Tocha Mateusz

Gdynia 2014-12-09

Laboratorium Metod Sterowania Automatycznego

Układ Regulacji Kaskadowej.

Wstęp.

Wielokrotnie w różnych układach automatyki w której musimy regulować więcej niż jedną wielkość, zatem istnieje konieczność stworzenia układu regulacji automatycznej z większą ilością sprzężeń zwrotnych. Bardzo często taka sytuacja ma miejsce przy sterowaniu układami napędowymi gdzie pętlą nadrzędną (zewnętrzną) odpowiedzialna jest za regulację prędkości, uchyb ma charakter prędkościowy i trafia na regulator (zazwyczaj PI) . Regulator ten wypracowuje prąd referencyjny , czyli taką wartość prądu dla którego silnik powinien odtworzyć prędkość zadaną . Jednak przed ustaleniem wartości sterującej u(t) sygnał prądu poddawany jest regulacji zatem wprowadzona jest kolejna pętla sprzężenia zwrotnego (wewnętrzna) która ma za zadanie przede wszystkim ograniczyć prąd rozruchowy.

Ćwiczenie pozwoli nam zapoznać się z topologią układu, oraz procesem identyfikacji obiektów wewnętrznych oraz zewnętrznych, podejście to jest konieczne do odpowiedniego doboru nastaw regulatorów w obu pętlach.

Zadanie 1. Identyfikacja dynamiki obiektu przy pomocy charakterystyki skokowej.

1. Wyznaczanie charakterystyk procesu A i B

W zadaniu należy stworzyć transmitancję dwóch obiektów używając przy tym parametrów podanych przez prowadzącego.

f=3.5 b=1.5 χ=10%

Uzyskane transmitancje:

$$\text{GA}\left( s \right) = \frac{3.5}{2.625s^{2} + 3.25s + 1.1}e^{- 0.7s}$$

$$\text{GB}\left( s \right) = \frac{1.2}{30.45s^{2} + 13.5s + 0.95}e^{- 0.35s}$$

Transmitancja procesu:

$$\text{GAB}\left( s \right) = \frac{4.2}{79.93s^{4} + 134.4s^{3} + 79.86s^{2} + 17.94s + 1.045}e^{- 4.2s}$$

Rys1.1 Przebiegi odpowiedzi na skok dla obiektu GA- niebieski GB-czerwony.

Z odpowiedzi na skok jednostkowego wynika:

Czas mierzony w momencie osiągnięcia 0.6 wartości ustalonej. To czas który będziemy porównywać i na podstawie którego możliwa jest ocena prędkości procesów obiektów GA, GB.

t_A =3,732s

t_b=16.84s

Z otrzymanych pomiarów wynika że : proces A jest procesem szybszym niż proces B.

1. Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych procesu A i B

Istnieje również możliwość oceny prędkości procesu za pomocą charakterystyk częstotliwościowych.

Rys 1.2 Charakterystyki częstotliwościowe na podstawie których możliwa jest ocea obiektów.

Dla obu obiektów odczytujemy pulsację dla którego wartość modułu wynosi 1 czyli Lm(ω)=0

ω_oA = 1 rad/s

ω_oB = 0.064 rad/s

ω_oA > ω_oB  czyli proces A jest szybszy niż proces B

Z charakterystki modułu widoczne jest że obiekt GA posiada szersze pasmo przenoszenia tzn. takie Lm(ω)>0, które nie tłumi sygnalów szybkozmiennych.

Dla obu obiektów odczytujemy wartość φ(ω) przy pulsacji 0.1 rad/s

ϕ_A(ω=0.1) = −21.06

ϕ_B(ω=0.1) = −85.13

ϕ_A(ω=0.1) > ϕ_B(ω=0.1) czyli proces A jest szybszy niż proces B

Opóżnienie fazowe dla procesu A jest mniejsze zatem obiekt szybciej będzie regaował na zmiany.

Zadanie 2. Badanie układu klasycznego z jedną pętlą sprzężenia zwrotnego. Pomiar jakości sterowania.

