1. Wstęp teoretyczny

Gęstość ρ (masa właściwa) stosunek masy ciała do zajmowanej przez nie objętości w określonej temperaturze. Gęstość masy charakteryzuje upakowanie materii w danym ciele.

ρ = $\frac{m}{V}$

1. Wyniki pomiarów i ich opracowanie

Moneta o nominale 1 złoty

1. Tabele przestawiające wyniki pomiarów

Lp.	h 10^-3[m]	d 10^-3[m]
1	1,41	22,7
2	1,36	22,7
3	1,40	22,7
4	1,65	22,6
5	1,35	22,7
6	1,43	22,7
7	1,95
8	1,44
9	1,41
10	1,40
$$\overline{X}$$	1,48	22,68
∆p X	0,01	0,05
uA(X)	0,059	0,017
uB(X)	0,0058	0,029
uc(X)	0,059	0,034

h - wysokość monety

d - średnica monety

$\overline{\text{X\ }}$- średnia arytmetyczna

∆_p X - dokładność miernika

u_A(X) - niepewność standardowa typu A

u_B(X) - niepewność standardowa typu B

u_C(X) - niepewność standardowa całkowita

Lp.	m 10^-3 [kg]	V 10^-3 [m^3]	ρ [kg/m^3]
1	5,05
2	5,11
3	5,03	5,99 * 10^−7m^3	8,45 * $10^{3}\frac{\text{kg}}{m^{3}}$
$$\overset{\overline{}}{X}$$	5,06
∆p X	0,01
uC (X)	0.025
uC(y)		0,000024	350

m - masa monety

V - średnia wartość objętości

ρ - gęstość monety

$\overline{\text{X\ }}$- średnia arytmetyczna

∆X_p - dokładność miernika

1. Wzory :

   1. Objętość V = $\frac{\text{π\ }{\overline{d}}^{2}}{4}\ \overline{h}$

   2. Gęstość ρ = $\frac{\overline{m}}{V}$ = $\frac{4\ \overline{m}\ }{\pi{\overline{d}}^{2}\ \overline{h}}$

   3. Średnia wysokość $\overline{h}$ = $\frac{h_{1} + h_{2} + \ldots + \ h_{10}\ }{10}$ = $\frac{1}{10}\ \sum_{i = 1}^{10}h_{i}$

   4. Średnia średnica $\overline{d}$ = $\frac{d_{1 + \ d_{2} + \ldots + \ d_{6}}}{6}$ = $\frac{1}{6}\ \sum_{i = 1}^{6}d_{i}$

   5. Średnia masa $\overline{m}$ = $\frac{m_{1} + \ m_{2} + m_{3}}{3}$ = $\frac{1}{3}$ $\sum_{i = 1}^{3}m_{i}$

   6. Niepewność standardowa typu A u_A(X) =$\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{(X_{i} - X)}^{2}}{n(n - 1)}}$

   7. Niepewność standardowa typu B u_B (X) = $\sqrt{\frac{{{(}_{p}X)}^{2}}{3}}$

   8. Niepewność standardowa całkowita u_C(X) = $\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{(\ X_{i}\ - \ \overline{X)}}^{2}}{n(n - 1)} + \ \frac{{{(}_{\text{p\ X}})}^{2}}{3}}$

   9. Niepewność złożona ( wyliczam korzystając z wyznaczonych niepewności standardowych u(X_j) pomiarów bezpośrednich )

u_C(y) = $\sqrt{\sum_{j = 1}^{k}{\left( \frac{\partial f}{\partial X_{j}} \right)^{2}\ u^{2}(X_{j}})}$

wielkości X_j są nieskorelowane

1. Obliczenia :

$\overline{h} = 1,48\ \lbrack mm\rbrack$

u_A(h) = $\sqrt{\frac{{(\ 1,41 - 1,48)}^{2} + {(\ 1,36 - 1,48)}^{2} + \ldots}{90}}$ = $\sqrt{\frac{0,3078}{90}}\tilde{\sim}\ 0,059\ \lbrack mm\rbrack$

u_B(h) = $\sqrt{\frac{{(0,01)}^{2}}{3}}$ $\ \tilde{\sim}$ 0,0058 [mm]

u_C(h) = $\sqrt{u_{A}^{2}\left( h \right) + \ u_{B}^{2}(h)}$ $\tilde{\sim}$ 0,059 [mm]

