Politechnika Poznańska INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI PRZEMYSŁOWEJ Zakład Podstaw Elektrotechniki
Laboratorium Podstaw Elektrotechniki Ćwiczenie nr 1 Temat: WYBRANE PRAWA ELEKTROTECHNIKI W OBWODACH PRĄDU STAŁEGO
Rok akademicki: 1 Wydział Elektryczny Studia dzienne inżynierskie Nr grupy: E2, podgrupa 1
Uwagi:

1. Wiadomości teoretyczne
Celem ćwiczenia jest praktyczna ilustracja pewnych analitycznych metod rozwiązywania obwodów liniowych pradu stałego (zasady superpozycji, zasady proporcjonalności, zasady wzajemności).

Układ fizyczny nazywamy liniowym, gdy spełnia zasadę superpozycji. Zasadę tę można sformułować następująco: odpowiedź fizycznego układu liniowego na kilka wymuszeń działających równocześnie równa jest sumie odpowiedzi na każde z tych wymuszeń, działających oddzielnie.

W przypadku, gdy w układzie elektrycznym istnieje kilka wymuszeń należy każdorazowo wyeliminować- z wyjątkiem jednego- działanie wszystkich pozostałych źródeł. W miejscu wyeliminowanych pozostawić ich rezystancje wewnętrzne.

Zasadę proporcjonalności można sformułować następująco: jeśli źródło napięcia (prądu) znajduje się w dowolnej i-tej gałęzi liniowego obwodu elektrycznego wywołuje przepływ prądu w gałęzi k-tej (różnicę potencjałów między dowolnymi punktami) tego obwodu, to n-krotne zwiększenie (zmalenie) wymuszenia, pociągnie za sobą n-krotny wzrost (zmniejszenie) odpowiedzi.

Jeśli źródło napięcia znajduje się w n-tej gałęzi liniowego pasywnego obwodu elektrycznego powoduje przepływ prądu w gałęzi k-tej, wtedy – zgodnie z zasadą wzajemności – to samo źródło napięcia umieszczone w gałęzi k-tej, wywoła w gałęzi n-tej przepływ takiego samego prądu

Jednym z podstawowych pojęć w teorii obwodów liniowych niezmiennych w czasie jest tzw. transmitancja (funkcja przenoszenia), będąca - w obwodzie prądu stałego – stosunkiem odpowiedzi na wymuszenie, do tego wymuszenia. Definiuje się następujące transmitancje:

prądowo-napięciową: napięciowo-prądowa:

, przy , przy

prądowo-prądową: napięciowo- napięciową

, przy , przy

2. Przebieg ćwiczenia
   
   2.1 Zasada superpozycji.
   2.1.1 Schemat połączeń

Dane: E₀ = 9 V ZR₄ (E = 9 V, R_w = 40 Ω), I₅ = 100 mA, R₀ = 100 Ω, R₁= 60 Ω, R₂= 20 Ω, R₃=R₄= 40 Ω, R₅= 10 Ω, R₆= 80 Ω,

2.1.2. Przebieg pomiarów

Połączyć układ przedstawiony w p. 2.1.1. Dokonać pomiaru prądów płynących pod wpływem każdego wymuszenia (źródła) działającego oddzielnie (eliminując pozostałe według odpowiednich reguł) oraz przedstawić ich sumę (∑) i dokonać pomiaru prądów pochodzących od wszystkich wymuszeń (źródeł) działających jednocześnie.

2.1.3. Tabela wyników

wymuszenie	z pomiarów
	I1
	[mA]
E0	71,27
I5	- 50,67
Z R4	- 24,62
∑	- 4,02
E0, ZR4, I5	- 3,72

2.1.4. Obliczenia

Poszczególne obliczenia analityczne powinny bazować na skorygowanych (dla odpowiednich wymuszeń) schematach pochodzących od schematu podstawowego (pkt. 2.2.1)

wymuszenie	z pomiarów
	I1
	[mA]
E0	75
Z R4	-25
I5	-50
∑	0
E0, ZR4, I5	0

E₀)

I₅)

ZR₄)

∑)

+ +

E₀, ZR₄, I₅)

Obliczenia wynikające z zasady superpozycji:

V_a=E₀=9 V

$$\mathbf{I}_{\mathbf{11}}\mathbf{=}\mathbf{I}_{\mathbf{E}}\mathbf{,\ }\mathbf{I}_{\mathbf{22}}\mathbf{=}\mathbf{I}_{\mathbf{5}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{\ }\mathbf{A}\mathbf{,\ }\mathbf{I}_{\mathbf{33}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{E}}{\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{w}}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{80}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{075}\mathbf{\ }\mathbf{A}$$

$$\left\{ \begin{matrix} \mathbf{} \\ \\ \end{matrix}\mathbf{\rightarrow}\mathbf{\text{\ \ }} \right.\ \left\{ \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \right.\ $$

