

   • Obciążenie śniegiem

S = μ_i · C_e · C_t · S_k [kN/m²]

Lokalizacja: Radom – 2 strefa obciążenia śniegiem

S_k = 0,9 [kN/m²]

Przyjęto teren normalny C_e = 1,0

C_t = 1,0

μ₁ = 0,8

S = 0,8 · 1,0 · 1,0 · 0,9 = 0,72 [kN/m²]

γ_f = 1,5

S_d = 0,72 · 1,5 = 1,08 [kN/m²]

• Obciążenie wiatrem

Lokalizacja: Radom – 1 strefa obciążenia wiatrem

A = 200 m n.p.m. < 300 m n.p.m.

Kategoria terenu IV

Kąt nachylenia połaci dachu 15°

Dach jednospadowy

• Na powierzchnie zewnętrzne

- Wartość podstawowa prędkości wiatru: V_b,0 = 22 [m/s] Tablica NA.1

- Bazowa prędkość wiatru: V_b = c_dir · c_season · V_b,0

Tablica NA.2. c_dir = 1,0

c_season = 1,0

V_b = 1,0 · 1,0 · 22 = 22,0 [m/s]

- Wartość bazowa ciśnienia prędkości: q_b = 0,5 · ρ · V_b² [N/m²]

ρ = 1,25 [kg/m³]

q_b = 0,5 · 1,25 · 22² = 302,5 [N/m²] = 0,303 [kN/m²]

- Wysokość odniesienia: z_e = 4,0 + 2,0 = 6,0 [m] < z_min = 10,0 [m] zatem z_e = 10,0 [m]

- Współczynnik ekspozycji Tablica NA.3:

$$c_{e}\left( z \right) = 1,5 \bullet \left( \frac{z}{10} \right)^{0,29} = 1,5 \bullet \left( \frac{10}{10} \right)^{0,29} = 1,5$$

- Wartość szczytowa ciśnienia prędkości: q_p(z) = c_e(z) · q_b = 1,5 · 0,303 = 0,454 [kN/m²]

- Współczynnik konstrukcyjny: c_sc_d = 1,0 dla budynków o wysokości mniejszej niż 15[m]

Obciążenie wiatrem na 1m² połaci dachu θ = 0°:

e = min (b; 2h) = min (15; 2·6) = 12,0

Kąt nachylenia połaci dachu 15°

w_e = c_pe · q_p(z_e)

- ssanie:

Pole F: c_pe,10 = -0,9 w_e,F = -0,9 · 0,454 = -0,409 [kN/m²]

Pole G: c_pe,10 = -0,8 w_e,G = -0,8 · 0,454 = -0,363 [kN/m²]

Pole H: c_pe,10 = -0,3 w_e,H = -0,3 · 0,454 = -0,136 [kN/m²]

- parcie:

Pole F: c_pe,10 = +0,2 w_e,F = 0,2 · 0,454 = 0,091 [kN/m²]

Pole G: c_pe,10 = +0,2 w_e,G = 0,2 · 0,454 = 0,091 [kN/m²]

Pole H: c_pe,10 = +0,2 w_e,H = 0,2 · 0,454 = 0,091 [kN/m²]

Obciążenie wiatrem na 1m² połaci dachu θ = 180°:

e = min (b; 2h) = min (15; 2·6) = 12,0

Kąt nachylenia połaci dachu 15°

w_e = c_pe · q_p(z_e)

- ssanie:

Pole F: c_pe,10 = -2,5 w_e,F = -2,5 · 0,454 = -1,135 [kN/m²]

Pole G: c_pe,10 = -1,3 w_e,G = -1,3 · 0,454 = -0,590 [kN/m²]

Pole H: c_pe,10 = -0,9 w_e,H = -0,9 · 0,454 = -0,409 [kN/m²]

Obciążenie wiatrem na 1m² połaci dachu θ = 90°:

- ssanie:

Pole F_up: c_pe,10 = -2,4 w_e,F = -2,4 · 0,454 = -1,090 [kN/m²]

Pole F_low: c_pe,10 = -1,6 w_e,F = -1,6 · 0,454 = -0,726 [kN/m²]

Pole G: c_pe,10 = -1,9 w_e,G = -1,9 · 0,454 = -0,863 [kN/m²]

Pole H: c_pe,10 = -0,8 w_e,H = -0,8 · 0,454 = -0,363 [kN/m²]

Pole I: c_pe,10 = -0,7 w_e,I = -0,7 · 0,454 = -0,318 [kN/m²]

• Na powierzchnie wewnętrzne

w_i = c_pi · q_p(z_i)

parcie: c_pi = +0,2 w_i = 0,2 · 0,454 = 0,091 [kN/m²]

ssanie: c_pe = -0,3 w_i = -0,3 · 0,454 = -0,136 [kN/m²]

w_k = 0,091 + 0,136 =0,227 [kN/m²]

1. Zestawienie obciążeń na wiązar pośredni

   1. Oddziaływania stałe

Obciążenie stałe na 1m połaci dachu: G_k = 1,0 [kN/m²] ·1,0 [m] = 1,0 [kN/m]

1. Oddziaływania zmienne

   • Obciążenie śniegiem

     • Obciążenie równomierne: S_k = 0,72 [kN/m²]· 1,0 [m] = 0,72 [kN/m]

• Obciążenie wiatrem

  • Na powierzchnie zewnętrzne

Gdy wiatr wieje na ścianę podłużną θ = 180°:

Ssanie: w_F,G = -1,135 [kN/m²]·1,0 [m] = -1,135 [kN/m]

w_H = -0,409 [kN/m²]·1,0 [m] = -0,409 [kN/m]

Gdy wiatr wieje na ścianę podłużną θ = 0°:

Ssanie: w_F,G = -0,409 [kN/m²]·1,0 [m] = -0,409 [kN/m]

w_H = -0,136 [kN/m²]·1,0 [m] = -0,136 [kN/m]

Gdy wiatr wieje na ścianę szczytową θ = 90°:

Ssanie: w_F,H = -0,363 [kN/m²]·1,0 [m] = -0,363 [kN/m]

