POLITECHNIKA POZNAŃSKA Wydział Elektryczny Instytut Elektrotechniki i Elektroniki Przemysłowej Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej
Przedmiot: Laboratorium Teorii Obwodów Ćwiczenie nr: 12 Temat: Czwórniki równoważne.
Rok akademicki: 2012/2013 Kierunek: elektrotechnika Studia: dzienne Rok studiów: I Semestr: II Nr grupy: E2
Uwagi:

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest zastąpienie pasywnego czwórnika o nieznanej budowie dla jednej częstotliwości 50Hz, czwórnikami typu Τ, Π, Χ.

1. Wiadomości teoretyczne:

Czwórnik to układ czterozaciskowy mający dwa zaciski wejściowe (pierwotne) 1-1’ oraz dwa zaciski wyjściowe (wtórne) 2-2’. Napięcie u₁ pomiędzy zaciskami 1-1’ nazywa się wejściowym (pierwotnym), a napięcie u₂ pomiędzy zaciskami 2-2’ – wyjściowym (wtórnym). Podobnie prąd i₁ nazywa się wejściowym, a i₂ –wyjściowym.
Jeżeli w wewnętrznym połączeniach czwórnika nie ma źródeł energii elektrycznej, to taki czwórnik jest czwórnikiem pasywnym.
Gdy wszystkie elementy składowe czwórnika są liniowe, to czwórnik jest liniowy.
Dwa czwórniki są równoważne, gdy po przyłączeniu do ich zacisków wejściowych tej samej wartości napięcia, a do zacisków wyjściowych tego samego obciążenia, otrzymuje się takie same wartości natężeń prądów wejściowego i wyjściowego.
Czwórniki liniowe, do których stosuje się twierdzenie o wzajemności nazywane są odwracalnymi lub wzajemnymi. Jeśli to twierdzenie nie ma zastosowania, to czwórniki te nazywane są nieodwracalnymi lub niewzajemnymi (zawierają źródła sterowane).
Teoria czwórników umożliwia obliczanie prądów i napięć z ogólnych zależności, pozwalając unikać szczegółów związanych z budową wewnętrzną czwórnika.
Zależności pomiędzy napięciami i prądami czwórnika można zapisać sześcioma sposobami, co przedstawiono w tabeli poniżej, dla zespolonych wartości prądów i napięć.

Postać równania	Równania	Oznaczenie macierzy współczynników
Impedancyjna (szeregowa)	$$\begin{bmatrix} {}_{1} \\ {}_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {}_{11} & {}_{12} \\ {}_{21} & {}_{22} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {}_{1} \\ {}_{2} \\ \end{bmatrix}$$	Z
Admitancyjna (równoległa)	$$\begin{bmatrix} {}_{1} \\ {}_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {}_{11} & {}_{12} \\ {}_{21} & {}_{22} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {}_{1} \\ U_{2} \\ \end{bmatrix}$$	Y
Hybrydowa g (równoległo-szeregowa)	$$\begin{bmatrix} {}_{1} \\ {}_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {}_{11} & {}_{12} \\ {}_{21} & {}_{22} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {}_{1} \\ {}_{2} \\ \end{bmatrix}$$	G
Hybrydowa h (szeregowo-równoległa)	$$\begin{bmatrix} {}_{1} \\ {}_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {}_{11} & {}_{12} \\ {}_{21} & {}_{22} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {}_{1} \\ {}_{2} \\ \end{bmatrix}$$	H
Łańcuchowa	$$\begin{bmatrix} {}_{1} \\ {}_{1} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {}_{11} & {}_{12} \\ {}_{21} & {}_{22} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {}_{2} \\ -_{2} \\ \end{bmatrix}$$	A
Łańcuchowa odwrotna	$$\begin{bmatrix} {}_{2} \\ {}_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {}_{11} & {}_{12} \\ {}_{21} & {}_{22} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {}_{1} \\ -_{1} \\ \end{bmatrix}$$	B

Nie dla każdego czwórnika możliwe jest określenie wszystkich współczynników przedstawionych w tabeli, ponieważ mogą one nie istnieć lub mogą być nieokreślone dla niektórych postaci równań. Czwórniki takie nazywane są osobliwymi lub zdegenerowanymi.
Czwórnik odwracalny określony jest przez trzy niezależne elementy macierzy. Zależności pomiędzy tymi elementami są następujące.