$\left\{ \begin{matrix} \mathbf{} \\ \mathbf{} \\ \end{matrix} \right.\ \mathbf{\text{\ \ }}\mathbf{\rightarrow}$ $\left\{ \begin{matrix} \mathbf{} \\ \mathbf{} \\ \end{matrix} \right.\ $

0,0505V_b=0,4545→V_b=9 V

0,9045−0,075V_c=0,3795→V_c=7 V

$$\mathbf{I}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\left( \mathbf{V}_{\mathbf{b}}\mathbf{-}\mathbf{V}_{\mathbf{a}} \right)\mathbf{}\mathbf{G}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\left( \mathbf{9}\mathbf{-}\mathbf{9} \right)\mathbf{}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{60}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{\ }\mathbf{A}$$

$$\mathbf{I}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\left( \mathbf{V}_{\mathbf{c}}{\mathbf{-}\mathbf{V}}_{\mathbf{b}} \right)\mathbf{}\mathbf{G}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\left( \mathbf{7}\mathbf{-}\mathbf{9} \right)\mathbf{}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{20}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{20}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{\ }\mathbf{A}\mathbf{=}\mathbf{100}\mathbf{\ }\mathbf{\text{mA}}$$

$$\mathbf{I}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\left( \mathbf{V}_{\mathbf{c}}\mathbf{-}\mathbf{E} \right)\mathbf{}\mathbf{G}_{\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{w}}\mathbf{=}\left( \mathbf{7}\mathbf{-}\mathbf{6} \right)\mathbf{}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{40}\mathbf{+}\mathbf{40}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{80}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0125}\mathbf{\ }\mathbf{A}\mathbf{=}\mathbf{12}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{\ }\mathbf{\text{mA}}$$

$$\mathbf{I}_{\mathbf{6}}\mathbf{=}\mathbf{V}_{\mathbf{3}}\mathbf{}\mathbf{G}_{\mathbf{6}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{80}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{0875}\mathbf{\ }\mathbf{A}\mathbf{=}\mathbf{87}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{\ }\mathbf{\text{mA}}$$

2.2 Zasada proporcjonalności

2.2.1. Schemat połączeń

2.2.2. Przebieg pomiarów

Połączyć układ pokazany na schemacie 2.2.1. Jako wymuszenie zastosować kolejno źródła napięciowe o różnej wartości napięcia źródłowego. E’= 6 V, E’’= 9 V, E’’’= 15 V, dokonując pomiaru napięcia U₅ oraz prądu I₆

2.2.3. Tabela wyników

Wymuszenie	I6	U5
	[mA]	[V]
E’	- 29,96	2,2
E’’	- 44,86	3,29
E’’’	- 74,66	5,47

2.2.4. Obliczenia

Na podstawie wyników zebranych w tabeli 2.2.3 wykazać słuszność zasady proporcjonalności obliczając i porównując odpowiednie proporcje (E, U, I).

Aby udowodnić słuszność zasady proporcjonalności należy sprawdzić stosunek E,U oraz I:

• $\frac{E'}{E''} = \ \frac{6}{9} = 0,(6)$ $\text{\ \ \ \ \ }\frac{I'}{I''} = \ \frac{- \ 29,96}{- \ 44,86} = 0,667$ $\frac{U'}{U''} = \ \frac{2,2}{3,29} = 0,668$

• $\frac{E''}{E'''} = \ \frac{9}{15} = 0,6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{I''}{I'''} = \ \frac{- \ 44,86}{- \ 74,66} = 0,6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{U''}{U'''} = \ \frac{3,29}{5,47} = 0,6$

• $\frac{E'}{E'''} = \ \frac{6}{15} = 0,4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{I'}{I'''} = \ \frac{- \ 29,96}{- \ 74,66} = 0,4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{U''}{U'''} = \ \frac{2,2}{5,47} = 0,4$

Gdzie:

I’, I’’ , I’’ – natężenie prądu płynącego przy wymuszeniu źródłowym kolejno: E’=6 V, E’’ = 9 V, E’’’=15 V

U’, U’’, U’’’ – napięcie prądu płynącego przy wymuszeniu źródłowym kolejno: E’=6 V, E’’=9 V, E’’’=15V

2.3 Zasada wzajemności

2.3.1. Schemat połączeń

2.3.2 Przebieg pomiarów

Połączyć układy według schematów z punktu 2.3.1 a) i b). W miejsce zacisków „źródło”, jako wymuszenie załączyć najpierw źródło napięciowe (E) a następnie prądowe (I), a w miejsce zacisków „miernik” kolejno dla każdego źródła włączyć najpierw woltomierz a następnie amperomierz zgodnie z tabelą 2.3.3.