• Na powierzchnie wewnętrzne

w_ip = 0,091[kN/m²] · 1,0 [m] = 0,091 [kN/m]

w_is = -0,136 [kN/m²] · 1,0 [m] = -0,136 [kN/m]

1. Kombinacje oddziaływań – kombinacja podstawowa w stanie granicznym STR

Kombinacje obciążeń zalecone dla stanu STR przez Załącznik krajowy do EN 1990:

1. $\sum_{j \geq 1}^{}{\gamma_{G,j}G_{k,j} + \gamma_{Q,1}\psi_{0,1}Q_{k,1} + \sum_{i > 1}^{}{\gamma_{Q,i}\psi_{0,i}Q_{k,i}}}$

2. $\sum_{j \geq 1}^{}{\xi_{j}\gamma_{G,j}G_{k,j} + \gamma_{Q,1}Q_{k,1} + \sum_{i > 1}^{}{\gamma_{Q,i}\psi_{0,i}Q_{k,i}}}$

ψ₀ = 0, 5 – śnieg

ψ₀ = 0, 6 – wiatr

ξ = 0, 85

γ_Gj, sup = 1, 35 – niekorzystne

γ_Gj, inf = 1, 35 – korzystne

γ_Q, i = 1, 50 – niekorzystne

γ_Q, i = 0 – korzystne

KOMB.1. 1,35· 0,85· G + 1,5· S

KOMB.2. 1,35· G + 1,5·0,5· S + 1,5· 0,6· (W_e1+W_i2)

KOMB.3. 1,35· 0,85· G + 1,5·S + 1,5· 0,6· (W_e1+W_i2)

KOMB.4. 1,35· 0,85· G + 1,5· (W_e1+W_i2) +1,5·0,5· S

KOMB.5. G + 1,5·(W_e1+W_i2)

KOMB.6. G + 1,5·(W_e2+W_i1)

KOMB.7. G + 1,5·(W_e3+W_i1)

1. Wstępne przyjęcie przekrojów poprzecznych prętów wiązara

Przyjęto wstępnie przekroje z drewna klasy C24:

• Pas górny 63 x 140 mm

• Pas dolny 63 x 140 mm

• Skratowanie:

  • Słupki 63 x 75 mm

  • Krzyżulce 63 x 75 mm

  1. Analiza globalna

     1. Metoda analizy, dane do analizy, numeracja węzłów i prętów

1. Przebieg analizy

Obliczenia wykonano za pomocą programu komputerowego Autodesk ROBOT Structural Analisys Professional 2012 w oparciu o analizę pierwszego rzędu.

1. Wyniki analizy – SGN (wykresy i wartości sił wewnętrznych, korekta wykresów momentów zginających w pasach zgodnie z pkt 5.4.3(3) oraz wartości sił ściskających zgodnie z pkt 9.2.1(4) EC5

KOMB.1.

KOMB.2.

KOMB.3.

KOMB.4.

KOMB.5.

KOMB.6.

KOMB.7.

Załącznik nr 1 – Wartości sił wewnętrznych w prętach w poszczególnych kombinacjach

1. Wyniki analizy – SGU (maksymalne ugięcie wiązara od poszczególnych oddziaływań)

1. Sprawdzenie nośności elementów (SGN)

   1. Pas górny wiązara – zginany ze ściskaniem

M₁₁ = 0,57 [kNm] M₁₁’ = 0,9· M₁₁ = 0,9· 0,57 = 0,513 [kNm]

M_1,11 = 0,60 [kNm] M_1, 11^′ = M_1, 11 + 0, 1 • M₁₁ = 0, 60 + 0, 1 • 0, 57 = 0, 657 [kNm]

N_c = 27,49 [kN] N_c’ = 1,1 · N_c = 1,1 · 27,49 = 30,24 [kN]

Warunek SGN w przęśle:

$$\frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c,y} \bullet f_{c,0,d}} + \frac{\sigma_{m,y,d}^{1,11}}{f_{m,y,d}} \leq 1,0$$

Warunek SGN w podporze:

$$\left( \frac{\sigma_{c,0,d}}{f_{c,0,d}} \right)^{2} + \frac{\sigma_{m,y,d}^{11}}{f_{m,y,d}} \leq 1,0$$

$$\sigma_{m,y,d} = \frac{M_{\text{Ed}}}{W_{y}}$$

$$\sigma_{c,0,d} = \frac{N_{c}}{A}$$

A = 63 • 140 = 8820 [mm²]

$$W_{y} = \frac{bh^{2}}{6} = \frac{63 \bullet 140^{2}}{6} = 205800\ \lbrack mm^{3}\rbrack$$

$$\sigma_{m,y,d}^{1,11} = \frac{657000}{205800} = 3,052\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$\sigma_{m,y,d}^{11} = \frac{513000}{205800} = 2,493\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$\sigma_{c,0,d} = \frac{30240}{8820} = 3,429\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$i_{y} = \sqrt{\frac{I_{y}}{A}} = \sqrt{\frac{63 \bullet 140^{3}}{12 \bullet 8820}} = 40,41\ \lbrack mm\rbrack$$

k_mod = 0,8

γ_M = 1,3

β_c = 0,2 (dla drewna litego)

$$f_{c,0,d} = \frac{f_{c,0,k} \bullet k_{\text{mod}}}{\gamma_{M}} = \frac{21 \bullet 0,8}{1,3} = 12,92\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$f_{m,y,d} = \frac{f_{m,y,k} \bullet k_{\text{mod}}}{\gamma_{M}} = \frac{24 \bullet 0,8}{1,3} = 14,77\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack\ $$

$$\lambda_{y} = \frac{L_{\text{ey}}}{i_{y}} = \frac{\mu_{y} \bullet L_{d,y}}{i_{y}} = \frac{1,0 \bullet 1552}{40,41} = 38,41$$

$$\lambda_{rel,y} = \frac{\lambda_{y}}{\pi} \bullet \sqrt{\frac{f_{c,0,k}}{E_{0,05}}} = \frac{38,41}{\pi} \bullet \sqrt{\frac{21}{7400}} = 0,651$$

k_y = 0, 5 • [1+β_c•(λ_rel, y−0,3)+λ_rel, y²] = 0, 5 • [1+0,2•(0,651−0,3)+0, 651²]

k_y = 0, 747

$$k_{c,y} = \frac{1}{k_{y} + \sqrt{k_{y}^{2} - \lambda_{rel,y}^{2}}} = \frac{1}{0,747 + \sqrt{{0,747}^{2} - {0,651}^{2}}} = 0,898$$

