1.Opis położenia punktu w układzie współrzędnych

Położenie poruszającego sie punktu P w układzie wsp. można określić przez x,y,z. Ponieważ współrzędne te są funkcjami zmiennej t(czasu), to otrzymujemy: Kinematyczne równania ruchu: x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t). Równania ruchu w postaci wektorowej |r=|r(t). Jeżeli początek promienia r pokrywa się z początkiem układu wsp. to składowe wektora są równe współrzędnych punktu P. rx=x(t). Po uwzględnieniu zależności promień wektora R możemy zapisać w postaci sumy geometrycznej. |r=|ix(t)+|jy(t)+|kz(t).

2.Definicja prędkości średniej i chwilowej punktu.

Rozpatrując ruch pkt P w przedziale czasu ∆t=t2-t1, w której pkt przebył drogę ∆s=P1*P2, co można zapisać jako |r2=|r1+∆|r. Stąd prędkość średnia punktu jest ilorazem przyrostu wektora ∆r w którym ten przyrost nastąpił. |V=|r2-|r1/t2-t1=∆|r/∆t. Prędkość chwilowa określa granica przy ∆t dążącym do 0. V=lim∆t->0, ∆r/∆t=dr/dt. Wiedząc, że przyrost ∆r ma składowe ∆x, ∆y, ∆z stąd: Vx=lim∆t->0 ∆x/∆t=$\dot{x}$ Prędkość jest wektorem związanym z poruszającym się punktem |V= $\dot{x}$i+ $\dot{y}$j+ $\dot{z}$k, którego moduł można zapisać . V=$\sqrt{\dot{x^{2} + \ldots}}$

3. Definicja przyspieszenia punktu materialnego.

Rozpatrując ruch punktu P w przedziale czasu ∆t=t2-t1, w którym wektor prędkości zmienia się z |V1 na |V2, co można zapisać jako |V2=|V1-∆|V. Przyspieszenie średnie punktu to iloraz przyrostu prędkości ∆|V przez przyrost czasu ∆t. |a=∆|V/∆t. Przyspieszenie chwilowe punktu |a=lim ∆t->0 ∆|V/∆t=d|V/dt= $\dot{|V}$. Wiedząc, że przyrost prędkości ∆|V ma składowe ∆|Vx, stąd składowe wektora przyspieszenia maja postać: ax=lim∆t->0 ∆Vx/∆t= $\dot{V_{x}}$=

Przyspieszenie jest wektorem związanym z punktem poruszającym się |a= $\ddot{x}$|i+ $\ddot{y}$|j mającym moduł a=$\sqrt{\dot{x^{2} + \ldots}}$

4. Ruch prostoliniowy jednostajny i zmienny.

Ruch prostoliniowy jednostajny to ruch pkt po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki sposób, że w jednakowych przedziałach czasu t punkt przebywa takie same drogi. W tym ruchu droga jest liniową funkcja czasu: V=ds/dt=const. Czyli ds.=Vdt po scałkowaniu otrzymujemy s=s0+Vt. Ruch prostoliniowy zmienny to ruch pkt po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki sposób, że w jednakowych przedziałach czasu t punkt przebywa różne odcinki drogi. W ruchu jednostajnie zmiennym prędkość jest liniowa funkcja czasu. A=dv/dt=const.

5.Ruch krzywoliniowy jednostajny i zmienny- przyspieszenie styczne, normalne. Ruch krzywoliniowy jednostajny to ruch po torze krzywoliniowym l, w którym wektor prędkości w każdej chwili jest styczny do toru, a jego wartość nie zmienia się z czasem (zmienia się tylko jego kierunek). Wartość przyspieszenia składowego an prostopadłego do prędkości ma postać an=asinα, an=V²/ro. Składowa przyspieszenia całkowitego w kierunku wektora prędkości at to przyspieszenie styczne i związana jest ze zmiana wartości wektora prędkości. Wartość at jest określona w postaci: at=acosα at= $\dot{V}$. |a=|at+|an. Ruch krzywoliniowy zmienny- to ruch pkt po torze krzywoliniowym ruchem niejednostajnym. W tym wypadku wektor prędkości ruchomego punktu zmienia wartość i kierunek. at≠ 0 an≠0 krzywoliniowy zmienny. at≠0 an=0 prostoliniowy zmienny. at=0 an≠0 jednostajnie krzywoliniowy. at=0 an=0 jednostajnie prostoliniowy.