1. Identyfikacja paramterów cyklu granicznego powstającego w układzie AB

Rys 2.1 Schemat układu regulacji do badania cyklu granicznego. Układ regulacji z jedną pętlą sprzeżenia zwrotnego oraz z jednym obiektem złożonych z dwóch procesów połączonych szeregowo.

Układ regulacji obecnie zawiera jeden obiekt złożony z dwóch obiektów połączonych szeregowo GA*GB, sam w sobie układ ten nie wzbudziłby się dlatego wprowadzono przekażnik. Strefę nieczułości ustawiono na 0, wartość przy której się przełączy to 0 a wartość wyjściowa to ±0.2.

Rys 2.2 Przebiegi wartości u(t) (wymuszenie z przekaźnika) y(t) odpowiedź na wymuszenie dla obiektu GAB

Z pomiarów drgań krytycznych odczytujemy :

A=0.327

B=0.2

T_Osc=30.4s

Aby wyznaczyć wzmocnienie krytyczne należy obliczyć:

$$K_{K_{r}} = \frac{4B}{\text{π\ }\sqrt{A^{2} - h^{2}}} = \frac{4*0.2}{\pi*0.327} = 0.7787$$

Na podstawie tych danych możliwe jest obliczanie nastaw wg II metody ZN.

K_P = 0.4 * K_Kr = 0.4 * 0.7787 = 0.3115

Ti = 0.4 * T_Osc = 0.4 * 30.4 = 12.16

$$\backslash n{Ki = \frac{1}{T_{i}} = \frac{1}{12.16} = 0.0822}$$

Td = 0.1 * T_Osc = 0.1 * 30.4 = 3.04

$$Kd = \frac{1}{T_{d}} = \frac{1}{3.04} = 0.3289$$

1. Symulacja pracy układu regulacji o jednej pętli sprzężenia zwrotnego

Rys 2.3 Przebieg reakcji wartości wyjściowej procesu AB na wymuszenie (odpowiedź na skok) oraz zakłócenie

Na podstawie przebiegów widzimy że regulator PID sprowadza uchyb do zera zetem y(t)=y_ust(t)=x(t), jednakże jakość sterowania pozostawia wiele do życzenia. Czas regulacji jest na poziomie 110.9 s dla Δ2% przy czym podczas regulacji pojawiają się oscylacje, w momencie zmiany wartości zadanej jak i wporwadzeniu zakłócenia.

W celu wyznaczenia maksymalnego przeregulowania czas symulacji zostanie zmniejszony aby przebiegi były bardziej przejrzyste.

Rys 2.4 Przebiegi dla układu regulacji dla procesu AB na odpowiedź na skok, ocena jakości sterowania.

Rys 2.5 Przebiegi dla układu regulacji dla procesu AB na odpowiedź na zakłócenia, ocena jakości sterowania.

Maksymalne przeregulowanie to pierwsza amplituda oscylacji do składowej zerowej :

$$\chi_{\max} = \frac{A_{1}}{A_{0}}*100\% = \frac{2}{5}*100\% = 40\%$$

Jakość sterowania w tym przypadku jest poniżej kryterium jakie zostało przyjęte: χ_max < 10%

Uchyba ustalony dąży do 0.

e(t) = e(s) = 0

Osiągi przy skokowej zmianie wartosci zadanej z(t-400)=5:

χ_max = 40%                 e_ust = 0               t_r = 110.9s

χ_max = 44.6%                 e_ust = 0               t_zaklocenia − t_r′=t_r = 400 − 484 = 84s

Zadanie 3.

W poprzednich zadaniach doszliśmy do wniosku że proces A jest szybszy od procesu B, możliwe jest poprawa jakości sterowania poprzez wprowadzenie dodatkowej pętli sprzężenia zwrotnego, który będzie obejmował tylko jeden proces – obiekt A.

1. Pomiar off-line

Pomiar parametrów cyklu granicznego w pętli wewnętrznej przy otwartej pętli zewnętrznej.