$\overline{d}$ = $\frac{22,7\ *\ 5 + 22,6}{6}$ $\tilde{\sim}$ 22,68 [mm]

u_A(d) = $\sqrt{\frac{5\ *\ \left( 22,7 - 22,68 \right)^{2} + {(22,6 - 22,68)}^{2}}{30}\ }$ $\tilde{\sim}$ 0,017 [mm]

u_B(d) = $\sqrt{\frac{{(0,05)}^{2}}{3}}$ $\tilde{\sim}$0,029 [mm]

u_C(d) = $\sqrt{u_{A}^{2}\left( d \right) + \ u_{B}^{2}(d)}$ $\tilde{\sim}$ 0,034 [mm]

$\overline{m}$ = $\frac{5,05 + 5,11 + 5,03\ }{3}$ $\tilde{\sim}$ 5,06 [g]

u_A(m) = $\sqrt{\frac{{(5,05 - 5,06)}^{2} + {(5,11 - 5,06)}^{2} + {(5,03 - 5,06)}^{2}}{6}}$ $\tilde{\sim}$ 0,0242 [g]

u_B(m) = $\sqrt{\frac{{(0,01)}^{2}}{3}}$ $\tilde{\sim}$ 0,0058 [g]

u_C(m) = $\sqrt{u_{A}^{2}\left( m \right) + \ u_{B}^{2}(m)}$ $\tilde{\sim}$ 0,025 [g]

V = $\frac{\pi*{(22,68*10^{- 3}m)}^{2}}{4}\ 1,48*\ 10^{- 3}m$ $\tilde{\sim}$ 5,98 * 10^-7 m³

u$\left( \overline{d} \right)$ = $\frac{d}{d\overline{d}}\left( \frac{\pi}{4}*\ {\overline{d}}^{2}*\overline{h} \right)*u_{C}\left( d \right) = \frac{\pi}{2}*\overline{h}*\overline{d}*u_{C}\left( d \right) =$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{\pi}{2}*1,48*10^{- 3}m*22,68*10^{- 3}m*0,034*10^{- 3}m$

$\text{\ \ \ \ \ }\tilde{\sim}$1,8*10⁻⁹m³

u$\left( \overline{h} \right) = \frac{d}{d\overline{h}}\left( \frac{\pi}{4}*{\overline{d}}^{2}*\overline{h} \right)*u_{C}(h)$ = $\frac{\pi}{4}*{\overline{d}}^{2}*u_{C}\left( h \right)\ $=

= $\frac{\pi}{4}*\left( 22,68*10^{- 3}m \right)^{2}*0,059*10^{- 3}m$ $\tilde{\sim}$ 23,9*10⁻⁹m³

u_C(V) =$\sqrt{{(1,8*10^{- 9}m^{3})}^{2} + ({23,9*10^{- 9}m^{3})}^{2}}\tilde{\sim}$2,4*10⁻⁸ m³

ρ = $\frac{4\ *\ 5,06(3)\ *\ 10^{- 3\ }\text{kg}\ }{\pi*(\ {22,68{*\ 10}^{- 3}\ m)}^{2}*1,48*10^{- 3}m}\tilde{\sim}\ 8,47*10^{3\ }\frac{\text{kg}}{m^{3}}$

u($\overline{m}$) = $\frac{d}{d\overline{m}}\left( \frac{\overline{m}}{V} \right)*u_{C}(m)$ = $\frac{0,025*10^{- 3}\text{kg}}{5,98*10^{- 7}m^{3}}\ \tilde{\sim}\ 42$ $\frac{\text{kg}}{m^{3}}$

u(V) = $\frac{d}{\text{dV}}\left( \frac{\overline{m}}{V} \right)*u_{C}(V)$= $5,06*10^{- 3}kg*\left( \frac{- 1}{\left( 5,98*10^{- 7}m^{3} \right)^{2}} \right)*2,4*10^{- 8}m^{3}$

$\tilde{\sim}$ 3,4$*10^{2}\frac{\text{kg}}{m^{3}}$

u_C(ρ) = $\sqrt{\left( 42\frac{\text{kg}}{m^{3}} \right)^{2} + \left( 3,4*10^{2}\frac{\text{kg}}{m^{3}} \right)^{2}\ }$ ≈ 350 $\frac{\text{kg}}{m^{3}}$

1. Wnioski

Gęstość monety o nominale 1 złoty wynosi około 8,45*10³ $\frac{\text{kg}}{m^{3}}$.

Obliczona wartość gęstości jest obciążona pewnym błędem, jednak niewielkie wartości błędów pomiarowych świadczą o dosyć dokładnym wykonaniu pomiarów.

Stosowanie tego typu metody w celu wyznaczenia szukanej wielkości fizycznej nie jest dobrą metodą badania substancji.

Dysponując odpowiednimi tablicami, na podstawie moich obliczeń mogę sprawdzić z jakiego rodzaju materiału została wykonana moneta. Moneta o nominale 1 złoty została wykonana z miedzioniklu.