|a| = ₁₁₂₂ − ₁₂₂₁ = 1

₂₁ = −₁₂

₂₁ = −₁₂

₂₁ = ₁₂

Czwórnik odwracalny nazywa się symetrycznym, jeśli przy zmianie strony zasilania wartości prądów nie ulegają zmianie, a elementy odpowiednich macierzy spełniają dodatkowy warunek:

₁₁ = ₂₂

₁₁ = −₂₂

₁₁ = −₂₂

|h| = ₁₁₂₂ − ₁₂² = 1

Impedancja wejściowa czwórnika symetrycznego to iloraz napięcia wejściowego przez prąd wejściowy . Dzieląc stronami przez siebie równania łańcuchowe, można otrzymać:

$${}_{1} = \frac{{}_{11} + {}_{12}}{{}_{21} + {}_{11}}$$

gdzie $= \frac{{}_{2}}{{}_{2}}$ jest impedancją obciążenia czwórnika.

Impedancja wejściowa czwórnika zależy od impedancji obciążenia. Gdy założymy, że impedancja wejściowa i obciążenia są równe otrzymamy:

$${}_{f} = \frac{{}_{11}{}_{f} + {}_{12}}{{}_{21}{}_{f} + {}_{11}}$$

A wyznaczając _f z powyższego równania, dostaje się:

$${}_{f} = \sqrt{\frac{{}_{12}}{{}_{21}}}$$

Wielkość _f to impedancja falowa lub charakterystyczna czwórnika symetrycznego.

Gdy impedancja obciążenia czwórnika symetrycznego równa się impedancji falowej, to mówimy o obciążeniu falowym czwórnika.

Iloraz $\frac{U_{1}}{U_{2}}$ nazywa się przekładnią napięciową, a $\frac{I_{1}}{I_{2}}$ przekładnią prądową czwórnika, które ogólnie zależą od obciążenia czwórnika. Dla czwórnika obciążonego falowo przekładnie napięciowa i prądowa są sobie równe i noszą nazwę przekładni falowej. Przekładnię falową przedstawia się w postaci wykładniczej e. Wielkość to współczynnik przenoszenia. Współczynnik przenoszenia ogólnie jest liczbą zespoloną

=a + jb

Wielkość a nazywa się współczynnikiem tłumienia, który charakteryzuje zmianę wartości skutecznej prądu przy przejściu przez czwórnik, zaś b współczynnikiem fazowym, który charakteryzuje zmianę fazy prądu. Współczynnik fazowy b wyraża się w radianach.

$$e^{a} = \left( \frac{{}_{1}}{{}_{2}} \right)_{= {}_{f}} = \left( \frac{{}_{1}}{{}_{2}} \right)_{= {}_{f}}$$

Obliczając logarytm naturalny z obu stron powyższej zależności, otrzymuje się stałą tłumienia wyrażoną w neperach a_nep, jeśli zaś logarytm dziesiętny zostanie pomnożony przez 20, to stała tłumienia wyrażona będzie w decybelach.

$$a_{\text{nep}} = \ln\left| \frac{{}_{1}}{{}_{2}} \right|_{Z = Z_{f}} = \ln\left| \frac{{}_{1}}{{}_{2}} \right|_{Z = Z_{f}}$$

$$a_{\text{dB}} = 20\log\left| \frac{{}_{1}}{{}_{2}} \right|_{Z = Z_{f}} = 20\log\left| \frac{{}_{1}}{{}_{2}} \right|_{Z = Z_{f}}$$

a_dB = 8, 68a_nep ∖ n

1. Przebieg ćwiczenia:

3.1 Wyznaczanie układów typu Τ, Π, Χ równoważnych czwórnikowi o nieznanej budowie (dla f=50Hz)

Zestawienie wyników pomiarów i obliczeń wykonanych dla schematu połączeń przedstawionego powyżej (gdzie |U₁| = 40[V], a C = 4[μF] ):

	Z pomiarów	z obliczeń
Stan	|U|	|I|
	V	mA
jałowy	40	215
zwarcia	40	200

1. Obliczenia:

$$\left| {}_{10} \right| = \left| {}_{20} \right| = \frac{\left| {}_{1} \right|}{\left| {}_{1} \right|} = \frac{40}{0,215} = 186,05$$

$$\varphi = arc\cos\left( \frac{P_{1}}{\left| {}_{1} \right| \bullet \left| {}_{1} \right|} \right) = arc\cos\left( \frac{3}{40 \bullet 0,215} \right) = 69,58$$

$$\varphi' = arc\cos\left( \frac{P_{1}}{\left| {}_{1} \right| \bullet \left| {}_{1} \right|} \right) = arc\cos\left( \frac{3}{40 \bullet 0,265} \right) = 73,56$$