Rys 3.1 Schemat układu wyznaczania parametrów metodą przekaźnikową przy otwartej zewnętrznej pętli sprzężenia zwrotnego

Układ zostanie wymuszony poprzez impuls o krótkim czasie trwania , cały układ wzbudzi się i na wyjściu procesu A zobaczymy przebieg z oscylacjami nietłumionymi. Przebiegi te posłużą nam do wyznaczenia parametrów cyklu granicznego.

Rys 3.2 Przebiegi cyklu granicznego przy otwartej zewnętrznej pętli sprzężenia zwrotnego

$$K_{\text{kr}} = \frac{4*B}{\pi*A} = \frac{4*0.2\ }{3.14*0.177} = 1.4387$$

1. Pomiar on – line

W momencie zamknięcia pętli zewnętrznej w której działa proces B, nie powinniśmy zauważyć dużej zmiany w pomiarach cyklu granicznego, ze względu na fakt że proces B jest dużo wolniejszy od procesu A.

Rys 3.3 Układ do pomiaru parametrów cyklu granicznego pętli wewnętrznej przy obu pętlach zamkniętych.

Rys 3.4 Przebiegi cyklu granicznego dla wewnętrznej pętli sprzężenia zwrotnego , przy zamkniętych pętlach zewnętrznej oraz wenętrznej.

$$K_{\text{kr}} = \frac{4*B}{\pi*A} = \frac{4*0.2\ }{3.14*0.179} = 1.423$$

T_osc = 4.9s

1. Pomiary z regulatorem typu P w wewnętrznej pętli sprzężenia zwrotnego

Do układu regulacji automatycznej wprowadzono szereg zmian, przede wszystkim regulator przekaźnikowy w wewnętrznej pętli sprzężenia zwrotnego zastąpiono regulatorem typu P, którego nastawy wyznaczono na podstawi cyklu granicznego przy zamkniętej pętli zewnętrznej.

$$K_{\text{kr}} = \frac{4*B}{\pi*A} = \frac{4*0.2\ }{3.14*0.179} = 1.423$$

K_p = K_kr * 0.6 = 1.423 * 0.6 = 0.8580

Rys 3.5 Układ do pomiarów parametrów cyklu granicznego dla pętli zewnętrznej przy zastosowaniu regulatora typu P dla pętli wewnętrznej.

Wprowadzenie regulatora do podrzędnego układu regulacji spowoduje jego szybsze działanie, większe pasmo przenoszenia dla przebiegów szybko zmiennych, nie ryzykujemy że wprowadzimy astatyzm do układu .

Rys 3.6 Przebiegi cyklu granicznego dla pętli zewnętrznej przy zastosowaniu w podrzędnym układzie regulacji regulatora typu P.

Widać że przebiegi znacznie dla pętli zewnętrznej znacznie różnią się od przebiegów pętli wewnętrznej. Przede wszystkim oscylacje są znacznie wolniejsze i wynoszą:

T_osc = 22.8 s

Samo wzmocnienie krytyczne jest dużo większe co oznacza że należałoby zastosować prawie dwukrotnie większe wzmocnienie aby układ się zbudził samoczynnie, jednakże świadczy to również o wolnym działaniu tej pętli sprzężenia zwrotnego, jest to dla nas korzystne z tego względu że pętla wewnętrzna może bez problemy wyregulować swój uchyb i śledzie powolne zmiany na wartości referencyjnej z regulatora nadrzędnego.

$$K_{\text{kr}} = \frac{4*B}{\pi*A} = \frac{4*0.2\ }{3.14*0.0669} = 3.8083$$

1. Pomiary z regulatorem typu PI w wewnętrznej pętli sprzężenia zwrotnego

W tym podpunkcie pomiarowym wprowadzimy w miejsce regulatora P regulator PI o następujących nastawach:

$$K_{\text{kr}} = \frac{4*B}{\pi*A} = \frac{4*0.2\ }{3.14*0.179} = 1.423$$

T_osc = 4.9s

K_p = 0.4 * K_kr = 0.4 * 1.423 = 0.5692

T_i = 0.5 * T_osc = 0.5 * 4.9 = 2.45

$$K_{i} = \frac{1}{T_{i}} = \frac{1}{2.45} = 0.4082$$

Rys 3.7. Układ do pomiarów cyklu granicznego pętli zewnętrznej przy zastosowaniu regulatora PI w pętli wewnętrznej.

