Teoria Obwod贸w - Laboratorium |
---|
Temat: Badanie czw贸rnik贸w |
膰wiczenie wykonali: |
Kordian Urbaniak |
Micha艂 Szyma艅ski |
Tomasz Wierzba |
聽 |
Podstawowe poj臋cia.
Czw贸rnikiem nazywamy element maj膮cy dwie pary uporz膮dkowanych zacisk贸w, z kt贸rych jedn膮 par臋 nazywamy wej艣ciem, a drug膮 wyj艣ciem czw贸rnika.
Schemat czw贸rnika:
- po艂膮czenia 艂a艅cuchowe:
1 2 3
1鈥
- po艂膮czenia r贸wnoleg艂e:
- po艂膮czenie szeregowe
Rozr贸偶niamy r贸wnania czw贸rnik贸w, kt贸re okre艣laj膮 zwi膮zki mi臋dzy pr膮dami i napi臋ciami na wej艣ciu i wyj艣ciu czw贸rnika. S膮 to dwa r贸wnania liniowe maj膮ce wsp贸艂czynniki zale偶ne od parametr贸w czw贸rnika. R贸wnania te mog膮 mie膰 r贸偶n膮 posta膰, najwa偶niejsze z nich to:
Posta膰 impedancyjna; zmienne U1 i U2 s膮 zale偶ne od I1, I2
; z11, z12 z21, z22 鈥 parametry impedancyjne
Posta膰 admitancyjna; zmienne I1 i I2 s膮 zale偶ne od U1, U2
; y11, y12 y21, y22 鈥 parametry admitancyjne
Posta膰 艂a艅cuchowa prosta; zmienne U1 i I1 s膮 zale偶ne od U2, I2
; A, B, C, D 鈥 parametry 艂a艅cuchowe
Posta膰 mieszana zwana hybrydow膮; zmienne U1 i I2 s膮 zale偶ne od U2, I1
; h11, h12 h21, h22 鈥 parametry hybrydowe
Do opisu czw贸rnik贸w pasywnych najcz臋艣ciej stosuje si臋 posta膰 艂a艅cuchow膮, Przy opisie czw贸rnik贸w aktywnych (zw艂aszcza tranzystora) stosuje si臋 posta膰 hybrydow膮.
Tabele pomiar贸w i obliczenia:
Warto艣ci rezystancji (element贸w) czw贸rnik贸w:
R1=1,5 [惟] R2=2,5 [惟] R3=3,5 [惟]
Czw贸rnik typu 螤:
$\mathbf{Z}_{\mathbf{\text{we}}\mathbf{0}} = \frac{U_{10}}{I_{10}} = \frac{A}{C} = \frac{12,018}{10,019} = \frac{1,71}{1,429} = \mathbf{1,2\ \lbrack\Omega\rbrack}$
$\mathbf{Z}_{\mathbf{\text{wez}}} = \frac{U_{1z}}{I_{1z}} = \frac{B}{D} = \frac{12,018}{12,809} = \frac{2,5}{2,67} = \mathbf{1,97\ \lbrack\Omega\rbrack}$
$\mathbf{Z}_{\mathbf{c}} = \sqrt{\frac{B}{C}} = \sqrt{\frac{2,5}{1,429}} = \mathbf{1,32\lbrack\Omega\rbrack}\ $
Lp. | Stan ja艂owy | Stan zwarcia |
---|---|---|
U10[V] | I10[mA] | |
1. | 12,018 | 10,019 |
2. | 24,013 | 20,067 |
$$\mathbf{A} = \frac{U_{10}}{U_{20}} = \frac{12,018}{7,011} = \frac{24,013}{14,043} = \mathbf{1,71}$$
$$\mathbf{B} = \frac{U_{1Z}}{I_{2Z}} = \frac{12,018}{4,797} = \frac{24,013}{9,605} = \mathbf{2,5}$$
$$\mathbf{C} = \frac{I_{10}}{U_{20}} = \frac{10,019}{7,011} = \frac{20,067}{14,043} = \mathbf{1,429}$$
$$\mathbf{D} = \frac{I_{1Z}}{I_{2Z}} = \frac{12,809}{4,797} = \frac{25,645}{9,605} = \mathbf{2,67}$$
Parametry admitancyjne:
Schemat czw贸rnika typu 螤:
Macierz admitancyjna:
$\begin{bmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} U_{1} \\ U_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{1} \\ I_{2} \\ \end{bmatrix}$
R贸wnania admitancyjne:
y11U1鈥+鈥y12U2鈥=鈥I1
y21U1鈥+鈥y22U2鈥=鈥I2
U2=0
$y_{11} = \frac{I_{1}}{U_{1}}$ $y_{12} = \frac{I_{2}}{U_{1}}$
Z powy偶szego schematu uk艂adamy r贸wnanie na pr膮d I1, z kt贸rego wyznaczymy parametr y11:
$I_{1} = \frac{U_{1}}{\frac{1}{R_{1}}} + \frac{U_{1}}{\frac{1}{R_{2}}}$
I1鈥=鈥U1R1鈥+鈥U1R2聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽/:U1
$\mathbf{y}_{\mathbf{11}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{= 1,5 + 2,5 = 4\ \lbrack S\rbrack}$
Z powy偶szego schematu uk艂adamy r贸wnanie na pr膮d I2, z kt贸rego wyznaczymy parametr y12:
$I_{2} = \frac{U_{1}}{\frac{1}{R_{2}}}$
I2鈥=鈥U1R2聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽/:U1
$\mathbf{y}_{\mathbf{12}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{= 2,5\ \lbrack S\rbrack}$
