Temat: Badanie własności ruchu harmonicznego

1. Wstęp teoretyczny

Drgania harmoniczne jest to ruch punktu materialnego, poruszającego się po kole ze stałą prędkością, na oś pionową bądź poziomą, przechodzącą przez środek koła. Możemy uzyskać nieco inną reprezentację takiego drgania, biorąc pod uwagę wektor, prowadzący ze środka koła do punktu materialnego na jego obwodzie, ze stałą szybkością kątową. Rzut wektora :

x = A*sin(ωt +δ)

W przypadku drgań w układzie zachowawczym amplituda pozostaje stała w czasie, więc siła jest wprost proporcjonalna do wychylenia, co zapisujemy :

F = -k * x

Minus mówi nam o przeciwnym skierowaniu siły względem wychylenia a k pomnożone przez x daje nam siłę sprężystości. Obliczając pochodną wychylenia względem czasu otrzymuje się prędkość :

$$V - \ \frac{\text{dx}}{\text{dl}} - \ A\omega\cos\left( \omega t + \delta \right)$$

Licząc zaś drugą pochodną otrzymujemy funkcję przyspieszenia w ruchu periodycznym od czasu :

$$a = \ \frac{\text{dv}}{\text{dt}} = \frac{d^{2}v}{\text{dt}^{2}} = A\omega^{2}sin(\omega t + \delta)$$

Punkt materialny drgający periodycznie nosi nazwę oscylatora harmonicznego a jego okres drgań otrzymuje się :

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Energia kinetyczna ciała wynosi

$$E_{k} = \ \frac{\text{mV}^{2}}{2}$$

A potencjalna

$$E_{p} = \ \frac{\text{kx}^{2}}{2}$$

2. Ćwiczenie

Wyznaczanie logarytmicznego dekrementu tłumienia oraz współczynnika tłumienia β

W celu wykonania ćwiczenia zmierzono czas przejścia plamki oscyloskopu przez jego środek. Następnie wprawiono kamerton w drgania, które za pomocą przetwornika piezoelektrycznego przeniesiono na wyświetlacz oscyloskopu. Po wstępnym zanotowaniu bazowej pozycji plamki mierzono jej odchylenie podczas kolejnych przejść przez środek wyświetlacza. Ćwiczenie powtórzono dziesięciokrotnie. Tak zgromadzone dane pozwoliły na obliczenie logarytmicznego dekrementu tłumienia i współczynnika tłumienia.

Zestaw pomiarowy do wyznaczania współczynnika tłumienia

- logarytmiczny dekret tłumienia obliczono ze wzoru

$$\lambda = ln\frac{A_{0}}{A_{n}}$$

- wiedząc, że :

$$\lambda = ln\frac{A_{0}}{A_{n}} = \ \beta*t$$

β – współczynnik tłumienia

t – czas powtarzania pomiaru

narysowano wykres zależności $\ln\frac{A_{0}}{A_{n}} = f(t)$ a następnie z wykresu odczytano β

$$\beta = \ \frac{\ln\frac{A_{0}}{A_{n}}}{t}$$

Zestawienie wyników

T	s	0	4	8	12	16	20	24
At	m	40	14	8	5	3	2	1
ln (A0/At)	0	1,04	1,61	2,07	2,59	2,99	3,69

t – czas amplitudy

A_t – amplituda po czasie t

A₀ – amplituda początkowa = 0,04 m

Współczynnik tłumienia:

β = tg α β = 0,142

Logarytmiczny dekrement tłumienia:

λ = β * T [ s ]

T = 1 / f [ s ] = [ 1 / Hz ]

T = 1 / 256 = 0,004 s

λ = 0,142 * 0,004 = 5,6 * 10^-4 s

Współczynnik tłumienia wynosi

β ≈ 0, 142  ± 0, 1 

3. Wnioski i spostrzeżenia

Wykonanie dziesięciu pomiarów sprawiło iż znacznie została poprawiona dokładność pomiaru. Dzięki temu udało się otrzymać stały współczynnik tłumienia co świadczy, że doświadczenie się powiodło. Ponieważ zarejestrowane amplitudy w jednakowych odstępach czasu były zupełnie inne ( na skutek różnych amplitud początkowych ) a amplitudy średnie były średnimi arytmetycznymi poszczególnych amplitud w tych samych odstępach czasu trudno ocenić na ile wzrosła dokładność pomiaru, dlatego w wyniku podano dokładność wynikającą z maksymalnego odchylenia β od wartości średniej.

$f\left( t \right) = \ln\left( \frac{A_{0}}{A_{n}} \right)$

Wykres ln do T