Warunek SGN w przęśle:

$$\frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c,y} \bullet f_{c,0,d}} + \frac{\sigma_{m,y,d}^{1,11}}{f_{m,y,d}} = \frac{3,429}{0,898 \bullet 12,92} + \frac{3,052\ \ }{14,77} = 0,502 < 1,0$$

Warunek SGN w podporze:

$$\left( \frac{\sigma_{c,0,d}}{f_{c,0,d}} \right)^{2} + \frac{\sigma_{m,y,d}^{11}}{f_{m,y,d}} = \left( \frac{3,429}{12,92} \right)^{2} + \frac{2,493}{14,77} = 0,240 < 1,0$$

Warunki są spełnione.

1. Pas dolny wiązara

1. Zginanie z rozciąganiem osiowym

M₂ = 0,51 [kNm] M₂’ = 0,9· M₂ = 0,9· 0,51 = 0,46 [kNm]

M_1,2 = 0,36 [kNm] $M_{1,2}^{'} = M_{1,2} + \frac{0,1 \bullet M_{2} + 0,1 \bullet M_{1}}{2} = 0,36 + \frac{0,1 \bullet 0,51 + 0,1 \bullet 0,2}{2} = 0,394\ \lbrack kNm\rbrack$

N_t = 7,71 [kN] N_t’ = 1,1 · N_t = 1,1 · 7,71 = 8,48 [kN]

Warunek SGN w przęśle:

$$\frac{\sigma_{t,0,d}}{f_{t,0,d\ }} + \frac{\sigma_{m,y,d}^{12}}{f_{m,y,d}} \leq 1,0$$

Warunek SGN w podporze:

$$\frac{\sigma_{t,0,d}}{f_{t,0,d\ }} + k_{m} \bullet \frac{\sigma_{m,y,d}^{2}}{f_{m,y,d}} \leq 1,0$$

$$\sigma_{m,y,d} = \frac{M_{\text{Ed}}}{W_{y}}$$

A = 63 • 140 = 8820 [mm²]

$$W_{y} = \frac{bh^{2}}{6} = \frac{63 \bullet 140^{2}}{6} = 205800\ \lbrack mm^{3}\rbrack$$

$$\sigma_{m,y,d}^{1,2} = \frac{394000}{205800} = 1,914\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$\sigma_{m,y,d}^{2} = \frac{460000}{205800} = 2,235\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$\sigma_{t,0,d} = \frac{N_{t}}{A} = \frac{8480}{8820} = 0,961\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$E_{0,05} = 7400\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

k_m = 0, 7 (dla przekroju prostokątnego)

$$f_{t,0,d} = \frac{f_{t,0,k} \bullet k_{\text{mod}}}{\gamma_{M}} = \frac{14 \bullet 0,8}{1,3} = 8,62\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$f_{m,y,d} = \frac{f_{m,y,k} \bullet k_{\text{mod}}}{\gamma_{M}} = \frac{24 \bullet 0,8}{1,3} = 14,77\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack\ $$

Warunek SGN w przęśle:

$$\frac{\sigma_{t,0,d}}{f_{t,0,d\ }} + \frac{\sigma_{m,y,d}^{12}}{f_{m,y,d}} = \frac{0,961}{8,62} + \frac{2,235}{14,77} = 0,263 < 1,0$$

Warunek SGN w podporze:

$$\frac{\sigma_{t,0,d}}{f_{t,0,d\ }} + k_{m} \bullet \frac{\sigma_{m,y,d}^{2}}{f_{m,y,d}} = \frac{0,961}{8,62} + 0,7 \bullet \frac{2,235}{14,77} = 0,217 < 1,0$$

Warunki są spełnione.

1. Zginanie ze ściskaniem osiowym

M₆ = 0,13 [kNm] M₆’ = 0,9· M₆ = 0,9· 0,13 = 0,12 [kNm]

M_5,6 = 0,025 [kNm] $M_{5,6}^{'} = M_{5,6} + \frac{0,1 \bullet M_{5} + 0,1 \bullet M_{6}}{2} = 0,025 + \frac{0,1 \bullet 0,13 + 0,1 \bullet 0,08}{2} = 0,036\ \lbrack kNm\rbrack$

N_c = 11,80 [kN] N_c’ = 1,1 · N_c = 1,1 · 11,80 = 12,98 [kN]

Warunek SGN w przęśle:

$$\frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c,y} \bullet f_{c,0,d}} + \frac{\sigma_{m,y,d}^{5,6}}{f_{m,y,d}} \leq 1,0$$

Warunek SGN w podporze:

$$\left( \frac{\sigma_{c,0,d}}{f_{c,0,d}} \right)^{2} + \frac{\sigma_{m,y,d}^{6}}{f_{m,y,d}} \leq 1,0$$

$$\sigma_{m,y,d} = \frac{M_{\text{Ed}}}{W_{y}}$$

$$\sigma_{c,0,d} = \frac{N_{c}}{A}$$

A = 63 • 140 = 8820 [mm²]

$$W_{y} = \frac{bh^{2}}{6} = \frac{63 \bullet 140^{2}}{6} = 205800\ \lbrack mm^{3}\rbrack$$

$$\sigma_{m,y,d}^{5,6} = \frac{36000}{205800} = 0,175\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$\sigma_{m,y,d}^{6} = \frac{120000}{205800} = 0,583\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$\sigma_{c,0,d} = \frac{12980}{8820} = 1,472\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$i_{y} = \sqrt{\frac{I_{y}}{A}} = \sqrt{\frac{63 \bullet 140^{3}}{12 \bullet 8820}} = 40,41\ \lbrack mm\rbrack$$