6.Ruch jednostajny po okręgu – droga, prędkość, przyśpieszenie liniowe i kątowe. Ruch po okręgu jest przykładem ruchu zachodzącego w dwóch wymiarach. Przy którym torem ruchu jest okrąg. Prędkość kątowa-stosunek kąta zakreślonego przez ciało poruszające się po okręgu w $\omega = \frac{\text{Δα}}{\text{Δt}}$danym czasie do tego czasu. Oznacza się ją symbolem ω. Prędkość liniowa, której kierunek jest styczny do okręgu w każdym jego punkcie, jej wartość jest stała. Jest to stosunek przebytej drogi s, do czasu t w jakim ta droga został przebyta. Gdy droga to pełny obwód okręgu, czyli s = 2πr, to czas w jakim została ona przebyta t = T, czyli prędkość liniowa wynosi: $v = \frac{2\pi}{T}$ Droga kątowa jest to kąt, wyrażony w mierze kątowej (rad) zakreślony przez promień wodzący obiektu. Promień wodzący, to ten promień, który łączy środek okręgu z aktualnym położeniem obiektu na torze ruchu. Związek między drogą kątową , a drogą liniową s = a ⋅ r.

Przyspieszenie liniowe jest to stosunek zmiany wektora prędkości Δv do czasu trwania tej zmiany. Przy stałej wartości prędkości, czyli dla ruchu jednostajnego po okręgu, jego wartość wyliczamy z wzoru: $a = \frac{v^{2}}{r}$ Wektor tego przyspieszenia ma zawsze kierunek promienia wodzącego, a zwrot do środka okręgu. Przyspieszenie kątowe jest to zmiana prędkości kątowej w czasie trwania tej zmiany. W ruchu jednostajnym po okręgu, prędkość kątowa jest stała, czyli przyspieszenie kątowe wynosi 0 (jednostką jest 1 na sekundę do kwadratu)

7.Pojęcie ciała sztywnego – zbiór punków, których wzajemne odległości są stałe rys. Ruch ciała sztywnego w przestrzeni jest jednoznacznie określony przez równania ruchu trzech punktów, nie lezących na jednej prostej. Aby punkty ABC nie leżały na 1 prostej musi być spełniony warunek: (|rb-|ra)x(|rc-|ra)≠0. Ruch ciała sztywnego może być określony wektorowymi równaniami trzech punktów A,B,C. |ra=|ra(t) Ciało o unieruchomionym 1 punkcie ma 3 stopnie swobody, gdy unieruchomimy 2 punkty ciało ma tylko 1 stopień swobody

8.Ruch postępowy ciała sztywnego - ruch w którym wszystkie jego punkty doznają tych samych przesunięć. Ciało w ruchu postępowym ma 3 stopnie swobody.rys. Położenie punktów A,B,C, poruszającego się ruchem postępowym ciała możemy określić za pomocą wektorów: |ra(t0) w chwili początkowej t0. Następne położenie ciała odpowiada chwili t=t0+ut czyli upływie czasu ∆t, a położenie punktów oznaczamy przez A’ Równania ruchu punktów mają postać: |ra(t)=|ra(t0)+|u(t)...u(t)jest przesunięciem jednakowym dla wszystkich punktów ciała. Różniczkując powyższe równania względem czasu otrzymamy wektory prędkości A,B,C:|Va=|Vb=|Vc=d|u(t)/dt

Przyspieszenie |aa=|ab=d^2|u(t)/dt.

9.Ruch obrotowy ciała sztywnego wokół nieruchomej osi- prędkość i przyspieszenie. Bryła może obracać sie jedynie dookoła osi zwanej osią obrotu. Równanie ma postać ρ=ρ(t). Pierwsza pochodna kata obrotu ρ względem czasu nazywamy prędkością kątową ruchu obrotowego. Prędkość kątowa jest wektorem związanym z osia obrotu którego moduł wynosi ω= $\dot{\rho}$, kierunek pokrywa się z osią obrotu a zwrot wynika z reguły śruby prawoskrętnej. Drugą pochodna kąta obrotu, czyli pierwsza pochodna prędkości kątowej nazywamy przyspieszeniem kątowym, Które jest wektorem związanym z osią obrotu o module: ε= $\dot{\omega}$=$\ddot{\rho}$ Kierunek tego wektora porusza się z osią obrotu a zwrot jest zgodny ze zwrotem wektora prędkości kątowej gdy obrót jest przyspieszony, przeciwny gdy obrót jest spóźniony.