U1=0
$y_{21} = \frac{I_{1}}{U_{2}}$ $y_{22} = \frac{I_{2}}{U_{2}}$
Z powy偶szego schematu uk艂adamy r贸wnanie na pr膮d I2, z kt贸rego wyznaczymy parametr y22:
$I_{2} = \frac{U_{2}}{\frac{1}{R_{3}}} + \frac{U_{2}}{\frac{1}{R_{2}}}$
I1鈥=鈥U2R3鈥+鈥U2R2聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽/:U2
$\mathbf{y}_{\mathbf{22}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{U}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{= 3,5 + 2,5 = 6\ \lbrack S\rbrack}$
Z powy偶szego schematu uk艂adamy r贸wnanie na pr膮d I1, z kt贸rego wyznaczymy parametr y21:
$I_{1} = \frac{U_{2}}{\frac{1}{R_{2}}}$
I1鈥=鈥U2R2聽聽聽聽聽聽聽聽聽聽/:U2
$\mathbf{y}_{\mathbf{21}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{U}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{= 2,5\ \lbrack S\rbrack}$
Czw贸rnik typu T:
$\mathbf{Z}_{\mathbf{\text{we}}\mathbf{0}} = \frac{U_{10}}{I_{10}} = \frac{A}{C} = \frac{12}{2,4} = \frac{1,429}{0,286} = \mathbf{5\ \lbrack\Omega\rbrack}$
$\mathbf{Z}_{\mathbf{\text{wez}}} = \frac{U_{1z}}{I_{1z}} = \frac{B}{D} = \frac{12}{4,052} = \frac{5,083}{1,716} = \mathbf{2,96\ \lbrack\Omega\rbrack}$
$\mathbf{Z}_{\mathbf{c}} = \sqrt{\frac{B}{C}} = \sqrt{\frac{5,083}{0,286}} = \mathbf{4,22\lbrack\Omega\rbrack}\ $
Lp. | Stan ja艂owy | Stan zwarcia |
---|---|---|
U10[V] | I10[mA] | |
1. | 12 | 2,4 |
2. | 24,04 | 4,81 |
$\mathbf{A} = \frac{U_{10}}{U_{20}} = \frac{12}{8,395} = \frac{24,04}{16,823} = \mathbf{1,429}$
$\mathbf{B} = \frac{U_{1Z}}{I_{2Z}} = \frac{12}{2,361} = \frac{24,04}{4,729} = \mathbf{5,083}$
$\mathbf{C} = \frac{I_{10}}{U_{20}} = \frac{2,4}{8,395} = \frac{4,81}{16,823} = \mathbf{0,286}$
$\mathbf{D} = \frac{I_{1Z}}{I_{2Z}} = \frac{4,052}{2,361} = \frac{8,115}{4,729} = \mathbf{1,716}$
Obliczenie parametr贸w admitancyjnych:
Schemat czw贸rnika typu T:
Macierz admitancyjna:
$\begin{bmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} U_{1} \\ U_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{1} \\ I_{2} \\ \end{bmatrix}$
R贸wnania admitancyjne:
y11U1鈥+鈥Y12U2鈥=鈥I1
y21U1鈥+鈥y22U2鈥=鈥I2
U2=0
$y_{11} = \frac{I_{1}}{U_{1}}$ $y_{12} = \frac{I_{2}}{U_{1}}$
Obliczam metod膮 potencja艂贸w w臋z艂owych:
$V\left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} \right) = \frac{U_{1}}{R_{1}}$
$V\left( \frac{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}}{R_{1}R_{2}R_{3}} \right) = \frac{U_{1}}{R_{1}}$
$\mathbf{V} = \frac{U_{1}}{R_{1}}*\frac{R_{1}R_{2}R_{3}}{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}} = \frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}$
Zale偶no艣膰 na pr膮dy ga艂臋ziowe I1 i I2:
$\mathbf{I}_{\mathbf{1}} = \frac{U_{1}}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{\frac{1}{R_{2}R_{3}}}{\frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}}} = \frac{U_{1}}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{\frac{1}{R_{2}R_{3}}}{\frac{R_{2 +}R_{3}}{R_{2}R_{3}}}} = \frac{U_{1}}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2} + R_{3}}}\mathbf{=}\frac{U_{1}}{\frac{R_{2} + R_{3} + R_{1}}{R_{1}R_{2} + R_{1}R_{3}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{)}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}$
$I_{2} = \frac{V}{R_{2}} = \frac{U_{1}R_{2}R_{3}}{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}}*\frac{1}{R_{2}}$
$\mathbf{I}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}\mathbf{\text{\ \ }}$