k_mod = 0,8

γ_M = 1,3

β_c = 0,2 (dla drewna litego)

$$f_{c,0,d} = \frac{f_{c,0,k} \bullet k_{\text{mod}}}{\gamma_{M}} = \frac{21 \bullet 0,8}{1,3} = 12,92\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$f_{m,y,d} = \frac{f_{m,y,k} \bullet k_{\text{mod}}}{\gamma_{M}} = \frac{24 \bullet 0,8}{1,3} = 14,77\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack\ $$

$$\lambda_{y} = \frac{L_{\text{ey}}}{i_{y}} = \frac{\mu_{y} \bullet L_{d,y}}{i_{y}} = \frac{1,0 \bullet 1500}{40,41} = 37,12$$

$$\lambda_{rel,y} = \frac{\lambda_{y}}{\pi} \bullet \sqrt{\frac{f_{c,0,k}}{E_{0,05}}} = \frac{37,12}{\pi} \bullet \sqrt{\frac{21}{7400}} = 0,629$$

k_y = 0, 5 • [1+β_c•(λ_rel, y−0,3)+λ_rel, y²] = 0, 5 • [1+0,2•(0,629−0,3)+0, 629²]

k_y = 0, 731

$$k_{c,y} = \frac{1}{k_{y} + \sqrt{k_{y}^{2} - \lambda_{rel,y}^{2}}} = \frac{1}{0,731 + \sqrt{{0,731}^{2} - {0,629}^{2}}} = 0,906$$

Warunek SGN w przęśle:

$$\frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c,y} \bullet f_{c,0,d}} + \frac{\sigma_{m,y,d}^{5,6}}{f_{m,y,d}} = \frac{1,472}{0,906 \bullet 12,92} + \frac{0,175\ \ }{14,77} = 0,138 < 1,0$$

Warunek SGN w podporze:

$$\left( \frac{\sigma_{c,0,d}}{f_{c,0,d}} \right)^{2} + \frac{\sigma_{m,y,d}^{6}}{f_{m,y,d}} = \left( \frac{1,472}{12,92} \right)^{2} + \frac{0,583}{14,77} = 0,052 < 1,0$$

Warunki są spełnione.

1. Skratowanie wiązara

1. Słupek – ściskany osiowo

Przekrój skratowania 63 x 75 [mm]

N_c = 1, 59 [kN] N_c^′ = 1, 1 • 1, 59 = 1, 75 [kN]

A = 63 • 75 = 4725 [mm²]

$$I_{y} = \frac{b \bullet h^{3}}{12} = \frac{63 \bullet 75^{3}}{12} = 2214844\ \lbrack mm^{4}\rbrack$$

$$i_{y} = \sqrt{\frac{I_{y}}{A}} = \sqrt{\frac{2214844}{4725}} = 21,65\ \lbrack mm\rbrack$$

$$\lambda_{y} = \frac{L_{\text{ey}}}{i_{y}} = \frac{\mu_{y} \bullet L_{d,y}}{i_{y}} = \frac{1,0 \bullet 2000}{21,65} = 92,38$$

$$\lambda_{rel,y} = \frac{\lambda_{y}}{\pi} \bullet \sqrt{\frac{f_{c,0,k}}{E_{0,05}}} = \frac{92,38}{\pi} \bullet \sqrt{\frac{21}{7400}} = 1,566$$

k_y = 0, 5 • [1+β_c•(λ_rel, y−0,3)+λ_rel, y²] = 0, 5 • [1+0,2•(1,566−0,3)+1, 566²]

k_y = 1, 853

$$k_{c,y} = \frac{1}{k_{y} + \sqrt{k_{y}^{2} - \lambda_{rel,y}^{2}}} = \frac{1}{1,853 + \sqrt{{1,853}^{2} - {1,566}^{2}}} = 0,352$$

$$f_{c,0,d} = \frac{f_{c,0,k} \bullet k_{\text{mod}}}{\gamma_{M}} = \frac{21 \bullet 0,8}{1,3} = 12,92\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$\sigma_{c,0,d} = \frac{N_{c}}{A} = \frac{1750}{4725} = 0,370\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

Warunek nośności: $\ \frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{\text{cy}} \bullet f_{c,0,d}} \leq 1,0$

$$\frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c,y} \bullet f_{c,0,d}} = \frac{0,370}{0,352 \bullet 12,92} = 0,081 < 1,0$$

Warunek jest spełniony.

$$I_{z} = \frac{h \bullet b^{3}}{12} = \frac{75 \bullet 63^{3}}{12} = 1562794\ \lbrack mm^{4}\rbrack$$

$$i_{z} = \sqrt{\frac{I_{z}}{A}} = \sqrt{\frac{1562794}{4725}} = 18,19\ \lbrack mm\rbrack$$

$$\lambda_{z} = \frac{L_{\text{ez}}}{i_{z}} = \frac{\mu_{z} \bullet L_{d,z}}{i_{z}} = \frac{1,0 \bullet 2000}{18,19} = 109,95$$

$$\lambda_{rel,z} = \frac{\lambda_{z}}{\pi} \bullet \sqrt{\frac{f_{c,0,k}}{E_{0,05}}} = \frac{109,95}{\pi} \bullet \sqrt{\frac{21}{7400}} = 1,864$$

k_z = 0, 5 • [1+β_c•(λ_rel, z−0,3)+λ_rel, z²] = 0, 5 • [1+0,2•(1,864−0,3)+1, 864²]

k_z = 2, 394

$$k_{c,z} = \frac{1}{k_{z} + \sqrt{k_{z}^{2} - \lambda_{rel,z}^{2}}} = \frac{1}{2,394 + \sqrt{{2,394}^{2} - {1,864}^{2}}} = 0,257$$

$$f_{c,0,d} = \frac{f_{c,0,k} \bullet k_{\text{mod}}}{\gamma_{M}} = \frac{21 \bullet 0,8}{1,3} = 12,92\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$\sigma_{c,0,d} = \frac{N_{c}}{A} = \frac{1750}{4725} = 0,370\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

Warunek nośności: $\ \frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c,z} \bullet f_{c,0,d}} \leq 1,0$

$$\frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c,z} \bullet f_{c,0,d}} = \frac{0,370}{0,257 \bullet 12,92} = 0,111 < 1,0$$

Warunek jest spełniony.