10. Ruch płaski bryły – pojęcie płaszczyzny kierującej.

Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej płaszczyzny π, zwana płaszczyzna kierującą. Przez ciało sztywne prowadzimy prostą l prostopadłą do płaszczyzny π. Podczas ruchu bryła prosta l porusza się ruchem postępowym i jest stale prostopadła do płaszczyzny π. Podczas ruchu obrotowego Bryły wokół prostej l punkty leżące na prostej równoległej do l maja akie same prędkości i przyspieszenia. Ruch płaski jest określony jeśli znamy ruch przekroju bryły po płaszczyźnie kierującej.

11.Równania ruchu płaskiego. Położenie bryły w ruchu płaskim

– dwie współrzędne bieguna 0(x, y): x_O = x_O (t), y_O = y_O (t),

Różniczkując względem czasu równanie

${\overrightarrow{r}}_{i} = {\overrightarrow{r}}_{A} + {\overrightarrow{p}}_{i}$ Otrzymamy prędkość dowolnego punktu przekroju poruszającego się po płaszczyźnie kierującej. Wektor prędkości dowolnego punktu przekroju : ${\overrightarrow{V}}_{i} = {\overrightarrow{V}}_{A} + \overrightarrow{\omega} \times {\overrightarrow{p}}_{i}\ $prędkość dowolnego punktu jest suma geometryczna prędkości ruchu postępowego i prędkości ruchu obrotowego dookoła obracanego bieguna.

Przyspieszenie jest równe pochodnej wektora prędkości względem czasu: ${\overrightarrow{a}}_{i} = {\overrightarrow{a}}_{A} + \overrightarrow{\omega} \times {\overrightarrow{\rho}}_{i} + \omega \times (\overrightarrow{\omega} \times {\overrightarrow{\rho}}_{i})$

12. Pojęcie ruchu kulistego – określenie położenia bryły. Jest to ruch, w czasie którego jeden z punktów bryły jest stale nieruchomy. Ruch kulisty jest obrotem dookoła chwilowej osi obrotu (oś ta zmienia swoje położenie w czasie). Bryła, której jeden punkt jest unieruchomiony ma 3 stopnie swobody. Jej położenie jest opisane w sposób jednoznaczny jedynie za pomocą kątów, zwanych kątami Eulera. Dla określenia tych kątów wprowadzamy układ współrzędnych związanych z bryłą ξ - ksi, ζ – dzeta, η – eta. Początkowo osie układu nieruchomego x,y,z pokrywają się z osiami układu ξ , ζ , η. Następnie bryła wykonuje obroty: *wokół osi ξ o kąt (kąt nutacji), ściśle wokół linii węzłów w. *wokół osi nieruchomej z o kąt ψ(kąt precesji), po wykonaniu tego obrotu oś ξ znajduje się na linii zwanej linią węzłów w. *wokół osi ζ o kąt φ (kąt obrotu własnego). Kolejność wykonywania powyższych obrotów jest dowolna i nie ma wpływu na położenie końcowe bryły.

13. Równania ruchu kulistego bryły – prędkość i przyśpieszenie. Prędkość - Ponieważ ruch kuli jest obrotem wokół chwilowej osi obrotu, wektor prędkości kątowej leży na tej osi. Wektor prędkości kątowej |ω możemy podać zarówno w nieruchomym układzie osi x,y,z |ω=ωx|i +ωy|j + ωz|k, jak i w układzie związany z bryła |ω=ωξ|eξ+ω η |e η + ω ζ |e ζ. Znając prędkości: $\dot{\mathbf{\varphi}}$ - obrotu własnego, $\dot{\mathbf{\psi}}$ – precesji oraz $\dot{\theta}$ –nutacji, składowe wektora |ω, w układzie ξ , ζ , η obliczamy

15.Zasady dynamiki punktu materialnego-Dynamika jest działaniem mechaniki opisującym ruch układu materialnego pod wpływem sil działających na ten układ. *Punkt materialny, na który nie działają żadne siły lub działają siły, które się wzajemnie równoważą pozostaje względem układu odniesienia w spoczynku lub ruchu jednostajnie prostoliniowego. *Zmiana ilości ruchu (pędu) jest proporcjonalna względem siły działającej i ma kierunek prostej wzdłuż której ta siła działa. *Akcja i reakcja – każdemu działaniu towarzyszy równe lecz przeciwne zwrócone oddziaływanie *Prawo super pozycji – jeśli na punkt materialny o masie M działa jednocześnie kilka sił to punkt uzyskuje przyspieszenie równe sumie geometrycznej przyspieszeń jakie uzyskały by w wyniku niezdolnego działania każdej z sil. *Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalna do iloczynu mas (m1, m2) odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości (r) miedzy nimi, kierunek siły leżącej na prostej łączącej te punkty.