$$\left| {}_{Z} \right| = \frac{\left| {}_{1} \right|}{\left| {}_{1} \right|} = \frac{40}{0,2} = 200$$

$$\varphi = arc\cos\left( \frac{P_{1}}{\left| {}_{1} \right| \bullet \left| {}_{1} \right|} \right) = arc\cos\left( \frac{6}{40 \bullet 0,2} \right) = 41,41$$

$$\varphi' = arc\cos\left( \frac{P_{1}}{\left| {}_{1} \right| \bullet \left| {}_{1} \right|} \right) = arc\cos\left( \frac{6}{40 \bullet 0,235} \right) = 50,33$$

1. Sporządzić odpowiednie wykresy wskazowe i na ich podstawie ustalić znaki kątów fazowych obliczonych impedancji.

Wykres wskazowy stanu jałowego

Wykres wskazowy stanu zwarcia

Znak kątów fazowych będzie ujemny dla obu impedancji, ponieważ prądy I₁ oraz I_1z muszą wyprzedać napięcie, żeby geometryczna suma prądu płynącego przez kondensator oraz prądu płynącego przez czwórnik była równa prądom oznaczonym kolejno jako I₁′ oraz I_1z′:

I₁^′ = I₁ + I_C

I_1z^′ = I_1z + I_C

A więc:

Z₁₀ = Z₂₀ = 186, 05e^−j69, 58

Z_1z = 200e^−j41, 41

3. Wyznaczyć impedancje: ₁, ₂, ₃ czwórników typu Τ, Π oraz impedancje ₁, ₂, ₃, ₄ czwórnika typu X w funkcji impedancji ₁₀, ₂₀ i _1z.

rodzaj czwórnika	z obliczeń
-	Z1
	Ω
typ T	188,44-j223,35
typ Π	58,62+j125,37
typ X	188,45-j223,35

Czwórnik typu T:

₁ = ₂

Czwórnik typu Π:

₂ = ₃

Czwórnik typu X:

₁ = ₂ ∖ n₃ = ₄

3. Obliczyć impedancję charakterystyczną _f i współczynnik przenoszenia badanego czwórnika.

Dla czwórnika symetrycznego impedancja falowa równa jest średniej geometrycznej impedancji stanu jałowego oraz impedancji stanu zwarcia.

$${{}_{f} = \sqrt{Z_{10} \bullet Z_{1z}} = \sqrt{186,05e^{- j69,58} \bullet {200e}^{- j41,41}} = \backslash n}{= 192,89e^{j34,5} = 158,96 + j109,27}$$

Współczynnik przenoszenia dla czwórnika obciążonego falowo wylicza się ze wzoru:

$${g = \ln{\frac{\sqrt{Z_{10} \bullet Z_{1z}} + {Z_{10}}^{2}}{\sqrt{Z_{10}\left( Z_{10} - Z_{1z} \right)}} =}\backslash n}{= \ln\frac{192,89e^{j34,50} + \left( 186,05e^{- j69,58} \right)^{2}}{132,89e^{- j21,63}} = \backslash n}{= \ln{259,03e^{- j117,49} =}\backslash n}{= 5,91e^{- j20,27} = 5,55 - j2,05}$$

3. Rozpatrzyć możliwości realizacji wszystkich trzech typów czwórnika równoważnych badanemu. Narysować schematy czwórników równoważnych z podaniem rodzaju i wartości elementów.

- czwórnik typu T:
Z₁=

Z₂=

Z₃=

- czwórnik typu ∏
Z₁=
Z₂=

Z₃=

- czwórnik typu X
Z₁=
Z₂=

Z₃=

Z₃=

1. Zastosowane urządzenia i mierniki:

- Autotransformator

- Płytka z czwórnikiem i kondensatorem
- Miliamperomierz

- Woltomierz

1. Uwagi końcowe i wnioski:

We wszystkich wynikach impedancji jest część rzeczywista, co świadczy o wykorzystaniu rezystorów w realizacji czwórnika. W obliczaniu impedancji wychodziły wyniki z ujemną

częścią rzeczywistą, które trzeba odrzucić.

Możliwości praktycznej realizacji czwórnika równoważnego badanemu czwórnikowi jest kilka. Badany czwórnik można zastąpić wszystkimi trzema rodzajami czwórników. Dzięki narysowanym schematom można się domyślać jakie elementy zostały użyte w badanym czwórniku.