1. Krzyżulec – ściskany osiowo

Przekrój skratowania 63 x 75 [mm]

N_c = 10, 37 [kN] N_c^′ = 1, 1 • 10, 37 = 11, 41 [kN]

A = 63 • 75 = 4725 [mm²]

$$I_{y} = \frac{b \bullet h^{3}}{12} = \frac{63 \bullet 75^{3}}{12} = 2214844\ \lbrack mm^{4}\rbrack$$

$$i_{y} = \sqrt{\frac{I_{y}}{A}} = \sqrt{\frac{2214844}{4725}} = 21,65\ \lbrack mm\rbrack$$

$$\lambda_{y} = \frac{L_{\text{ey}}}{i_{y}} = \frac{\mu_{y} \bullet L_{d,y}}{i_{y}} = \frac{1,0 \bullet 2193}{21,65} = 101,29$$

$$\lambda_{rel,y} = \frac{\lambda_{y}}{\pi} \bullet \sqrt{\frac{f_{c,0,k}}{E_{0,05}}} = \frac{101,29}{\pi} \bullet \sqrt{\frac{21}{7400}} = 1,718$$

k_y = 0, 5 • [1+β_c•(λ_rel, y−0,3)+λ_rel, y²] = 0, 5 • [1+0,2•(1,718−0,3)+1, 718²]

k_y = 2, 118

$$k_{c,y} = \frac{1}{k_{y} + \sqrt{k_{y}^{2} - \lambda_{rel,y}^{2}}} = \frac{1}{2,118 + \sqrt{{2,118}^{2} - {1,718}^{2}}} = 0,298$$

$$f_{c,0,d} = \frac{f_{c,0,k} \bullet k_{\text{mod}}}{\gamma_{M}} = \frac{21 \bullet 0,8}{1,3} = 12,92\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$\sigma_{c,0,d} = \frac{N_{c}}{A} = \frac{11410}{4725} = 2,415\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

Warunek nośności: $\ \frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{\text{cy}} \bullet f_{c,0,d}} \leq 1,0$

$$\frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c,y} \bullet f_{c,0,d}} = \frac{2,415}{0,298 \bullet 12,92} = 0,627 < 1,0$$

Warunek jest spełniony.

$$I_{z} = \frac{h \bullet b^{3}}{12} = \frac{75 \bullet 63^{3}}{12} = 1562794\ \lbrack mm^{4}\rbrack$$

$$i_{z} = \sqrt{\frac{I_{z}}{A}} = \sqrt{\frac{1562794}{4725}} = 18,19\ \lbrack mm\rbrack$$

$$\lambda_{z} = \frac{L_{\text{ez}}}{i_{z}} = \frac{\mu_{z} \bullet L_{d,z}}{i_{z}} = \frac{1,0 \bullet 2193}{18,19} = 120,56$$

$$\lambda_{rel,z} = \frac{\lambda_{z}}{\pi} \bullet \sqrt{\frac{f_{c,0,k}}{E_{0,05}}} = \frac{120,56}{\pi} \bullet \sqrt{\frac{21}{7400}} = 2,044$$

k_z = 0, 5 • [1+β_c•(λ_rel, z−0,3)+λ_rel, z²] = 0, 5 • [1+0,2•(2,044−0,3)+2, 044²]

k_z = 2, 803

$$k_{c,z} = \frac{1}{k_{z} + \sqrt{k_{z}^{2} - \lambda_{rel,z}^{2}}} = \frac{1}{2,803 + \sqrt{{2,803}^{2} - {2,044}^{2}}} = 0,212$$

$$f_{c,0,d} = \frac{f_{c,0,k} \bullet k_{\text{mod}}}{\gamma_{M}} = \frac{21 \bullet 0,8}{1,3} = 12,92\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$\sigma_{c,0,d} = \frac{N_{c}}{A} = \frac{11410}{4725} = 2,415\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

Warunek nośności: $\ \frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c,z} \bullet f_{c,0,d}} \leq 1,0$

$$\frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c,z} \bullet f_{c,0,d}} = \frac{2,415}{0,212 \bullet 12,92} = 0,882 < 1,0$$

Warunek jest spełniony.

1. Sprawdzenie ugięcia wiązara (SGU)

   1. Pas górny

k_def = 0, 8 (dla drewna litego, klasa 2 użytkowania)

Śnieg: ψ₀ = 0, 5; ψ₂ = 0

Wiatr: ψ₀ = 0, 6; ψ₂ = 0

$$u_{\text{fin}} = u_{fin,G} + u_{fin,Q1} + \sum_{}^{}{u_{fin,Qi} \leq u_{net,fin}}$$

u_fin, G = u_inst, G(1 + k_def)

u_fin, Q1 = u_inst, Q1(1 + ψ_2, 1k_def)

u_fin, Qi = u_inst, Qi(ψ_0, i + ψ_2, ik_def)

$$u = u_{net,fin} = \frac{l}{500} = \frac{776}{500} = 1,55\ \left\lbrack \text{cm} \right\rbrack = 15,5\lbrack mm\rbrack$$

u_inst, G = 1, 46 [mm]

u_inst, S = 0, 92 [mm]

u_inst, W = −0, 09 [mm]

u_fin, G = u_inst, G(1+k_def) = 1, 46 ⋅ (1+0,8) = 2, 63 [mm]

u_fin, S = u_inst, S(1+ψ_2, 1k_def) = 0, 92 ⋅ (1+0⋅0,8) = 0, 92 [mm]

u_fin, W = u_inst, W(ψ_0, i+ψ_2, ik_def) = −0, 09 ⋅ (0,6+0⋅0,8) = −0, 05 [mm]

$$u_{\text{fin}} = u_{fin,G} + u_{fin,Q1} + \sum_{}^{}{u_{fin,Qi} = 2,63 + 0,92 = 3,55\ \lbrack mm\rbrack}$$

u_fin = 3, 55 [mm] < u_net, fin = 15, 5 [mm]