2.3.3 Tabela wyników

E₃=E₅= 9 V, I₃=I₅= 100 mA

schemat	z pomiarów
	wymuszenie
a	E5
b	E3
a	E5
b	E3
a	I5
b	I3
a	I5
b	I3

2.3.4. Obliczenia

Na podstawie uzyskanych wyników pomiarów obliczyć poszczególne transmitancje i określić, w których przypadkach ma słuszność zasada wzajemności.

schemat	Z obliczeń
	transmitancje
a	b35
b	b53
a	y35
b	y53
a	a35
b	a53
a	z35
b	z53

napięciowo- napięciową

prądowo-napięciową

prądowo-prądową

napięciowo-prądową

Spełnione są równości transmitancji: y₃₅ = y₅₃ 6,426,25 oraz z₃₅ = z₅₃ 50,850,4 natomiast dla pozostałych transmitancji zasada ta nie zachodzi: oraz czyli układ ten nie jest symetryczny względem obranych w ćwiczeniu zacisków.

3. Wnioski i uwagi końcowe.

Celem ćwiczenia było praktyczne sprawdzenie pewnych analitycznych metod rozwiązywania obwodów liniowych prądu stałego. Pierwszą zasadą, której słuszności należało dowieść była zasada superpozycji. Analizując wyniki zestawione w tabeli na stronie 2 można stwierdzić, że wyniki przeprowadzonych pomiarów prądów w przybliżeniu potwierdzają zasadę superpozycji dla liniowych obwodów elektrycznych.

Małe rozbieżności pomiędzy wartościami otrzymanymi a obliczonymi teoretycznie pozwalają potwierdzić słuszność stosowania tej metody. Na nieznaczne różnice między wartościami prądów wskazanymi przez mierniki a wartościami prądów z obliczeń analitycznych wpływ miała przede wszystkim przyjęta przy obliczeniach idealności elementów układu, zwłaszcza źródeł, a przy badaniu miernikami niezerowa rezystancja przewodów , a także niedokładne wartości rezystorów. Dodatkowo należałoby uwzględnić wpływ zastosowanych przyrządów pomiarowych. Ich niedokładność a także niestabilność wskazań („pełzanie” wartości napięcia oraz prądu) mogły spowodować występowanie błędów przypadkowych przy odczycie. Ćwiczenie pozwoliło także potwierdzić słuszność zastępowania źródła napięcia przez zwarcie natomiast źródła prądu przez rozwarcie.

Druga część ćwiczenia dotyczyła zasady proporcjonalności. Przekładając treść powyższej zasady na nasze ćwiczenie (analizując wyniki pomiarów zestawione w tabeli 2.2.2 ) możemy stwierdzić, że odpowiedź układu jest wprost proporcjonalna do wymuszenia. I tak np. zwiększenie napięcia wymuszającego 1,5 raza spowodowało wzrost odpowiedzi układu w identycznym stosunku

Wartości otrzymane z pomiarów są bardzo bliskie wartości teoretycznej

Zatem można stwierdzić, że ćwiczenie potwierdza liniowe zachowanie się odwodu w badanym zakresie prądów i napięć i pełni potwierdza zasadę proporcjonalności.

W ostatnim z ćwiczeń należało wykazać słuszność zasady wzajemności. Zasada ta została również potwierdzona w praktyce, na co wskazują wyniki pomiarów i obliczeń.

4. Parametry i dane zmianowe zastosowanych urządzeń i mierników.

Przy ćwiczeniu użyte zostały następujące urządzenia oraz mierniki:

- Skrzynka zasilająca ze źródłami ( idealne źródło napięcia (9 V), rzeczywiste źródło napięcia (6 V), idealne źródło prądu (100 mA))

- cztery mierniki uniwersalne

- płytka łączeniowa

5. Literatura

1. Atabiekow G., Teoria liniowych obwodów elektrycznych, WNT, Warszawa 1964.

2. Bolkowski S., Elektrotechnika teoretyczna, Wyd. 6, WNT, Warszawa 2001.

3. Cholewicki T., Elektrotechnika teoretyczna t. 1 WNT, Warszawa 1973.

4. Krakowski M., Podstawy elektrotechniki, WNT, Warszawa 1972.

5. Kurdziel R., Podstawy elektrotechniki, WNT, Warszawa 1972.

6. Skrypt Laboratorium Elektrotechniki teoretycznej, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1998 wydanie VII.