Uniwersytet Technologiczno – Przyrodniczy

Wydział Architektury Budownictwa i Inżynierii Środowiska

Teoria sprężystości i plastyczności

Temat: Teoria małych sprężysto-plastycznych odkształceń.

Bydgoszcz 2013

Teoria małych sprężysto - plastycznych odkształceń

Odkształcenie – miara deformacji ciała poddanego siłom zewnętrznym.

Aby móc mówić o odkształceniu, należy wyróżnić dwa stany ciała: początkowy i końcowy. Na podstawie różnic w położeniach punktów w tych dwóch stanach można wyznaczać liczbowe wartości odkształcenia.

Zależność pomiędzy stanem odkształcenia, a naprężenia określa m.in. Prawo Hooke'a.

Teoria małych sprężysto-plastycznych odkształceń opiera się na takich założeniach:

1. Prawo zmiany objętości ciała

W stanie sprężystym odkształcenie objętościowe jest proporcjonalne naprężeniu średniemu.

gdzie K jest modułem objętościowym

Przy odkształceniach plastycznych nie odbywają się zmiany objętości ciała; zakłada się, że materiał jest nieściśliwy w stanie plastycznym a więc odkształcenie objętościowe θ = 0.

To jest możliwe, gdy K = ∞ lub ν = ½. W taki sposób otrzymujemy, że przy odkształceniach plastycznych moduł Kirchhoffa:

1. Prawo zmiany kształtu ciała

Dla obciążeń prostych główne osie dewiatorów naprężeń i odkształceń pokrywają się. To znaczy, że składowe dewiatora naprężeń są proporcjonalne składowym dewiatora odkształceń.

1. Dla każdego materiału intensywność naprężeń jest jednoznacznie określona funkcją intensywności odkształceń

Wielokrotne doświadczenia świadczą o tym, że wykresy zależności przy obciążaniu obciążeniem złożonym oraz przy obciążeniu jednoosiowym są podobne.

W teorii małych sprężysto – plastycznych odkształceń podstawowymi związkami fizycznymi są związki między składowymi tensora naprężeń a odkształceniami plastycznymi. Żeby otrzymać te związki korzystamy z zależności (), którą przepiszemy tak:

Uwzględniając, że σ_o = Kθ i ε_o = ⅓ θ uzyskujemy:

Rozwiązujemy ten układ równań względem składowych tensora odkształceń ε_ij . Otrzymujemy:

W dalszej kolejności odkształcenie całkowite ε_ij podajemy w postaci sumy odkształcenia sprężystego ε_ij ^(s) oraz odkształcenia plastycznego ε_ij ^(p) :

Odkształcenie sprężyste ε_ij ^(s) określamy z równań fizycznych dla ciała sprężystego:

Odkształcenia plastyczne ε_ij^(p) ze wzoru:

Podstawiając do tej zależności otrzymujemy:

Podstawiamy za :

i grupujemy wyrażenia przy σ₁₁ oraz przy (σ₂₂ + σ₃₃ ):

Skorzystamy ze związków:

; ;

otrzymujemy:

Wprowadzając oznaczenia:

otrzymujemy ostateczną postać związków fizycznych między składowymi tensora odkształceń plastycznych ε_ij^(p) a składowymi tensora naprężeń σ_ij :

Podobnie otrzymujemy związki fizyczne dla plastycznych odkształceń postaciowych:

Material dodatkowy

Teoria odkształceniowa Hencky-Iliuszyna

Teoria małych odkształceń sprężysto – plastycznych zwana także teorią odkształceniową plastyczności, została sformułowana ogólnie przez Hencky’ego (1924) a rozwinięta przez Iliuszyna (1943). Zakładając istnienie związku pomiędzy tensorem naprężenia i tensorem odkształcenia stanowi uogólnienie związków fizycznych nieliniowej teorii sprężystości.