1. Pas dolny

u_inst, G = 1, 48 [mm]

u_inst, S = 0, 93 [mm]

u_inst, W = −0, 09 [mm]

u_fin, G = u_inst, G(1+k_def) = 1, 48 ⋅ (1+0,8) = 2, 66 [mm]

u_fin, S = u_inst, S(1+ψ_2, 1k_def) = 0, 93 ⋅ (1+0⋅0,8) = 0, 93 [mm]

u_fin, W = u_inst, W(ψ_0, i+ψ_2, ik_def) = −0, 09 ⋅ (0,6+0⋅0,8) = −0, 05 [mm]

$$u_{\text{fin}} = u_{fin,G} + u_{fin,Q1} + \sum_{}^{}{u_{fin,Qi} = 2,66 + 0,93 = 3,59\ \lbrack mm\rbrack}$$

u_fin = 3, 59 [mm]<u_net, fin = 15[mm]

1. Sprawdzenie połączeń – projektowanie węzłów

Przyjęto płytki M14:

$$f_{a,0,0,k} = 2,43\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$f_{a,90,90,k} = 1,78\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

k₁ = −0, 017

k₂ = −0, 0025

α₀ = 30

$$f_{t,0,k} = 406\ \left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

$$f_{t,90,k} = 180\ \left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

$$f_{c,0,k} = 256\ \left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

$$f_{c,90,k} = 210\ \left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

$$f_{v,0,k} = 139\ \left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

$$f_{v,90,k} = 106\ \left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

1. Węzeł 1:

Obliczenie A₁

• kąt między kierunkiem działania siły (N₁ = 27,49 kN) a osią płytki: α = 15°

• kąt między kierunkiem działania siły (N₁ = 27,49 kN) a kierunkiem włókien: β = 0°

• współczynnik zmniejszający nośność płytki nad podporą: η = 0,85 dla α = 15°

Nośność 1 cm² płytki:

$$f_{a,15,0,k} = f_{a,0,0,k} + k_{1} \bullet \alpha = 2,43\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack - 0,017 \bullet 15 = 2,175\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$f_{a,15,0,d} = \frac{k_{\text{mod}} \bullet f_{a,15,0,k}}{\gamma_{M}} = \frac{0,8 \bullet 2,175}{1,3} = 1,338\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack = 133,8\left\lbrack \frac{N}{cm^{2}} \right\rbrack$$

$$A_{1} = \frac{N_{1}}{2 \bullet f_{a,15,0,d}} = \frac{27490}{2 \bullet 133,8} = 102,73\ \lbrack cm^{2}\rbrack$$

Obliczenie A₂

• kąt między kierunkiem działania siły (N₂ = 7,03 kN) a osią płytki: α = 0°

• kąt między kierunkiem działania siły (N₂ = 7,03 kN) a kierunkiem włókien: β = 0°

• współczynnik zmniejszający nośność płytki nad podporą: η = 0,85

Nośność 1 cm² płytki:

$$f_{a,0,0,k} = 2,43\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$f_{a,0,0,d} = \frac{k_{\text{mod}} \bullet f_{a,0,0,k}}{\gamma_{M}} = \frac{0,8 \bullet 2,43}{1,3} = 1,495\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack = 149,5\left\lbrack \frac{N}{cm^{2}} \right\rbrack$$

$$A_{2} = \frac{N_{2}}{2 \bullet f_{a,15,0,d}} = \frac{7030}{2 \bullet 149,5} = 23,51\ \lbrack cm^{2}\rbrack$$

Przyjęto płytki M14 o wymiarach 133 x 200 [mm] o położeniu jak na rysunku.

Sprawdzenie powierzchni efektywnych:

A_1, ef = 112, 40 [cm²] > A₁ = 102, 73 [cm²]

A_2, ef = 112, 40 [cm²] > A₂ = 23, 51 [cm²]

Sprawdzenie wytrzymałości płytki na ścinanie w płaszczyźnie siły N₂ = 7,03 [kN]:

$$f_{v,0,d} = \frac{k_{\text{mod}} \bullet f_{v,0,k}}{\gamma_{M}} = \frac{0,8 \bullet 139}{1,3} = 85,54\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

$$F_{v} = \frac{N_{2}}{l_{v}} = \frac{7030}{2 \bullet 200} = 17,58\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack < 85,54\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

F_x, Rd = l_x • 2 • f_v, 0, d = 200 • 2 • 85, 54 = 34216  [N]

$$\left( \frac{N_{v}}{F_{x,Rd}} \right)^{2} = \left( \frac{7030}{34216} \right)^{2} = 0,04 < 1,0$$

1. Węzeł 2:

Obliczenie A₁

• kąt między kierunkiem działania siły (N₁ = 0,34 kN) a osią płytki: α = 0°

• kąt między kierunkiem działania siły (N₁ = 0,34 kN) a kierunkiem włókien: β = 0°

Nośność 1 cm² płytki:

$$f_{a,0,0,k} = 2,43\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$f_{a,0,0,d} = \frac{k_{\text{mod}} \bullet f_{a,0,0,k}}{\gamma_{M}} = \frac{0,8 \bullet 2,43}{1,3} = 1,495\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack = 149,5\left\lbrack \frac{N}{cm^{2}} \right\rbrack$$

$$A_{1} = \frac{N_{1}}{2 \bullet f_{a,0,0,d}} = \frac{340}{2 \bullet 149,5} = 1,14\ \lbrack cm^{2}\rbrack$$

Obliczenie A₂

• kąt między kierunkiem działania siły (N₂ = 7,71 kN) a osią płytki: α = 90°

• kąt między kierunkiem działania siły (N₂ = 7,71 kN) a kierunkiem włókien: β = 0°

Nośność 1 cm² płytki:

f_{a, 90, 0, k} = f_{a, 0, 0, k} + k₁ • α₀ + k₂ • (α−α₀)

$$f_{a,90,0,k} = 2,43\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack - 0,017 \bullet 30 - 0,0025 \bullet \left( 90 - 30 \right) = 1,77\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack = 177\left\lbrack \frac{N}{cm^{2}} \right\rbrack$$

$$f_{a,90,0,d} = \frac{k_{\text{mod}} \bullet f_{a,90,0,k}}{\gamma_{M}} = \frac{0,8 \bullet 1,77}{1,3} = 1,089\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack = 108,9\left\lbrack \frac{N}{cm^{2}} \right\rbrack$$

$$A_{2} = \frac{N_{2}}{2 \bullet f_{a,90,0,d}} = \frac{7710}{2 \bullet 108,9} = 35,4\ \lbrack cm^{2}\rbrack$$

Przyjęto płytki M14 o wymiarach 66 x 133 [mm] o położeniu jak na rysunku.