16.Siła bezwładności – zasada d’Alamberta. Siła bezwładności jest równa iloczynowi masy przez przyspieszenie ruchu. Jej kierunek jest taki jak kierunek przyspieszenia ruchu,a jej zwrot jest przeciwny. Siła bezwładności jest =0 gdy w ruchu nie występuje przyspieszenie. Styczna siła bezwładności nie występuje w ruchu jednostajnym punktu, normalna siła bezwładności jest =0 w ruchu prostoliniowym. W ruchu swobodnym punktu materialnego układu sił czynnych równoważy się z siła bezwładności [Ε|Fi+(-m|a)=|0]. W ruchu punktu nie swobodnego siły czynne i reakcje więzów równoważą się z siła bezwładności [Ε|Fi+Ε|Ri+(-m|a)=|0].

17.Zasada pędu masy impulsu siły punktu materialnego. Punkt materialny o masie M porusza się pod wpływem układu sily |F1,|F2,...|Fn, Druga zasadę możemy zapisać w postaci d/dt(m|v)=Ε|Fi, Wektor |p=m|v nazywamy pędem lub ilością ruchu punktu materialnego. Zasada pędu -|p=Ε|Fi. Pochodna pędu punktu materialnego względem czasu jest równa sumie siły działających na dany punkt. W przypadku gdy na punkt materialny nie działają siły lub siły równoważą się pęd punktu materialnego jest stały. |p= const. Przypisując 2 zasadę Newtona w postaci |Fdt=d(m|v). przyrost masy poruszającego się punktu jest równy impulsowi całkowitemu sil działających. Wniosek. Dla zmiany pędu masy niezbędny jest określony jest czas działania siły. Z równania tego wynika ze zmiana wektora pędu będzie tym intensywniejsza, im większa będzie siła |k oraz im większa będzie masa i pęd początkowy |p.

18.Zasada krętu punktu materialnego. Po dowolnym torze porusza się punkt o masie M z prędkością |v. Obierając dowolny punkt 0 jako początek układu stałego x,y,z i łącząc go z poruszającym się punktem promieniem-wektorem |r Kretem poruszającego się punktu materialnego względem danego bieguna 0 nazywamy wektor równy iloczynowi wektorowemu promienia przez pęd poruszającego punktu. Kręt jest więc momentem pędu względem obranego bieguna. Po zróżniczkowaniu wektora krętu względem czasu. d|k/dt=d|r/dt x m|v+|r x d/dt(m|v) czyli |k=|v x m|v +|r x m|a. Pochodne wektora krętu względem czasu jest rowna momentowi głównemu wszystkich sil działających na dany punkt materialny.[|k=|M] . Jeżeli moment sil działających na poruszający się punkt materialny jest względem jakiegoś bieguna =0 to kręt poruszającego się punkty względem tego bieguna jest wektorem stałym |M = |0 =|k = const.

19.Dynamiczne równania punktu materialnego.

Dynamiczne równanie ruchu |F=m|a uwzględnia zmianę zależności |F=|Fxi+|Fyj+|Fzk, |a=$\ddot{x}$|i+$\ddot{y}$|j+$\ddot{z}$|k. Dynamiczne rownanie ruchu można zastąpić 3 równaniami analitycznym. Fx=m$\ddot{x}$ , Fy=m$\ddot{y}$, Fz=m$\ddot{\ddot{z}\ \dot{}}$. W biegunowym układzie współrzędnych dynamiczne równania ruchu maja postać m($\ddot{r}$ -r$\dot{\rho}$²)=Fr, md/rdt*(r²$\dot{\text{\ ρ}}$)=Fρ. W układzie współrzędnych równania te będą wyglądały następująco m($\ddot{r}$ -r$\dot{\rho}$²)=Fr, md/rdt*(r²$\dot{\text{\ ρ}}$)=Fρ, m$\ddot{z}$=Fz. W naturalnym układzie współrzędnych mdv/dt=Ft,m=V²/r=Fn, ma_b=F_b=0.

