Teoria Obwodów - Laboratorium

Temat: Badanie czwórników

ćwiczenie wykonali:

Adam Korman

Krzysztof Maćkowski

Daniel Szepe

1. Podstawowe pojęcia.

Czwórnikiem nazywamy element mający dwie pary uporządkowanych zacisków, z których jedną parę nazywamy wejściem, a drugą wyjściem czwórnika.

Schemat czwórnika:

Rozróżniamy trzy podstawowe układy połączeń czwórników:

- połączenia łańcuchowe:

1 2 3

1’

- połączenia równoległe:

- połączenie szeregowe

Rozróżniamy równania czwórników, które określają związki między prądami i napięciami na wejściu i wyjściu czwórnika. Są to dwa równania liniowe mające współczynniki zależne od parametrów czwórnika. Równania te mogą mieć różną postać, najważniejsze z nich to:

Postać impedancyjna; zmienne U₁ i U₂ są zależne od I₁, I₂

; z₁₁, z₁₂ z₂₁, z₂₂ – parametry impedancyjne

Postać admitancyjna; zmienne I₁ i I₂ są zależne od U₁, U₂

; y₁₁, y₁₂ y₂₁, y₂₂ – parametry admitancyjne

Postać łańcuchowa prosta; zmienne U₁ i I₁ są zależne od U₂, I₂

; A, B, C, D – parametry łańcuchowe

Postać mieszana zwana hybrydową; zmienne U₁ i I₂ są zależne od U₂, I₁

; h₁₁, h₁₂ h₂₁, h₂₂ – parametry hybrydowe

Do opisu czwórników pasywnych najczęściej stosuje się postać łańcuchową, Przy opisie czwórników aktywnych (zwłaszcza tranzystora) stosuje się postać hybrydową.

1. Tabele pomiarów i obliczenia:

Wartości rezystancji (elementów) czwórników:

R₁=1000 [Ω] R₂=2000 [Ω] R₃=3000 [Ω]

Czwórnik typu Π:

$\mathbf{Z}_{\mathbf{\text{we}}\mathbf{0}} = \frac{U_{10}}{I_{10}} = \frac{A}{C} = \frac{12}{14,4} = \frac{1,66}{0,002} = \mathbf{0,83}\mathbf{k\ \lbrack\Omega\rbrack}$

$\mathbf{Z}_{\mathbf{\text{wez}}} = \frac{U_{1z}}{I_{1z}} = \frac{B}{D} = \frac{12}{0,018} = \frac{2000}{3} = \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{66}\mathbf{k}\mathbf{\ \lbrack}\mathbf{\Omega}\mathbf{\rbrack}$

$\mathbf{Z}_{\mathbf{c}} = \sqrt{\frac{B}{C}} = \sqrt{\frac{2000}{0,002}} = \mathbf{1}\mathbf{k\lbrack\Omega\rbrack}\ $

Lp.	Stan jałowy	Stan zwarcia
	U10[V]	I10[mA]
1.	12	14,4
2.	24	28,8

$$\mathbf{A} = \frac{U_{10}}{U_{20}} = \frac{12}{7,2} = \frac{24}{14,4} = \mathbf{1,66}$$

$$\mathbf{B} = \frac{U_{1Z}}{I_{2Z}} = \frac{12}{6} = \frac{24}{12} = \mathbf{2000}$$

$$\mathbf{C} = \frac{I_{10}}{U_{20}} = \frac{14,4}{7,2} = \frac{28,8}{14,4} = \mathbf{0,002}$$

$$\mathbf{D} = \frac{I_{1Z}}{I_{2Z}} = \frac{18}{6} = \frac{36}{12} = \mathbf{3}$$

Obliczenie parametrów, biorąc pod uwagę elementy czwórnika:

Schemat czwórnika typu Π:

I₂=0

Rozwiązanie metodą oczkową:

I_IR₁−I_IIR₁=U₁

−I_IR₁+I_II(R₁+R₂+R₃)=0

Równania pomocnicze:

I₁^′ = I_II

$I_{1}^{"} = I_{I} - I_{\text{II}}$

$\mathbf{I}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{I}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{'}}\mathbf{+}\mathbf{I}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{"}}$

Z równania pierwszego wyznaczam prąd oczkowy I_I:

I_IR₁ = U₁ + I_IIR₁         /:R₁

$\mathbf{I}_{\mathbf{I}}\mathbf{=}\mathbf{I}_{\mathbf{\text{II}}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}$

Z równania drugiego wyznaczam prąd oczkowy I_II:

I_IR₁ = I_II(R₁ + R₂ + R₃)

$\left( I_{\text{II}} + \frac{U_{1}}{R_{1}} \right)R_{1} = I_{\text{II}}(R_{1} + R_{2} + R_{3})$

I_IIR₁ + U₁ = I_IIR₁ + I_IIR₂ + I_IIR₃

U₁ = I_II(R₂ + R₃)