Rys 3.8 Przebiegi cyklu granicznego przy zastosowaniu regulatora PI w pętli wewnętrznej, oraz wyznaczone parametry cyklu granicznego.

Jak widać na rys 3.8 przebiegi wyjściowe układu regulacji są silniej odkształcone za sprawą dodatkowej inercji wprowadzonej do układu pod postacią regulatora PI, a konkretniej części całkującej. Dodatkowo spowodowało to niewielkie spowolnienie układu gdyż czas oscylacji wzrósł. Zwiększyła się o połowę amplituda oscylacji.

$$K_{\text{kr}} = \frac{4*B}{\pi*A} = \frac{4*0.2\ }{3.14*0.0912} = 2.7936$$

T_osc = 23.6s

Jednak proces A jest na tyle szybki w stosunku do procesu B że wprowadzenie części całkującej nie spowodowało krytycznych zmian w układzie regulacji.

1. Pomiar z szumem pomiarowym.

Do ostatniej części pomiarów wprowadzony zostanie szum pomiarowy mający na celu zasymulowanie rzeczywistego układu. Szum ten można zniwelować przede wszystkim stosując filtr dolnoprzepustowy, a następnie ustawić taką wartość na komparatorze ze strefą nieczułości że nie spowoduje on niepotrzebnego przełączenia.

Rys 3.9 Przebiegi wartości wyjściowych wraz z dodanym szumem pomiarowym.

Parametry szumu:

Siła szumów: 0.0002

Szybkość: 23341

Rys3.10 Układ symulacji do pomiarów cyklu granicznego pętli zewnętrznej przy dwóch sprzężeniach zwrotnych z regulatorem PI w pętli wewnętrznej oraz dodanych szumach pomiarowych.

W tym momencie postaram się rozpatrzeć dwa przypadki : w którym została źle dobrana pętla histerezy, i przekaźnik przełącza dodatkowo, oraz układ skorygowany

Przypadek pierwszy strefa nieczułości na poziomie: ±0.05

Rys 3.11 Przebiegi dla cyklu granicznego pętli zewnętrznej przy zastosowaniu regulatora PI, z dodatkowymi szumami pomiarowymi

Widzimy że przekaźnik dodatkowo przełącza zakłócając tym samym pracę i cykl graniczny, skutkuje to złymi odczytami parametrów cyklu granicznego.

Przypadek strefa nieczułości na poziomie ±0.089

Rys 3.12 Przebiegi dla cyklu granicznego pętli zewnętrznej przy zastosowaniu regulatora PI, z dodatkowymi szumami pomiarowymi

Na rysunku 3.12 widzimy ze przekaźnik działa stabilnie jednakże zbyt duża wartość histerezy może doprowadzić do zwiększenia parametru cyklu granicznego T_osc. Możemy zaobserwować to na tym przypadku gdyż w tym samym układzie bez szumów pomiarowych odczyt czasu oscylacji drgań krytycznych równał się 23.6 s to w tym przypadku T_osc=28.4s

$$K_{\text{kr}} = \frac{4*B}{\pi*\sqrt{\left( A^{2} - h^{2} \right)}} = \frac{4*0.2}{\pi*\sqrt{\left( {0.089}^{2} - {0.05}^{2} \right)}} = 3.4604$$

$$K_{\text{kr}}' = \frac{4*B}{\pi*\sqrt{\left( A^{2} - h^{2} \right)}} = \frac{4*0.2}{\pi*\sqrt{\left( {0.118}^{2} - {0.089}^{2} \right)}} = 3.2883$$