21. Drgania swobodne i tłumione punktu materialnego. Ruchem drgającym punktu materialnego (drganiem) nazywamy ruch w dostatecznie małym  otoczeniu położenia swojej równowagi stałej tego punktu. Jeżeli punkt materialny zostanie wychylony z położenia równowagi, to zostaną wywołane drgania tego punktu. Ruchem punktu materialnego, na który działa siła  proporcjonalna do tego wychylenia od pewnego nieruchomego punktu  i skierowana w stronę tego punktu. Rozpatrzymy przypadek, gdy punkt materialny porusza się po linii prostej, na której leży również wspomniany wyżej punkt . Jeżeli tę prostą obierzemy jako oś z początkiem w punkcie , a współczynnik proporcjonalności między siłą przyciągającą a wychyleniem punktu materialnego oznaczmy symbolem , to równanie różniczkowe ruchu będzie miało postać:Znak minus po prawej stronie powyższego równania pochodzi stąd, iż dla  siła  ma zwrot przeciwny do osi , a dla  siła ta ma zwrot zgodny z osią. Przenosząc w równaniu tym wyraz  na lewą stronę mamy:      Drgania swobodne - drgania zachodzące pod działaniem sił sprężystych. Tłumione. Obecnie założymy, że na punkt materialny działa, oprócz siły proporcjonalnej do wychylenia, jeszcze siła oporu , której wartość jest wprost proporcjonalna do prędkości. przy czym odpowiada położeniu równowagi.  Wprowadzając oznaczenia ,równanie można napisać w postaci:

  

22. Drgania wymuszone punktu materialnego – rezonans mechaniczny Drgania wymuszone nietłumione Zakładamy, że oprócz siły , proporcjonalnej do wychylenia, na punkt materialny działa jeszcze pewna siła , której wartość jest okresową funkcją czasu, przy czym:       Równanie różniczkowe ruchu przybierze teraz postać: albo 

Drgania wymuszone tłumione Zbadamy teraz wpływ  tłumienia na drgania wymuszone. Jeżeli oprócz sił    i   na punkt materialny działać będzie jeszcze siła  , której wartość jest okresową funkcją czasu, przy czym ,  to równanie różniczkowe ruchu ma postać   Albo, stosując oznaczenia , postać : 

23.Ruch punktu materialnego po gładkiej równi pochyłej. Ruch punktu materialnego po gładkiej równi pochyłej poruszającej się ruchem postępowym z przyspieszeniem au Ruch opisujemy równaniem: mx = mgsin ∝ −D_ucos∝ ale D_u = ma_u dla a_u ≤ gt∝ ciało będzie poruszało się w dół, a przy równym w spoczynku lub ruchem jednostajnym prostoliniowym (względem ruchomej płaszczyzny).

24.Ruch wahadła matematycznego.

Punkt materialny zawieszony w polu ciężkości na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.

Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest stałość okresu drgań dla niewielkich wychyleń wahadła.

Ogólne równanie ruchu wahadła matematycznego: $ml^{2}\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}} + \gamma\frac{\text{dθ}}{\text{dt}} + mgl\sin\theta = A\cos{\omega_{D}t}$

Gdzie: l - długość nici, g - przyspieszenie ziemskie, m - masa ciała, θ - kąt wektora wodzącego ciała z pionem, A - amplituda siły wymuszającej, ω_D - częstość siły wymuszającej γ - współczynnik oporu ośrodka

Równanie to odpowiada równaniu drgań tłumionych o sile nieproporcjonalnej do wychylenia, czyli drgań nieharmonicznych. Równania tego nie da się rozwiązać analitycznie, nawet gdy A=0.