Przyst臋pujemy do obliczania parametr贸w:
$I_{1} = \frac{U_{1}(R_{1}R_{2} + R_{1}R_{3})}{R_{2} + R_{3} + R_{1}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ /:U_{1}$
$\mathbf{y}_{\mathbf{11}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1,5*2,5 + 1,5*3,5}}{\mathbf{2,5 + 3,5 + 1,5}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{7,5}}\mathbf{= 1,2\ \lbrack S\rbrack}$
$I_{2} = \frac{U_{1}R_{3}}{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ /:U_{1}\ $
$\mathbf{y}_{\mathbf{12}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{U}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3,5}}{\mathbf{17,75}}\mathbf{= 0,2\ \lbrack S\rbrack}$
U1=0
$y_{21} = \frac{I_{1}}{U_{2}}$ $y_{22} = \frac{I_{2}}{U_{2}}$
Obliczam metod膮 potencja艂贸w w臋z艂owych:
$V\left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} \right) = \frac{U_{2}}{R_{2}}$
$V\left( \frac{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}}{R_{1}R_{2}R_{3}} \right) = \frac{U_{2}}{R_{2}}$
$\mathbf{V} = \frac{U_{2}}{R_{2}}*\frac{R_{1}R_{2}R_{3}}{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}} = \frac{\mathbf{U}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}$
Zale偶no艣膰 na pr膮dy ga艂臋ziowe I1 i I2:
$I_{1} = \frac{V}{R_{1}} = \frac{U_{2}R_{1}R_{3}}{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}}*\frac{1}{R_{1}}$
$\mathbf{I}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}\mathbf{\text{\ \ }}$
$\mathbf{I}_{\mathbf{2}} = \frac{U_{2}}{\frac{1}{R_{2}} + \frac{\frac{1}{R_{1}R_{3}}}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{3}}}} = \frac{U_{2}}{\frac{1}{R_{2}} + \frac{\frac{1}{R_{1}R_{3}}}{\frac{R_{3 +}R_{1}}{R_{1}R_{3}}}} = \frac{U_{2}}{\frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3} + R_{1}}}\mathbf{=}\frac{U_{2}}{\frac{R_{3} + R_{1} + R_{2}}{R_{1}R_{2} + R_{1}R_{3}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{)}}{\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}$
Przyst臋pujemy do obliczania parametr贸w:
$I_{1} = \frac{U_{2}R_{3}}{R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3} + R_{1}R_{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ /:U_{2}$
$\mathbf{y}_{\mathbf{21}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{U}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3,5}}{\mathbf{17,75}}\mathbf{= 0,2\ \lbrack S\rbrack}$
$I_{2} = \frac{U_{2}(R_{2}R_{3} + R_{2}R_{1})}{R_{3} + R_{1} + R_{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ /:U_{2}\ $
$\mathbf{y}_{\mathbf{2}\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{I}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{U}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{R}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2,5*3,5 + 2,5*1,5}}{\mathbf{3,5 + 1,5 + 1,5}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{12,5}}{\mathbf{7,5}}\mathbf{= 1,67\ \lbrack S\rbrack}$
Wnioski:
Z wyliczonych parametr贸w 艂a艅cuchowych i parametr贸w admitancyjnych mo偶na stwierdzi膰, 偶e badane czw贸rniki typu 螤 i T, nie s膮 symetryczne. Ten fakt opisuj膮 zale偶no艣ci:
dla parametr贸w 艂a艅cuchowych:
A=D
dla parametr贸w admitancyjnych:
y11=y22
Te zale偶no艣ci nie s膮 spe艂nione, wi臋c oba czw贸rniki nie s膮 symetryczne.
Czw贸rniki te偶 mog膮 by膰 odwracalne. T膮 w艂asno艣膰 mo偶na zbada膰 z nast臋puj膮cego r贸wnania:
AD-BC=1
Te r贸wnanie jest prawdziwe, wi臋c oba czw贸rniki s膮 odwracalne.