Postuluje się, że:

• kierunki główne tensora naprężenia pokrywają się z kierunkami głównymi tensora odkształcenia,

• naprężenie średnie jest proporcjonalne do odkształcenia średniego, a współczynnik proporcjonalności jest taki sam jak w prawie zmiany objętości (Hooke’a),

• intensywność naprężenia jest funkcją intensywności odkształcenia, którą należy wyznaczyć na drodze doświadczalnej.

Przy izotropowym umocnieniu równania teorii płynięcia można zapisać po pomnożeniu przed dt w postaci przyrostowej:

(1)

Całkując powyższe równania i zakładając, że iloraz , który na ogół jest funkcją współrzędnych, nie zależy od odkształceń plastycznych, uzyskujemy:

(2)

Zauważając, że intensywność odkształceń plastycznych na podstawie wzoru (2) wynosi:

(3)

a składowe dewiatora całkowitych odkształceń na podstawie (2) i (3) są równe:

(4)

z definicji intensywności odkształceń otrzymamy po podstawieniu (4):

(5)

Na podstawie wzorów (4) i (5) wynikają równania konstytutywne teorii plastyczności, nazywane teorią małych odkształceń sprężysto-plastycznych:

(6)

Równanie (6) należy jeszcze uzupełnić zależnością między składowymi tensorów kulistych stanu naprężenia i stanu odkształcenia

(7)

gdzie K jest modułem odkształcenia objętościowego

oraz związkiem między intensywnością naprężeń a intensywnością odkształceń

(8)

postulując przy tym niezależność (8) od rodzaju stanu naprężenia.

Funkcję przedstawia wykres odkształcenia budowany najczęściej na podstawie danych próby rozciągania i odpowiedniego wykresu .

Przy prostym rozciąganiu ,, ,, ,

, przy czym jest po przekroczeniu granicy plastyczności zmiennym współczynnikiem przewężenia.

Rys. 1

Wykres odkształcenia (rys. 1) otrzymuje się z wykresu rozciągania zwiększając odcięte wykresu rozciągania razy, przy czym zmiana tych odciętych, wskutek zmienności współczynnika przewężenia , jest niejednorodna.

Wykres odkształcenia można też zbudować na podstawie danych z badań doświadczalnych w złożonych stanach naprężeń. Stanowi to weryfikację niezależności związku (8) od rodzaju stanu naprężenia, w przypadku gdy wykres odkształcenia będzie taki sam, np. przy rozciąganiu i przy złożonym stanie naprężenia.

Badania doświadczalne wymagają realizacji jednorodnych stanów naprężenia i odkształcenia. Ma to szczególne znaczenie, gdy powstają odkształcenia plastyczne i występuje nieliniowość fizyczna. Dlatego też praktycznie badania prowadzi się na cienkościennych rurowych próbkach obciążanych siłą osiową, momentem skręcającym oraz ciśnieniem wewnętrznym i zewnętrznym, zakładając występowanie płaskiego stanu naprężenia.

Doświadczenia takie potwierdzają spełnienie postulatu niezależności (8) od rodzaju stanu naprężenia przy obciążeniach, dla których , zwanych prostymi.

Z wykresu odkształcenia wynika, że iloraz intensywności naprężeń przez intensywność odkształceń jest równy podwojonemu siecznemu modułowi odkształcenia postaciowego: (9)

Iloraz ten jest stały do granicy plastyczności i wynosi:

(10)

Moduł sieczny można wyrazić przez moduł sprężysty G i pewną funkcję , zwaną funkcją Iliuszina:

(11)

lub przez moduł sprężysty i funkcję Hencky’ego :

(12)

W (11) 0 ≤ ω < 1, a w (12) 0 ≤ φ < ∞.

