Ćwiczenie 4

Temat:

BADANIE CZWÓRNIKÓW PASYWNYCH

I. ZAGADNIENIA

1.

Wyznaczanie parametrów łańcuchowych dotyczących czwórników kształtu
„T” i „Π”

2.

Wyznaczanie parametrów impedancyjnych i admitancyjnych badanych
czwórników

3.

Określenie parametrów falowych Zc, g, a, b czwórników rezystancyjnych
i reaktancyjnych symetrycznych i niesymetrycznych

4.

Pomiar i analityczne wyznaczenie sygnałów wejściowych i wyjściowych
czwórnika w różnych stanach pracy, w tym: w stanie jałowym, w stanie
zwarcia i stanie dopasowania falowego

II. WIADOMOŚCI PODSTAWOWE

1. Klasyfikacja czwórników
Czwórnikiem (dwuwrotnikiem) nazywamy układ mający cztery zaciski, a ściśle
dwie pary uporządkowanych zacisków (rys.1.1). Dla czwórnika musi być spe-
łniony warunek

2

2

1

1

'

'

I

I

I

I

=

=

(4.1)

Jedną parę zacisków nazywamy wejściem, a drugą - wyjściem. Wielkości
związane z wejściem opatrujemy wskaźnikiem 1, a wielkości związane z
wyjściem - wskaźnikiem 2. Przeważnie do wejścia doprowadzone jest źródło
energii, a na wyjściu dołączony jest element odbiorczy
Czwórnik nazywamy symetrycznym, jeżeli przy zamianie miejscami wejścia
z wyjściem nie zmieni się rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie poza
czwórnikiem, tzn. w obwodzie dołączonym do wejścia i w obwodzie dołączonym
do wyjścia.
Czwórniki dzielimy na odwracalne i nieodwracalne. Jeżeli do zacisków
wejściowych czwórnika odwracalnego doprowadzimy idealne źródło napięcia E,
które w zwartym obwodzie wyjścia wywoła prąd I, to po przeniesieniu tego
źródła do wyjścia w zwartym obwodzie wejścia też popłynie prąd I. Czwórnik,
dla którego spełniony będzie podany warunek, zwany warunkiem odwracalności,
nazywamy czwórnikiem odwracalnym.

Czwórniki dzielimy na pasywne i aktywne. Czwórnik nazywamy pasywnym. Je-
żeli całkowita energia pobrana przez elementy czwórnika przy dołączeniu do jego
zacisków źródła energii, jest nieujemna, tzn. dodatnia lub równa zeru. Do chwili
dołączenia źródła do zacisków czwórnika pasywnego prąd w nim nie płynie.
Czwórnik pasywny zbudowany jest np. z rezystorów, cewek i kondensatorów
(rys. 1.2).

Rys. 4.1. Symbol graficzny czwórnika w postaci tzw. „czarnej skrzynki”

Rys. 4.2. Przykładowy schemat czwórnika pasywnego

Czwórnik, który nie spełnia warunków określonych w podanej definicji z2-
wamy czwórnikiem aktywnym. Czwórniki pasywne są z reguły odwracalne, z2-
miast czwórniki aktywne są przeważnie nieodwracalne

2. Równania czwórnika

Na rys. 4.1 wskazano cztery wielkości fizyczne (U

1,

U

2

, I

1

, I

2

) opisujące stan

elektryczny czwórnika. Wielkości te są nazywane współrzędnymi stanu czwór-
nika. Dla czwórnika liniowego są one ze sobą powiązane algebraicznymi związ-
kami liniowymi.
Parametry wchodzące do którejkolwiek z wymienionych postaci równań czwór-
nika wyznacza się na podstawie znajomości struktury czwórnika i wartości impe-
dancji lub admitancji gałęzi tworzących tę strukturę. Znajomość jednej grupy
parametrów, np. parametrów łańcuchowych

D

C

B

A

,

,

,

umożliwia wyznaczenie

wszystkich pozostałych parametrów.
Równania zostały podane w postaci macierzowej (oznaczenia przyjęte z rys. 4.1).