Sprawdzenie powierzchni efektywnych:

A_1, ef = 20, 15 [cm²] > A₁ = 1, 14 [cm²]

A_2, ef = 48, 49 [cm²] > A₂ = 35, 4 [cm²]

Sprawdzenie wytrzymałości płytki na ścinanie w płaszczyźnie siły N₂ = 7,71 [kN]:

$$f_{v,90,d} = \frac{k_{\text{mod}} \bullet f_{v,90,k}}{\gamma_{M}} = \frac{0,8 \bullet 106}{1,3} = 65,23\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

$$F_{v} = \frac{N_{2}}{l_{v}} = \frac{7710}{2 \bullet 66,2} = 58,23\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack < 65,23\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

F_x, Rd = l_x • 2 • f_v, 90, d = 66, 2 • 2 • 65, 23 = 8636  [N]

Sprawdzenie wytrzymałości płytki na ściskanie:

$$f_{c,0,d} = \frac{k_{\text{mod}} \bullet f_{c,0,k}}{\gamma_{M}} = \frac{0,8 \bullet 256}{1,3} = 157,54\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

$$F_{c} = \frac{N_{1}}{l_{v}} = \frac{340}{2 \bullet 66,2} = 2,57\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack < 157,54\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

F_y, Rd = l_x • 2 • f_c, 0, d = 66, 2 • 2 • 157, 54 = 20858  [N]

$$\left( \frac{N_{v}}{F_{x,Rd}} \right)^{2} + \left( \frac{N_{c}}{F_{y,Rd}} \right)^{2} = \left( \frac{7710}{8636} \right)^{2} + \left( \frac{340}{20858} \right)^{2} = 0,797 < 1,0$$

1. Węzeł 3:

Obliczenie A₁

• kąt między kierunkiem działania siły (N₁ = 11,80 kN) a osią płytki: α = 0°

• kąt między kierunkiem działania siły (N₁ = 11,80 kN) a kierunkiem włókien: β = 0°

• współczynnik zmniejszający nośność płytki nad podporą: η = 0,85

Nośność 1 cm² płytki:

$$f_{a,0,0,k} = 2,43\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$f_{a,0,0,d} = \frac{k_{\text{mod}} \bullet f_{a,0,0,k}}{\gamma_{M}} = \frac{0,8 \bullet 2,43}{1,3} = 1,495\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack = 149,5\left\lbrack \frac{N}{cm^{2}} \right\rbrack$$

$$A_{1} = \frac{N_{1}}{2 \bullet {\eta \bullet f}_{a,0,0,d}} = \frac{11800}{2 \bullet 0,85 \bullet 149,5} = 46,43\ \lbrack cm^{2}\rbrack$$

Obliczenie A₃

• kąt między kierunkiem działania siły (N₃ = 1,59 kN) a osią płytki: α = 90°

• kąt między kierunkiem działania siły (N₃ = 1,59 kN) a kierunkiem włókien: β = 0°

Nośność 1 cm² płytki:

f_{a, 90, 0, k} = f_{a, 0, 0, k} + k₁ • α₀ + k₂ • (α−α₀)

$$f_{a,90,0,k} = 2,43\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack - 0,017 \bullet 30 - 0,0025 \bullet \left( 90 - 30 \right) = 1,77\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack = 177\left\lbrack \frac{N}{cm^{2}} \right\rbrack$$

$$f_{a,90,0,d} = \frac{k_{\text{mod}} \bullet f_{a,90,0,k}}{\gamma_{M}} = \frac{0,8 \bullet 1,77}{1,3} = 1,089\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack = 108,9\left\lbrack \frac{N}{cm^{2}} \right\rbrack$$

$$A_{3} = \frac{N_{3}}{2 \bullet f_{a,90,0,d}} = \frac{1590}{2 \bullet 108,9} = 7,30\ \lbrack cm^{2}\rbrack$$

Obliczenie A₂

• kąt między kierunkiem działania siły (N₂ = 10,37 kN) a osią płytki: α = 47°

• kąt między kierunkiem działania siły (N₂ = 10,37 kN) a kierunkiem włókien: β = 0°

Nośność 1 cm² płytki:

f_{a, 47, 0, k} = f_{a, 0, 0, k} + k₁ • α₀ + k₂ • (α−α₀)

$$f_{a,47,0,k} = 2,43\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack - 0,017 \bullet 30 - 0,0025 \bullet \left( 47 - 30 \right) = 1,88\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack = 188\left\lbrack \frac{N}{cm^{2}} \right\rbrack$$

$$f_{a,47,0,d} = \frac{k_{\text{mod}} \bullet f_{a,47,0,k}}{\gamma_{M}} = \frac{0,8 \bullet 1,88}{1,3} = 1,157\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack = 115,7\left\lbrack \frac{N}{cm^{2}} \right\rbrack$$

$$A_{2} = \frac{N_{2}}{2 \bullet f_{a,47,0,d}} = \frac{10370}{2 \bullet 115,7} = 44,81\ \lbrack cm^{2}\rbrack$$

Przyjęto płytki M14 o wymiarach 151 x 200 [mm] o położeniu jak na rysunku.

