Małgorzata Dzida 19.04.2012

Ćwiczenie M16

Pomiar współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa

I. Wstęp teoretyczny

Lepkość - to właściwość rzeczywistych cieczy i plastycznych ciał stałych. Objawia się pojawieniem się siły tarcia pomiędzy warstwami cieczy, poruszającymi się równolegle względem siebie z różnymi co do wartości prędkościami. Warstwa poruszająca się szybciej działa przyspieszająco na warstwę poruszającą się wolniej i odwrotnie. Pojawiające się wtedy siły tarcia wewnętrznego skierowane są stycznie do powierzchni styku tych warstw. ¹

Prawo Stokesa - określa siłę oporu ciała w kształcie kuli poruszającego się w płynie (cieczy lub gazie). Zostało odkryte w roku 1851 przez Sir George'a Stokesa. Prawo wyraża się wzorem:

$$\overrightarrow{F} = \ - 6\pi\eta r\overrightarrow{v}$$

gdzie:

$\overrightarrow{F}$– siła oporu,

η – lepkość dynamiczna płynu,

r – promień kuli,

$\overrightarrow{v}$– prędkość ciała względem płynu.

Ciśnienie hydrostatyczne – ciśnienie, wynikające z ciężaru cieczy znajdującej się w polu grawitacyjnym. Ciśnienie hydrostatyczne nie zależy od wielkości i kształtu zbiornika, a zależy wyłącznie od głębokości. Ciśnienie określa wzór:

p_hydr =  ρgh

gdzie:

ρ– gęstość cieczy – w układzie SI w kg/m³

g– przyspieszenie ziemskie (grawitacyjne) – w układzie SI w m/s²

h– głębokość zanurzenia w cieczy (od poziomu zerowego) – w układzie SI w metrach (m).

Ruch kulki w cieczy – Na kulkę opadającą z prędkością v w płynie o współczynniku lepkości η w polu grawitacyjnym Ziemi działają trzy siły: ciężkości, wyporu oraz lepkości.

Kulka wrzucona do płynu po pewnym czasie zaczyna poruszać się ruchem jednostajnym. Dzieje się tak dlatego, że po pewnym czasie wszystkie siły działające na nią się równoważą i zgodnie z I zasadą dynamiki kulka osiąga stałą prędkość taką, że F_G = F_W – F_T. Podstawiając odpowiednie wzory otrzymujemy:

$$\rho_{k}\frac{4}{3}\pi r^{3}g = \rho_{p}\frac{4}{3}\pi r^{3}g + 6\pi r\eta v$$

II. Schemat układu doświadczalnego

Wiskozymetr Stokesa

Najczęściej stosowane lepkościomierze służą do pomiarów względnych, tj. wyznaczania lepkości badanej substancji względem substancji wzorcowej o znanej lepkości, zwykle wody.

Na ćwiczeniach do dyspozycji był wiskozymetr Stokesa, którego schemat został przedstawiony na rysunku obok.

III. Opis wykonywanych czynności:

1. Wyznaczyć gęstość oleju

2. Zmierzyć temperaturę powietrza

3. Zmierzyć wewnętrzną średnice cylindra

4. Wypełnić biuretę wodą destylowaną za pomocą zakraplacza i odczytać objętość wody w biurecie

5. Wpuścić kulkę wodną do cylindra i zmierzyć czas t w jakim kulka przebywa drogę l

6. Powtórzyć pomiar 20-krotnie dla 3 serii pomiarów

IV. Wyznaczenie współczynnika lepkości:

Z prawa Stokesa:

$$\overrightarrow{F} = \ - 6\pi\eta r\overrightarrow{v}$$

Otrzymujemy wzór na współczynnik lepkości:

$\mathbf{\eta =}\frac{\mathbf{2}\left( \mathbf{\rho}_{\mathbf{k}}\mathbf{-}\mathbf{\rho}_{\mathbf{p}} \right)\mathbf{g}\mathbf{r}^{\mathbf{2}}\mathbf{t}}{\mathbf{9}\mathbf{l}}$ [Pa •s]

gdzie:

p_p – gęstość płynu(oleju)

l – droga kuli podczas spadku

t – czas spadania kuli
p_k – gęstość wody

r – promień kuli

V. Wyznaczenie gęstości oleju z prawa naczyń połączonych

Jeżeli naczynia zostaną połączone w taki sposób, że będzie możliwy swobodny przepływ cieczy z jednego do drugiego, wtedy o takich naczyniach mówi się naczynia połączone.

W sytuacji, gdy napełnimy oba naczynia taką samą cieczą to ustali się jednakowy jej poziom w naczyniach. Ustala się więc stan równowagi, a jego warunkiem jest, aby ciśnienia hydrostatyczne w obu naczyniach były takie same. Ciśnienie hydrostatyczne zależy od rodzaju cieczy czyli od jej gęstości, od wysokości słupa cieczy oraz od wartości przyspieszenia ziemskiego. Nie będzie natomiast zależało od rozmiarów naczynia i jego kształtu.