$\mathbf{I}_{\mathbf{\text{II}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}$

Więc I_I ma postać:

$I_{I} = \frac{U_{1}}{R_{2} + R_{3}}\ + \frac{U_{1}}{R_{1}} = \frac{U_{1}R_{1} + U_{1}(R_{2} + R_{3})}{R_{1}(R_{2} + R_{3})}$

$\mathbf{I}_{\mathbf{I}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{)}}{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{)}}$

Z równań pomocniczych obliczamy prądy gałęziowe:

$\mathbf{I}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{'}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}$

$\mathbf{I}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{"}} = \frac{U_{1}}{R_{2} + R_{3}}\ + \frac{U_{1}}{R_{1}} - \frac{U_{1}}{R_{2} + R_{3}} = \frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}$

$\mathbf{I}_{\mathbf{1}} = \frac{U_{1}}{R_{2} + R_{3}}\ + \frac{U_{1}}{R_{1}} = \frac{U_{1}R_{1} + U_{1}(R_{2} + R_{3})}{R_{1}(R_{2} + R_{3})} = \frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{)}}{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{)}}$

Przystępujemy do obliczania parametrów:

U₂ = I₁^′R₃

$U_{2} = \frac{U_{1}R_{3}}{R_{2} + R_{3}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ /:U_{1}$

$\frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{R_{3}}{R_{2} + R_{3}}$

$\mathbf{A} = \frac{U_{1}}{U_{2}} = \frac{R_{2} + R_{3}}{R_{3}} = \frac{2000 + 3000}{3000} = \mathbf{1,66}$

$\mathbf{C} = \frac{I_{1}}{U_{2}} = \frac{U_{1}(R_{1} + R_{2} + R_{3})}{R_{1}(R_{2} + R_{3})}*\frac{R_{2} + R_{3}}{U_{1}R_{3}} = \frac{R_{1} + R_{2} + R_{3}}{R_{1}R_{3}} = \frac{1000 + 2000 + 3000}{1000*3000} = \mathbf{0,002}$

U₂=0

Rozwiązanie metodą oczkową:

I_IR₁−I_IIR₁=U₁

−I_IR₁+I_II(R₁+R₂+R₃)−I_IIIR₃=0

−I_IIR₃+I_IIIR₃=0

Równania pomocnicze:

I₁ = I_I

I₂ = I_III

Z równania pierwszego wyznaczmy prąd oczkowy I_I:

I_IR₁ = U₁ + I_IIR₁             /:R₁

$\mathbf{I}_{\mathbf{I}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}\mathbf{+}\mathbf{I}_{\mathbf{\text{II}}}$

Z równania trzeciego wyznaczamy prąd oczkowy I_III:

−I_IIR₃ = −I_IIIR₃                    /:(−R₃)

I_III=I_II

Z równania drugiego wyznaczamy prąd oczkowy I_II:

$- \left( \frac{U_{1}}{R_{1}} + I_{\text{II}} \right)R_{1} + I_{\text{II}}\left( R_{1} + R_{2} + R_{3} \right) - I_{\text{II}}R_{3} = 0$

−U₁ − I_IIR₁ + I_IIR₁ + I_IIR₂ + I_IIR₃ − I_IIR₃ = 0

I_IIR₂ = U₁                          /:R₂

$\mathbf{I}_{\mathbf{\text{II}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}$

Z równań pomocniczych obliczamy prądy gałęziowe:

$\mathbf{I}_{\mathbf{1}} = \frac{U_{2}}{R_{1}} + \frac{U_{1}}{R_{2}} = \frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{)}}{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}$

$\mathbf{I}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}$

Przystępujemy do obliczania parametrów:

$I_{2} = \frac{U_{1}}{R_{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ /:U_{1}$

$\frac{I_{2}}{U_{1}} = \frac{1}{R_{2}}$

$\mathbf{B} = \frac{U_{1}}{I_{2}} = R_{2} = \mathbf{2000}$

$\mathbf{D} = \frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{U_{1}(R_{2} + R_{1})}{R_{1}R_{2}}*\frac{R_{2}}{U_{1}} = \frac{R_{2} + R_{1}}{R_{1}} = \frac{2000 + 1000}{1000} = \mathbf{3}$

Czwórnik typu T:

$\mathbf{Z}_{\mathbf{\text{we}}\mathbf{0}} = \frac{U_{10}}{I_{10}} = \frac{A}{C} = \frac{12}{3} = \frac{1,33}{0,00033} = \mathbf{4k}\mathbf{\ \lbrack\Omega\rbrack}$

$\mathbf{Z}_{\mathbf{\text{wez}}} = \frac{U_{1z}}{I_{1z}} = \frac{B}{D} = \frac{12}{5,44} = \frac{3669}{1,663} = \mathbf{2,}\mathbf{2k}\mathbf{\ \lbrack\Omega\rbrack}$