Sprawdzenie powierzchni efektywnych:

A_1, ef = 106, 78 [cm²] > A₁ = 46, 43 [cm²]

A_2, ef = 54, 27 [cm²] > A₂ = 44, 81 [cm²]

A_3, ef = 41, 30 [cm²] > A₃ = 7, 30 [cm²]

Sprawdzenie wytrzymałości płytki na ścinanie w płaszczyźnie siły N₁ = 11,80 [kN]:

$$f_{v,0,d} = \frac{k_{\text{mod}} \bullet f_{v,0,k}}{\gamma_{M}} = \frac{0,8 \bullet 139}{1,3} = 85,54\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

$$F_{v} = \frac{N_{1}}{l_{v}} = \frac{11800}{2 \bullet 200} = 29,50\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack < 85,54\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

F_x, Rd = l_x • 2 • f_v, 90, d = 200 • 2 • 85, 54 = 34216  [N]

Sprawdzenie wytrzymałości płytki na ściskanie:

$$f_{c,90,d} = \frac{k_{\text{mod}} \bullet f_{c,90,k}}{\gamma_{M}} = \frac{0,8 \bullet 210}{1,3} = 129,23\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

$$F_{c} = \frac{N_{c}}{l_{c}} = \frac{9170}{2 \bullet 200} = 22,93\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack < 129,23\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

F_y, Rd = l_x • 2 • f_c, 0, d = 200 • 2 • 129, 23 = 51692  [N]

$$\left( \frac{N_{v}}{F_{x,Rd}} \right)^{2} + \left( \frac{N_{c}}{F_{y,Rd}} \right)^{2} = \left( \frac{11800}{34216} \right)^{2} + \left( \frac{9170}{51692} \right)^{2} = 0,151 < 1,0$$

1. Węzeł 4:

Obliczenie A₁

• kąt między kierunkiem działania siły (N₁ = 1,59 kN) a osią płytki: α = 90°

• kąt między kierunkiem działania siły (N₁ = 1,59 kN) a kierunkiem włókien: β = 0°

Nośność 1 cm² płytki:

f_{a, 90, 0, k} = f_{a, 0, 0, k} + k₁ • α₀ + k₂ • (α−α₀)

$$f_{a,90,0,k} = 2,43\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack - 0,017 \bullet 30 - 0,0025 \bullet \left( 90 - 30 \right) = 1,77\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack = 177\left\lbrack \frac{N}{cm^{2}} \right\rbrack$$

$$f_{a,90,0,d} = \frac{k_{\text{mod}} \bullet f_{a,90,0,k}}{\gamma_{M}} = \frac{0,8 \bullet 1,77}{1,3} = 1,089\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack = 108,9\left\lbrack \frac{N}{cm^{2}} \right\rbrack$$

$$A_{1} = \frac{N_{1}}{2 \bullet f_{a,90,0,d}} = \frac{1590}{2 \bullet 108,9} = 7,30\ \lbrack cm^{2}\rbrack$$

Obliczenie A₂

• kąt między kierunkiem działania siły (N₂ = 0,23 kN) a osią płytki: α = 15°

• kąt między kierunkiem działania siły (N₂ = 0,23 kN) a kierunkiem włókien: β = 0°

Nośność 1 cm² płytki:

$$f_{a,15,0,k} = f_{a,0,0,k} + k_{1} \bullet \alpha = 2,43\ \left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack - 0,017 \bullet 15 = 2,175\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack$$

$$f_{a,15,0,d} = \frac{k_{\text{mod}} \bullet f_{a,15,0,k}}{\gamma_{M}} = \frac{0,8 \bullet 2,175}{1,3} = 1,338\left\lbrack \frac{N}{mm^{2}} \right\rbrack = 133,8\left\lbrack \frac{N}{cm^{2}} \right\rbrack$$

$$A_{2} = \frac{N_{2}}{2 \bullet f_{a,15,0,d}} = \frac{230}{2 \bullet 133,8} = 0,86\ \lbrack cm^{2}\rbrack$$

Przyjęto płytki M14 o wymiarach 132 x 133 [mm] o położeniu jak na rysunku.

Sprawdzenie powierzchni efektywnych:

A_1, ef = 34, 32 [cm²] > A₁ = 7, 30 [cm²]

A_2, ef = 72, 68 [cm²] > A₂ = 0, 86 [cm²]

Sprawdzenie wytrzymałości płytki na ścinanie w płaszczyźnie siły N₂ = 0,22 [kN]:

$$f_{v,0,d} = \frac{k_{\text{mod}} \bullet f_{v,0,k}}{\gamma_{M}} = \frac{0,8 \bullet 139}{1,3} = 85,54\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

$$F_{v} = \frac{N_{v}}{l_{v}} = \frac{220}{2 \bullet 138} = 0,797\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack < 85,54\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

F_x, Rd = l_x • 2 • f_v, 0, d = 138 • 2 • 85, 54 = 23609  [N]

Sprawdzenie wytrzymałości płytki na ściskanie:

$$f_{c,90,d} = \frac{k_{\text{mod}} \bullet f_{c,90,k}}{\gamma_{M}} = \frac{0,8 \bullet 210}{1,3} = 129,23\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

$$F_{c} = \frac{N_{c}}{l_{c}} = \frac{1590}{2 \bullet 138} = 5,76\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack < 129,23\left\lbrack \frac{N}{\text{mm}} \right\rbrack$$

F_y, Rd = l_x • 2 • f_c, 0, d = 138 • 2 • 129, 23 = 35667  [N]

$$\left( \frac{N_{v}}{F_{x,Rd}} \right)^{2} + \left( \frac{N_{c}}{F_{y,Rd}} \right)^{2} = \left( \frac{220}{23609} \right)^{2} + \left( \frac{1590}{35667} \right)^{2} = 0,002 < 1,0$$

1. CZĘŚĆ GRAFICZNA PROJEKTU

Rys.1. Rzut budynku w skali 1:50

Rys.2. Przekrój poprzeczny w skali 1:50

Rys.3. Rzut konstrukcji dachu w skali 1:50

Rys.4. Rysunek wykonawczy wiązara dachowego w skali 1:20