Po podstawieniu (11) lub (12) do równania (6) otrzymamy:

(13)

z których wynikają zależności w obszarze sprężystym i sprężysto-plastycznym miedzy składowymi dewiatorów naprężenia i odkształcenia przy obciążeniu

W prawie odkształceń objętościowych (7) identycznym, wobec , zarówno w obszarze sprężystym, jak i po przekroczeniu granicy plastyczności, K jest stałym modułem odkształcenia objętościowego. Wynika stąd określony charakter zmiany w procesie obciążania współczynnika przewężenia.

Na przykład dla jednoosiowego rozciągania z równania (7) otrzymamy czyli współczynnik przewężenia:

(14)

gdzie jest siecznym modułem sprężystości podłużnej

Na podstawie równania (14) i wykresu (rys.2) stwierdzić można, że współczynnik przewężenia w obszarze sprężystym jest stały i równy współczynnikowi Poissona, natomiast po przekroczeniu granicy plastyczności, wobec , osiąga graniczną wartość

Rys. 2

Teorię małych odkształceń sprężysto- plastycznych (6), (7) i (8) otrzymano, przy założeniu obciążenia prostego, to znaczy takiej zmiany obciążeń zewnętrznych, w czasie której składowe tensora kierunków i podobieństwo są stałe w każdym elemencie ośrodka, chociaż zależą od położenia tych elementów- jego współrzędnych.

Niech będą końcowymi wartościami składowych tensorów naprężenia i odkształcenia odpowiadającymi obciążeniom zewnętrznym X_i^o i p_i^o , natomiast σ_ij, ε_ij wartościami chwilowymi występującymi w ciele przy obciążeniu X_i, p_i. Z warunku stałości składowych tensora kierunków i podobieństwa w punkcie ciała masy:

(15)

gdzie α jest funkcją współrzędnych i 0 ≤ α ≤ 1.

Składowe dewiatora odkształceń, wyrażone związkami (6), można przedstawić w postaci:

(16)

gdzie β oznaczono wielkość

Na podstawie (15) i (16) składowe tensorów naprężenia oraz odkształcenia są równe odpowiednio:

(17)

(18)

(19),

(20)

Wielkości spełniające równania konstytutywne (6) i (7) , powinny jeszcze spełnić równania równowagi wewnętrznej, warunki brzegowe, równania zawartości wewnętrznej, odpowiednio przy obciążeniach chwilowych X_i, p_i oraz obciążeniach końcowych X_i^o, p_i^o , gdyż są przy tych obciążeniach rozwiązaniami zadań teorii plastyczności.

Wyrażając w równaniu (17) składowe dewiatora naprężenia przez składowe tensora naprężenia (18) oraz składowe tensora kulistego naprężenia po podstawieniu do równań równowagi wewnętrznej otrzymamy odpowiednio przy obciążeniach oraz

(21)

(22)

po podstawieniu do warunków brzegowych przy siłach powierzchniowych , mamy:

(23)

(24)

Podobnie, po wyrażeniu w (19) składowych dewiatora przez składowe tensora i składowe kuliste , warunki zawartości wewnętrznej przyjmują postać:

(25)

(26)

Z (21), (22), (23) i (24) wynika, że obciążenia w stanie chwilowym , są związane z obciążeniami w stanie końcowym ,przy obciążeniu prostym, zależnościami:

(27)

(28)

a z (25), po podstawieniu (26), będzie wynikał związek przy obciążaniu prostym α i β :

(29)

Ogólne rozwiązanie problemu, jak muszą zmieniać się siły zewnętrzne, aby obciążanie było proste, nie jest znane. W szczególnym przypadku obciążenia proporcjonalnego Illiuszin sformułował warunki dostateczne, przy którym obciążenie jest proste. Mianowicie, gdy siły zewnętrzne wzrastają proporcjonalnie do wspólnego parametru α (α nie jest wówczas funkcją współrzędnych), , , wtedy z (28) otrzymamy:

(30)

i na tej podstawie z prawa odkształceń objętościowych (7):

(31)

Warunki zwartości wewnętrznej (29) będą spełnione, gdy β nie będzie funkcją współrzędnych, a α = β, lub ośrodek będzie nieściśliwy -

β w (16a) nie zależy od współrzędnych wówczas, gdy

(32)

wtedy bowiem , a α z założenia nie jest funkcją współrzędnych.