Tabela 1. Wyniki poszczególnych symulacji z użyciem przekaźnika

Zadanie	Opis	d	A	Kkr	Tosc
3a	Pomiar parametrów cyklu granicznego z użyciem przekaźnika off-line	±0.2	0.177	1.4387	4.95s
3b	Pomiar parametrów cyklu granicznego z użyciem przekaźnika on-line	±0.2	0.179	1.423	4.9
3c	Pomiar parametrów cyklu granicznego pętli zewnętrznej z użyciem przekaźnika on-line z regulatorem typu P w wewnętrznej pętli sprzężenia zwrotnego	±0.2	0.0669	3.8083	22.8 s
3d	Pomiar parametrów cyklu granicznego pętli zewnętrznej z użyciem przekaźnika on-line z regulatorem typu PI w wewnętrznej pętli sprzężenia zwrotnego	±0.2	0.0912	2.7936	23.6s
3e	Pomiar parametrów cyklu granicznego pętli zewnętrznej z użyciem przekaźnika ze strefą nieczułości on-line z regulatorem typu PI w wewnętrznej pętli sprzężenia zwrotnego, oraz dodatkowymi szumami w torze pomiarowym (niepoprawna wartość strefy nieczułości)	±0.2	0.089	3.4604	23.7s
3e’	Pomiar parametrów cyklu granicznego pętli zewnętrznej z użyciem przekaźnika ze strefą nieczułości on-line z regulatorem typu PI w wewnętrznej pętli sprzężenia zwrotnego, oraz dodatkowymi szumami w torze pomiarowym (poprawna wartość strefy nieczułości)	±0.2	0.118	3.2883	28.4s

Zadanie 4 Symulacja pracy układu kaskadowego. Wybór optymalnej kombinacji regulatorów.

1. W układ regulacji należy wprowadzić regulator PI do pętli sprzężenia zewnętrznego oraz wewnętrznego.

Regulatora nadrzędny

K_p = 0.4 * K_kr = 0.4 * 2.7936 = 1.1174

T_i = 0.5 * T_osc = 0.5 * 23.6 = 11.8000

$$K_{i} = \frac{1}{T_{\text{osc}}} = 0.0847$$

Regulator podrzędny

K_p = 0.4 * K_kr = 0.4 * 1.423 = 0.5692

T_i = 0.5 * T_osc = 0.5 * 4.9 = 2.45

$$K_{i} = \frac{1}{T_{\text{osc}}} = 0.4082$$

Rys 4.1 Układ regulacji kaskadowej z wykorzystaniem dwóch regulatorów PI – PI

Rys 4.2 Przebiegi odpowiedzi wielkości wyjściowej regulacji kaskadowej z regulatorami PI-PI na wartość zadaną oraz zakłócenia

Regulacja kaskadowa z regulatorami PI-PI ma lepszu wskaźnik regulacji niż regulacja z szeregowo połączonymi procesami regulacji.

Tabela 4.1. Zmiana wartości zadanej x(t)=10*1(t)

Przy szeregowym połączeniu obiektów A i B	Przy kaskadowym układzie regulacji z dwoma regulatorami PI-PI
Maksymalne przeregulowanie χmax = 40%	Maksymalne przeregulowanie χmax = 34.3%
Czas regulacji tr=110.9s	Czas regulacji tr=71.93s
eust=0	eust=0

4.3 Przebiegi odpowiedzi wielkości wyjściowej regulacji kaskadowej z regulatorami PI-PI na wartość zadaną oraz zakłócenia. W momencie wystąpienia zakłóceń z(t-300)=1.

Tabela 4.1 Odpowiedź na zakłócenia dla AB z(t)=-1 * 1(t-400) dla kaskadowego z(t)=-1 * 1(t-300)

Przy szeregowym połączeniu obiektów A i B	Przy kaskadowym układzie regulacji z dwoma regulatorami PI-PI
Maksymalne przeregulowanie χmax = 44.6%	Maksymalne przeregulowanie χmax = 2.93%
Czas regulacji tr=84s	Czas regulacji tr=33.38s
eust=0	eust=0

Duża poprawę w działaniu możemy w zakresie regulacji zakłóceń poprawa w stosunku do jednego regulatora w szeregowo połączonym procesie AB do dwóch regulatorów w układzie kaskadowym wynosi 15.3 %

1. W układ regulacji należy wprowadzić regulator PID do pętli sprzężenia zewnętrznego ora regulator P do pętli sprzężenia wewnętrznego.