2.1

Równanie łańcuchowe













−













=













2

2

1

1

I

U

D

C

B

A

I

U

(4.2)

Dla czwórników pasywnych, odwracalnych słuszna jest zależność

1

=

−

C

B

D

A

(1.8)

a dla czwórników symetrycznych

D

A

=

2.2

Równanie admitancyjne

























=













2

1

22

21

12

11

2

1

U

U

y

y

y

y

I

I

(4.3)

2.3

Równanie impedancyjne

























=













2

1

22

21

12

11

2

1

I

I

z

z

z

z

U

U

(4.4)

Występujące w równaniach (4.2) do (4.4) macierze kwadratowe (oznaczać je
będziemy odpowiednio przez A, y, z) są nazywane, podobnie jak odpowiednie
równania, np. A – macierz łańcuchowa, , z – macierz impedancyjna. Macierze te
są nazywane macierzami charakterystycznymi czwórnika.
Spośród sześciu macierzy charakterystycznych czwórnika najczęściej stosuje się
macierze A, y i z.
Do opisu czwórników pasywnych najczęściej stosuje się postać łańcuchową.

3

Impedancja charakterystyczna czwórnika symetrycznego

Impedancją charakterystyczną lub falową czwórnika symetrycznego nazywamy
taką impedancję Z

C

, która dołączona do zacisków wyjściowych powoduje, że im-

pedancja wejściowa czwórnika też jest równa Z

C

.

C

B

Z

C

=

(4.5)

Znając parametry łańcuchowe B i C można wg wzoru (4.5) obliczyć impedancję
charakterystyczną czwórnika.
Impedancję charakterystyczną czwórnika symetrycznego można też uzależnić od
impedancji wejściowej czwórnika w stanie jałowym i w stanie zwarcia.
Skorzystamy z równań

C

A

I

U

Z

weo

=

=

10

10

(4.6)

D

B

I

U

Z

z

z

wez

=

=

1

1

(4.7)

przy A = D

A

B

Z

C

A

Z

wez

we

=

=

,

0

(4.8)

wez

we

C

Z

Z

C

B

Z

0

=

=

(4.9)

Uzależnienie impedancji charakterystycznej czwórnika od impedancji wejściowej
w stanie jałowym i impedancji wejściowej w stanie zwarcia jest dogodne, dlatego
że impedancje te można dla określonego czwórnika nie tylko obliczyć, ale rów-
nież zmierzyć.

4

Współczynnik tłumienia. Współczynnik fazowy. Współczynnik
przenoszenia czwórnika symetrycznego.

Jeżeli czwórnik symetryczny obciążymy impedancją charakterystyczną

C

Z

, to

jak mówimy czwórnik znajduje się w warunkach dopasowania falowego.
Przy obciążeniu czwórnika symetrycznego impedancją charakterystyczną,
stosunek napięć

1

U

do

2

U

jest równy stosunkowi prądów

2

1

I

do

I

i wynosi

C

B

A

+

Można inaczej powiedzieć, że przekładnia napięciowa czwórnika jest

równa przekładni prądowej.
Wprowadzimy teraz następujące oznaczenie

g

e

C

B

A

=

+

(4.10)

Wyrażenie e

g

jest liczbą zespoloną, gdyż przy zasilaniu czwórnika napięciem

sinusoidalnym, parametry łańcuchowe czwórnika

C

B

A ,

,

są zależne od impe-

dancji zespolonych gałęzi czwórnika, a więc są liczbami zespolonymi.
Wielkość g w wyrażeniu (4.10) będącą liczbą zespoloną można wyrazić w postaci
algebraicznej i nazwać współczynnikiem przenoszenia czwórnika.

g=a+jb

(4.11)

Część rzeczywistą współczynnika przenoszenia, czyli a nazywamy współczyn-
nikiem tłumienia czwórnika, a część urojoną b – współczynnikiem fazowym
czwórnika.

.]

[

ln

20

ln

20

2

1

2

1

Nep

I

I

U

U

a

=

=

(4.12)

W czwórniku symetrycznym obciążonym impedancją charakterystyczną
współczynnik tłumienia napięć jest równy współczynnikowi tłumienia
prądów.

ψ

1

-

ψ

2

=b [rad]

(4.13)

Z równania (4.13) wynika, że współczynnik fazowy czwórnika symetrycznego
jest równy różnicy faz początkowych napięć, czyli określa kąt przesunięcia z2-
ęcia na wyjściu czwórnika względem napięcia na wejściu.
O ten sam kąt przesunięte są względem siebie prądy na wejściu i wyjściu czwór-
nika.
Współczynnik fazowy mierzymy w radianach (lub stopniach kątowych), czyli
jednostkach miary kątów.