Przypadek n = 1, β = α, dotyczy ośrodka liniowego i nas nie interesuje, czyli , zatem .

Na podstawie powyższych wniosków można następująco sformułować twierdzenie Illiusza o obciążeniu prostym:

Warunkiem dostatecznym obciążenia prostego ośrodka nieściśliwego, w którym zależność między intensywnością naprężeń a intensywnością odkształceń ma postać wykładniczą, jest proporcjonalny wzrost obciążeń zewnętrznych.

Charakterystyczna cechą teorii małych odkształceń sprężysto – plastycznych są związki między skończonymi wartościami naprężeń i odkształceń w postaci:

, , (33)

co stanowi o prostocie tego typu równań konstytutywnych w porównaniu z równaniami teorii płynięcia. W procesie obciążania () równania te i wynikające z nich wnioski nie różnią się od zależności teorii sprężystości, w której zakłada się nieliniowość fizyczną. Różnica występuje w procesie obciążania (), który w teorii małych odkształceń sprężysto-plastycznych jest liniowo – zgodny z prawem Hooke’a.

Równania teorii małych odkształceń sprężysto-plastycznych stosuje się w przypadkach obciążeń zbliżonych do prostych, gdy nie jest to sprzeczne z postulatem Druckera.

Obliczając na podstawie (4) przyrost odkształceń plastycznych mamy:

(34)

Sieczny moduł odkształcenia postaciowego jest wielkością zmienną i jego różniczka wynosi:

(35)

gdzie G’ jest stycznym modułem odkształcenia postaciowego.

Ostatecznie, przyrost odkształceń plastycznych po podstawieniu (35) do (34) mamy:

(36)

Ponieważ , wobec (6) otrzymamy na podstawie (36)

(37)

gdzie , dla materiałów stycznych.

Równanie teorii małych odkształceń sprężysto-plastycznych spełniają zatem postulat Druckera.

W procesie neutralnym , zgodnie z definicją tego procesu powinno być , jak to bezpośrednio wynika z równania (36) warunek ten nie jest spełniony, występuje przy przejściu od procesu obciążania do procesu obciążania nieciągłość przyrostów odkształceń plastycznych, jednak dla skończonych odkształceń plastycznych taka nieciągłość w teorii małych odkształceń plastycznych nie występuje.

Po rozpisaniu równania (36) w postaci wektorowej w odpowiednich przestrzeniach dewiatorowych, otrzymamy:

(38)

Na podstawie (38) stwierdza­my , że wektor będzie prostopad­ły do powierzchni plastyczności, gdy powierzchnia ta w przestrzeni jest kulą, a przyrost wektora naprę­żenia ma kierunek wektora naprę­żania, obciążanie jest proste. Jeżeli jednak punkt obciążania jest nieregularnym punktem powierzchni pla­styczności (powierzchnia plastycznoś­ci posiada naroża), to postulat Druc­kera zostanie spełniony dla wektorów leżących w stożku wyznaczonym przez normalne do chwilowej powierzchni plastyczności i punkcie obcią­żania (rys. 3).

Rys. 3

Zatem dla dróg obciążania, przy których przyrosty naprężeń wywołują odkształcenia plastyczne zawarte w stożku (rys. 3), spełniony będzie postulat Druckera. Dopuszczamy jednak wówczas istnienie nieregularnych punktów powierzchni plastyczności, co wydaje się sprzeczne z równaniami (6), otrzymanymi dla regularnych powierzchni plastyczności. Jak jednak wykazano, w nieregularnych punktach po­wierzchni plastyczności i przy pewnych drogach obciążania, równania konstytutywne mają też postać (6) - teorii małych odkształceń sprę­żysto -plastycznych.