POLITECHNIKA LUBELSKA	LABORATORIUM „Metod numerycznych”
Widz Marcin Wielgórski Mariusz	Semestr III
Temat ćwiczenia: Rozwiązywanie równań nieliniowych	Data wykonania 19.12.2012

Temat ćwiczenia:

Rozwiązywanie równań nieliniowych metodami:

- Bisekcji

- RegulaFalsi

- Stycznych

Podana funkcja:

f(x) = 8x − 4x² − 6x³ + x⁴ + x⁵

Wykres funkcji:

Metoda Bisekcji

clc;

clear;

xdel(winsid());

disp("MetodaBisekcji");

functionf=nieliniowa(x);// Wprowadzenie funkcji.

f=8*x-4*x^2-6*x^3+x^4+x^5;

endfunction;

x00=linspace(-10,10,1000);// Wykres funkci.

subplot(121);

plot2d(x00,nieliniowa(x00),axesflag=5,rect=[-4,-10,4,10]);

S=input("Podaj punkt startowy: ");//Wprowadzenie punktów.

K=input("Podaj punkt końcowy: ");

delt=input("Podaj dokladnoscobliczen ");//Wprowadzenie dokładności.

t=1;

x1=nieliniowa(S);

x2=nieliniowa(K);

W=x1*x2;

P=S+(K-S)/2;

ex=P-S;

ifW<0then;// Paczatekpetli if.

x(t)=(K-S)/2+S;

whileabs(x1+x2)>delt&abs(ex)>delt;// Paczatekpetli while.

t=t+1;

P=(K-S)/2+S;

x2=nieliniowa(P);

W=x1*x2;

ifW<0then;// Paczatekpetli if.

K=P;

x(t)=(K-S)/2+S;

ex=P-S;

else;

x2=nieliniowa(S);

x1=nieliniowa(P);

S=P;

x(t)=(K-S)/2+S;

ex=K-P;

end;// Koniecpetli if.

end;// Koniecpetli while.

disp("Liczba iteracji:");

disp(t);

disp("Wartosc miejsca zerowego :");

disp(x(t));

subplot(122);

x01=linspace(1,t,t);

plot2d(x01,x');

else;

disp("Błędny przedział");

end;// Koniec petliif.

RegulaFalsi:

clc;

clear;

xdel(winsid());

disp("Metoda: RegulaFalsi");

functionf=nieliniowa(x);// Wprowadzenie funkcji.

f=8*x-4*x^2-6*x^3+x^4+x^5;

endfunction;

x00=linspace(-10,10,1000);// Wykres funkci.

subplot(121);

plot2d(x00,nieliniowa(x00),axesflag=5,rect=[-4,-10,4,10]);

S=input("Podaj punkt startowy: ");//Wprowadzenie punktów.

K=input("Podaj punkt końcowy: ");

ex=input("Podaj dokladnoscobliczen ");//Wprowadzenie dokładności.

t=1;

W=nieliniowa(K)*nieliniowa(S);// Sprawdzenie warunku.

ifW<0then;// Poczatekpetliif.

x1=S;

x2=K;

x(t)=(x1*nieliniowa(K)-K*nieliniowa(S))/(nieliniowa(K)-nieliniowa(S));

f=abs(nieliniowa(x(t)));//Sprawdzenie warunku dokładności.

whilef>ex;// Poczatekpetli while.

ifnieliniowa(x(t))*nieliniowa(S)<0then;//Poczatekpetliif.

x1(t+1)=x1(t);

x2(t+1)=x(t);

else;

x1(t+1)=x(t);

x2(t+1)=x2(t);

end;// Koniecpetli if.

x(t+1)=(x1(t)*nieliniowa(x2(t))-x2(t)*nieliniowa(x1(t)))/(nieliniowa(x2(t))-nieliniowa(x1(t)));

f(t+1)=abs(nieliniowa(x(t+1)));

t=t+1;

end;//Koniecpetli while.

disp("Liczba iteracji:");

disp(t);

disp("Wartosc miejsca zerowego :");

disp(x(t));

subplot(122);

x01=linspace(1,t,t);

plot2d(x01,x');

else;

disp("Błędny przedział");

end;// Koniec petliif.

Stycznych:

clc;

clear;

xdel(winsid());

disp("MetodaStycznych");

functionf=funkcja(x);

f=8*x-4*x^2-6*x^3+x^4+x^5;

endfunction;

functionp=pochodna(x);

p=8-8*x-18*x^2+4*x^3+5*x^4;

endfunction;

x00=linspace(-10,10,1000);// Wykresfunkci.

subplot(121);

plot2d(x00,funkcja(x00),axesflag=5,rect=[-4,-10,4,10]);

S=input("Podaj punkt startowy: ");//Wprowadzenie punktów.

K=input("Podaj punkt końcowy: ");

ex=input("Podaj dokladnoscobliczen ");//Wprowadzenie dokładności.

t=1;

W=funkcja(K)*funkcja(S);

ifW<0then;// Paczatekpetli if.

x1=S;

x2=K;

x(t)=x2-(funkcja(x2)/pochodna(x2));

sx=abs(funkcja(x(t)));

whilesx>ex;// Paczatekpetli while.

iffunkcja(x(t))*funkcja(K)<0then;// Poczatekpetliif.

x1(t+1)=x1(t);

x2(t+1)=x(t);

else;

x1(t+1)=x(t);

x2(t+1)=x2(t);

end;// Koniecpetli if.

x(t+1)=x(t)-(funkcja(x(t))/pochodna(x(t)));

sx(t+1)=abs(funkcja(x(t+1)));

t=t+1;

end;// Koniecpetli while.

disp("Liczba iteracji:");

disp(t);

disp("Wartosc miejsca zerowego :");

disp(x(t));

subplot(122);

x01=linspace(1,t,t);

plot2d(x01,x');

else;

disp("Błędny przedział");

end;// Koniec petliif.

Wnioski:

Przedział:	Bisekcji:	RegulaFalsi:	Stycznych:
	Wartość:	Ilość iteracji:	Wartość:
<-0,1;0,1>	0,0996094	9	0,0000084
<0,9;1,1>	1,0996094	9	0,9999803
<1,9;2,1>	2,0996094	9	1,9999805

Porównując otrzymane wyniki można stwierdzić, że metoda Bisekcji jest najmniej dokładna i wymaga dużej liczby iteracji.

Najszybciej zbieżna jest metoda Stycznych, jednak jej wadą jest

to, że może nie osiągnąć zbieżności jeśli punkt początkowy jest w znacznym stopniu oddalony od miejsca zerowego.