Równanie stycznej i normalnej do toru:
ma_t = −mgsinφ ma_n = −mgcosφ + R

25.Zderzenie proste i ukośne ciał. Zderzenie zachodzi w przypadku działania na siebie dwu ciał siłą o skończonej wartości w bardzo krótkim przedziale czasu. Zderzenie środkowe(proste) charakteryzuje się tym, że normalna do płaszczyzny styku w punkcie styku obu ciał przechodzi przez środki masy tych ciał. W procesie zderzenia rozróżniamy dwa charakterystyczne okresy:

- pierwszy okres: od chwili zetknięcia się ciał aż do chwili największego zbliżenia ich środków mas, przy równoczesnym odkształcaniu się obu ciał, - drugi okres: od chwili rozpoczęcia oddzielania się obu mas. Pęd przed i po zderzeniu jest taki sam. c– wspólna prędkość obu mas przy końcu pierwszego okresu.

współczynnik restytucji. Wartości graniczne współczynnika k odpowiadają: dla ciała idealnie sprężystego k=1 dla ciała idealnie plastycznego. k=0

Ukośne. Rozkładamy wektory prędkości na składowe normalne i styczne do płaszczyzny styku

Jeżeli pominiemy straty tarcia przy zderzeniu i możliwości ewentualnych obrotów mas, to składowe styczne w wyniku zderzenia nie ulegną zmianie, zmienią się tylko składowe normalne.

28.Kręt układu punktów materialnych.

Kręt układu punktów materialnych względem dowolnego punktu 0 (bieguna), jest to wektor równy sumie geometrycznej krętów wszystkich punktów materialnych układu względem bieguna.

Wartości rzutów wektora krętu K₀ na osie xyz są , ,

Pochodna krętu ma postać Jeśli M₀ = 0 to K₀ = const Pochodna względem czasu krętu punktów materialnych względem dowolnego punktu 0 równa jest sumie geometrycznej momentów sił zewnętrznych, jeżeli punktem 0 jest punkt nieruchomy lub środek masy układu C.

30. Definicja i równania pracy mechanicznej sily stałej. Pracę siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku działania siły nazywamy iloczynem tej siły przez długość przesunięcia A=Fs I=Nm=kgm²/s². Rys. jeżeli wektor jest nachylony do kierunku przesunięcia pod katem α, to prace obliczamy ze wzoru A=F_ts=Fscosα, ponieważ prace wykonuje tylko składowa siły stycznej do toru F_t. Praca składowej normalnej do toru F_n =0. α=0 –A=Fs>0, 0<α<90- A=Fscosα>0, 90<α<180 – A=Fscosα<0, α=180- A=-Fs<0, α=90 –A=0. Praca jest skalarem, Praca może przyjmować wartości dodatnie ujemne i =0, prace wykonuje jedynie składowa siły stycznej do toru.

31.Praca mechanicznej siły zmiennej. Prace elementarna sily zmiennej na przesuniecie d|s nazywamy iloczynem skalarnym sily |F przez to przesuniecie elementarne. δA=|F*d|s. Ponieważ |F*d|s= Fds cos(|F, d|s) = Ftds zatem δA=Ftds. Praca siły na pewnym przesunięciu jest równa sumie prac sil składowych na odpowiednich przemieszczeniach składowych. Prace całkowita od położenia od 1 do 2 na torze otrzymamy całkując wyrażenie przedstawiające prace elementarna

33.Praca mechaniczna siły sprężystości. Siła sprężystości |s jest wielkością zmienna proporcjonalna do wydłużenia sprężyny. Przyjmując os sprężyny za os x napiszemy: S=cx c-stała sprężyny, Praca elementarna siły sprężystości jest równa δA=xdx+ydy+zdz. Składowe siły sprężystości x=-s , y=0 z=0. Po podstawieniu δA=-cxdx. Praca całkowita siły sprężystości na drodze całkowitego wydłużenia sprężyny będzie równa A=-∫₀^lcxdx=-cl²/2, uwzględniając że cl=s, A=-1/2sl.

34. Praca mechaniczna sily ciężkości. Praca elementarna δa= xdx+ydy+zdz, składowe sily ciężkości x=0 y=0 z=-mg, zatem praca elementarna δA= -mgdz. Praca całkowita A=-∫_z1^z2mgd2 = mg(z1 − z2).

35. moc i sprawność układu. Prace odniesienia do jednostki czasu nazywamy moca, moc całkowita P=δA/dt, wzór na moc chwilowa przestawić można w postaci P=Ftds/dt lub P=FtV. W ruchu obrotowym P=ndρ/dt ponieważ dρ/dt=ω dlatego P=Moω. Gdy prędkość w ruchu obrotowym zadana jest za pomocą prędkości obrotowej n(Obr/min) wówczas prędkość Katową ω obliczamy ze wzoru. ω=πn/30. Po podstawieniu do π=nω mamy P = Mo πn/30. Jednostka mocy W=I/s=Nm/s (kW,MW). Sprawnością mechaniczną maszyny lub silnika nazywamy stosunek pracy (lub mocy) użytecznej do pracy (lub masy) włożonej. η=Au/A= Pu/P.