ρ_ph_pg =  ρ_wh_wg

ρ_ph_p = ρ_wh_w ∖ n

$$\mathbf{\rho}_{\mathbf{p}}\mathbf{= \ }\mathbf{\rho}_{\mathbf{w}}\frac{\mathbf{h}_{\mathbf{w}}}{\mathbf{h}_{\mathbf{p}}}$$

Gdzie:

ρ_p to gęstość płynu ( w naszym przypadku oleju)

ρ_w to gęstość wody, zależna od temperatury otoczenia

h_w to wysokość słupa wody

h_p wysokość słupa płynu

Zestawienie pomiarów:

ρ_w= 997,770kg/m³, t= 22°C

wysokość słupa wody: 21,2 ml

wysokość słupa oleju: 24,7 ml

poziom styku cieczy: -0,3 ml

średnica cylindra= 45,8 mm

niepewność odczytu biurety: 0,05 ml

niepewność odczytu naczyń połączonych: 1 mm

niepewność odczytu stopera: 0,01 s

Wyznaczanie gęstości oleju

$$\mathbf{\rho}_{\mathbf{p}}\mathbf{= \ }\mathbf{\rho}_{\mathbf{w}}\frac{\mathbf{h}_{\mathbf{w}}}{\mathbf{h}_{\mathbf{p}}}$$

$$\mathbf{\rho}_{\mathbf{p}}\mathbf{= \ 997,770 \bullet}\frac{\mathbf{21,2}}{\mathbf{24,7}}\mathbf{= 856,386\ }\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$$

W ćwiczeniu wykonano 3 serie. Każda seria liczyła po 20 pomiarów. Droga spadania kropel to 150 mm. Przedstawiona niżej tabela przedstawia czas spadania kropel na drodze 150 mm.

l.p	I Seria	II Seria	II Seria
1	31,85 s	32,07 s	31,73 s
2	31,34 s	32,29 s	31,64 s
3	31,01 s	32,49 s	31,63 s
4	31,85 s	32,58 s	31,67 s
5	31,60 s	33,23 s	31,55 s
6	31,66 s	32,91 s	31,32 s
7	31,55 s	33,17 s	31,53 s
8	31,39 s	33,26 s	31,54 s
9	32,29 s	32,64 s	31,79 s
10	32,11 s	32,76 s	31,64 s
11	32,70 s	32,82 s	31,31 s
12	31,89 s	33,33 s	31,76 s
13	32,01 s	32,85 s	31,95 s
14	31,10 s	33,04 s	31,69 s
15	32,05 s	32,73 s	31,86 s
16	32,08 s	32,95 s	31,54 s
17	32,16 s	33,16 s	32,01 s
18	31,98 s	33,39 s	31,57 s
19	31,46 s	32,82 s	31,51 s
20	31,94 s	33,23 s	31,37 s
Ilość kropel	25	24	22

Poziom wody w biurecie [ml] Początkowy Końcowy V zużytej
Seria I
Seria II
Seria III

Wyznaczenie średniego promienia kropli dla każdej z serii

V = n • V₁

$$V_{1} = \frac{4}{3}\pi r^{2}$$

$$\frac{V}{n} = \frac{4}{3}\pi r^{2}$$

$$\mathbf{r =}\sqrt[\mathbf{3}]{\frac{\mathbf{3}\mathbf{V}}{\mathbf{4}\mathbf{\text{nπ}}}}$$

gdzie:

V- całkowita objętość

V₁- objętość pojedynczej kropli

n – ilość kropel

Seria I Seria II Seria III

$r_{1} = \sqrt[3]{\frac{3 \bullet 1,2\ }{4 \bullet 25 \bullet \pi}} = \ $0,2255 cm $r_{2} = \sqrt[3]{\frac{3 \bullet 0,75\ }{4 \bullet 24 \bullet \pi}}$= 0,1954 cm $r_{3} = \sqrt[3]{\frac{3 \bullet 0,65\ }{4 \bullet 22 \bullet \pi}}$= 0,1920 cm

Niepewność promienia policzono metodą różniczki zupełnej:

$$\mathbf{r =}\left| \frac{\mathbf{\partial r}}{\mathbf{\partial V}} \right|\mathbf{V =}\left| {\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{v}}^{\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}\mathbf{\bullet}\left( \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4\pi n}} \right)^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}} \right|\mathbf{V}$$

Gdzie:

n – ilośc kropli

V – całkowita objętość zużytej wody

$\mathbf{}\mathbf{r}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\left| {\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{\bullet 1,2}}^{\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}\mathbf{\bullet}\left( \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4\pi 25}} \right)^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}} \right|\mathbf{\bullet 1,2 = 0,075}$