III. Pomiary

1. Badanie czwórnika w stanie jałowym
Schemat pomiarowy:

2. Badanie czwórnika w stanie zwarcia

Schemat pomiarowy:
3. Badanie czwórnika obciążonego:

3.1

impedancją falową Z

2

=Z

C

3.2

dowolną impedancją Z

2

Schemat pomiarowy:

4. Schematy badanych czwórników

4.1.Czwórnik rezystancyjny kształtu „T'

4.2.Czwórnik reaktancyjny kształtu „Π " (filtr dolnoprzepustowy)

4.3.Czwórnik niesymetryczny

typu „Г”

R=33Ω,C=50μF
ω=314 rad/s

typu „ ”

R=33Ω,C=5OμF

ω=314 rad/s

UWAGA: Czwórnik niesymetryczny ma dwie impedancje falo-
we, które wyrażają zależności:

2

2

1

1

1

1

1

1

2

ln

2

1

:

,

2

2

1

I

U

I

U

g

ia

przenoszen

stala

wówczas

Z

I

U

Z

Z

to

Z

Z

Jeśeś

C

A

D

B

Z

i

D

C

B

A

Z

C

WE

C

C

C

•

•

=

=

=

=

=

•

•

=

•

•

=

(4.14)

5. Przebieg ćwiczenia
5.1. Wyznaczyć analitycznie macierz łańcuchową A na podstawie schematu

badanego czwórnika oraz jego parametry falowe
Zc , g = a + jb

5.2. Dla zadanego czwórnika wykonać pomiary według schematów 1,

2, 3 dla dwóch wartości napięcia zasilania.

5.3. Wyznaczyć na podstawie pomiarów impedancję wejściową badanego

czwórnika Z

1

= U

1

/ I

1

dla stanu:

a) jałowego;

I

2

=0;

b) zwarcia;

U

2

=0

c) dopasowania falowego

Z

2

= Z

C

d)obciążenia impedancją

Z

2

≠ Z

C

5.4. Obliczyć impedancję wejściową czwórnika dla wymienionych stanów

pracy jako funkcję jego parametrów łańcuchowych (z równań łańcucho-
wych) porównać jej wartości z wynikami, otrzymanymi w punkcie 5.3
(wyniki pomiarów i obliczeń zestawić wtabelce)

5.5. Sprawdzić, czy w stanie dopasowania falowego czwórnika symetrycz-

nego jego przekładnia napięciowa i prądowa spełnia zależność:

g

i

u

e

I

I

U

U

=

=

=

=

2

1

2

1

ϑ

ϑ

Wyznaczyć z pomiarów i obliczeń teoretycznych stałą tłumienia a.

5.6 Porównać dla czwórnika reaktancyjnego pulsację ω=314rad/s z jego pul-

sacją graniczną cou obliczoną dla filtru dolnoprzepustowego na z2-
awie schematów 3.2.a) oraz 3.2.b) i ocenić czy dla a)=314rad/s wartość
stałej a jest równa zeru, czy jest różna od zera.

5.7 Dla wybranego stanu pracy badanego czwórnika wyznaczyć analitycznie

przebiegi wejściowe u

1

(t) oraz i

1

(t) wykorzystując równania łańcuchowe

(przyjąć zmierzoną wartość sygnału wyjściowego czwórnika napięcia lub
prądu za wie/kość odniesienia).

5.8. Wyznaczyć na podstawie pomiarów i na podstawie kształtu czwórnika jego

:

a)parametry impedancyjne
b)parametry admitancyjne

UWAGA:

0

2

2

1

11

=

=

I

I

U

Z

Impedancja wejściowa w stanie jałowym

zacisków wyjściowych

dla czwórnika odwracającego:

0

2

1

2

21

12

=

=

=

I

I

U

Z

Z

dla czwórnika symetrycznego:

oraz

0

2

1

1

11

22

=

=

=

U

U

I

y

y

Admitancja wejściowa czwórnika symetrycz-

nego w stanie zwarcia zacisków wejściowych

←

=

=

=

0

2

1

2

21

12

U

U

I

y

y

Zwrot prądu I

2

„ do pudełka

”

11

22

Z

Z

=