$\mathbf{Z}_{\mathbf{c}} = \sqrt{\frac{B}{C}} = \sqrt{\frac{3669}{0,00033}} = \mathbf{3,334k\ }\mathbf{\lbrack\Omega\rbrack}\ $

Lp.	Stan jałowy	Stan zwarcia
	U10[V]	I10[mA]
1.	12	3
2.	24	6

$\mathbf{A} = \frac{U_{10}}{U_{20}} = \frac{12}{9} = \frac{24}{18} = \mathbf{1,}\mathbf{33}$

$\mathbf{B} = \frac{U_{1Z}}{I_{2Z}} = \frac{12}{3,27} = \frac{24}{6,54} = \mathbf{3669}$

$\mathbf{C} = \frac{I_{10}}{U_{20}} = \frac{3}{9} = \frac{6}{18} = \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{00033}$

$\mathbf{D} = \frac{I_{1Z}}{I_{2Z}} = \frac{5,44}{3,27} = \frac{10,88}{6,54} = \mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{663}$

Obliczenie parametrów, biorąc pod uwagę elementy czwórnika:

Schemat czwórnika typu T:

I₂ = 0

Z drugiego prawa Kirchhoffa można zapisać następujące równania:

U₁ =  I₁R₁ + I₁R₃ = I₁(R₁ + R₃)

U₂ = I₁R₃

Przystępujemy do obliczania parametrów:

$\mathbf{A} = \frac{U_{1}}{U_{2}} = \frac{I_{1}(R_{1} + R_{3})}{I_{1}R_{3}}\mathbf{=}\frac{R_{1} + R_{3}}{R_{3}}\mathbf{=}\frac{1000 + 3000}{3000} = \mathbf{1,33}$

$\mathbf{C =}\frac{I_{1}}{U_{2}} = \frac{I_{1}}{I_{1}R_{3}} = \frac{1}{R_{3}} = \frac{1}{3000} = \mathbf{0,}\mathbf{00033}$

U₂=0

Rozwiązanie metodą potencjałów węzłowych:

$V\left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} \right) = \frac{U_{1}}{R_{1}}$

$V\left( \frac{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}}{R_{1}R_{2}R_{3}} \right) = \frac{U_{1}}{R_{1}}$

$\mathbf{V} = \frac{U_{1}}{R_{1}}*\frac{R_{1}R_{2}R_{3}}{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}} = \frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}$

Zależność na prądy gałęziowe I₁ i I₂:

$\mathbf{I}_{\mathbf{1}} = \frac{U_{1}}{R_{1} + \frac{R_{2}R_{3}}{R_{2} + R_{3}}} = \frac{U_{1}}{\frac{R_{1}(R_{2} + R_{3}) + R_{2}R_{3}}{R_{2} + R_{3}}} = \frac{U_{1}(R_{2} + R_{3})}{R_{1}(R_{2} + R_{3}) + R_{2}R_{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{)}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}$

$I_{2} = \frac{V}{R_{2}} = \frac{U_{1}R_{2}R_{3}}{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}}*\frac{1}{R_{2}}$

$\mathbf{I}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{)}}\mathbf{\text{\ \ }}$

Przystępujemy do obliczania parametrów:

$I_{2} = \frac{U_{1}R_{2}R_{3}}{R_{2}(R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2})}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ /:U_{1}$

$\frac{I_{2}}{U_{1}} = \frac{R_{2}R_{3}}{R_{2}(R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2})}$

$\mathbf{B} = \frac{U_{1}}{I_{2}} = \frac{R_{2}(R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2})}{R_{2}R_{3}} = \frac{2000(2000*3000 + 1000*3000 + 1000*2000)}{2000*3000} = \mathbf{3669}$

$\mathbf{D} = \frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{U_{1}(R_{2} + R_{3})}{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}}*\frac{R_{2}(R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2})}{U_{1}R_{2}R_{3}} = \frac{R_{2}(R_{2} + R_{3})}{R_{2}R_{3}} = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{2000*(2000 + 3000)}{2000*3000} = \mathbf{1,}\mathbf{663}$

1. Wnioski:

Wartości parametrów łańcuchowych czwórników obliczonych za pomocą podanych w ćwiczeniu wzorów i zmierzonych wielkości są bardzo podobne do parametrów łańcuchowych obliczonych z rezystancji czwórników. Świadczy to, że wartości prądów i napięć w stanie jałowym i zwarcia zostały poprawnie pomierzone.

Badane czwórniki mają własność odwracalności, ponieważ zachodzi równość AD-BC=1.

Czwórnik typu Π:

(1,66*3)-(2000*0,002)=5-4=1

Czwórnik typu T:

(1,33*1,663)-(3669*0,00033)=2,21-1,21=1

Jednak te czwórniki nie są symetryczne, ponieważ nie zachodzi równość A=D.