$\mathbf{}\mathbf{r}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\left| {\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{\bullet 0,75}}^{\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}\mathbf{\bullet}\left( \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4\pi 23}} \right)^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}} \right|\mathbf{\bullet 0,75 = 0,066}$

$\mathbf{}\mathbf{r}_{\mathbf{3}}\mathbf{=}\left| {\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{\bullet 0,65}}^{\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}\mathbf{\bullet}\left( \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4\pi 22}} \right)^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}} \right|\mathbf{\bullet 0,65 = 0,054}$

promień [cm]	r1=0,2255	r2=0,1954	r3=0,1920	rsr= 0,2022
niepewność	𝛥r1=0,075	𝛥r2=0,066	𝛥r3=0,054	𝛥rsr= 0,065

r = (0,2022 ± 0,07) cm

Wyznaczenie średniego czasu spania kropli oraz jej niepewności pomiarowej

Średni czas spadania jednej kropli obliczono za pomocą średniej arytmetycznej, natomiast odchylenie standardowe obliczono ze wzoru:

$$t = 0,01 + S_{t} = 0,01 + \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{\left( t_{i} - t \right)}}{n(n - 1)}}$$

S_t obliczono w programie Ms Excel i obliczeń tych na zamieszczono w sprawozdaniu w celu poprawienia przejrzystości tekstu.

czas spadania [s]	t1=31,801	t2=32,886	t3=31,631	tśr=32,106
niepewność	𝛥t1=0,0148	𝛥t2=0,0141	𝛥t3=0,0122	𝛥tśr=0,0137

t = (31,11 ± 0,01) s

Wyznaczanie współczynnika lepkości i jej niepewności pomiarowej

$$\eta = \frac{2\left( \rho_{k} - \rho_{p} \right)gr^{2}t}{9l}$$

$\eta_{1} = \frac{2 \bullet \left( 997,770 - {856,386}_{} \right) \bullet 9,81 \bullet 31,801 \bullet {0,002255}^{2}}{9 \bullet 0,15} = 0,332\ \lbrack Pa \bullet s\rbrack$

$\eta_{2} = \frac{2 \bullet \left( 997,770 - {856,386}_{} \right) \bullet 9,81 \bullet 32,886 \bullet {0,001954}^{2}}{9 \bullet 0,15} = 0,258\ \lbrack Pa \bullet s\rbrack$

$\eta_{3} = \frac{2 \bullet \left( 997,770 - {856,386}_{} \right) \bullet 9,81 \bullet 31,361 \bullet {0,00192}^{2}}{9 \bullet 0,15} = 0,240\ \lbrack Pa \bullet s\rbrack$

$$\Delta\eta = \frac{4\left( \rho_{k} - \rho_{p} \right)\text{grt}}{9l}\Delta r + \frac{2\left( \rho_{k} - \rho_{p} \right)gr^{2}}{9l}\text{Δt}$$

Seria I

$\Delta\eta_{1} = \frac{4 \bullet \left( 997,770 - {856,386}_{} \right) \bullet 9,81 \bullet 0,002255 \bullet 31,801}{9 \bullet 0,15} \bullet 0,075 + \frac{2\left( 997,770 - {856,386}_{} \right) \bullet 9,81 \bullet {0,002255}^{2}}{9 \bullet 0,15} \bullet 0,0148 = \mathbf{0,05}$

Seria II

$$\Delta\eta_{1} = \frac{4 \bullet \left( 997,770 - {856,386}_{} \right) \bullet 9,81 \bullet 0,001954 \bullet 32,886}{9 \bullet 0,15} \bullet 0,07 + \frac{2\left( 997,770 - {856,386}_{} \right) \bullet 9,81 \bullet {0,001954}^{2}}{9 \bullet 0,15} \bullet 0,0141 = \mathbf{0,04}$$

Seria III

$$\Delta\eta_{3} = \frac{4 \bullet \left( 997,770 - {856,386}_{} \right) \bullet 9,81 \bullet 0,00192 \bullet 31,361}{9 \bullet 0,15} \bullet 0,054 + \frac{2\left( 997,770 - {856,386}_{} \right) \bullet 9,81 \bullet {0,00192}^{2}}{9 \bullet 0,15} \bullet 0,0122 = \mathbf{0,09}$$

	I seria	II seria	III seria
η [Pa • s]	0,332	0,258	0,240
Δη	0,05	0,04	0,09

IV. Podsumowanie

Wartości współczynników lepkości różnią się od siebie, jednak oscylują w granicach swoich niepewności. Odchylenie od wartości mogło być spowodowane tym, że w pomieszczeniu temperatura nie była stała. Ciężko jest również uchwycić dokładnie taki sam moment położenia kropli na przedziałce, dlatego czasy przelotu drogi dla poszczególnych kropli się różnią.

---

1. A. Magiera, I Pracownia fizyczna, Kraków 2006.↩