Nastawy dla regulatora PID

K_p = 0.4 * K_kr = 0.4 * 2.7936 = 1.1174

T_i = 0.4 * T_osc = 0.4 * 23.6 = 9.44

$$\mathbf{K}_{\mathbf{i}} = \frac{1}{T_{i}} = 0.1059$$

T_d = 0.1 * T_osc = 0.1 * 23.6 = 2.36

$$\mathbf{K}_{\mathbf{d}} = \frac{1}{T_{d}} = 0.4237$$

Nastawy dla regulatora P

K_p = 0.6 * K_kr = 0.6 * 1.423 =  0.8538

Rys 4.4 Układ regulacji kaskadowej z dwoma regulatorami PID – nadrzędnym P - podrzędnym

Rys 4.5 Przebiegi wartości wyjściowej dla układu regulacji kaskadowej z zastosowaniem regulatorem PID w pętli zewnętrznej oraz regulatorem P w pętli wewnętrznej.

Układ w takiej topologii lepiej radzi sobie dużo lepiej z wartością zadaną, posiada krótszy czas regulacji tr=64.82s oraz przeregulowanie na poziomie 22.4% ,przeregulowanie w momencie wystąpienia zakłóceń jest nieco większę niż w przypadku regulatorów PI – PI , obecny układ jest jednak nieznacznie szybszy –czas regulacji przy wystąpieniu zakłóceń tr=32. Jednakże jakość sterowania wciąż nie mieści się w przyjętym kryterium χ_max=10%. Należy zatem dostroić układ tak aby wartość mieściła w przyjętych granicach.

b)’ Dostrojenie układu do przyjętych kryteriów wskaźników jakości sterowania.

K_p = 0.9 K_i = 0.08 K_d = 0.5237

Rys 4.6 Przebiegi kaskadowego układu regulacji z regulatorami PID nadrzędny , P podrzędny z dostrojonymi nastawami regulatorów.

Rys 4.7 Powiększony przebiegi kaskadowego układu regulacji z regulatorami PID nadrzędny , P podrzędny z dostrojonymi nastawami regulatorów (część odpowiedzi na wymuszenie)

$$\chi_{\max} = \frac{A_{1}}{A_{0}}*100\% = \frac{0.13}{10}*100\% = 1.3\%$$

t_r = 29.92s

e_ust = 0

Rys 4.8 Powiększony przebiegi kaskadowego układu regulacji z regulatorami PID nadrzędny , P podrzędny z dostrojonymi nastawami regulatorów (część odpowiedzi na zakłócenie)

$$\chi_{\max} = \frac{A_{1}}{A_{0}}*100\% = \frac{0.524}{10}*100\% = 5.24\%$$

t_r = 38.6 [s]  e_ust = 0

Tabela 4.2 Wskaźniki jakości sterowania dla 3 układów regulacji.

	Dla odpowiedzi na skok	Dla odpowiedzi na zakłócenie
	eust	χmax [%]
Kaskadowy PI - PI	0	34.3%
Kaskadowy PID-P	0	22.4%
Kaskadowy PID-P dostrojony	0	1.3%

Podsumowując regulator najlepier sprostał wymaganiom jeżeli chodzi o przeregulowanie maksymalne, wynosi ono tylko 1.3% i czas regulacji jest również najmniejszy z pośród trzech rozpatrywanych tr=38.6s. Jednak w sytuacji wystąpienia zakłóceń najlepiej radził sobie układ w topologii kaskadowej z regulatorami PI-PI , regulator PI w wewnętrznej pętli sprzężenia zwrotnego potrafi szybciej sprowadzić uchyb do 0 w momencie.

Najlepszym rozwiązaniem mogłoby spróbować zastosować topologie kaskadową z regulatorem PID oraz PI , oczywiście taki zabieg wiązałby się z dostrojeniem nastaw regulatorów gdyż wprowadzenie dwóch członów całkujących może spowodować dużą inercję a nawet wprowadzić oscylacje.