36.Zasda zachowania pracy i energi kinetycznej. Przy wyrażeniu siły Ft w postaci Ft=mat =mdv/dt. Wzor na prace przybiera postac δA= Ftds=mdvds(ds=Vdv)/dt=mVdv=δE (E=mV²/2 ). Prawa strona tego równanie jest różniczka zupełna funkcji E=mv2/2 zwanej energia kinetyczna poruszającego się punktu materialnego, zatem δA=dE po całkowaniu otrzymujemy A1-2 = E2-E1. Energia kinetyczna poruszającego się punktu materialnego rośnie lub maleje, wielkość pracy wykonanej przez siły działające na ten punkt materialny.

37.Praca w polu sił. Prace całkowita wykonana przez siły pola określa całka. A1-2=∫₁²(Xdx + Ydy + Zdz), aby obliczyc prace calkowita należy ustalic a) wposlrzedne punktu początkowego i końcowego b) wektor siły pola |F=|F(x,y,z) takie pola sily w których praca zależy od kształtu toru nazywamy polami nie potencjalnymi lub wirowymi. w polu potencjalnym praca nie zależy od kształtu toru a jedynie od położenia początkowego i końcowego siły pola - = wartości funkcji i pola w położeniu końcowym i początkowym.

38.Potencjal pola sil. Określić pole siły tzn. podać wektor funkcje położenia |F=|F(x,y,z) albo jego składowe x=x(xyz), y=y(xyz), z=z(xyz). Linię charakteryzującą się tym, że w każdym jej punkcie wektor pola jest styczny do niej, nazywamy linia pola sil. Równanie różniczkowe tych linii ma postać dx/x+dy/y=dz/z. Jeżeli linie pola sil są prostymi równoległymi pole nazywamy jednorodnym. Funkcją pola sil nazywamy funkcję położenia φ(x,y,z) której różniczka zupełna jest równa pracy elementarnej sil pola.

39.Zasada zachowania energii mechanicznej. Pracę 0=mgh nazywamy energia potencjalna. Jest to praca jaka wykona pole sil ciężkości przy przemieszczaniu masy z wysokości h na powierzchnie ziemi. E+V= const. W polu potencjalnym suma energii kinetycznej i potencjalnym jest w każdym położeniu wielkością stałą. W odniesieniu do poruszającego się punktu zasadę te możemy przedstawić mv2/2+mgh=const. Z zasady pracy i energii kinetycznej δA= dE oraz z pracy i energii potencjalnej δA=-dV, wynika że dE=-dV czyli dE+Dv=0 – forma różniczkowania do zachowania energii mechanicznej.

40.Równowaga punktu w polu sil ciężkości.

Równowagę punktu w polu ciężkości na gładkim torze |F+|R=0. Punkt będzie w równowadze na krzywej gładkiej wtedy gdy wypadkowa sil czynnych będzie prostopadła do tej krzywej. W polu sil ciężkości równowaga punktu materialnego w położeniu, gdzie energia potencjalna osiąga ekstremum w szczególności równowaga stała zachodzi w położeniu w którym energia potencjalna osiąga minimum. Jest to tak zwane kryterium statyczności Minidinga i Diriechleta.

41. Dynamiczne równania ruchu postępowego ciała sztywnego:

42. Twierdzenie o pochodnej krętu bryły materialnej: Definicja: Krętem ciała sztywnego wokół osi obrotu nazywa się iloczyn masowego momentu bezwładności ciała względem tej osi i prędkości kątowej.

Kręt ciała sztywnego jest suma krętów wszystkich mas elementarnych :

43. Charakterystyka ruchu płaskiego bryły materialnej:

Swobodne ciało sztywne, na które działa układ sił zewnętrznych znajduje się w ruchu płaskim . Ma ono 3 stopnie swobody i wystarczy podać ruch dowolnego jego punktu na płaszczyźnie kierującej- ma on dwa stopnie swobody- i np. drogę kątową w jego własnym obrocie aby jednoznacznie opisać położenie całego ciała sztywnego.

44. Dynamiczne równania ruchu bryły materialnej – przykłady rozwiązań Dla ruchu obrotowego dookoła nieruchomej osi: Przykład: Koło zamachowe porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej a więc przyspieszenie obliczymy ze wzoru : => moment obrotowy ;